0 引言

分布式多输入多输出(Distributed Multiple Input Multiple Output, D-MIMO)系统因其能够通过缩短收发距离提高数据速率, 减小发射功率，受到学术界和产业界的广泛关注^[1-3]。在D-MIMO系统中，配置大规模天线的基站(Base Station, BS)与空间独立分布的多天线接入端口(Access Port, AP)通信。因此，BS与APs的链路受小尺度和大尺度衰落的影响，使得D-MIMO系统的性能分析更具挑战性^[3]。另外，目前大多文献主要基于二维(Two-Dimensional, 2D)信道模型进行研究，但2D信道模型只考虑天线水平辐射增益的影响，忽略了垂直辐射增益的影响。为了使信道模型更加符合实际，提出了三维(Three-Dimensional, 3D) MIMO信道模型。对于3D-MIMO信道，天线下倾角3D模型是最普遍的模型，该模型被广泛应用于雷达和射频通信系统^[4-5]，并被第三代合作伙伴计划(the third Generation Partnership Project, 3GPP)采纳为LTE-Advanced (LTE-A)的无线通信标准^[7]。然而，针对复合衰落信道下的3D D-MIMO系统性能的研究仍处于初始阶段。因此，本文研究基于K复合衰落信道的3D D-MIMO系统和速率的性能。

和速率作为性能的关键指标，被用来分析MIMO系统的性能^{[5, 7-12]}。在文献[7]中，基于高斯-埃尔米特多项式，推导给出了瑞利/对数正态(Rayleigh/Lognormal, RLN)复合衰落信道场景下点对点MIMO系统的近似和速率闭式表达式。文献[8]基于Nakagami-m/对数正态(Nakagami-m/Lognormal, NLN)复合衰落信道，推导给出集中式MIMO和D-MIMO系统的和速率上下界的闭式表达式。运用随机矩阵理论，文献[5]推导出RLN复合衰落信道下迫零(Zero-Forcing, ZF)接收的3D MIMO系统和速率的闭式上界表达式，所得上界同时考虑小尺度衰落、大尺度衰落以及3D天线的辐射损耗。同时考虑水平和垂直增益，文献[9]提出一种联合有限反馈预编码方案。文献[10]基于K复合衰落信道，推导出3D多用户MIMO系统和速率的闭式下界，并进一步研究了下倾角对3D MIMO系统的性能影响。针对高楼覆盖场景，文献[11]研究基于线性最小均方误差(Minimum Mean Square Error, MMSE)检测方案下3D MIMO系统和速率性能，推导出系统和速率闭式表达式。然而，由于对数正态分布的存在，使得信息输出信噪比不存在闭式表达式。为了避免这个问题，文献[10, 12]用伽马分布近似对数正态分布，分析分布式MIMO和多用户MIMO和速率性能。上述所得模型，即K复合衰落，将是本文的参考模型。

鉴于上述分析，本文研究在K复合衰落信道下的3D D-MIMO系统性能，推导出D-MIMO系统ZF接收和速率上界的闭式表达式。所得和速率上界考虑AP分布和BS天线下倾角对系统性能的影响。基于所得闭式表达式，分析3D D-MIMO系统和速率渐进性能，推导出高信噪比条件下的近似表达式。最后，针对大规模天线配置下D-MIMO系统渐进性能进行分析。

1 3D-MIMO衰落信道模型和用户分布 1.1 3D MIMO衰落信道模型

本文考虑单小区上行3D D-MIMO系统，每个小区分为三个扇区，每个扇区的BS配置有N_r个接收天线，K个AP，每个AP有N_t个发射天线(N_r≥KN_t)。假设所有AP未知信道状态信息(Channel State Information, CSI)，BS获知完备的CSI。因此，最佳的传输方案是全部用户等功率(p_u)发送信息，根据以上所述，BS的接收信号向量y∈C^N_r×1[10]如下：

$\mathit{\boldsymbol{y}} = \sqrt {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \mathit{\boldsymbol{Gx}}{\rm{ + }}\mathit{\boldsymbol{n}}$

(1)

其中:G∈C^N_r×KN_t表示所在BS与所有AP之间的信道矩阵；g_nk=[G]_nk是BS的第n个天线与第k个AP之间的信道系数；x∈C^KN_t×1是K个AP的发送信号向量；n∈C^N_r×1是零均值、单位协方差的加性高斯白噪声(Addition White Gaussian Noise, AWGN), n~CN(0, I_Nr)。

