0 引言

近年来，大规模多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技术已成为无线通信的研究热点^[1]。所谓的大规模MIMO，即在基站处配置大量天线，通过增加空间自由度的方式来大幅地提高系统容量、频谱效率，降低能量消耗^[2]。随着智能终端的迅速普及和无线数据业务需求的爆炸式增长，以支持高速率传输为目标的4G将难以满足未来无线通信的需求，因此，作为5G关键技术之一的大规模MIMO具有广阔的应用前景^[3]。

大规模MIMO需要精确估计信道状态信息(Channel State Information, CSI)来实现其特有的优点。传统的CSI反馈量是随着天线数而线性增长的, 而当基站处天线数目大量增加时，反馈所需的时间将远大于信道相干时间^[4]，传统的信道状态信息反馈模式已无法适用，因此，目前仅考虑应用于时分双工(Time Division Duplex, TDD)系统运用于大规模MIMO，利用信道互易性来获得信道状态信息^[5]。但是由于正交导频数量是有限的，所以不可避免地总是存在不同小区的导频复用，从而导致基站无法区分，即造成了所谓的“导频污染”(pilot contamination)现象^[6-7]。

针对导频污染问题，文献[8-15]从导频分配的角度进行了深入研究。文献[8]提出了有效的导频时移方案，通过相邻小区间的异步传输来抑制导频污染，但存在导频与数据间相互干扰的问题; 文献[9]利用用户的位置信息，提出了一种基于用户位置信息的导频分配方案，有效地减小了导频污染并提升了系统的上行和速率; 文献[10]提出了一种基于博弈论的导频分配方案，该思路是把导频选择问题当作基站间的博弈，构建其潜在博弈模型，通过博弈理论证明该方案能明显减轻导频污染，虽然该方案改善了系统信道估计的精确度，但是运用于复杂场景中难以确定纳什均衡点; 文献[11]考虑到实际通信系统中不同用户与基站之间的大尺度衰落系数不同的情况，利用目标小区与干扰小区间用户的信号干扰强度差对干扰小区进行分类，提出了一种动态导频分配方案来减轻导频污染，提升系统的下行平均可达和速率，虽然利用了小区间协作的优势，但该方案主要是针对目标小区性能提升，忽略了用户间导频污染程度不同的事实; 文献[12]提出了一种智能导频分配方案来减轻导频污染，并有效地提升了目标小区中所有用户的上行信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)，虽然考虑到不同用户与基站之间的信道质量可能不同的情况，但是该模型的应用场景有限; 文献[13]提出了基于人工鱼群算法的导频分配方案来减小导频污染，突破局部最优解的限制，降低了算法的复杂度，提高了用户的平均可达速率，但是迭代次数较多; 文献[14]利用注水算法对信道较好的用户分配干扰严重的导频，该方案提高了目标小区的和速率且复杂度低，有效地降低了导频污染; 文献[15]提出了一种新型的导频分配方案，联合时域空域，对小区进行分组，最大最小化用户SINR。

本文考虑到不同用户导频污染程度不同的情况，利用小区间协作的优势，把导频分配问题制定为最大化上行平均可达速率的优化问题，基于传统图着色理论基础，优先为受导频污染严重的用户分配导频资源。仿真结果表明，相对于传统导频分配方案和文献[12]方案，本文方案提升了系统的上行可达和速率，获得了较好的性能。

1 系统模型

系统模型如图 1所示，考虑的是由L个小区组成的多小区多用户大规模系统，其中，每个小区由一个配备N根天线的基站和K(K≤N)个单天线用户组成。假定系统工作在TDD模式下，信道估计通过上行训练序列来获得，第j小区的用户k到第l小区的基站的信道模型为：

$ {\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}} = \sqrt {{\beta _{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} {\boldsymbol{h}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}} $

(1)

其中：h_{< j, k>, l}表示N×K的小尺度衰落信道矩阵，其所有的元素是独立同分布的(Independently and Identically Distributed, IID)，且满足h_{< j, k>, l}~CN(0, I_N)；β_{< j, k>, l}表示大尺度衰落系数，包括路径损耗和阴影衰落。β_{< j, k>, l}可以表示为：

