0 引言

认知无线电技术与多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技术结合的网络称之为认知MIMO网络，其借助MIMO的空域并行传输优势，能够较大幅度提升系统的容量。面对即将到来的5G时代，频谱稀缺依然是一个严峻的问题，而认知MIMO兼具认知无线电的智能灵活性和MIMO的空间传输优势，能够在提升频谱利用率的同时提高系统的容量，对于未来移动通信具有广泛的前景^[1]。1G到4G均采用正交多址接入技术，5G时代，非正交多址接入技术日益受到产业界的关注，不仅能进一步增强频谱效率，也是逼近多用户信道容量界的有效手段^[2]。相对于认知MIMO的其他模式，underlay频谱共享以其较高的频谱效率和可实现性成为了一种更具吸引力的共享模式^[3]，在该模式中，主用户和次用户同时工作，它们占用相同的频段完成自身通信，但认知用户(次用户)对授权用户的有害干扰不能影响授权用户的正常通信；否则，认知用户不能工作^[4]。

非正交多址技术(Non-Orthogonal Multiple Access, NOMA)是一种在发送端主动引入干扰，在接收端采用串行干扰消除手段进行信号接收的新型多址接入技术^[5]，自这项技术被提出至今，越来越多的研究者将NOMA与MIMO结合起来研究，还有一小部分研究者将NOMA与认知无线电联合起来进行研究，主要目的都是提升系统的频谱利用率及提高系统容量，但目前该类研究相对较少。文献[6]中，采用求解一元二次方程的最大值方式求得最优解，这种算法简单且所得解是全局最优解，但此种方式仅能求解只有两个次用户的情景，不具有普适性；文献[7]仅研究了众多次用户中符合要求的两个用户，且该文献未对发送信号进行预编码设计，这样不能很好地进行干扰控制；文献[8]研究了下行链路的NOMA多用户波束成形系统，其将多个用户分成若干簇，每簇中仅有两个用户，并要求基站拥有的发射天线数与簇的数目相同，这对基站天线数不满足要求的情况不适合。本文根据文献[8]重新设计次用户簇的数目，根据次用户基站的有效天线数目来决定分簇的数目，即：若次用户基站有两根有效发射天线，则将次用户分成两个簇。由文献[9]可知，功率因素对信道质量差的用户的影响远大于信道质量好的用户，因此，在进行功率分配时，给信道状态差的用户分配较多的功率，信道状态好的用户分配较少的功率，这种功率分配相比于传统的注水功率分配方式更有利于系统性能提升。

1 系统模型

考虑一个多用户的下行链路通信网络，认知系统采用underlay频谱共享模式，此时，需要考虑次用户系统对主用户系统的干扰约束，次用户接收来自次用户基站的信号，信号包括有用信号和干扰信号，主用户接收来自次用户基站的干扰信号，系统模型如图 1所示。假设次用户发射天线为N_t根，次用户数目为N个，为便于分析，设次用户分成N_t个簇，且每个簇中有K个次用户，若每个簇中K是不变的，则有N_tK=N，且设每根天线的功率占总功率的比例相同。

次用户基站发送的信号表示为：

$ {\pmb{x}} = \left[ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{{N_t}}}} \right] \in {C^{{N_t} \times K}} $

矩阵x代表基站的发送信息序列，则有：

${x_{n,k}} = \left( {\sqrt {{a_{n,k}}{{P_t}} /{{N_t}}}} \right){s_{n,k}} $

那么, 有：

$ {\pmb x_n} = \sum\limits_{k = 1}^K {{x_{n,k}} = \sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {{a_{n,k}}{{P_t}}/{N_t}} {s_{n,k}}} } $

式中：x_n是发送至第n个簇的信号；x_{n, k}是发送至第n个簇中的第k个用户的信号；a_{n, k}代表发送至第n个簇中的第k个用户的功率分配系数；P_t代表次用户基站实际发送功率；s_{n, k}代表发送至第n个簇中的第k个用户的数据信息。

根据系统模型可知，次用户基站发送信息给N_t个簇中的N个次用户，同时，在发送端进行预编码，预编码矩阵为U=[u₁^H, u₂^H, …, u_Nt^H]∈C^N_t×N_t(H代表矩阵或者向量的共轭转置)，主用户系统也会收到来自次用户基站的干扰。本文根据文献[10]的式(1)，得到系统模型第n个簇中的第k个次用户接收到的信息为：

