0 引言

决策是人们为了达到某种目的或者完成某种任务而进行的有意识、有选择的行动,其本质是依据决策者的价值和偏好而对一组方案进行判别和优劣选择的过程^[1]。

作为决策的主体,人类因为其自身思维的局限性和知识能力的不全面产生的不确定性,同时由于事物本身的复杂性和模糊性,导致决策者在决策过程中难以用精确数描述决策信息,而是以不确定性的形式表示。Zadeh^[2]在深入分析模糊性和精确性相互对立的基础上,于1965年提出了模糊集理论。模糊集理论使得数学理论与应用的研究范围从精确问题拓展到含有模糊现象的领域,是解决复杂系统问题的有力工具之一。模糊集理论的核心思想是把取值为1和0的特征函数扩展到可在闭区间[0,1]中取任何值的隶属函数。基于模糊集的决策理论与方法已经获得了众多的研究成果,并广泛地应用于各个领域^[3-5]。之后,人们提出了模糊集的几种广义形式,包括：区间模糊集^[6]、直觉模糊集^[7]、区间直觉模糊集^[8]等。然而在决策过程中,决策者们经常表现出犹豫和优柔寡断,而且各自不能说服对方,导致最终的决策结果难以达成一致。于是,Torra^[9]提出了模糊集的另一种广义形式,即犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set,HFS),其中的每个基本单元称为犹豫模糊元,表示所有决策者给出的决策信息的集合。

现有的关于处理多属性决策问题的方法主要分为两大类,即完全理性的多属性决策方法和有限理性的多属性决策方法。完全理性的多属性决策方法大都建立在经典期望效用理论之上,主要包括：基于距离测度的方法、信息集成算子和序关系模型^[10]。

另一类的多属性决策方法就是考虑到决策者的行为是有限理性的,这使得决策过程更加符合现实情况,这类方法主要是基于前景理论、后悔理论进行研究。针对决策者给出单一与组合指标期望情形的多指标决策问题,文献[11]建立了一种基于前景理论的决策方法,并通过人才招聘选择问题分析了该方法的可行性；Liu等^[12]针对区间概率条件下属性信息为不确定语言信息的风险决策问题,基于前景理论提出了一种多属性决策方法；在区间直觉模糊环境下,高建伟等^[13]利用前景理论构建前景决策矩阵,建立以综合前景值最大化为目标函数的最优化模型求解属性权重完全未知和部分已知的多准则决策问题；文献[14]提出了基于前景理论的三参数区间灰数型群体灰靶决策模型。但是运用前景理论需要事先给出决策参考点的信息,同时计算公式中涉及较多的不确定参数,而不同的参数将会对决策结果产生不同的影响。因此,在考虑决策者心理行为的情形下,需要探究新的多属性决策方法,而由Bell^[15]和Loomes等^[16]提出的后悔理论也是一种考虑决策者心理行为的决策理论,其与前景理论相比具有计算简单、不需要给出决策参考点等优点,因此在应用上具有一定的优势。针对风险型多属性决策问题,张晓等^[17-18]基于后悔理论分别建立了决策方案相对于理想点和方案两两比较的感知效用矩阵,并依据每个方案的综合感知效用进行优劣排序；张世涛等^[19]运用后悔理论研究了方案对多维偏好信息下的模糊多属性群决策问题；针对属性信息为拓展的灰数,Zhou等^[20]将后悔理论与逼近于理想解排序法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution,TOPSIS)相结合,提出一种灰数随机的多属性决策模型；郭三党等^[21]建立了一种基于后悔理论的多目标灰靶决策方法，用于处理属性值为区间灰数、权重信息不确定的决策问题。