信道矩阵G包括小尺度和大尺度衰落，其表达式^[12]为:

$\mathit{\boldsymbol{G}} = \mathit{\boldsymbol{H}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}^{\frac{1}{2}}}$

(2)

其中:H∈C^N_r×KN_t表示瑞利衰落，其元素为CN(0, 1)；对角矩阵Ω∈C^KN_t×KN_t表示大尺度衰落，其表达式为Ω=diag{Ω_k}_k=1^K=diag{ξ_ka(Δφ_k, Δθ_k)d_m^vI_Nt}_k=1^K(k=1, 2，…, K)，其中d_k表示BS与第k个AP的距离，v∈[2, 8]是路径损耗指数^[13]。相应地，阴影衰落考虑伽马分布，ξ_k的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)^[3]为:

$p\left( {{\xi _k}} \right) = \frac{{s_k^{{s_k}}\xi _k^{{s_k} - 1}}}{{\Gamma \left( {{s_k}} \right)m_k^{{s_k}}}}{\rm{exp}}\left( { - \frac{{{s_k}{\xi _k}}}{{{m_k}}}} \right),{\xi _k},{s_k},{m_k} \ge 0$

(3)

其中:s_k和m_k分别是伽马分布的形状和尺度参数^[14]。

对于3D天线模型，下倾角模型被广泛应用于无线通信标准中，如LTE-A^[6]。系数a(Δφ_k, Δθ_k)是BS 3D天线的辐射增益，由水平方位角和垂直俯仰角决定。(x_BS, y_BS, z_BS)和(x_k, y_k, z_k)分别是BS与第k个用户的坐标，第k个AP与BS的x轴坐标差值即Δx_k=x_k-x_BS。同理，可获得Δy_k和Δz_k。

则相应的水平方位角和垂直俯仰角^[5]为:

$\Delta {\phi _k} = {\rm{atan}}2\left( {\Delta x,\Delta y} \right) - {\alpha _{{\rm{orn}}}}$

(4)

$\Delta {\theta _k} = {\rm{atan}}2\left( {\Delta z,\sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {{\left( {\Delta y} \right)}^2}} } \right) - {\beta _{{\rm{tilt}}}}$

(5)

其中:α_orn为固定初始方向角，β_tilt∈[-90°, 90°]表示天线下倾角。

因此，天线增益a(Δφ_k, Δθ_k)可以表示如下(所有a值用分贝表示)^[6]:

$a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right) = {a_h}\left( {\Delta {\phi _k}} \right) + {a_v}\left( {\Delta {\theta _k}} \right)$

(6)

${a_{\rm{h}}}\left( {\Delta {\phi _k}} \right) = - {\rm{min}}\left\{ {12{{\left( {\Delta {\phi _k}/{\phi _{{\rm{3dB}}}}} \right)}^2},SL{L_{\rm{h}}}} \right\} + {A_{\rm{m}}}$

(7)

${a_{\rm{v}}}\left( {\Delta {\theta _k}} \right) = {\rm{max}}\left\{ { - 12{{\left( {\Delta {\theta _k}/{\theta _{{\rm{3dB}}}}} \right)}^2},SL{L_{\rm{v}}}} \right\}$

(8)

其中:a_h和a_v分别表示天线的水平和垂直增益；φ_3dB和θ_3dB分别表示水平和垂直半功率波束宽度(Half-Power BeamWidth, HPBW)；SLL_h和SLL_v分别表示水平和垂直旁瓣电平；最后，A_m表示最大天线增益。此外，第k个用户与BS之间的距离d_k可表示为:

${d_k} = \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {{\left( {\Delta y} \right)}^2} + {{\left( {\Delta z} \right)}^2}} $

(9)

综上所述，大尺度衰落系数^[5]可表示为:

${\mathit{\Omega }_k} = {\xi _k}{10^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}d_k^{ - v}$

(10)

1.2 AP分布模型

本节讨论AP的分布。为了便于分析，假设小区近似为圆形，AP独立且均匀地分布在R₁≥R₀的环形区域内。因此，用户极坐标(x, α)形式的概率密度函数^[10]为:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{2x}}{{R_1^2 - R_0^2}},} & {{R_0} \le x \le {R_1}}\\ {0,} & {其他} \end{array}} \right.$