$ \begin{array}{l} {y_{n,k}} = &\chi \left( {{{\pmb{h}}_{n,k}}{\pmb{Ux}} + {z_{n,k}}} \right)=\\ & \chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}{{\pmb{x}}_n} + \chi {{\pmb{h}}_{n,k}}\mathop \sum \limits_{i = 1,i \ne n}^N {{\pmb{u}}_i}^{\rm H}{{\pmb{x}}_i} + \chi {z_{n,k}}=\\ & \chi {{\pmb{h}}_{n,k}}\mathop \sum \limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {{\pmb{u}}_i}^{\rm H}{{\pmb{x}}_i} + \chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}\mathop \sum \limits_{j = 1,j \ne k}^K \sqrt {{a_{n,j}}{{P_t}}/{{{N_t}}}} {s_{n,j}}+\\ & \chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}\sqrt {{a_{n,k}}{{P_t}}/{{{N_t}}}} {s_{n,k}} + \chi {z_{n,k}} \end{array} $

(1)

NOMA系统中接收端采用串行干扰消除方式进行接收，也就是接收端进行解码之前先消除其他用户的干扰信号，且信道质量好的用户在获得所需信号时，不受其他用户的干扰，根据文献[6]的式(5)~(6), 则接收端的信息式(1)可写为：

$ \begin{array}{l} {y_{n,k}}=&\underbrace {\chi {\boldsymbol{h}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}\sqrt {{a_{n,k}}\frac{{{P_t}}}{{{N_t}}}} {s_{n,k}}}_{期望信号} + \underbrace {\chi {\boldsymbol{h}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}\mathop \sum \limits_{j = 1}^{k - 1} \sqrt {{a_{n,j}}\frac{{{P_t}}}{{{N_t}}}} {s_{n,j}}}_{簇内干扰信号}+\\ & \underbrace {\chi {\boldsymbol{h}_{n,k}}\mathop \sum \limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {{\pmb{u}}_i}^{\rm H}{{\pmb{x}}_i}}_{簇间干扰信号} + \underbrace {\chi {z_{n,k}}}_{信道噪声} \end{array} $

(2)

式中：χ是次用户信道矩阵迹的动态均值，即$\chi = \frac{1}{K}\sum\limits_{i = 1}^K {{\rm{tr}}\left( {{\boldsymbol{h}_{n,i}}{\boldsymbol{h}_{n,i}}^{\rm{H}}} \right)} $；tr(·)代表矩阵的迹, 这样接收信号的权值是与信道矩阵迹的均值相互联系；z_{n, k}是噪声信号，服从均值为0、方差为σ²的高斯分布。

由文献[9]可知，功率因素对信道质量较差的用户影响远大于信道质量好的用户，因此考虑功率因素对信道质量的影响要达到进一步提高系统的整体性能的目的，给信道质量好的用户分配较少功率，信道质量差的用户分配较多功率。假设第n个簇中，信道增益为|h_{n, 1}|²>|h_{n, 2}|²>…>|h_{n, K}|²，则相应的功率分配系数为a_{n, 1}＜a_{n, 2}＜…＜a_{n, K}。此时，由式(2)可以得出第n个簇中的第k个用户的信干比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)为:

$ \begin{array}{l} SINR_{n,k}=&{\left| {\chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}} \right|^2}{a_{n,k}}\frac{{{P_t}}}{{{N_t}}} \times {\rm{(}}{\left| {\chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}} \right|^2}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}\frac{{{P_t}}}{{{N_t}}}}+ \\ & \sum\limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {\sum\limits_{j = 1}^K {{{\left| {\chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_i}^{\rm H}} \right|}^2}{a_{i,j}}\frac{{{P_t}}}{{{N_t}}}} } + \chi {z_{n,k}}{{\rm{)}}^{{\rm{ - 1}}}}=\\ & \chi {\left| {{{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}} \right|^2}{a_{n,k}} \times {\rm{(}}\chi {\left| {{{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_n}^{\rm H}} \right|^2}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} +\\ & \chi \sum\limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {{{\left| {{{\pmb{h}}_{n,k}}{{\pmb{u}}_i}^{\rm H}} \right|}^2}} + \frac{1}{{{P_t} \times {N_t}^{ - 1}}}{z_{n,k}}{{\rm{)}}^{{\rm{ - 1}}}} \end{array} $

(3)

假设E[|s_{i, j}|²]=1, ∀i, j，则第k个用户的容量为：

$\begin{array}{l} {R_{n,k}} = B\;{\rm lb}\left| {1 + SINR_{n,k}} \right| = B\;{\rm lb}\left| {1 + \frac{{{g_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{g_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right| \end{array}$

(4)