针对突发事件发展演变存在多种可能的应急响应风险决策问题,袁媛等^[22]提出一种考虑后悔规避的突发事件应急响应的风险决策方法,但是该决策问题的决策信息是由一个决策者提供的,而在实际的决策中,由于客观世界复杂性和决策者自身能力的限制,可能会导致单个决策者提供的决策信息主观性太强,从而使得决策结果不一定客观合理,因此越来越多的决策问题都需要一群决策者同时进行决策,并提供各自的决策信息,而运用犹豫模糊集可以将某一方案在某一属性下的决策信息全面准确地表述出来,因此本文考虑犹豫模糊环境下的多属性群决策问题。文献[23]基于前景理论构建了一种新的犹豫模糊多属性决策方法,但是该方法存在两个不足之处：一方面,在运用前景理论的过程中,包含的风险态度系数和损失规避系数等参数的数目较多,这容易导致在决策过程中出现如何选择合适的参数进行决策、选取什么样的参数使得决策更为合理可靠等问题；另一方面,文献[23]中的方法直接给出了每种自然状态发生的概率,但是在复杂环境下是很难实现的,通常情况下决策者只能获取与自然状态发生概率相关的信息,而证据理论是解决这类问题的有力工具。因此,为了全面考虑每个决策者的属性信息,同时考虑到决策者选择方案时具有后悔规避性以及各自然状态发生概率的不确定性,设计一种犹豫模糊环境下基于后悔理论和证据理论的多属性群决策方法具有一定的必要性和研究意义。然而,相关研究还较少。鉴于此,本文将后悔理论和证据理论相结合,提出一种犹豫模糊多属性群决策方法。该方法运用证据理论计算各个自然状态发生的概率,利用后悔理论得到各自然状态下的感知效用矩阵,从而通过加权平均确定综合感知效用矩阵,进而获得各方案的综合感知效用,并对各方案进行优劣排序。最后通过实例验证提出的群决策方法是可行的和有效的。

1 相关知识 1.1 犹豫模糊集的相关概念

定义1^[9]  定义在X={x₁,x₂,…,x_n}上的犹豫模糊集(HFS)为A={〈x_i,h_A(x_i)〉|x_i∈X},其中h_A(x_i)表示x_i属于集合A的几种隶属度,其是由[0,1]上不同的实数构成的集合。称h=h_A(x)={γ|γ∈h_A(x)}为一个犹豫模糊元(Hesitant Fuzzy Element,HFE),犹豫模糊元h的补为h^c={1-γ|γ∈h}。

对于两个任意的HFE,给出如下方法判定它们之间的大小关系。

定义2^[24]  设h为一个HFE,则h的得分函数定义为$s(h)=\frac{1}{\#h}\sum\limits_{\gamma \in h}{\gamma }$,其中#h表示h中元素的个数。令h₁和h₂为两个HFE,如果s(h₁)≥s(h₂),则有h₁≥h₂。

1.2 后悔理论

在现代越来越复杂的环境下,决策者在决策过程中不仅考虑选择方案后获得的结果,还考虑假设选择其他方案后可能得到的决策结果。根据后悔理论可知,决策者的感知效用函数由当前决策结果的效用函数和与其他决策结果比较的后悔-欣喜函数两部分组成。在Bell^[15]和Loomes等^[16]将后悔理论应用于两个方案的选择问题之后,文献[25]将后悔理论拓展应用于若干个备选方案的选择问题中,并且得到了广泛的应用。

假设Y={Y₁,Y₂,…,Y_m}为一组备选方案,y_i为选择方案Y_i所获得的结果,则决策者对方案Y_i的感知效用为：

${{u}_{i}}=v({{y}_{i}})+R(v({{y}_{i}})-v({{y}^{*}}))$

(1)

其中：y^*=max{y₁,y₂,…,y_m}；v(y_i)表示决策者能从方案Y_i的结果y_i中获得的效用；R(v(y_i)-v(y^*))≤0表示决策者选择方案Y_i而放弃方案Y^*的后悔值。这里函数R(·)是一个单调递增的凹函数^[15],满足R′(·)>0,R″(·)＜0且R(0) =0。

1.3 证据理论

作为一种不确定性的推理方法,证据理论能够为处理不确定信息问题提供一种非线性决策信息的融合方法^[26]。假设Θ={θ₁,θ₂,…,θ_l}为某一决策问题的所有可能结果或可能的状态,集合Θ的所有子集构成了幂集2^Θ,则2^Θ中共有2^l个元素。

定义3 ^[27] 令Θ={θ₁,θ₂,…,θ_l}为某一决策问题的所有可能的状态集合,若存在映射f:2^Θ→[0,1],使得f(φ)=0,$\sum\limits_{A\subseteq \Theta }{f(A)}=1$,则称f为定义在集合Θ上的基本信度分配函数。

