0 引言

从1963年美国气象学家Lorenz^[1]开始研究混沌现象至今，已有40多年的历史，已成为理解和运用丰富的动力学的一种常见理念，它是一种对初始条件、参数变量、环境噪声等因素相当敏感的非线性动态系统，基于系统的不确定性与敏感特性，对于混沌系统的同步控制，越来越多的研究者开始进行深入探讨研究，将许多控制理论与技术应用于混沌控制中^[2-4]，旨在消除系统非线性控制中出现的混沌现象。例如：文献[5]中提出脉冲同步控制;文献[6]中介绍H_∞同步控制；文献[7]中引入状态观测器实现同步控制；文献[8]中运用线性矩阵不等式技术达到同步控制；文献[9-10]中设计滑模控制器完成同步控制；文献[10-11]中阐述反推式线性算法的同步控制；文献[12-13]中说明了模糊逻辑的同步控制。同时，随着Pecora等^[14]对混沌现象的开创性工作的进行，混沌控制的研究理论与技术被广泛应用于医药科学、生物工程、图像加密、通信安全、信息处理等高科技领域，对现今科技的发展具有深远影响。

其中，在电力电子领域，Kuroe等^[15]在1989年将混沌控制引入电动机驱动系统中，指出 永磁同步电动机(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM) 中混沌现象弊端：电机参量在一定范围内变化时，引起电机转矩随机变化、转速大范围内间歇震荡、不规则的电流噪声、控制性能不稳定等后果，影响了PMSM系统运行的平稳性。现代工业进程中自动化的发展使电动机系统的混沌控制获得越来越多的关注，尤其是PMSM以其效率高、体积小、噪声小、温升低、节能等优势，特别是在目前国家“节能减排”的大环境下，具有极为广阔的应用前景。例如：在电动汽车驱动系统领域，1996年，丰田汽车公司的电动车RAV4就采用了东京电机公司的插入式PMSM作为驱动电机；在电梯领域，国内宁渡欣达公司、山东百斯特电梯有限公司都加大了对PMSM同步无齿轮拽引机的研制；通力公司开发了EcoDiso永磁盘式无齿拽引机；在船舶电力推进领域，西门子开发出了以PMSM为系统方案合作伙伴项目的推进系统。PMSM是高新技术产业强大的技术基础，与电力电子技术和微电子控制技术结合，创造出新型的性能优异的机电一体化产品和装备，是21世纪电机发展方向的风向标，已经有不少学者对永磁同步电动机进行了深入的研究。 例如：文献[16-17]介绍了PMSM的分岔与混沌现象。许多控制理论与技术也被运用在永磁同步电动机的混沌控制中，例如：利用时间延迟反馈技术实现的电动同步机控制^[18]，利用自适应反推式原理实现的电动机同步控制^[19]，利用确定的线性化微分几何理论实现的电动机同步控制^[20]，利用李雅诺夫瞬态指数控制算法实现的电动机同步控制^[21]，以及利用最优输出反馈H_∞技术实现的电动机同步控制^[22]等。这些控制方法都实现了PMSM的同步控制，但只能保证平衡点的同步控制，仍存在不能控制非平衡点的缺陷。

以往的研究方法大多考虑不确定参数和外部扰动量的影响，因为在电动机的实际运转过程中，不可避免地存在一些不确定参数和外部扰动量；此外，由于多数控制是使电动机达到平衡点或周期点，不能根据工程需求灵活地调整PMSM的输入输出。针对以上两个缺点，本文以同步误差理论与李雅普诺夫理论为基础，设计了一种新形式的自适应控制器，实现带有不确定参数与外部扰动量的永磁同步电动机的平衡状态控制；运用有限时间原理，证明PMSM在有限时间内的收敛性与稳定性，保证永磁同步电动机在有限时间内快速地达到电动机的预期控制设定值；最后，通过Matlab软件进行数值仿真来验证所设计的自适应控制器的鲁棒性与可行性。

1 PMSM的数学模型及问题阐述

经过转换后的均匀气隙的永磁同步电动机的数学模型如下：

$\left\{ \begin{align} & \frac{d{{i}_{d}}}{dt}=-{{i}_{d}}+w{{i}_{q}}+{{u}_{d}} \\ & \frac{d{{i}_{q}}}{dt}=-{{i}_{q}}-w{{i}_{d}}+\gamma w+{{u}_{q}} \\ & \frac{dw}{dt}=\sigma \left( {{i}_{q}}-w \right)-{{T}_{L}} \\ \end{align} \right.$