$ {\beta _{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}} = {{z_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}}/{{r_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^\alpha }} $

(2)

其中：r_{< j, k>, l}表示第j小区的用户k到第l小区的基站之间的距离；α是路径损耗衰落系数；z_{< j, k>, l}表示阴影衰落。

假定可用的导频序列数量共有S个，且S≥K。Φ=[ϕ₁, ϕ₂, …, ϕ_S]^T为正交导频序列(S×τ矩阵)，即ΦΦ^H=I_S，τ是用户发送的导频训练序列长度。那么第l小区的基站接收的导频信号Y_l和用户数据信号y_l^u分别为：

$ {\boldsymbol{Y}_l} = \sqrt {{p_r}} \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} } \pmb{\phi} _k + {\boldsymbol{N}_l} $

(3)

$ \boldsymbol{y}_l^u = \sqrt {{p_u}} \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} } {x_{\left\langle {j,k} \right\rangle }} + \boldsymbol{n}_l^u $

(4)

其中：p_r表示上行导频发射功率；N_l~CN(0, 1)和n_l^u为独立同分布的加性高斯白噪声；p_u表示上行数据的发射功率；x_{< j, k>}表示来自第j小区用户k的数据符号。

那么，利用估计理论中的标准结果可以获得信道ĝ_{< l, k>, l}的最小二乘法(least-Squares, LS)估计为：

$ {\boldsymbol{\hat g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}} = \frac{1}{{\sqrt {{p_r}} }}{\boldsymbol{Y}_l}\pmb{\phi} _k^{\rm H} = {\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}} + \sum\limits_{j = 1,j \ne l}^L {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} + {\boldsymbol{v}_{\left\langle {l,k} \right\rangle }} $

(5)

其中，${\boldsymbol{v}_{\left\langle {l,k} \right\rangle }} = \left( {{1 / {\sqrt {{p_r}} }}} \right){\boldsymbol{N}_l}\pmb{\phi} _k^{\rm H}$表示等效噪声。由式(5)可以看出，当小区间导频复用时，g_{< l, k>, l}的估计性能会受到其他小区相同导频和非相关噪声的影响，从而产生导频污染现象。由于本文考虑的是上行传输，在导频训练完成后，基于信道估计的结果，采用匹配滤波器(Match Filter, MF)对数据符号进行检测，则第l小区的第k个用户被检测的数据符号表示为：

$ \begin{array}{l} {{\boldsymbol{\hat x}}_{\left\langle {l,k} \right\rangle }} = \boldsymbol{\hat g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}\boldsymbol{y}_l^u=\\ {\left( {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}} + \sum\limits_{j = 1,j \ne l}^L {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} + {\boldsymbol{v}_{\left\langle {l,k} \right\rangle }}} \right)^{\rm H}}\cdot \\\left( {\sqrt {{p_u}} \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} } {x_{\left\langle {j,k} \right\rangle }} + \boldsymbol{n}_l^u} \right)=\\ \sqrt {{p_u}} \left( {\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}}{x_{\left\langle {l,k} \right\rangle }} + \sum\limits_{j = 1,j \ne l}^L {\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}{x_{\left\langle {j,k} \right\rangle }}} } \right) + {\delta _{\left\langle {l,k} \right\rangle }} \end{array} $

(6)

其中：δ_{< l, k>}表示小区内干扰和非相关噪声。于是，第l小区用户k的上行SINR(N→∞)为：

$ \begin{array}{l} SIN{R_{\left\langle {l,k} \right\rangle }} = \frac{{{{\left\| {\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}}} \right\|}^2}}}{{\sum\limits_{j \ne l} {{{\left\| {\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} \right\|}^2} + {{\delta _{\left\langle {l,k} \right\rangle }^2} /{{p_u}}}} }} \approx \\ \frac{{\beta _{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^2}}{{\sum\limits_{j \ne l} {\beta _{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^2} }} \end{array} $

(7)