注意到,当基本信度分配函数f仅仅定义在单点子集上时,则其将转化成概率形式,即把子集上的基本信度分配函数赋值在单个元素上。已有很多学者提出了不同的将基本信度分配函数转化为概率的方法,其中文献[28]基于平均分配提出了如下Pignistic概率转换方法：

$p(\theta )=\sum\limits_{\theta \in B}{\frac{f(\theta )}{|B|}}$

(2)

其中：θ是集合Θ={θ₁,θ₂,…,θ_l}中的元素,B是2^Θ中包含元素θ的子集。

2 基于后悔理论和证据理论多属性群决策模型 2.1 犹豫模糊多属性群决策问题描述

考虑属性值为犹豫模糊信息的多属性群决策问题。为方便起见,记M={1,2,…,m},N={1,2,…,n},T={1,2,…,l}。假设现有备选方案集Y={Y_i|i∈M}; C={C_j|j∈N}为属性指标集,属性权重向量w=(w₁,w₂,…,w_n)^T的信息完全未知,w_j为属性指标C_j的权重,且满足$\sum\limits_{j=1}^{n}{{{w}_{j}}}$=1,w_j≥0(j∈N)。 自然状态集为Θ={θ_t|t∈T},p_t为第t种自然状态θ_t发生的概率,满足$\sum\limits_{t=1}^{l}{{{p}_{t}}}$=1且p_t≥0(t∈T)。在复杂的犹豫模糊多属性决策环境下,每种自然状态发生的概率信息完全未知,因此可以运用证据理论中的Pignistic概率转换方法得到。

在决策过程中,决策者们需要给出在自然状态θ_t下每个方案Y_i相对于属性C_j的偏好信息,则所有决策者提供的偏好信息可构成一个犹豫模糊元h_ij^t={γ_ij^t|γ_ij^t∈h_ij^t},从而构建自然状态θ_t下的犹豫模糊决策矩阵H^t=(h_ij^t)_m×n(t∈T)。

2.2 设计方案感知效用值的计算方法

本节主要基于给出的犹豫模糊决策矩阵H^t=(h_ij^t)_m×n(t=1,2,…,l)计算HFE h_ij^t的感知效用u_ij^t：

$u_{ij}^{t}=v_{ij}^{t}+R(v_{ij}^{t}-v_{j}^{t*})$

(3)

即感知效用u_ij^t由两部分组成,其中v_ij^t表示属性信息h_ij^t的效用值,R(v_ij^t-v_j^t*)表示在自然状态θ_t下方案Y_i针对属性C_j相对于理想点的后悔值。

为了计算犹豫模糊信息h_ij^t的感知效用值,首先需要构建决策理想点。令h_t^*=(h₁^t*,h₂^t*,…,h_n^t*)表示自然状态θ_t下的理想点,其中h_j^t*=max{h_ij^t*|i∈M},j∈N,t∈T。

其次,计算犹豫模糊信息h_ij^t的效用值v_ij^t。事实上,同一属性下属性值的数量越多,就越接近正态分布,采取正态分布分析的正确性便越高。由于总体属性信息方差未知，因此接下来运用t-分布计算属性值发生的概率,进而得到效用值,即：首先依据犹豫模糊元、直觉模糊数和区间模糊数三者间的关系,将决策者们提供的某一属性下的一列犹豫模糊信息转化为一列区间模糊信息；然后将该列区间模糊数分拆成两个实数序列,并计算这两个实数序列的均值和方差；考虑到这两个实数序列的数字特征,运用t-分布计算公式确定属性信息值在某一区间发生的概率,也就是犹豫模糊信息发生的概率；进一步通过标准化方法和简单算术平均计算出犹豫模糊信息的效用值。运用t-分布计算犹豫模糊信息效用值的具体求解过程如下。

假设h_ij^t={γ_ij^t|γ_ij^t∈h_ij^t},因为HFE的包络是一个直觉模糊数,则可以将HFE h_ij^t转变为直觉模糊数α_ij^t=〈a_ij^t,1-b_ij^t〉,其中：

$\left\{ \begin{align} & a_{ij}^{t}=\min \{\gamma _{ij}^{t}|\gamma _{ij}^{t}\in h_{ij}^{t}\} \\ & b_{ij}^{t}=\max \{\gamma _{ij}^{t}|\gamma _{ij}^{t}\in h_{ij}^{t}\} \\ \end{align} \right.$