(1)

系统(1) 中i_d、i_q、w是系统的状态变量;i_d、i_q分别表示定子电流在纵轴和正交轴上的分量电流;w表示电机的转子角速度;u_d、u_q表示定子电压在纵轴和正交轴上的分量电压;T_L表示负载的转矩;γ、σ表示系统参量。

在实际的PMSM模型中，系统参量γ、σ具有不确定性，诸如分岔和混沌等现代非线性理论已经被应用在系统(1) 中非线性动态性能的研究中，研究结果表明，系统参量γ、σ在一定范围内变动，混沌现象出现在PMSM中，在文献[16]中详细地介绍了分岔的尺度标准，一般情况下，考虑PMSM没有外力的情形，此时可以看作PMSM是空载运行一段时间后突然断电，各项外部输入为零，即u_d=u_q=T_L=0，系统模型变为：

$\left\{ \begin{align} & \frac{d{{i}_{d}}}{dt}=-{{i}_{d}}+w{{i}_{q}} \\ & \frac{d{{i}_{q}}}{dt}=-{{i}_{q}}-w{{i}_{d}}+\gamma w \\ & \frac{dw}{dt}=\sigma \left( {{i}_{q}}-w \right) \\ \end{align} \right.$

(2)

系统(2) 出现混沌现象，此时令γ=20,σ=5.46,i_d(0) =5 A, i_q(0) =1 A,w(0) =-1 rad/s，其仿真的三维混沌吸引子如图 1所示。

从图 1中可知，混沌吸引子的存在会严重影响PMSM的正常运转，甚至导致传动系统崩溃，本文旨在用有效灵活的方法抑制PMSM的混沌现象。

设i_d0、i_q0、w₀分别为系统(2) 的i_d、i_q、w的预期控制设定值，令e₁=i_d-i_d0，e₂=i_q-i_q0，e₃=w-w₀，得到相应的误差系统：

$\left\{ \begin{align} & {{{\dot{e}}}_{1}}=-{{e}_{1}}+{{e}_{2}}{{e}_{3}}+{{w}_{0}}{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{3}}+{{u}_{1}} \\ & {{{\dot{e}}}_{2}}=-{{e}_{2}}-{{e}_{1}}{{e}_{3}}+\gamma {{e}_{3}}-{{w}_{0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{3}}+a+{{u}_{2}} \\ & {{{\dot{e}}}_{3}}=\sigma ({{e}_{2}}-{{e}_{3}})+{{u}_{2}} \\ \end{align} \right.$

(3)

其中:a=-i_q0-w₀i_d0+γw₀;u₁、u₂、u₃分别是误差系统(3) 的控制输入。

引理1 Barbalat引理^[23]。设f: [0,∞)→R一阶可导，且t→∞时极限存在，如果 $\dot{f}$(t)(t∈[0,∞])一致连续或者$\dot{f}\left( t \right),t\in \left[ 0,\infty \right)$存在且有界，那么$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dot{f}\left( t \right)=0$。

引理2 Jensen引理^[24]。设x_i≥0(1≤i≤n)，则有以下不等式成立：(x₁^c1+x₂^c1+x₃^c1+…+x_n^c1)^1c1≤(x₁^c2+x₂^c2+x₃^c2+…+x_n^c2)^1c2。

引理3^[25] 设定一个动态非线性系统：

$\dot{x}$=f(x,t); f(0,t)=0,x∈D⊂R

如果存在三个连续可微函数$V:\left[ 0,\infty \right)\times D\to \mathit{\boldsymbol{R}}$，α(·),β(·)，0＜λ＜1,M⊆D，且一个恒大于零的函数k:[0,∞]→R₊满足：

$\begin{align} & V(t,0)=0,t\in \left[ 0,\infty \right) \\ & \alpha \left( \left\| x \right\| \right)\le V(t,x)\le \beta \left( \left\| x \right\| \right),t\in \left[ 0,\infty \right),x\in M \\ & \dot{V}(t,x)\le -k(t){{(V(t,x))}^{\lambda }};t\in \left[ 0,\infty \right),x\in M \\ \end{align}$