(11)

$f\left( \alpha \right) = 1/\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right),0 \le \alpha \le 2{\rm{ \mathsf{ π} }}$

(12)

其中:R₁是小区的半径，R₀是BS与AP的最小距离。

2 可达和速率及上界

本章分析基于K复合衰落信道的3D D-MIMO系统的上界。首先，给出基于ZF接收的3D D-MIMO系统的可达和速率性能。基于信号与干扰加噪声比(Signal Interference Plus Noise Ratio, SINR)的统计特征, 推导出在K复合衰落信道下，ZF接收的3D D-MIMO系统的两种可达和速率上界的闭式表达式。

2.1 3D D-MIMO系统的可达和速率

如第1章的讨论，所有AP未知CSI，BS获知完备的CSI。通过线性检测器，BS检测后信息为:

$\mathit{\boldsymbol{r}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{y}}$

(13)

将式(1)代入式(13)，检测信息可表示为:

$\mathit{\boldsymbol{r}} = \sqrt {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{Gx}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{n}}$

(14)

因此，由第k个AP发送到BS的接收信号为:

${\gamma _k} = \sqrt {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \mathit{\boldsymbol{a}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{g}}_k}{\mathit{\boldsymbol{x}}_k} + \sum\limits_{i = 1,i \ne k}^{K{N_t}} {\sqrt {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \mathit{\boldsymbol{a}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{g}}_i}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} + \mathit{\boldsymbol{a}}_k^{\rm{H}}\mathit{\boldsymbol{n}}$

(15)

其中，a_k和g_k分别表示检测矩阵A和信道矩阵G的第k列元素，因此第k个AP的SINR为:

${\gamma _k} = \frac{{\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{a}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{g}}_k}} \right|}^2}}}{{\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}\sum\limits_{i = 1,i \ne k}^K {{{\left| {\mathit{\boldsymbol{a}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{g}}_i}} \right|}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{a}}_k}} \right\|}^2}} }}$

(16)

本文采用ZF检测器，A^H=(G^HG)^-1G^H[15]，因此系统的SINR式γ_k^ZF为:

$\gamma _k^{{\rm{ZF}}} = \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}{{\left[ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{G}}} \right)}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}}} = \frac{{{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}}}{{K{N_t}{{\left[ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}}}$

(17)

根据式(17)可知，可达和速率是通过所有独立AP速率之和获得:

${{\mathscr{R}}^{{\rm{ZF}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {1 + {\gamma _k}} \right)} \right]} $

(18)

其中期望操作针对小尺度衰落H和大尺度衰落Ω(阴影衰落和路径损耗)。

2.2 和速率的闭式上界

利用文献[16]和[17]的相关结论，推导出K复合衰落信道场景下3D D-MIMO系统和速率上界的闭式表达式，具体由以下定理给出。

定理 1   对于K复合衰落信道，基于ZF接收的3D D-MIMO系统可达和速率上界通过${{\mathscr{R}}^{{\rm{ZF}}}} \le {\mathscr{R}}_1^{{\rm{ZF}}}$可知:

$\begin{array}{l} {{\mathscr{R}}_1^{{\rm{ZF}}}} = \\ \quad K{N_t}{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {\frac{1}{{{N_r} - K{N_t}}} + \frac{{2\alpha {p_u}}}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right)} } \right) + \\ \quad \frac{{K{N_t}}}{{{\rm{ln}}2}}\psi \left( {{N_r} - K{N_t} + 1} \right) \end{array}$

(19)

其中:$\alpha = \frac{{\left( {R_1^{2 - v} - R_0^{2 - v}} \right)}}{{\left( {R_1^2 - R_0^2} \right)\left( {2 - v} \right)}},\psi \left( \cdot \right)$为双伽马函数^[18]。

证明   为便于分析，令W=H^HH。将式(17)代入式(18)，可得出:

$\begin{array}{l} {\mathscr{R}^{_{{\rm{ZF}}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}(1 + \frac{{{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}}}{{K{N_t}{{\left[ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}}})} \right]} = \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}(1 + \frac{{{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}}}{{K{N_t}{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}}})} \right]} = \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}({{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}} + \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}) - {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}} \right)} \right] = } \\ \;\;\;\;\;\;\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}({{\left[ {{{\bf{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}} + \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}})} \right]} }_c - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}} \right)} \right]} }_d \end{array}$