(4)

同时,根据直觉模糊数与区间模糊数的相互关系,可将直觉模糊数α_ij^t=〈a_ij^t,1-b_ij^t〉变为区间模糊数g_ij^t=[a_ij^t,b_ij^t],从而将自然状态θ_t下的犹豫模糊决策矩阵H^t=(h_ij^t)_m×n转化为区间模糊决策矩阵G^t=(g_ij^t)_m×n。

对于区间模糊决策信息g_ij^t,由于区间数来源于随机采样的结果,且实际的属性值在区间属性[a_ij^t,b_ij^t]上进行随机取值,因此在假定区间属性[a_ij^t,b_ij^t]固定时,属性C_j下的属性信息分布符合正态分布,于是采用正态分布对属性C_j下区间模糊数g_ij^t=[a_ij^t,b_ij^t]的概率进行分析具有较高的准确率,也就是得到了属性C_j下犹豫模糊信息h_ij^t的概率,进而结合HFE的得分函数获取犹豫模糊信息h_ij^t的效用值。

针对上述获得的在自然状态θ_t下的区间模糊决策矩阵G^t=(g_ij^t)_m×n,同一属性C_j下所有方案的区间信息构成一个区间值序列{g_ij^t=[a_ij^t,b_ij^t]|i∈M},然后将该区间值序列分成左右端点值序列a_j^t=(a_1j^t,a_2j^t,…,a_mj^t),b_j^t=(b_1j^t,b_2j^t,…,b_mj^t)^[23],那么这两个组数的均值和方差分别计算如下：

$\left\{ \begin{align} & \bar{a}_{j}^{t}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{a_{ij}^{t}} \\ & {{(\sigma _{j}^{t})}^{2}}=\frac{1}{m-1}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{(a_{ij}^{t}-\bar{a}_{j}^{t})}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

(5)

$\left\{ \begin{align} & \bar{b}_{j}^{t}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{b_{ij}^{t}} \\ & {{(\delta _{j}^{t})}^{2}}=\frac{1}{m-1}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{(b_{ij}^{t}-\bar{b}_{j}^{t})}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

(6)

由于t-分布估计可以计算总体属性信息方差未知的问题,因此,基于式(5) 和(6) ,本文运用t-分布计算处于自然状态θ_t下的备选方案Y_i相对于属性C_j的属性值概率P_ij^t,具体计算公式^[23]为：

$P_{ij}^{t}=P(x\le b_{ij}^{t})-P(x\le a_{ij}^{t})$

(7)

其中：当a_ij^t＜a_j^t时,P(x≤a_ij^t)=$P\left( \frac{\bar{a}_{j}^{t}-a_{ij}^{t}}{{\sigma _{j}^{t}}/{\sqrt{m}}\;} \right)$；当a_ij^t>a_j^t时,P(x≤a_ij^t)=$P\left( \frac{a_{ij}^{t}-\bar{a}_{j}^{t}}{{\sigma _{j}^{t}}/{\sqrt{m}}\;} \right)$；当b_ij^t＜a_j^t时,P(x≤b_ij^t)=$P\left( \frac{\bar{b}_{j}^{t}-b_{ij}^{t}}{{\delta _{j}^{t}}/{\sqrt{m}}\;} \right)$；当b_ij^t>a_j^t时,P(x≤b_ij^t)=$P\left( \frac{b_{ij}^{t}-\bar{b}_{j}^{t}}{{\delta _{j}^{t}}/{\sqrt{m}}\;} \right)$。

考虑到随机变量的特征,令

$\bar{P}_{ij}^{t}=P_{ij}^{t}/\sum\limits_{i=1}^{m}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{ij}^{t}}\ ,(i\in M,j\in N,t\in T)$

(8)

于是得到属性值h_ij^t的标准化概率,满足$\sum\limits_{i=1}^{m}{\bar{P}_{ij}^{t}}=1$且_ij^t≥0(i∈M)。因此,犹豫模糊属性值信息h_ij^t的效用值v_ij^t可表示为：

$v_{ij}^{t}=\bar{P}_{ij}^{t}\cdot s(h_{ij}^{t})$

(9)