那么，当时间函数$T\left( {{t}_{0}},{{x}_{0}} \right)\le {{K}^{-1}}\left[ \frac{V{{\left( {{t}_{0}},{{x}_{0}} \right)}^{1-\lambda }}}{1-\lambda } \right],K=\int_{{{t}_{0}}}^{t}{k(s)}ds,$,M=D=Rⁿ时，动态非线性系统的平衡点x=0有限时间内全局一致稳定。

引理4^[26] 设定一个动态非线性系统$\dot{x}$=f(x,t),f(0,t)=0,x∈D⊂R，对于任意t=0时的初始条件x₀∈Rⁿ，如果该动态非线性系统解决方案x(t;0,x₀)在t→+∞时收敛至零点且存在一个x=0的区间U，那么该动态非线性系统解决方案x(t0,x₀)对任意的x₀∈U可以在有限时间内收敛至零点。

定义1 基于电磁同步电动机系统(2) 构造的电磁同步电动机误差系统(3) ，在自适应控制器和自适应矫正律的作用下，如果存在一个常数T(T≥0) ，误差系统(3) 达到状态：

$\underset{t\to T}{\mathop{\lim }}\,{{\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|}_{i}}=0;(i=1,2,3)$

(4)

且当t≥T时，‖e(t)‖=0，则电磁同步电动机误差系统(3) 在有限时间T或大于等于T内可以实现混沌控制，即保证电磁同步电动机系统(2) 在T或大于等于T内达到电动机的预期控制设定值并维持平衡状态下正常运转，实现电动机的混沌控制。

2 自适应控制的实现

为确保PMSM能在有限时间内快速收敛到电动机的预期控制设定值，并维持平衡状态下系统(2) 的正常运转，最终抑制PMSM中的混沌现象，本文设计自适应控制器的数学模型如下所示：

$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-{{k}_{1}}sign({{e}_{1}})\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha } \\ & {{u}_{2}}=-{{k}_{2}}sign({{e}_{2}})\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha }-\hat{\gamma }{{e}_{3}}-a \\ & {{u}_{3}}=-{{k}_{3}}sign({{e}_{3}})\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha }-\hat{\sigma }({{e}_{2}}-{{e}_{3}})-({{i}_{q0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{2}}) \\ \end{align} \right.$

(5)

其中:k_i>0(i=1,2,3) ;0 ＜α＜1; $\tilde{\gamma }=\gamma -\hat{\gamma }$，$\tilde{\sigma }=\sigma -\hat{\sigma }$，$\hat{\gamma }$、$\hat{\sigma }$分别是估测γ、σ的随时间变化的数学函数，$\hat{\gamma }$、$\hat{\sigma }$分别是γ、σ的估计值。

γ、σ是电磁同步电动机中的可操作参量，故设计校正律的数学模型如下所示：

$\left\{ \begin{align} & \dot{\hat{\gamma }}={{e}_{2}}{{e}_{3}} \\ & \dot{\hat{\sigma }}={{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{e}_{3}}^{2} \\ \end{align} \right.$

(6)

证明 选取正定的李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}e_{1}^{2}+\frac{1}{2}e_{2}^{2}+\frac{1}{2}e_{3}^{2}+\frac{1}{2}{{\tilde{\gamma }}^{2}}+\frac{1}{2}{{\tilde{\sigma }}^{2}}$

(7)

对式(7) 求导可得：

$\dot{V}={{e}_{1}}{{\dot{e}}_{1}}+{{e}_{2}}{{\dot{e}}_{2}}+{{e}_{3}}{{\dot{e}}_{3}}-\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }}$

(8)

将式(3) 代入式(8) 可得：

$\begin{align} & \dot{V}={{e}_{1}}(-{{e}_{1}}+{{e}_{2}}{{e}_{3}}+{{w}_{0}}{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{3}}+{{u}_{1}}) \\ & \text{ }+{{e}_{2}}\left( -{{e}_{2}}-{{e}_{1}}{{e}_{3}}+\gamma {{e}_{3}}-{{w}_{0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{3}}+{{u}_{2}} \right) \\ & \text{ }+{{e}_{3}}\left( \sigma ({{e}_{2}}-{{e}_{3}})+{{u}_{3}} \right)-\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }} \\ \end{align}$

(9)