式中，B代表每个发送波束的带宽，且有：

$ \begin{array}{l} {g_{n,k}} =& \frac{{{{\left| {\chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{\boldsymbol{u}_n}^{\rm H}} \right|}^2}}}{B(\sum\limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {{{\left| {\chi {{\pmb{h}}_{n,k}}{\boldsymbol{u}_i}^{\rm H}} \right|}^2}} + \left( {P_t}/{N_t} \right)^{ - 1}\chi {z_{n,k}})}=\\ &\frac{{\chi {{\left| {{{\pmb{h}}_{n,k}}{\boldsymbol{u}_n}^{\rm H}} \right|}^2}}}{B(\chi \sum\limits_{i = 1,i \ne n}^{{N_t}} {{\left| {{{\pmb{h}}_{n,k}}{\boldsymbol{u}_i}^{\rm H}} \right|}^2} + \left( {P_t}/{N_t} \right)^{ - 1}{z_{n,k}})} \end{array} $

(5)

其中:g_{n, k}代表归一化信道增益，对信道进行归一化能够起到简化计算的目的。那么，式(3)可以写为：

$SINR_{n,k} = \frac{{{g_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{g_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}} $

(6)

整个次用户系统的容量为：

$ {\hat R_{\rm SBS - sus}} = \mathop \sum \limits_{n = 1}^{{N_t}} \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left| {1 + \frac{{{g_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{g_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right|{\rm{ (7)}} $

(7)

2 问题描述及解决方案

本文假设主用户配有128根天线，次用户基站配有2根天线，共有N_s个次用户并且每个次用户均配有1根天线，将整个次用户分成两个大簇，每个簇中有K个次用户，则N_s=2K。

2.1 认知系统

underlay模式下的基于NOMA的认知MIMO系统主要考虑次用户基站对主用户系统的干扰以及次用户系统分簇之后的簇间干扰和簇内干扰，其他干扰不是主要干扰，为了研究的简便，本文不予考虑。工作于underlay模式下，次用户系统对主用户系统的干扰必须小于预定的阈值I_p，当满足此条件时，主用户和认知用户均可正常工作；当干扰大于阈值时，认知用户不能正常工作^[11]，即次用户的存在是以不影响主用户正常通信为前提，此时认知基站实际最大发射功率为P_t。P_t的计算式如下：

$\begin{array}{l} {P_t} =& \min \left\{ {\frac{{{I_p}}}{{\mathop {\max }\limits_{l \in {\phi _l}} {{\left| {{m_l}} \right|}^2}}},{P_s}} \right\} = \\ & \min \left\{ {\frac{{{I_p}}}{{\mathop {\max }\limits_{l \in {\phi _l}} {\rm{(}}{{\left| {{{\hat m}_l}} \right|}^2}L{\rm{(}}{d_l}{\rm{))}}}},{P_s}} \right\}\end{array} $

(8)

式中：P_s是认知基站最大的发射功率，假设主用户的空间拓扑结构模型为服从参数为λ_l的均匀的泊松分布ϕ_l；且有|m_l|²=|$\hat m_l $|²L(d_l)代表次用户基站到主用户接收机的整体的信道增益，$\hat m_l $是瑞利衰落信道增益，其服从均值为0、方差为1的正态分布；L(d_l)=(1+d_l^δ)^-1是大规模衰落，d_l次用户基站到主用户的距离，δ是路径损耗。

由于是认知MIMO系统，则认知基站的发射功率要兼顾主用户系统和认知基站自身的性能，图 2为干扰阈值与认知基站的发射功率之间的关系图。由图 2可以得到主用户的干扰阈值与认知基站的发射功率之间的关系曲线，当次用户对主用户的干扰功率门限增大时，认知基站的发射功率也随之呈线性增大趋势，但是由于认知基站自身的发射功率具有一定的极限值，所以，当干扰阈值达到一定值时，认知基站的实际发射功率维持在其所能容忍的最大发射功率上，这样，保证认知基站工作于正常状态同时，维持认知系统正常工作。

2.2 预编码方式

现今很多文献采用迫零预编码方式对信号进行预编码, 文献[8]和[12]就采用迫零预编码方式，这种方式虽然简单，并且当每个簇中只有一个用户时，这种方式在忽略系统噪声的情况下，能够完全消除簇间干扰，但实际通信系统中, 每个簇中的用户数目大于等于2时，此种方式便不再简便，并且采用最小均方误差(Minimum Mean Square Error, MMSE)进行预编码的误码率(Bit Error Rate, BER)更低，更切合实际。最小均方误差预编码方式预编码矩阵与信道紧密相关，根据文献[13]的式3.3.1)，可知预编码矩阵的表达式为：U= ${\left( {{\boldsymbol{\tilde H}^{\rm{H}}}\boldsymbol{\tilde H} + {\sigma ^2}\boldsymbol{I}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{\tilde H}^{\rm{H}}} $。基于NOMA的认知MIMO网络中，由于在接收端采用串行干扰消除方式进行信息接收，这样接收机的复杂度虽然增大了，却能够大大降低误码率，而基于正交多址的认知MIMO网络接收端采用的接收方式并不能很好地消除其他用户的干扰信息，因此误码率相比于基于非正交多址技术的系统要更大一些，误码率对比如图 3所示。