接下来,以决策理想点h_t^*=(h₁^t*,h₂^t*,…,h_n^t*)为参考点,计算自然状态θ_t下方案Y_i关于属性C_j相对于理想点的后悔值R(v_ij^t-v_j^t*),依据文献[16]可知,R(v_ij^t-v_j^t*)可根据如下公式计算：

$R(v_{ij}^{t}-v_{j}^{t*})=1-\exp \left( \lambda (v_{ij}^{t}-v_{j}^{t*}) \right)$

(10)

其中：λ>0表示决策者的后悔规避系数,且当λ越大时,意味着决策者的后悔规避程度越大；v_j^t*=P_j^t*·s(h_j^t*)表示理想点中属性值h_j^t*的效用值。在式(10) 中,由于v_ij^t-v_j^t*≤0,所以R(v_ij^t-v_j^t*)≤0,那么R(v_ij^t-v_j^t*)表示为后悔值。

综上所述,依据式(3) 、(9) 和(10) 可计算HFE h_ij^t的感知效用u_ij^t,并构造自然状态θ_t下的感知效用矩阵U^t=(u_ij^t)_m×n。

2.3 群决策模型的建立

针对现实中的多属性群决策问题,由于客观世界和决策者们自身的主观影响,使得决策者无法事先获得每个自然状态发生的概率和各属性的权重大小。因此,本节将首先运用证据理论计算群决策问题中各自然状态发生的概率,然后基于后悔理论和最优化模型构建犹豫模糊多属性群决策方法,最后选择综合感知效用最优的备选方案。

基于后悔理论和证据理论,构建犹豫模糊多属性群决策方法,具体步骤如下：

步骤1 群决策矩阵标准化。

依据属性C_j的类型,判定对属性信息h_ij^t是否需要进行标准化处理。若属性C_j为效益型,则不需要进行标准化,此时$\tilde{h}_{ij}^{t}$=h_ij^t；若属性C_j为成本型,则令$\tilde{h}_{ij}^{t}$=(h_ij^t)^c。于是构造出标准化的犹豫模糊决策矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{H}}}}^{t}}$=($\tilde{h}_{ij}^{t}$)_m×n(t∈T)。

步骤2 计算得分函数矩阵s(${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{H}}}}^{t}}$)(t∈T)。

根据HFE的得分函数定义,将所有的犹豫模糊决策矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{H}}}}^{t}}$=(${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{H}}}}^{t}}$)_m×n转化为得分函数矩阵s(${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{H}}}}^{t}}$)(t∈T)。

步骤3 运用证据理论计算自然状态θ_t发生的概率p_t。

依据证据理论中的Pignistic概率转换方法,计算每个自然状态θ_t发生概率p_t的计算公式如下：

${{p}_{t}}=\sum\limits_{{{\theta }_{t}}\in B}{\frac{f({{\theta }_{t}})}{|B|}},t\in T$

(11)

其中：θ_t是集合Θ={θ_t|t∈T}中的元素,B是幂集2^Θ中包含自然状态θ_t的子集。

步骤4 建立综合感知效用矩阵U=(u_ij)_m×n。

由2.2节可知,依据式(3) 、(9) 和(10) 建立自然状态θ_t下的感知效用矩阵U^t=(u_ij^t)_m×n。于是结合步骤3得到的自然状态发生概率向量P=(p₁,p₂,…,p_l)^T,得到综合感知效用矩阵U=(u_ij)_m×n,其中：

${{u}_{ij}}=\sum\limits_{t=1}^{l}{{{p}_{t}}\cdot u_{ij}^{t}};i\in M,j\in N$

(12)

步骤5 基于最优化模型确定属性权重向量。

基于得到的综合感知效用矩阵U=(u_ij)_m×n,则备选方案Y_i的综合感知效用为${{u}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{w}_{j}}{{u}_{ij}}}$。由群决策理论可知,每个备选方案的感知效用越大越好,因此,将各方案的综合感知效用值最大作为目标函数建立确定属性权重的优化模型：

$\left( \mathbf{M}-\mathbf{1} \right):\max J=\sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{w}_{j}}{{u}_{ij}}}}$