由式(7)可以看出，噪声和小尺度衰落效应会随着基站天线数趋于无穷而被平均掉，系统的SINR将只与β_{< j, k>, l}有关。因此，导频污染是影响多小区大规模系统性能的瓶颈，在大尺度衰落系数β_{< j, k>, l}确定的情况下，怎样选用导频便成为限制系统SINR的关键因素。

2 基于图着色的导频分配

与传统的随机导频分配方案不同的是，本文旨在最大化L个小区中所有KL用户的上行可达和速率。因此，可将优化问题建模如下：

$ \begin{array}{l} {\rm P_1}:\mathop {\arg \max }\limits_{{\phi _{\left\langle {l,k} \right\rangle }}} \\ \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {{{\rm lb }}\left( {1 + \frac{{{{\left\| {\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}}} \right\|}^2}}}{{\sum\limits_{j \ne l} {{{\left\| {\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^{\rm H}{\boldsymbol{g}_{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}}} \right\|}^2} + {{\delta _{\left\langle {l,k} \right\rangle }^2}/ {{p_u}}}} }}} \right)} } } \right\}\\ {\rm{ }} \end{array} $

(8)

其中{ϕ_{< l, k>}}表示所有可行的导频分配方案。由于导频污染的存在，基站不能准确获得信道状态信息，问题P₁难以直接求解。由式(7)可得，上行SINR的表达式与大尺度衰落系数有关，且该系数变化缓慢以及基站很容易获取；因此，当天线数N趋于无穷时，优化问题P₁可以近似表示为：

$ {\rm P_2}:\mathop {\arg \max }\limits_{{\phi _{\left\langle {l,k} \right\rangle }}} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {{{\rm lb }}\left( {1 + \frac{{\beta _{\left\langle {l,k} \right\rangle ,l}^2}}{{\sum\limits_{j \ne l} {\beta _{\left\langle {j,k} \right\rangle ,l}^2} }}} \right)} } } \right\} $

(9)

穷举法是解决优化问题P₂的直接方式，但是导频分配的计算复杂度较高^[16]。基于此，本文提出一种近似最优的导频分配方案，首先对不同小区用户间的导频污染程度构建边权值干扰图，然后采用图着色方法对用户进行导频分配。

2.1 边权值干扰图

传统的导频分配方案是将一组正交导频序列随机分配给小区内的用户，该方案虽易于实施，但忽略了不同小区用户间导频污染程度不同的事实。从式(9)可以看出，在大规模MIMO系统中，系统的上行平均可达和速率与大尺度衰落系数β_{< j, k>, l}密切相关，信道的性能主要受大尺度衰落系数的影响。另外，由式(2)可知，大尺度衰落系数和用户与基站之间的距离有关，当不同小区内的用户离基站越近，导频污染越严重，反之，导频污染的程度越小。因此，本文利用不同小区用户与基站间大尺度衰落不同的特点，考虑不同小区用户间导频污染程度不同的事实，对导频进行分配。

在上述分析中，假定基站已知每个用户的大尺度衰落系数，利用基站间协作的特点，本文通过定义ω_{< l, k>, < j, k>}作为不同小区的两个用户导频污染程度的衡量因素，即ω_{< l, k>, < j, k>}=β_{< j, k>, l}²/β_{< l, k>, l}²+β_{< l, k>, j}²/β_{< j, k>, j}²，直观图如图 2所示。考虑信号干扰强度的界值为ω_th，即当ω_{< l, k>, < j, k>}＜ω_th时，不考虑这些用户产生的导频污染，即这两个用户对应的节点不连接；而当ω_{< l, k>, < j, k>}≥ω_th时，则认为这些用户会产生较为严重的导频污染，即这两个用户对应的节点相连接，并将它们的ω_{< l, k>, < j, k>}值作为边权值。

为了简便，对于同一小区的不同用户相互连接，其边取值为-1，因此，可以构建一个边权值干扰图作为无向加权图G=(V, E)，如图 3可知，其中, 集合V中的顶点表示用户，集合E中边值表示导频污染的程度。