(20)

鉴于文献[16]，式(20)的第一项的上界可表示为:

$\begin{array}{l} c\mathop \le \limits^{\left( a \right)} \\ K{N_t}E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\frac{1}{{K{N_t}}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]}_{kk}}} \right) + \frac{1}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}} \right)} } } \right)} \right] = \\ K{N_t}E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {\frac{1}{{K{N_t}}}{\rm{tr}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right) + \frac{1}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}} \right)} } \right)} \right]\;\mathop \le \limits^{\left( b \right)} \\ K{N_t}\left( {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {\frac{1}{{K{N_t}}}E\left[ {{\rm{tr}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right)} \right] + \frac{1}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}{p_u}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left\{ {{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}} \right\}} } \right)} \right) = \\ K{N_t}\left( {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {E\left[ {{\lambda ^{ - 1}}} \right] + \frac{1}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}{p_u}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left\{ {{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}} \right\}} } \right)} \right) \end{array}$

(21)

其中:λ是矩阵H的无序特征值，(a)源于算数平均值和几何平均值之间的关系，(b)通过杰森不等式获得。

式(21)的第一项可通过文献[19]的结果简化为:

$E\left\{ {\frac{1}{\lambda }} \right\} = \frac{1}{{{N_r} - K{N_t}}}$

(22)

由于阴影衰落、辐射增益、路径损耗相互独立，式(21)的最后一项可改写为:

$\begin{array}{l} E\left\{ {{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}} \right\} = E\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}_k}} \right\} = E\left( {{\xi _k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}d_k^{ - v}} \right) = \;\\ \underbrace {E\left( {{\xi _k}} \right)}_{①}\underbrace {E\left( {{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right)}_{②}\underbrace {E\left( {d_k^{ - v}} \right)}_{③} \end{array}$

(23)

$\begin{array}{l} ① = \int_0^{ + \infty } {{\xi _k}p\left( {{\xi _k}} \right)} {\rm{d}}\left( {{\xi _k}} \right) = \\ \frac{{s_k^{{s_k}}}}{{\Gamma \left( {{s_k}} \right)m_k^{{s_k}}}} \times \int_0^{ + \infty } {\xi _k^{{s_k} - 1}{\xi _k}} {\rm{exp}}\left( { - \frac{{{s_k}{\xi _k}}}{{{m_k}}}} \right){\rm{d}}\left( {{\xi _k}} \right) \end{array}$

(24)

使用下面的积分恒等式和伽马函数的性质^[19]:

$\int_0^{ + \infty } {{x^{u - 1}}} {\rm{exp}}\left( { - \mu x} \right){\rm{d}}x = \frac{{\Gamma \left( u \right)}}{{{\mu ^u}}}$

(25)

$\Gamma \left( {x + 1} \right) = x\Gamma \left( x \right)$

(26)

经过一些简化，式(24)的结果可以进一步简化为:

$① = {m_k}$

(27)

对于②，结果如下:

$② = {10^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}$

(28)

结合式(11)和期望的定义，③可以进一步表示为:

$\begin{array}{l} ③ = \int_{{R_0}}^{{R_1}} {d_k^{ - v}p\left( {{d_k}} \right)} {\rm{d}}\left( {{d_k}} \right) = \frac{2}{{R_1^2 - R_2^2}}\int_{{R_0}}^R {d_k^{ - v + 1}} {\rm{d}}\left( {{d_k}} \right) = \\ \;\;\;\;\frac{{2\left( {R_1^{2 - v} - R_0^{2 - v}} \right)}}{{\left( {R_1^2 - R_0^2} \right)\left( {2 - v} \right)}} \end{array}$

(29)

代入式(27)、(28)和(29)到式(23)，可获得大尺度衰落:

$E\left\{ {{\mathit{\Omega }_k}} \right\} = 2{m_k}{10^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}\frac{{\left( {R_1^{2 - v} - R_0^{2 - v}} \right)}}{{\left( {R_1^2 - R_0^2} \right)\left( {2 - v} \right)}}$

(30)