(13)

s.t. $\sum\limits_{j=1}^{n}{{{w}_{j}}}$=1; w_j≥0,j∈N

利用Matlab或Lingo等软件求解模型(M- 1) ,得到属性权重向量$\mathit{\boldsymbol{\tilde{w}}}={{({{\tilde{w}}_{1}},{{\tilde{w}}_{2}},\cdots ,{{\tilde{w}}_{n}})}^{\rm{T}}}$。

步骤6 计算备选方案Y_i的综合感知效用u_i(i∈M),其中：

${{u}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{{\tilde{w}}}_{j}}{{u}_{ij}}};i\in M$

(14)

步骤7 依据各备选方案的综合感知效用值对各方案进行优劣排序。若综合感知效用值越大,则对应的决策方案Y_i越优。

3 案例分析

某一国际投资银行准备将一笔资金用于市场投资,假设现有五个备选公司可以选择,分别为：食品公司Y₁,建筑公司Y₂,软件公司Y₃,汽车公司Y₄和旅游公司Y₅。为了客观科学地进行决策,该投资银行的决策者邀请相关专家分别在收益率C₁、发展潜力C₂、投资安全系数C₃以及产品替代性C₄这四个属性指标下对上述五个公司进行综合评估,并且四种属性C_j(j=1,2,3,4) 的权重向量w=(w₁,w₂,w₃,w₄)^T完全未知。在投资期间,未来的市场环境存在三种可能的自然状态：θ₁(好)、θ₂(中)、θ₃(差),且这三种自然状态发生的概率分别为p₁、p₂、p₃。在复杂的多属性决策环境下,每种自然状态发生的概率未知,但是依据专家们的意见可以得到自然状态集Θ={θ₁,θ₂,θ₃}的基本信度分配为： f(B₁)=0.2,f(B₂)=0.4,f(B₃)=0.25,f(B₄)=0.15,其中B₁={θ₁},B₂={θ₁,θ₂},B₃={θ₂,θ₃},B₄={θ₁,θ₂,θ₃},且2^Θ的其他子集的基本信度分配均为0。专家们依据自己所掌握的信息,在不同自然状态下以HFE的形式给出了每家公司在属性指标下的评估值,并构建了表 1~3的犹豫模糊决策矩阵H^t=(h_ij^t)_5×4(t=1,2,3) ^[23]。

为了解决该多属性群决策问题,下面利用上文构建的决策方法选择出在所有自然状态下综合表现最优的公司进行投资,具体过程如下:

步骤1 因为C_j(j=1,2,3,4) 均为效益型属性,因此不需要对H^t=(h_ij^t)_5×4(t=1,2,3) 进行标准化。

步骤2 依据定义2,计算得到三种市场环境下的犹豫模糊得分函数矩阵s(H^t)(t=1,2,3) ：

$s({\mathit{\boldsymbol{H}}^1}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.50}&{0.40}&{0.70}&{0.50}\\ {0.55}&{0.55}&{0.80}&{0.50}\\ {0.55}&{0.50}&{0.85}&{0.70}\\ {0.50}&{0.70}&{0.65}&{0.90}\\ {0.75}&{0.70}&{0.80}&{0.80} \end{array}} \right)$

$s({\mathit{\boldsymbol{H}}^2}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.30}&{0.40}&{0.70}&{0.35}\\ {0.60}&{0.80}&{0.55}&{0.60}\\ {0.70}&{0.45}&{0.85}&{0.75}\\ {0.50}&{0.60}&{0.80}&{0.70}\\ {0.75}&{0.70}&{0.80}&{0.95} \end{array}} \right)$

$s({\mathit{\boldsymbol{H}}^3}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.60}&{0.20}&{0.60}&{0.20}\\ {0.40}&{0.55}&{0.50}&{0.80}\\ {0.20}&{0.35}&{0.95}&{0.60}\\ {0.40}&{0.60}&{0.70}&{0.80}\\ {0.80}&{0.70}&{0.90}&{0.85} \end{array}} \right)$

步骤3 运用式(11) 得到三种自然状态发生的概率分别为p₁=0.450,p₂=0.375,p₃=0.175。

步骤4 令决策者的后悔规避系数λ=0.3,基于得分函数矩阵s(H^t)(t=1,2,3) 以及式(3) 、(9) 和(10) ,计算得到三种自然状态下的感知效用矩阵U^t=(u_ij^t)_5×4(t=1,2,3) 如下：