图 3比较了四种不同的预编码方式，其中基于正交多址的迫零(Zero-Forcing, ZF)预编码误码率要远远高于其他三种预编码方式，而采用非正交多址的MMSE误码率要远远低于其他三种预编码方式，且在SINR=10 dB时，误码率为零。当SINR＜5 dB时，四种不同的预编码方式的误码率从大到小分别为：ZF-OMA> ZF-NOMA > MMSE-OMA >MMSE-NOMA; 当SINR≥5 dB时，四种不同的预编码方式的误码率从大到小分别为：ZF-OMA>MMSE-OMA>ZF-NOMA>MMSE-NOMA。

2.3 分簇方式

由文献[7]可知，分簇需要使分在同一簇的用户之间的信道相关性和差异性都尽可能大，这样对于干扰抑制和有用信号接收都有利。Kim等^[14]将次用户系统分为两个簇，将信道增益强的分为一簇，信道增益弱的分成另一簇，这样分簇能够保证信道之间的相关性，但是信道之间的差异性却不能得到保证。文献[15]是单天线的NOMA系统，其采用头尾分簇方式。本文根据文献[14]的分簇方式，先将次用户按照归一化信道增益从大到小的顺序进行排序，即：g₁>g₂>…>g_Ns－1>g_Ns，然后再进行分簇。这里，本文考虑每个簇中次用户的数量为奇数和偶数两种情况，将整个次用户系统分成两个簇，即n={1, 2}。

当K为偶数时，第一簇的信道增益分布为：ḡ_{1, k}={g₁, g₃, g₅, …, g_K－1, g_K+2, g_K+4, …, g_N－2, g_N}; 第二簇的信道增益分布为：ḡ_{2, k}={g₂, g₄, g₆, …, g_K, g_K+1, g_K+3, …, g_N－3, g_N－1}。

当K为奇数时，第一簇的信道增益分布为：ḡ_{1, k}={g₁, g₃, g₅, …g_K, g_K+3, g_K+5, …, g_N－2, g_N}; 第二簇的信道增益分布为：ḡ_{2, k}={g₂, g₄, g₆, …, g_K+1, g_K+2, g_K+4…, g_N－3, g_N－1}。

经过分簇及预编码之后，可以得到该簇的容量为式(9), 本文的目标就是求式(9)的最大值。

$ {\overline {\hat R} _n} = \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left| {1 + \frac{{{{\overline g }_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right| $

(9)

2.4 功率分配及问题求解

由文献[14]可知，次用户系统每簇进行串行干扰消除时，各用户之间的功率需要满足：

$ \frac{{{P_t}}}{2}{a_{n,k}}{\overline g _{n,k - 1}} - \frac{{{P_t}}}{2}{\overline g _{n,k - 1}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} \ge {p_{\rm tol}} $

令p_tol×(P_t/2)^－1=β，R₀/B=γ, 这里β、γ为常数。R₀是次用户需要满足的最低速率，当次用户的速率大于等于R₀时，才能正常工作；否则，不能正常工作。经过以上分析，根据系统模型可以得出系数分配的优化方程：

$ \begin{array}{l} & \mathop {{\rm{maximize}}}\limits_{\left\{ {{a_{n,k}},\forall k = 1,2, \cdots ,K} \right\}} {\rm{ }}\sum\limits_{k = 1}^K {B\;{\rm lb}\left| {1 + \frac{{{{\overline g }_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right|} \\ {\rm S.t.}&{\rm C }{{1}}:\sum\limits_{k = 1}^K {{a_{n,k}} \le 1} {\rm{, n = \{ \;1,2\} }}\\ &{\rm{ C }}2:{\rm lb}\left( {1 + \frac{{{{\overline g }_{n,k}}{a_{n,k}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right) \ge \gamma \\ &{\rm{ C }}3:\left( {{a_{n,k}} - \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} } \right){\overline g _{n,k - 1}} \ge \beta \\ &{\rm{ C }}4:{a_{n,k}} \in \left[ {0,1} \right];\;\;{\mathop{\rm n}\nolimits} {\rm{ = \{ 1,2\} , }}\forall k = 1,2, \cdots ,K \end{array} $

式中：约束C1表示进行功率分配之后系数之和小于等于1；约束C2对次用户的速率进行限制，次用户系统中的每个用户的速率都满足大于一定值，从而保证次用户的用户服务质量；约束C3表示已经解码的次用户与尚未解码的次用户之间最小的功率之差大于p_tol；约束C4表示功率分配系数要满足的条件。