对式(9) 进行化简：

$\begin{align} & \dot{V}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-\sigma {{e}_{3}}^{2}+a{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{1}}{{e}_{3}}-{{i}_{d0}}{{e}_{2}}{{e}_{3}}+(\gamma +\sigma ){{e}_{2}}{{e}_{3}} \\ & \text{ }+{{e}_{1}}{{u}_{1}}+{{e}_{2}}{{u}_{2}}+{{e}_{3}}{{u}_{3}}\text{+}\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }} \\ \end{align}$

(10)

将自适应控制器(5) 代入式(10) 可得：

$\begin{align} & \dot{V}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-\sigma {{e}_{3}}^{2}+a{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{1}}{{e}_{3}}-{{i}_{d0}}{{e}_{2}}{{e}_{3}} \\ & \text{ }+(\gamma +\sigma ){{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }-a{{e}_{2}}-{{i}_{q0}}{{e}_{1}}{{e}_{3}}+{{i}_{d0}}{{e}_{2}}{{e}_{3}}-\left( \hat{\gamma }+\hat{\sigma } \right){{e}_{2}}{{e}_{3}}-\hat{\sigma }{{e}_{3}}^{2}-\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }} \\ \end{align}$

(11)

将$\tilde{\gamma }=\gamma -\hat{\gamma }$，$\tilde{\sigma }=\sigma -\hat{\sigma }$代入式(11) 可得:

$\begin{align} & \dot{V}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right){{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1}-\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }} \\ \end{align}$

(12)

将自适应校正律(6) 代入式(12) 可得：

$\begin{align} & \dot{V}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right){{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1}-\tilde{\gamma }{{e}_{2}}{{e}_{3}}-\tilde{\sigma }\left( {{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{e}_{3}}^{2} \right) \\ \end{align}$

(13)

对式(13) 进行化简：

$\dot{V}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1}\le 0$

(14)

由式(14) 可得：

$V(t)\le V(0)$

(15)

即:

$V(t)=\frac{1}{2}e_{1}^{2}+\frac{1}{2}e_{2}^{2}+\frac{1}{2}e_{3}^{2}+\frac{1}{2}{{\tilde{\gamma }}^{2}}+\frac{1}{2}{{\tilde{\sigma }}^{2}}\le V(0)$

(16)

由此，自适应控制器(5) 保证了解决方案$\left( e\left( t \right),\hat{\gamma }\left( t \right),\tilde{\sigma }\left( t \right) \right)$的全局有界，$\dot{V}\left( t \right)\le 0$，说明V(t)随着时间的变化是单调递减的，V(t)≥0，可知$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,V\left( t \right)$存在且有极限，误差系统(3) 带有自适应控制器输入的右边是全局有界的，可知$\dot{V}\left( t \right)$是关于时间t的一致连续函数，根据Barbalat引理可知，$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dot{V}\left( t \right)=0$，又$\dot{V}\left( t \right)$(t)≤0，故V·(t)具有 半负定性，由此可得：$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}_{1}}=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}_{2}}=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}_{3}}=0$。

设定初始状态，e₁(0) =e₂(0) =e₃(0) =0，式(16) 化简可得：

${{\tilde{\gamma }}^{2}}+{{\tilde{\sigma }}^{2}}\le 2V(0)$

(17)

设定下列式子：

${{V}_{1}}=\frac{1}{2}e_{1}^{2}+\frac{1}{2}e_{2}^{2}+\frac{1}{2}e_{3}^{2}$

(18)

由式(12) 可知：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}=-{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right){{e}_{2}}{{e}_{3}}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ \end{align}$

(19)

假定：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{11}}=-{{e}_{2}}^{2}-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right){{e}_{2}}{{e}_{3}}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & {{{\dot{V}}}_{11}}\le -{{e}_{2}}^{2}-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\frac{{{\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right)}^{2}}{{e}_{3}}^{2}}{4}+{{e}_{2}}^{2}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & =-\tilde{\sigma }{{e}_{3}}^{2}+\frac{{{\left( \tilde{\gamma }+\tilde{\sigma } \right)}^{2}}{{e}_{3}}^{2}}{4}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \le \left( \frac{{{{\tilde{\gamma }}}^{2}}+{{{\tilde{\sigma }}}^{2}}}{2}+\left| {\tilde{\sigma }} \right| \right){{e}_{3}}^{2}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \le \left( \left( V(0)+\sqrt{2V(0)} \right){{\left| {{e}_{3}} \right|}^{1-\alpha }}-\frac{{{k}_{3}}}{2} \right)\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ \end{align}$