因此，结合式(22)和式(30)，可获得式(21)的最后结果:

$\begin{array}{l} c = K{N_t}{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {\frac{1}{{{N_r} - K{N_t}}} + \frac{{{p_u}}}{{{{\left( {K{N_t}} \right)}^2}}}} \right. \times \\ \left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}\frac{{2\left( {R_1^{2 - v} - R_0^{2 - v}} \right)}}{{\left( {R_1^2 - R_0^2} \right)\left( {2 - v} \right)}}} \right)} } \right) \end{array}$

(31)

借助于以下关键矩阵性质^[20]:

${\left[ {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}} \right]_{kk}} = \frac{{{\rm{det}}({\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}})}}{{{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)}} = \frac{{{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})}}{{{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)}}$

(32)

将式(32)代入式(20)的d可表示为:

$\begin{array}{l} d = \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})} \right) - {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)} \right)} \right]} {\rm{ = }}\\ \;\quad \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})} \right)} \right] - K{N_t}E\left[ {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{b}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)} \right)} \right]} {\rm{ = }}\\ \;\quad \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\frac{1}{{{\rm{ln2}}}}E\left[ {{\rm{ln}}\left( {{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})} \right)} \right] - } \\ \;\quad \frac{{K{N_t}}}{{\ln 2}}E\left[ {{\rm{ln}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)} \right)} \right] \end{array}$

(33)

根据文献[16]，可知:

$E\left[ {{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})} \right] = \frac{{{N_r}!}}{{({N_r} - K{N_t})!}}$

(34)

$E\left[ {{\rm{ln}}\left( {{\rm{det}}(\mathit{\boldsymbol{H}}_k^{\rm{H}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_k})} \right)} \right] = \sum\limits_{m = 0}^{K{N_t} - 1} {\psi ({N_r} - m)} $

(35)

经过一些运算，结合式(31)、(33)、(34)和式(35)，可得出式(19)的结论。

由定理1可知，和速率随着参数p_u、m_k、a(Δφ_k, Δθ_k)和R₀的增加而增加，随着小区较大半径R₁的增加而减少。此外，还可以观察到，增加更多的发射天线对于和速率并不总是有益的。

为了揭示系统参数对和速率的影响，接下来的推论对高信噪比条件下的和速率进行渐进性分析。

推论 1   对于高信噪比，和速率上界可进一步表述为:

$\mathscr{R}{{_{1}^{\text{ZF}}}^{\infty }}=K{{N}_{t}}1\text{b}\left( \frac{{{p}_{u}}}{K{{N}_{t}}} \right)+K{{N}_{t}}1\text{b}\left( \frac{2\alpha }{K{{N}_{t}}}\sum\limits_{k=1}^{K{{N}_{t}}}{{{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}}} \right)$

(36)

证明   对于高p_u值，式(19)中对数函数的常数项可忽略不计。用定理1相似的方法可完成证明。

对于推论1，可以观察到，和速率随着天线的最小值的增大而增大，此结果与文献[16]的结果相一致。接下来，用不同的方法推导出相似的上界，以下定理给出了关键的结果。

定理 2   在K复合衰落信道情况下，基于ZF接收的3D D-MIMO系统可达和速率的上界可表示为${\mathscr{R}^{{\rm{ZF}}}} \le \mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}}$:

$\begin{array}{l} \mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}} = \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {1{\rm{b}}\left( {\frac{{{N_r}!}}{{\left( {{N_r} - K{N_t} + 1} \right)!}} + \frac{{2\alpha {p_u}{N_r}!}}{{K{N_t}\left( {{N_r} - K{N_t}} \right)!}} \times } \right.} \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left. {\left( {{m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right)} \right)} \right) - \frac{{K{N_t}}}{{{\rm{ln}}2}}\sum\limits_{m = 1}^{K{N_t} - 1} {\psi \left( {{N_r} + 1 - m} \right)} \end{array}$

(37)

证明   结合式(17)和式(18)，可得出表达式:

$\begin{array}{l} { \mathscr{R}^{{\rm{ZF}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {1{\rm{b}}\left( {1 + \frac{{\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)}}{{{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right)}}} \right)} \right] = } \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {1{\rm{b}}\left( {\frac{{{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right) + \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)}}{{\det \left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right)}}} \right)} \right]} = \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} E \left[ {1{\rm{b}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right) + \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)} \right)} \right. - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {1{\rm{b}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right)} \right)} \right] = \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {1{\rm{b}}\left[ {E\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right) + \frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}E\left[ {{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)} \right]} \right)} \right]} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{{\rm{ln}}2}}\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {E\left[ {{\rm{ln}}\left( {{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right)} \right)} \right]} \end{array}$

(38)

利用式(30)、(34)和式(35)的结论，借助杰森不等式，可得出式(37)的结果。

如定理1所讨论，上界$\mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}}$随着参数p_u，m_k，a(Δφ_k, Δθ_k)和α的增加而增加。另外，大规模发射天线KN_t对系统性能并不总是有益的。这与文献[21]的结果相一致。

同理，为了进一步揭示系统和衰落参数对性能的影响，接下来将对定理2的高信噪比渐进性能进行分析。

推论 2   高信噪比下，系统和速率上界趋近于:

$\begin{align} & \mathscr{R}{{_{1}^{\text{ZF}}}^{\infty }}=K{{N}_{t}}1\text{b}\left( \frac{{{p}_{u}}}{K{{N}_{t}}} \right)+\frac{K{{N}_{t}}}{\text{ln}2}\psi \left( {{N}_{r}}-K{{N}_{t}}+1 \right)+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{k=1}^{K{{N}_{t}}}{1\text{b}\left( 2\alpha {{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}} \right)} \\ \end{align}$

(39)

证明   对于高信噪比(p_u→∞), 式(38)对数中的主项为$\frac{{{p_u}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} \right]}_{kk}}{\rm{det}}\left( \mathit{\boldsymbol{W}} \right)}}{{K{N_t}{\rm{det}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{kk}}} \right)}}$，结合式(30)、(34)、(35)和杰森不等式，可以得到式(39)的结论。

推论2解释了系统参数和衰落参数对性能的影响。由推论2可知，和速率渐近线性能随着信噪比(p_u)和衰落参数(m_k)增加呈对数增加，该结论与文献[10]的结果一致。

2.3 大规模MIMO系统的渐进分析

近年来，大规模MIMO技术由于具有高频谱效率和能量效率等优势，被认为是未来第五代移动通信的突破性技术之一^{[15, 24-26]}。然而，在大规模系统中，关于3D D-MIMO系统对和速率性能影响的研究还很少。鉴于此，本文对大规模系统的渐进性能进行分析，并给出ZF接收的3D D-MIMO系统和速率的闭式表达式。

推论 3   对于大规模配置(N_r→∞)，第一种上界$\mathscr{R}_1^{{\rm{ZF}}}$趋于：

$\begin{array}{l} \mathscr{R}_1^{{\rm{ZF}}} = K{N_t}1{\rm{b}}\left( {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \right) + K{N_t}1{\rm{b}}\left( {\frac{{2\alpha }}{{K{N_t}}}} \right.\left. {\sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {\left( {{m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right)} } \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;K{N_t}1{\rm{b}}\left( {{N_r}} \right) \end{array}$

(40)

证明   当式(19)中的N_r趋于无穷大时，根据以下等式^[31]

$\psi \left( x \right) \approx {\rm{ln}}\left( x \right),\;x \to \infty $

(41)

利用与定理1的方法，经过一些简化，可得出式(40)的结果。

推论3的结果显示和速率随着发射功率p_u和BS天线个数N_r的增加呈对数增加。接下来，当BS天线个数趋于无穷时，对$\mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}}$的渐进上界进行了研究。

推论 4   对于大规模配置(N_r→∞)，第二种上界$\mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}}$趋于：

$\begin{array}{l} \mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}} = K{N_t}1{\rm{b}}\left( {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \right) + \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {1{\rm{b}}\left( {2\alpha {m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right) + } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;K{N_t}1{\rm{b}}\left( {{N_r}} \right) \end{array}$

(42)

证明   利用式(40)，式(31)可进一步表示为:

$\begin{array}{l} \mathscr{R}_2^{{\rm{ZF}}} = K{N_t}1{\rm{b}}\left( {\frac{{{p_u}}}{{K{N_t}}}} \right) + \sum\limits_{k = 1}^{K{N_t}} {1{\rm{b}}\left( {2\alpha {m_k}{{10}^{\frac{{a\left( {\Delta {\phi _k},\Delta {\theta _k}} \right)}}{{10}}}}} \right)} + \\ \quad \quad K{N_t}1{\rm{b}}\left( {\frac{{{N_r}!}}{{\left( {{N_r} - K{N_t}} \right)!}}} \right) - K{N_t}\left( {K{N_t} - 1} \right)1{\rm{b}}\left( {{N_r}} \right) \end{array}$

(43)

利用以下等式^[18]:

${\rm{ln}}\;x! \approx x\;{\rm{ln}}\;x - x,\;x \to \infty $

(44)

经过一些代数运算，可得出式(42)的结果。

从推论3和推论4可以得出，当BS天线个数增大时，第二种上界趋于第一种上界。此外，在大规模天线配置下，小尺度衰落影响可以忽略，这与文献[5]和文献[17]的结果相一致。最后，可以观察到，增大发射功率和BS天线个数对系统性能总是有益的。

3 仿真结果

本章通过仿真验证2.2节和2.3节分析的正确性。对于多径、阴影信道和AP分布，通过100000次随机生成、瑞利、伽马随机变量以及AP的随机位置，并通过式(18)获得系统的蒙特卡洛和速率。假设天线倾角正方向向下，在没有特殊说明的情况下，系统和3D MIMO仿真参数如表 1所示。

图 1仿真验证了式(19)中的第一种上界，式(37)中的第二种上界和式(18) ^[10]中的蒙特卡洛仿真间的紧密性。由图 1可知，3D D-MIMO系统的和速率在临界角之前随着倾角的增加而增加，之后随着倾角的增大而减小。受天线垂直俯仰角的影响，3D D-MIMO系统的性能在天线倾角为5°~40°优于2D D-MIMO系统。从图 1还可以观察到，两种上界在整个倾角范围保持足够紧密，且第一种上界比第二种上界更加紧密。

图 2仿真分析了式(19)中第一个上界、式(37)中第二个上界、文献[10]中式(18)上界以及蒙特卡洛仿真结果。本仿真考虑在不同数目AP的情况(K=1, 2)。

正如图 1所讨论，在整个信噪比范围，三种上界保持紧密，并且三个上界与蒙特考虑逼近程度依次为(逼近关系由紧至松)：第一个上界、文献[10]的上界、第二种上界。在K=1时三个上界比K=2时逼近程度更好，其原因在于路径损耗和阴影衰落的差异。此外，在整个信噪比范围，本文给出的第一个上界要优于文献[10]的上界，而本文的第二个上界要次于文献[10]的结果。再者，由图 2还可以看出，随着信噪比的增加(K=2)，三种上界的逼近程度逐渐变差。最后，可以得出，3D D-MIMO系统的性能在整个倾角范围优于2D D-MIMO系统的性能。

图 3仿真给出了理论分析、高信噪比近似以及蒙特卡洛性能关系图。由图 3可以看出，在高信噪比情况下，式(36)和(39)的渐进性能与式(19)和(37)充分一致。由此表明理论分析的正确性。此外，图 3还表明3D MIMO随着信噪比的增加趋近于上界的速度要快于2D MIMO系统，相似的结论在文献[27]中出现过。最后，由局部放大图可以看出，在高信噪比情况下，理论分析、高信噪比近似以及蒙特卡洛性能曲线充分一致。

图 3显示不同的BS天线数对和速率性能以及式(39)和(41)中上界的影响。正如预期，和速率随BS天线个数N_r呈对数增长，验证了理论分析。此外，还可以得出，两种上界随着BS天线个数增多而变紧，且第一种上界比第二种上界更紧密。对于大规模接收天线N_r，所得上界与理论和速率相一致。最后，3D D-MIMO系统的和速率性能优于2D D-MIMO系统。

4 结语

本文针对K复合衰落信道，基于ZF接收的3D D-MIMO系统可达和速率性能进行分析。首先推导出两种上界的闭式表达式，这两种表达式适用于任意天线数和信噪比。同时考虑3D MIMO和3D用户分布, 利用所得上界对大规模MIMO系统的新兴领域进行了详细的研究，并给出“大系统”极限的有利结果。总之，在BS配置更多天线的情况下，适当的天线下倾角和用户数才能获得最佳和速率。