对约束C2进行简化分析，有：

$ {{\rm C}}2 \Leftrightarrow {\overline g _{n,k}}{a_{n,k}} \ge \left( {\mathop 2\nolimits^\gamma - 1} \right)\left( {{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1} \right) $

再由Lagrange函数可得：

$ \begin{array}{l} {{L}}\left( {{a_{n,k}},\lambda ,\eta ,\zeta } \right) = \sum\limits_{k = 1}^K {B\;{\rm lb}\left| {1 + \frac{{{{\overline g }_{n,k}}{a_{nk}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1}}} \right|} + \\ \sum\limits_{k = 1}^K {{\eta _k}} \left( {{{\overline g }_{n,k}}{a_{n,k}}} \right) - \sum\limits_{k = 1}^K {{\eta _k}} \left( {\mathop 2\nolimits^\gamma - 1} \right)\left( {{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1} \right) + \\ \lambda \left( {1 - \sum\limits_{k = 1}^K {{a_{n,k}}} } \right) + \sum\limits_{k = 2}^K {{\zeta _k}\left( {\left( {{a_{n,k}} - \sum\limits_{k = 1}^{k - 1} {{a_{n,t}}} } \right){{\overline g }_{n,k - 1}} - \beta } \right)} \end{array} $

根据KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件可得：

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{L}}}}{\partial a_{n,k}^* } =& \frac{{B{{\overline g }_{n,k}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^k {{a_{n,j}}} + 1}} - \lambda + {\eta _k}{\overline g _{n,k}}-\\ & \sum\limits_{j = k + 1}^K {\frac{{B{a_{n,j}}\mathop {{{\overline g }_{n,j}}}\nolimits^2 }}{{\left( {\sum\limits_{t = 1}^j {{a_{n,t}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)\left( {\sum\limits_{t' = 1}^{j - 1} {{a_{n,t'}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)}}}- \\ & \sum\limits_{j = k + 1}^K {{\rm{(}}{{\rm{2}}^\gamma } - {\rm{1)}}} {\eta _j}{\overline g _{n,j}} + {\zeta _k}{\overline g _{n,k - 1}} - \sum\limits_{j = k + 1}^K {{\zeta _j}{{\overline g }_{n,j}}} \le 0;\\ &0 \le a_{n,k}^* \le 1, \forall {k = 2,3,} \cdots ,K\end{array} $

(10)

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{L}}}}{{\partial \mathop \lambda \nolimits^* }} = 1 - \sum\limits_{k = 1}^K {{a_{n,k}}} \ge 0,{\rm{ }}\mathop \lambda \nolimits^* \ge 0,\;\mathop {\mathop \eta \nolimits_k }\nolimits^* \ge 0, \forall k = 2,3, \cdots ,K \end{array} $

(11)

$ \frac{{\partial {{L}}}}{{\partial \mathop {\mathop \eta \nolimits_k }\nolimits^* }} = {\overline g _{n,k}}{a_{n,k}} - (\mathop 2\nolimits^\gamma - 1)(1 + {\overline g _{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} ) \ge 0 $

(12)

$ \frac{{\partial {\pmb{L}}}}{{\partial \mathop {\mathop \zeta \nolimits_k }\nolimits^* }} = \left( {{a_{n,k}} - \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} } \right){\overline g _{n,k - 1}} - \beta \ge 0;\\ \mathop {\mathop \zeta \nolimits_k }\nolimits^* \ge 0, \forall k = 2,3, \cdots ,K $

(13)

对由系统模型得出的系数分配的优化方程进行分析可知，原问题是一个非凸的NP-hard(Non-deterministic Polynomial-hard)问题^[16]，想要求解最优值是很难的，本文采用Lagrange函数及KKT条件结合数学归纳法对以上问题进行求解，并对求解的值进行验证是否符合要求。

设O={λ}; Ω={η₁, η₂, …, η_K}; Θ={ζ₁, ζ₂, …, ζ_K}, 由于K≥2，所以可得Lagrange函数L(a_{n, k}, λ, η, ζ)最优解的集为：Ψ={λ, η₂或ζ₂, η₃或ζ₃, η₄或ζ₄, …, η_K或ζ_K}，本文假设满足认知系统的最小速率的条件，即：Ψ={λ, ζ₂, …, ζ_K}，且ζ₁=η₁=η₂=…=η_K=0时，此时有：

$ \sum\limits_{k = 1}^K {{a_{n,k}}=1} $

(14)