(20)

由分析可知，当e₃满足条件

$\left| {{e}_{3}} \right|\le {{\left( \frac{{{k}_{3}}}{2\left( V(0)+\sqrt{2V(0)} \right)} \right)}^{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{1-\alpha }\;}}$

时，${{\dot{V}}_{11}}\le 0$。

根据Jensen引理可知：

$\begin{align} & {{(\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}+\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}+\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1})}^{\frac{1}{\alpha +1}}} \\ & \ge {{(\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{2}+\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{2}+\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{2})}^{\frac{1}{2}}}={{\left( 2{{V}_{1}} \right)}^{0.5}} \\ \end{align}$

(21)

由式(16) 化简式(18) ：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -{{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}-{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }\le -{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-\frac{{{k}_{3}}}{2}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }\le -{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1} \\ & \text{ }\le -\min \left\{ {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \right\}{{\left( \mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{2}+\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{2}+\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{2} \right)}^{\frac{\alpha +1}{2}}} \\ & \text{ }=-\min \left\{ {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \right\}{{\left( 2{{V}_{1}} \right)}^{\frac{\alpha +1}{2}}} \\ \end{align}$

(22)

根据引理可知，对于任意

$\begin{align} & ({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}},\hat{\gamma },\hat{\sigma },\tilde{\gamma },\tilde{\sigma })\in \Omega = \\ & \left\{ {{\left( 2{{V}_{1}} \right)}^{0.5}}\le {{\left( \frac{{{k}_{3}}}{2\left( V(0)+\sqrt{2V(0)} \right)} \right)}^{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{1-\alpha }\;}} \right\} \\ & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -\min \left\{ {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \right\}{{\left( 2{{V}_{1}} \right)}^{\frac{\alpha +1}{2}}} \\ \end{align}$

所以当初始条件满足：

$\begin{align} & ({{e}_{1}}(0),{{e}_{2}}(0),{{e}_{3}}(0),\hat{\gamma }(0),\hat{\sigma }(0),\tilde{\gamma }(0),\tilde{\sigma }(0))\in \Omega \\ & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -\min \left\{ {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \right\}{{\left( 2{{V}_{1}} \right)}^{\frac{\alpha +1}{2}}} \\ \end{align}$

根据引理3可知，对于t=0时的误差系统(3) 是局部一致有限时间稳定，进而再根据引理4可知，误差系统(3) 在控制输入(5) 在作用下，(e₁(0) ,e₂(0) ,e₃(0) )=(0,0,0) 时是全局有限时间自适应稳定。

3 仿真结果与分析

为验证本文所提出的控制方法的有效性，通过Matlab软件中的Simulink模块搭建PMSM模型如图 2所示，对该同步控制方法进行数值仿真。当设定γ=20,σ=5.46时，永磁同步电动机出现混沌现象，令初始条件为i_d(0) =5 A,i_q(0) =1 A, w(0) =-1 rad/s，PMSM的各状态变量随时间变化的状态如图 3所示。

此时，设定控制器中各参量值：k₁=1.8,k₂=3,k₃=5,α=0.5，校正率中参量初始值：$\hat{\gamma }\left( 0 \right)=\hat{\sigma }\left( 0 \right)=0$，在校正率的作用下，自适应控制器的控制输入的仿真如图 4所示。通过图 4可以知道，自适应控制器在起始值开始以不规则的递减形式运行一段时间后，快速地达到零点的平衡状态，没有明显的抖振现象，具有良好的动态品质。在本文所设计的同步控制方法下，PMSM的各状态变量与预期设定值之间形成的误差系统状态仿真如图 5~7所示，可以看出，误差系统状态在施加校正率与控制器的作用下，经过短时间的调整后，各误差状态均已达到零点状态，实现了零误差系统，PMSM的各状态变量值快速地与预期设定值匹成功配，所设计的校正率下的控制器的有效性得以证明。

4 鲁棒性

在一个闭环系统中，不可避免地会出现外部干扰，在外部干扰量的作用下，本文的同步控制方法同样可以使PMSM在有限时间内快速地达到电动机的预期控制设定值，并维持在平衡状态运转。考虑到外部干扰量，建立如下PMSM模型：