2.2 基于图着色的导频分配

为了获得导频开销与减小导频污染之间的折中，在导频资源有限的约束条件下，提出了基于图着色的导频分配方案来减小导频污染。受经典Dsatur算法^[17]的启发，其思想是根据顶点的度数进行降序排序，尽可能地复用颜色对它们依次进行着色。基于图着色的导频分配是在边权值干扰图的基础上，针对具有较大权值连接的用户，因其受导频污染程度较大，优先为其分配导频。然而，与Dsatur算法中未连接的顶点分配相同颜色的思想不同的是，在边权值干扰图中，具有较小权值的不同小区的两个用户可能会分配相同的导频，其原因是在实际大规模MIMO系统中有限的导频资源的额外约束。因此，在颜色不足的约束下，所提的导频分配方案可视为经典Dsatur算法的特定变体。在数学上，所提的导频分配方案的伪代码如算法1。

算法1  基于图着色的导频分配算法。

输入   k=1, 2, …, K, L, S, β_{< j, k>, l}；

输出  导频分配{ϕ_{< l, k>}}。

1) 计算ω_{< l, k>, < j, k>}值，构建加权干扰图G=(V, E)；

2) 初始化{ϕ_{< l, k>}}=0；

3) 选择ω_{< l, k>, < j, k>}值最大的边所对应的不同小区的两个用户：

$ \left\{ {{l_1},{k_1},{l_2},{k_2}} \right\} = \mathop {\arg\max }\limits_{_{\left\{ {l,k,j,l \ne j} \right\}}} {\omega _{\left\langle {l,k} \right\rangle ,\left\langle {j,k} \right\rangle }} $

4) 选中的两个用户分别分配导频：

$ {\phi _{\left\langle {{l_1},{k_1}} \right\rangle }} = 1,{\phi _{\left\langle {{l_2},{k_2}} \right\rangle }} = 2 $

5) 定义Ω={ < l₁, k₁>, < l₂, k₂>}

6) while ∃ϕ_{< l, k>}=0 do

7) 引入优先参数：$ {\delta _{\left\langle {l,k} \right\rangle }} = \sum\limits_{\left\langle {j,k} \right\rangle \in \mathit{\Omega} ,l \ne j} {{\omega _{\left\langle {l,k} \right\rangle ,\left\langle {j,k} \right\rangle }}} $

8) $ \left\langle {{l_0},{k_0}} \right\rangle = \mathop {\arg\max }\limits_{\left\langle {l,k} \right\rangle } \left\{ {{\delta _{_{\left\langle {l,k} \right\rangle }}}:\left\langle {l,k} \right\rangle \notin \mathit{\Omega} } \right\}$

9) 构建最优导频集：$ \varLambda = \left\{ {s:\forall k,{\phi _{\left\langle {{j_0},k} \right\rangle }} \ne s,1 \le s \le S} \right\}$

10)使用导频的次数：$ {\lambda _s} = \sum\limits_{\left\langle {l,k} \right\rangle \in \mathit{\Omega} ,{\phi _{\left\langle {l,k} \right\rangle }} = s} {{\omega _{\left\langle {{l_0},{k_0}} \right\rangle ,\left\langle {l,k} \right\rangle }}} $

11) $ {\phi _{\left\langle {{l_0},{k_0}} \right\rangle }} = \mathop {\arg \min }\limits_s \left\{ {{\lambda _s}:s \in \varLambda } \right\}$

12) Ω=Ω∩{ < l₀, k₀>}

假设所有小区使用同一组正交导频，基于图着色的导频分配主要包括三个部分：初始化、用户选择和导频分配。首先对加权干扰图进行初始化(步骤3)~5))，在无向加权图中选择ω_{< l, k>, < j, k>}值最大的边所对应的不同小区的两个用户，即用户 < l₁, k₁>和 < l₂, k₂>。在步骤4)中，对上述所选择的两个用户分别分配ϕ₁和ϕ₂。于是，在步骤5)中，将它们分配完导频的用户添加到Ω集中作为Ω的初始化。之后，再选择剩下未分配导频的用户对它们依次分配导频，直到所有的用户被分配导频，即不存在ϕ_{< l, k>}=0的情况。