${\mathit{\boldsymbol{U}}^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.2391}&{ - 0.3072}&{0.2231}&{ - 0.2063}\\ {0.0011}&{ - 0.1007}&{0.3707}&{ - 0.0950}\\ {0.0254}&{0.0708}&{0.4861}&{0.1088}\\ { - 0.3184}&{0.3315}&{0.0455}&{0.4117}\\ {0.2106}&{0.2477}&{0.3997}&{0.2918} \end{array}} \right)$

${\mathit{\boldsymbol{U}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.3005}&{ - 0.2484}&{0.2354}&{ - 0.1994}\\ { - 0.0249}&{ - 0.0645}&{0.3449}&{ - 0.0467}\\ {0.0124}&{0.1225}&{0.4200}&{0.2154}\\ { - 0.3966}&{0.4002}&{0.1321}&{0.3226}\\ {0.1994}&{0.2978}&{0.3457}&{0.3008} \end{array}} \right)$

${\mathit{\boldsymbol{U}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.2061}&{ - 0.2858}&{0.1849}&{ - 0.1949}\\ {0.0509}&{0.0445}&{0.3228}&{ - 0.1005}\\ {0.1032}&{ - 0.0112}&{0.4678}&{0.1254}\\ { - 0.3311}&{0.2241}&{ - 0.0221}&{0.4066}\\ {0.1666}&{0.3050}&{0.3799}&{0.2888} \end{array}} \right)$

再运用式(12) 得到综合感知效用矩阵U=(u_ij)_5×4：

$\mathit{\boldsymbol{U}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.2563}&{ - 0.0951}&{0.2210}&{ - 0.2017}\\ {0.0001}&{ - 0.0617}&{0.3526}&{ - 0.0779}\\ {0.0341}&{0.0758}&{0.4581}&{0.1517}\\ { - 0.3499}&{0.3385}&{0.0661}&{0.3774}\\ {0.1987}&{0.2765}&{0.3760}&{0.2947} \end{array}} \right)$

步骤5 基于综合感知效用矩阵U=(u_ij)_5×4,运用最优化模型(M-1) 计算得到属性权重为：${\tilde w_1} = 0.3869,{\tilde w_2} = 0.2493,{\tilde w_3} = 0.2207,{\tilde w_4} = 0.1431$。

步骤6 依据式(14) ,计算各备选方案Y_i(i=1,2,3,4,5) 的综合感知效用分别为：u₁=-0.103 0,u₂=0.051 3,u₃=0.154 9,u₄=0.017 6,u₅=0.271 0。

步骤7 因为u₅>u₃>u₂>u₄>u₁,则五家公司的优劣顺序为Y₅$ \succ $Y₃$ \succ $Y₂$ \succ $Y₄$ \succ $Y₁(“$ \succ $”表示前者优于后者),因此该投资银行应该选择旅游公司Y₅进行投资。

针对上述群决策问题,接下来将运用文献[10]中提出的基于前景理论的犹豫模糊多属性决策方法进行简要求解,并分析本文方法的优势。

文献[10]提出的决策方法,首先计算各个自然状态下所有方案在所有属性下发生的概率权重函数；其次依据决策者给定的决策参考点,计算出各种自然状态下每家公司在所有属性下的前景函数值；然后运用题目中给定的属性权重向量,依据加权算术平均的原则,计算各家公司的综合前景价值。由于版面的限制,下面仅以求解食品公司Y₁的综合前景价值v₁为例说明具体的决策过程。

首先,将各自然状态的概率转化为概率权重。由上述步骤3可知三种自然状态发生的概率分别为p₁=0.450,p₂=0.375,p₃=0.175,于是依据文献[10]中式(4) 可得概率权重函数值为w₁¹=w₂¹=w₃¹=w₄¹=0.413 5,w₁²=w₂²=w₃²=w₄²=0.380 8,w₁³=w₂³=w₃³=w₄³=0.280 2。