$ \left( {{a_{n,k}} - \sum\limits_{t = 1}^{k - 1} {{a_{n,t}}} } \right){\overline g _{n,k - 1}} - \beta = 0;\;\;\forall k = 2,3,4 $

(15)

$ \begin{array}{l} {\overline g _{n,k}}{a_{n,k}} - \left( {\mathop 2\nolimits^\gamma - 1} \right)\left( {{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{a_{n,j}}} + 1} \right) > 0;\\ \forall k = 1,2,3,4 \end{array} $

(16)

由式(14)~(15)可解得当每组次用户数目为2、3、4时的功率分配系数。

当K=2时，每簇中每个次用户的功率分配系数为：

$ {a_{n,1}} = \frac{1}{2} - \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} $

$ {a_{n,2}} = \frac{1}{2} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} $

当K=3时，每簇中每个次用户的功率分配系数为：

$ \begin{array}{l} {a_{n,1}} = \frac{1}{4} - (\frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} + \frac{\beta }{{4{{\overline g }_{n,2}}}}) \end{array} $

$ {a_{n,2}} = \frac{1}{4} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} - \frac{\beta }{{4{{\overline g }_{n,2}}}} $

$ {a_{n,3}} = \frac{1}{2} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,2}}}} $

当K=4时，每簇中每个次用户的功率分配系数为：

$\begin{array}{l} {a_{n,1}} = \frac{1}{8} - \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} - \frac{\beta }{{4{{\overline g }_{n,2}}}} - \frac{\beta }{{8{{\overline g }_{n,3}}}}\\ {a_{n,2}} = \frac{1}{8} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,1}}}} - \frac{\beta }{{4{{\overline g }_{n,2}}}} - \frac{\beta }{{8{{\overline g }_{n,3}}}}\\ {a_{n,3}} = \frac{1}{4} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,2}}}} - \frac{\beta }{{4{{\overline g }_{n,3}}}}\\ {a_{n,4}} = \frac{1}{2} + \frac{\beta }{{2{{\overline g }_{n,3}}}}\; \end{array} $

由数学归纳法得到每簇簇头的功率分配系数为：

$ {a_{n,1}} = \frac{{\rm{1}}}{{{2^{K - 1}}}} - \sum\limits_{j = 2}^K {\frac{\beta }{{{{\overline g }_{n,j - 1}}{2^{j - 1}}}}} $

由簇中的其他K-1个用户，可得功率分配系数为：

$ {a_{n,k}} = \frac{1}{{{2^{\left( {K - k + 1} \right)}}}} - \sum\limits_{j = k}^K {\frac{\beta }{{{{\overline g }_{n,j - 1}}{2^{{\rm{(}}j - k + 1{\rm{)}}}}}}} + \frac{\beta }{{{{\overline g }_{n,k - 1}}}};\\ {\rm{ 2}} \le k \le K,n=\{1,2\} $

最后根据KKT条件的性质进行验证。验证当N=8的情况，此时，每个簇中有四个次用户，即：K=4，此时，假设Ψ={λ, ζ₂, ζ₃, ζ₄}, Θ={ζ₂, ζ₃, ζ₄}。令式(10)等于0，再根据几何运算，可以得到如下关系式：

$ \begin{array}{l} \frac{{B{{\overline g }_{n,k}}}}{{{{\overline g }_{n,k}}\sum\limits_{j = 1}^k {{a_{n,j}} + 1} }} - \sum\limits_{j = k + 1}^K {\frac{{B{a_{n,j}}\mathop {{{\overline g }_{n,j}}}\nolimits^2 }}{{\left( {\sum\limits_{t = 1}^j {{a_{n,t}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)\left( {\sum\limits_{t' = 1}^{j - 1} {{a_{n,t'}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)}}} - \\ \lambda + {\zeta _k}{\overline g _{n,k - 1}} - \sum\limits_{j = k + 1}^K {{\zeta _j}} {\overline g _{n,j}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{B{{\overline g }_{n,4}}}}{{{{\overline g }_{n,4}}\sum\limits_{j = 1}^k {{a_{n,j}} + 1} }} -\\ \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{B{a_{n,j}}({{\overline g }_{n,j - 1}} - {{\overline g }_{n,j}})}}{{\left( {\sum\limits_{t = 1}^j {{a_{n,t}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)\left( {\sum\limits_{t' = 1}^{j - 1} {{a_{n,t'}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)}}} -\\ \lambda + {\zeta _4}{\overline g _{n,3}} - \sum\limits_{j = k}^3 {{\zeta _j}} {\overline g _{n,j}} = 0 \end{array} $