$\left\{ \begin{align} & {{{\dot{e}}}_{1}}=-{{e}_{1}}+{{e}_{2}}{{e}_{3}}+{{w}_{0}}{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{3}} \\ & \text{ }+\text{ }{{f}_{1}}\left( t \right)-{{k}_{1}}sign({{e}_{1}})\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha } \\ & {{{\dot{e}}}_{2}}=-{{e}_{2}}-{{e}_{1}}{{e}_{3}}+\gamma {{e}_{3}}-{{w}_{0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{3}} \\ & \text{ }+{{f}_{2}}\left( t \right)-{{k}_{2}}sign({{e}_{2}})\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha }-\hat{\gamma }{{e}_{3}} \\ & {{{\dot{e}}}_{3}}=\sigma ({{e}_{2}}-{{e}_{3}})+{{f}_{3}}\left( t \right)-{{k}_{3}}sign({{e}_{3}})\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha } \\ & \text{ }-\hat{\sigma }({{e}_{2}}-{{e}_{3}})-{{e}_{3}}-({{i}_{q0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{2}}) \\ \end{align} \right.$

(23)

外部扰动量为：

$\left\{ \begin{align} & {{f}_{1}}\left( t \right)=0.01sin(100{{i}_{d}}) \\ & {{f}_{2}}\left( t \right)=0.01sin(100{{i}_{q}}) \\ & {{f}_{3}}\left( t \right)=0.01sin(100w) \\ \end{align} \right.$

(24)

证明

$V=\frac{1}{2}e_{1}^{2}+\frac{1}{2}e_{2}^{2}+\frac{1}{2}e_{3}^{2}+\frac{1}{2}{{{\tilde{\gamma }}}^{2}}+\frac{1}{2}{{{\tilde{\sigma }}}^{2}}$

因为：

${{i}_{d}}{{f}_{1}}\le {{i}_{d}}^{2},{{i}_{q}}{{f}_{2}}\le {{i}_{q}}^{2},w{{f}_{3}}\le {{w}^{2}}$

所以：

$\begin{align} & \dot{V}={{e}_{1}}{{{\dot{e}}}_{1}}+{{e}_{2}}{{{\dot{e}}}_{2}}+{{e}_{3}}{{{\dot{e}}}_{3}}-\tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\dot{\hat{\sigma }} \\ & \text{ }={{e}_{1}}(-{{e}_{1}}+{{e}_{2}}{{e}_{3}}+{{w}_{0}}{{e}_{2}}+{{i}_{q0}}{{e}_{3}}+{{f}_{1}}-{{k}_{1}}sign({{e}_{1}})\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha })+ \\ & \text{ }{{e}_{2}}\left( -{{e}_{2}}-{{e}_{1}}{{e}_{3}}+\gamma {{e}_{3}}-{{w}_{0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{3}}+{{f}_{2}}- \right. \\ & \text{ }\left. {{k}_{2}}sign({{e}_{2}})\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha }-\hat{\gamma }{{e}_{3}}_{2} \right)+{{e}_{3}}\left( \sigma ({{e}_{2}}-{{e}_{3}})+{{f}_{3}}- \right. \\ & \left. {{k}_{3}}sign({{e}_{3}})\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha }-\hat{\sigma }({{e}_{2}}-{{e}_{3}})-{{e}_{3}}-({{i}_{q0}}{{e}_{1}}-{{i}_{d0}}{{e}_{2}}) \right)- \\ & \tilde{\gamma }\dot{\hat{\gamma }}-\tilde{\sigma }\hat{\sigma }\le -{{k}_{1}}\mathop{\left| {{e}_{1}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{2}}\mathop{\left| {{e}_{2}} \right|}^{\alpha +1}-{{k}_{3}}\mathop{\left| {{e}_{3}} \right|}^{\alpha +1}\le 0 \\ \end{align}$

同理可知，PMSM在受到温度、气压、白噪声等外部扰量的影响下，用本文所提出的控制方法仍可以有效地在平衡状态下稳定运转，实现电动机的快速同步控制，保证了PMSM具有良好的鲁棒性能。

5 结语

综上所述，自适应控制器配合校正率的使用有效地抑制了PMSM中产生混沌吸引子的现象，强有力地保证了PMSM短时间内达到电动机的预期控制设定值，并在该设定值状态下稳定正常运转，对未知参数具有良好的动态响应，对外部干扰量引起的大幅度抖振具有良好的鲁棒特性，最终实现带有不确定参数与外部扰动量的PMSM同步控制的平衡状态。