然后计算前景价值函数。依据定义2中HFE的大小比较方法,确定同一属性下最大的HFE为每个自然状态下该属性的决策参考点,再运用文献[10]中的式(1) 和式(5) 计算出食品公司Y₁在每个自然状态各个属性下的前景价值分别为：v₁₁¹=-0.215 6,v₁₂¹=0.384 7,v₁₃¹=0.413 1,v₁₄¹=-0.139 4,v₁₁²=0.309 7,v₁₂²=-0.121 6,v₁₃²=0.151 2,v₁₄²=0.260 5,v₁₁³=0.275 5,v₁₂³=0.371 3,v₁₃³=-0.112 8,v₁₄³=0.187 5。进一步,由于属性权重未知,则采用上述步骤5得到的结果作为属性权重,即ω₁=0.386 9,ω₂=0.249 3,ω₃=0.220 7,ω₄=0.143 1,因此食品公司Y₁的综合前景价值为：

${v_1} = \sum\limits_{j = 1}^4 {{\omega _j}\sum\limits_{t = 1}^3 {w_j^tv_{1j}^t} } = 0.1519$

类似可计算得到v₂=0.204 4,v₃=0.315 5,v₄=0.271 7,v₅=0.399 6；最后依据综合前景价值的大小对决策方案进行优劣排序,由于v₅>v₃>v₄>v₂>v₁,则有这五个公司的优劣排序为Y₅$ \succ $Y₃$ \succ $Y₄$ \succ $Y₂$ \succ $Y₁。于是该投资银行应该选择投资旅游公司Y₅。

文献[23]将前景理论应用于犹豫模糊多属性群决策问题中,提出了一种基于新的决策参考点和前景理论的多属性群决策方法。在处理上述问题过程中,对风险态度系数和损失规避系数进行参数选择后计算得到对应的价值函数矩阵,进而获得前景价值综合矩阵,并运用方差法计算五家公司综合前景价值为v′₁=-0.208 8,v′₂=0.033 5,v′₃=0.150 2,v′₄=0.189 0,v′₅=0.336 2,那么可以得到这五个公司的综合优劣顺序为Y₅$ \succ $Y₄$ \succ $Y₃$ \succ $Y₂$ \succ $Y₁,因此该投资银行应该选择投资旅游公司Y₅。

由上述分析可知,虽然运用本文的群决策方法得到的公司排序结果与应用文献[10]和文献[23]中的决策方法得到的公司排序结果稍有不同,但是最合适进行投资的公司均为旅游公司Y₅,这说明了本文提出的群决策方法是可行的。同时,本文的决策方法存在以下优点：

1) 本文提出的群决策方法中属性信息效用值是依据决策者提供的决策信息和t-分布估计方法计算得出的,与决策者给定决策参考点相比,本文算法更加客观合理。

2) 在群决策计算过程中,应用后悔理论时,不需要计算或要求决策者给定决策参考点。文献[23]中的决策方法是基于前景理论得到的,而在建立前景价值综合矩阵的过程中需要考虑如何选取风险态度系数和损失规避系数等参数,这些参数主要是由决策者给定的,因此将使得决策结果带有较多的主观性,导致不能得到客观可靠的决策结果。但是后悔理论涉及的计算公式中参数个数比较少,使得计算时的不确定性减小,从而得到的决策结果更为合理可靠。

3) 本文的决策方法运用证据理论处理自然状态发生的概率未知的不确定状况,使得决策结果更能反映实际情况。

4 结语

近些年来,随着后悔理论和证据理论的发展,使得它们得到越来越多学者的关注和研究。本文设计了一种犹豫模糊环境下基于后悔理论和证据理论的多属性群决策方法。该群决策方法首先基于证据理论中的Pignistic概率转换方法计算每种自然状态发生的概率；然后运用转换后的区间模糊矩阵、t-分布估计以及得分函数矩阵确定属性信息的效用值,进而依据后悔理论得到各自然状态下的感知效用矩阵；通过简单加权平均计算综合感知效用矩阵,并以所有方案的综合感知效用最大化为目标函数建立最优化模型确定属性权重,从而得到每个备选方案的综合感知效用值,进而对决策方案进行优劣排序。通过投资银行选择公司进行投资的实例验证了本文提出的群决策方法的可行性和有效性。在后续研究中,针对评价信息和属性权重为犹豫模糊语言信息的群决策问题以及后悔理论中后悔规避系数的选择方法,可以作进一步考虑和研究。