根据等式性质，可以解得：

$ \begin{array}{l} \lambda = \frac{{B{{\overline g }_{n,4}}}}{{{{\overline g }_{n,4}}\sum\limits_{j = 1}^4 {{a_{n,j}} + 1} }} + {\zeta _4}{\overline g _{n,3}}\\ {\zeta _2} = \frac{{B{a_{n,2}}({{\overline g }_{n,1}} - {{\overline g }_{n,2}})}}{{{{\overline g }_{n,1}}\left( {{a_{n,1}}{{\overline g }_{n,1}} + 1} \right)\left( {{a_{n,1}}{{\overline g }_{n,2}} + 1} \right)}}\\ {\zeta _k} = \frac{{B{a_{n,k}}({{\overline g }_{n,k - 1}} - {{\overline g }_{k,j}})}}{{{{\overline g }_{n,k}}\left( {\sum\limits_{t = 1}^{j - 1} {{a_{n,t}}{{\overline g }_{n,j - 1}}} + 1} \right)\left( {\sum\limits_{t' = 1}^{j - 1} {{a_{n,t'}}{{\overline g }_{n,j}}} + 1} \right)}}\\ + {\zeta _{k - 1}}{\overline g _{n,k - 2}};\;\;k = 3,4\\ {\zeta _1} = {\eta _k} = 0;\;\;k = 1,2,3,4 \end{array} $

式中：ḡ_{n, k－1}>ḡ_{n, k}, η_k、λ、ζ_k均满足大于等于零，可知满足KKT条件。

另外，当次用户系统采用平均功率分配方式时，a_{n, k}=1/K，此时系统容量为：

$ \begin{array}{l} {C_{\rm apa}} &= {{\tilde R}_1} + {{\tilde R}_2}= \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left( {1 + \frac{{{\overline g }_{1,k}}/K}{{{{\overline g }_{1,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{1}{K}} + 1}}} \right) +\\ & \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left( {1 + \frac{{{\overline g }_{2,k}}/K}{{{{\overline g }_{2,k}}\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{1}{K}} + 1}}} \right) =\\ & \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left( {1 + \frac{{K{{\overline g }_{1,k}}}}{{\left( {k - 1} \right){{\overline g }_{1,k}} + K}}} \right) +\\ & \mathop \sum \limits_{k = 1}^K B\;{\rm lb}\left( {1 + \frac{{K{{\overline g }_{2,k}}}}{{\left( {k - 1} \right){{\overline g }_{2,k}} + K}}} \right) \end{array} $

2.5 算法描述与分析

为了进一步提升认知MIMO网络次用户系统的容量，提出了基于非正交多址接收的动态功率分配优化算法。该算法主要思想是：根据认知基站的有效发射天线数，确定分簇的数目，对整体次用户进行分簇之后，为保证次用户之间的公平性，根据信道质量的优劣对次用户进行功率分配，给信道质量好的次用户分配较少功率，给信道质量差的次用户分配较多功率，这样的功率分配即可保证次用户之间的相对公平性。在对系统模型进行分析之后，写出目标函数，再根据约束条件列出约束方程，这样就得到系统的优化方程，对优化方程进行分析可知，其是非凸的NP-hard型问题，直接求解是很困难的，并且无法用凸优化理论进行求解。本文的求解过程为：首先写出优化方程的Lagrange函数，再根据KKT条件进行最优功率分配系数的求解，最后根据数学归纳法得出使得目标函数最优的功率分配系数。并且由于是基于NOMA的认知MIMO网络，那么接收端采用串行干扰消除进行有用信号的接收，这样能够有效降低系统的误码率，从而进一步提高认知系统的容量。

2.6 算法的复杂度分析

假设本文一个簇中有k个次用户，则对优化问题的约束方程及求解过程进行分析可知，在求解最优功率分配系数时有2k个Lagrange乘子，因此要满足KKT条件，Lagrange乘子就有2^2k种组合方式，当k的取值较大时，要逐一验证是否是本文所需的最优功率分配系数是非常复杂的。当k=1时，有4种组合方式；当k=2时，有16种组合方式；当k=3时，有64种组合方式。但是本文的优化结果是求得最优功率分配系数，且该系数是0到1之间的常数，所以相当于求k元一次方程的解，那么在求解过程中需要k个方程才能求得方程的解，所以2^2k种结合方法并不需要全部验证，只需挑选其中的C_2k^k个方程就能就得方程的解。对每簇分别有2、3、4个用户进行分析，可以总结出它们满足KKT条件的Lagrange乘子结合方式分别为2、4、8种，因而可归纳为2^k－1，由此可知，大大降低了运算复杂度。