用户选择(步骤7)和8))。在步骤7)中，为了选择用户，本文引入了一个优先参数δ_{< l, k>}，以此来定义用户 < l, k>与其他在Ω中的用户所连接的边权值的总和。于是，在步骤8)中，除去Ω集中所分配的用户，选择δ_{< l, k>}值最大所对应的用户 < l₀, k₀>。

导频分配(步骤9)~12))。本文基于图着色的导频分配方案是从可用的导频资源中选择引起导频污染程度最小的导频分配给用户 < l₀, k₀>。具体地，在步骤9)中构建最优导频集Λ，其中包含第l₀小区中未被使用的导频，以确保同一小区不存在导频复用。于是，在步骤10)中，假定用户 < l₀, k₀>分配导频ϕ_s，本文定义了λ_s来表示在Ω集中含导频ϕ_s的用户与用户 < l₀, k₀>的导频污染程度，即使用某导频的次数。最后，在步骤11)中，最小的λ_s值所对应的导频将被分配给用户 < l₀, k₀>，之后，在步骤12)中，将分配好导频的用户 < l₀, k₀>添加到Ω集中。以此类推，直到所有的用户分配相应的导频。

3 仿真结果与分析

本章利用蒙特卡罗法对所提的基于图着色的导频分配方案进行仿真分析。仿真中考虑的是由L个小区组成的蜂窝系统，每个小区包含K个单天线用户和配备N根天线的基站。其中，用户的位置在它们相应的小区中随机生成，同时，大尺度衰落系数β_{< j, k>, l}通过式(2)随机生成。目前大多数文献都是针对目标小区的情况，其中文献[12]考虑了不同用户与基站之间信道质量不同的因素，而本方案是在文献[12]的基础上，有别于只针对目标小区的情形，将其运用到所有小区，应用场景更大，提高整体的系统性能，所以仿真中将所提方案与随机导频分配方案和文献[12]中的导频分配方案对比其优劣性。系统的参数归纳为表 1所示。

图 4为用户上行平均可达速率随平均发射功率的变化，其中，正交导频数S=8，天线数M=100。从图 4中可以看出，随着平均发射功率ρ的不断增加，所考虑的导频分配方案的用户上行平均可达速率会逐渐增大，并且在平均功率值较小时，增长的速率比较快，而在平均功率值较大时，增长速率变得相对平稳。同时可以发现，与文献[12]中的导频分配方案相比，本文所提的导频分配方案的上行可达速率提升了近0.12 b/(s·Hz)，而相比随机导频分配方案，所提方案获得了较大的提升。

图 5为用户上行可达速率的累积分布函数，其中正交导频数S=20，天线数M=128。从图 5中可以看出，在正交导频数多于每小区内用户数时，所提的导频分配方案的系统性能优于随机导频分配方案和文献[12]中的导频分配方案，并且本文所提的方案与文献[12]中导频分配方案的性能间隔近似为0.28 b/(s·Hz)。

图 6为用户上行信干噪比的累积分布函数，其中正交导频数S=12，天线数M=256。从图 6中可以看出，虽然文献[12]中导频分配的性能高于随机分配导频方案，但是低于所提的导频分配方案，这是因为文献[12]中的导频方案是保证目标小区中用户分配导频资源的公平性，而所提的方案是考虑所有小区中导频复用的情况。因此本文所提方案是考虑不同小区用户间导频污染程度不同情况，集中式地分配导频给所有小区的用户，应用场景更加广泛。

4 结语

本文针对大规模MIMO系统导频污染问题，提出了一种基于图着色的导频分配方案来提升系统的上行可达和速率，同时减小多小区间的导频污染。通过构建边权值干扰图，在传统图着色理论基础上，集中式地优先分配导频资源给受导频污染严重的用户。通过仿真结果可以发现，本方案在考虑不同小区用户间导频污染程度不同的情况下，提高了系统可达和速率，降低了用户间的干扰。由于小区协作的工作方式获取导频分配信息的开销大，在下一步的工作中，将考虑利用经济学的思想，提出基于博弈论的导频分配方案。