3 仿真结果与分析

本章验证基于NOMA的认知MIMO认知系统的容量问题。仿真参数设置：为了使本文更符合未来移动通信的实际场景，将主用户收发天线设置为128根，这样可满足将本文所提方法适用于未来大规模MIMO场景中，认知基站有2根收发天线，认知用户数目大于等于4且用户均配置单根收发天线。本文在设置的仿真参数的过程中，尽可能地贴合实际应用场景。其他仿真参数如表 1所示。

实验一  采用蒙特卡罗仿真比较了次用户数目不同的情况下，动态功率分配和平均功率分配两种方式下，次用户系统的容量变化。由图 4可以看出，采用动态功率分配方式，随着次用户数目的增多，系统容量也会逐渐增多，且次用户从4个增多到6个时，系统容量的提高要比次用户从6个增加到8个提高得更多。同等条件之下，在信道质量相对较差时，采用本文进行的最优功率分配系数方法，能够保证次用户之间的公平性，充分发挥功率分配的优势，达到提高次用户系统容量的目的，而采用平均功率分配方式，将认知基站的实际发射功率平均分配给次用户系统的所有用户，其功率分配与信道质量没有关联，也没有兼顾次用户之间的公平性，所得系统容量低于最优功率分配方法，因而所得的系统容量小于采用最优功率分配方法所得系统容量；当信道质量达到较好状态时，此时信道质量对次用户系统容量的影响就相对减少，动态功率分配方式与平均功率分配方式所得系统容量趋于稳定的最大值。由此可知，本文的动态功率分配方式要比平均功率分配方式获得的系统容量多，其要优于平均功率分配方案，仿真结果如图 4所示。

实验二  在主用户干扰阈值为5 W、次用户数目为8个的的情景下，将本文方法与固定权值方案及文献[9]方法进行对比。这里，文献[9]方法和本文方法都是动态功率分配方式，都是对信道质量差的用户分配较多功率，信道质量好的用户分配相对较少功率，但相比于本文所提方法，文献[9]方法是一种比较典型的直接动态功率分配方式，它根据信道矩阵的迹进行功率分配，其功率分配系数为$ {a_{n,k}}{\rm{ = }}{{(\chi \times t_{n,k}^{ - 1})} /{\sum\limits_{j = 1}^K {(\chi t_{n,j}^{ - 1}} }})$，其中:t_{n, k}为相应的信道矩阵的迹，χ为信道矩阵迹的均值。

由图 5可知，由于主用户的存在，认知基站的发送功率受限，所以当发送功率达到一定值时，系统容量呈逐渐增大的趋势，但是当认知基站的发射功率达到一定高度时，认知系统的容量最终趋向于稳定状态。由图 5中的交点A可知，本文以信道矩阵迹的均值作为加权系数的最优功率分配方法只有在全部信道均很差的情况之下，才会获得较差的加权系数，因而优于固定权值方案；再由图 5中的交点B可知，在信道质量相对较差时，本文所求得的最优动态功率分配系数方法要优于文献[9]采用的方法。

实验三  在与实验二相同的仿真参数下，将本文方法与文献[17]基于速率分配的传统的基于正交多址技术的认知MIMO进行对比。由文献[17]可知，采用速率分配方式在提升认知系统容量方面具有显著的优势，且该文献是一篇关于认知无线电速率分配的具有代表性的文献，因而实验三将本文提出的优化方法与文献[17]方法进行比较。与实验二相同，主用户的存在会影响次用户基站的发射功率，当次用户基站的发送功率达到一定程度时，次用户系统容量增加幅度逐渐降低，最终趋于恒定状态。采用速率分配方式受限于设置的最大最小反馈速率及认知基站的发送功率两个限制条件，将基于非正交多址(NOMA)的本文方法与基于正交多址(Orthogonal Multiple Access, OMA)的文献[17]方法进行仿真对比，可以得到仿真结果如图 6所示。

由图 6中的交点C可知，在认知用户数N_s=8时，相比于文献的最优功率算法，在信道质量相对较差的情况下，本文方法所得的系统容量要远高于基于正交接入的速率分配方案。

4 结语

串行干扰消除是以增加接收机的复杂度为代价提高系统容量的，随着集成电路进一步的发展，对于未来移动通信，NOMA技术是增加系统容量的一项重要候选技术。本文针对认知MIMO与NOMA技术的结合对次用户系统容量的提升的问题进行研究，在对模型进分析之后，列出系数分配优化方程，再结合Lagrange函数及KKT条件等数学推导求解出每簇每用户的最优功率分配系数，然后代入求解系统容量，最后利用Matlab软件进行系统容量的仿真验证。仿真验证表明：在信道状态相对较差时，所提方法能够较大幅度地提高系统的容量。下一步将考虑新的预编码方式和功率分配方式，进一步优化道状态好的情况下NOMA认知MIMO的次用户系统容量。