0 引言

布谷鸟搜索(Cuckoo Search,CS)算法是2009年Yang等^[1]提出的。类似于粒子群优化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法^[2]、遗传算法^[3]，是一种新颖的元启发式算法。这种算法源于布谷鸟的巢寄生繁殖机制和鸟类与果蝇的莱维飞行(Levy flight)^[4]行为这两个方面。任何优化算法都必然存在优缺点，布谷鸟算法也不例外。为了克服布谷鸟算法在进化后期收敛速度慢、易陷入局部最优等不足，学者们在近几年来努力对其改进并取得了一些成果。2011年Rajabioun等^[5]将布谷鸟算法与遗传算法相比较；2013年刘长平等^[6]将CS算法与粒子群算法和萤火虫算法进行了测试比较；2014年，Li等^[7]将正交法和布谷鸟算法结合；2016年，Uroš等^[8]将CS算法与差分进化算法相比较，CS算法均表现其优良的性能。此外，这个算法参数设置少、简单且容易实现，是非常有参考价值的一种优化算法。

近几年来研究者们将布谷鸟算法应用于实际的优化问题中，从单目标优化问题到多目标优化问题，该算法都表现出了良好的寻优能力；如龙文等^[9]将一种混合的布谷鸟算法应用于求解约束化工优化问题；孙强等^[10]将布谷鸟算法应用于光伏并网中，Lidberg等^[11]将其用于制造飞机和燃气涡轮发动机部件的多任务电池的优化等。有许多研究者们将智能优化算法应用于谐波估计中，2002年Macedo等^[12]将遗传算法应用于谐波检测中，2012年DE A L Rabelo等^[13]将粒子群算法应用于谐波估计中。谐波污染严重影响电力系统的正常运行以及电能的质量，因此，采用布谷鸟算法估计谐波成分具有很高的实用价值。首先，介绍布谷鸟算法的工作原理；其次，对其引入混沌理论，提出了改进的混沌布谷鸟算法；然后，将其应用于谐波估计中，并给出了操作过程；最后，通过实验验证了改进的混沌布谷鸟算法的有效性，并与粒子群算法谐波估计方法进行比较，布谷鸟算法在分析谐波成分时具有明显的优势。

1 布谷鸟搜索算法

布谷鸟采用巢寄生繁殖策略，它将自己的蛋寄放在其他鸟类的巢中让其他鸟类为其孵化。当其他鸟类发现这些外来蛋时，会选择丢弃这些蛋或放弃自己的巢，在其他地方重筑新巢。基于布谷鸟的这种繁殖策略，采用莱维(Levy)飞行方式来更新鸟窝位置，该算法使用以下3个理想规则^[14]：

1) 每只布谷鸟一次产一个卵，并随机选择寄生巢来孵化它。

2) 在随机选择的一组寄生巢中，最好的寄生巢将会被保留到下一代。

3) 可利用的寄生巢数量是固定的,一个寄生巢的主人能发现一个外来鸟蛋的概率为Pa。

在以上3个理想规则的基础上，布谷鸟算法采用莱维飞行随机游动来更新鸟巢位置，其更新公式为：

${{X}_{g+1,i}}={{X}_{g,i}}+\alpha \oplus Levy\left( \lambda \right)$

(1)

其中：α为步长大小，Levy(λ)为随即搜索路径，服从Levy概率分布。

按发现概率Pa丢弃部分解后，按随机偏好游动产生新的解：

${{X}_{g+1,i}}={{X}_{g,i}}+r({{X}_{g,i}}-{{X}_{g,k}})~$

(2)

其中：r是区间(0,1) 内服从均匀分布的随机数；X_g,i和X_g,k是代表第g代的两个不同的随机解。

2 混沌布谷鸟搜索算法

在基本的CS算法中，采用随机初始化产生初始鸟巢位置，具有较大的盲目性，针对混沌运动的特点，将其运用在优化算法的初始过程中，可以增加种群多样性，提高算法的质量。其次，将混沌扰动算子引入算法的局部最优值中，使算法能够跳出局部最优值。将混沌理论引入布谷鸟算法中，利用混沌理论的特性弥补CS算法在迭代后期收敛速度较慢、收敛精度较低的缺点。

2.1 混沌初始化

混沌状态^[15]是自然界中广泛存在的一种非线性现象，具有随机性、遍历性、规律性，对初始条件的敏感性等优点。混沌运动能在一定范围内按其自身的“规律”不重复地遍历所有状态。利用混沌运动的这些特性，可以将其应用于优化搜索。Logistic映射是一种典型的混沌系统，其表达式为：

${{X}_{i+1}}=u{{X}_{i}}\left( 1-{{X}_{i}} \right);i=0,1,2,...,N,u\in \left( 2,4 \right]$

(3)

其中，u为控制变量，当u=4时，X₀∈(0,1) ，Logistic完全处于混沌状态。

混沌初始化的具体过程如下。

步骤1 设置混沌最大迭代次数为M，控制参数u=4，种群规模为N。

步骤2 随机产生D维向量X₀=(x₀₁,x₀₂,…,x_0D)，其中X_0i∈(0,1) 且X_0i∉{0.25,0.5,0.75}。

步骤3 通过式(3) 迭代M次产生M个混沌向量Y_i=(y_i1,y_i2,…,y_iD)，i=1,2,…,M。

步骤4 由式(4) 产生初始鸟巢位置X_i=(x_i1,x_i2,…,x_iD)：

${{x}_{ij}}=x\min +{{y}_{ij}}\left( x\max -x\min \right)$

(4)

步骤5 计算目标函数，从M个初始群体中选出较优的N个鸟巢位置作为初始鸟巢位置。

2.2 混沌扰动算子

随机产生一个D维向量X₀=(x₀₁,x₀₂,…,x_0D)，向量的每个元素均是(0,1) 区间的随机数。根据式(3) ，产生混沌序列X=(x₁,x₂,…,x_D)。

在多维复杂优化问题中，各维之间数值不同，所以各维采取不同的扰动半径。本文采用式(5) 确定扰动半径：

${{R}_{d}}=\beta \bullet \left| \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{N}{{{X}_{k,d}}-{{X}_{best,d}}} \right|$

(5)

其中： β为比例系数，$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{N}{{{X}_{k,d}}}$为当前代鸟巢位置的第d维变量的平均值，X_best,d为当前代最优鸟巢位置第d维变量值。

在偏好随机游动更新鸟巢位置后，对最优鸟巢位置添加混沌扰动算子，其方法如下式：

${{X}_{bezt,d}}={{X}_{best,d}}+{{R}_{d}}\left( 2{{x}_{d}}-1 \right)$

(6)

其中x_d为当前代由式(3) 产生的混沌序列。

3 布谷鸟搜索算法谐波估计 3.1 谐波估计模型

谐波信号可以用傅里叶级数来表示，各次谐波成分都有各自的幅值和相角，一般的谐波信号波形为：

$x(t)={{x}_{0}}{{e}^{-\lambda t}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{c,i}}\cos (i{{\omega }_{0}}t+{{\theta }_{c,i}})}{{A}_{s,i}}\sin (i{{\omega }_{0}}t+{{\theta }_{s,i}})$

(7)

其中：x₀e^-λt是直流衰减成分，λ是时间常数：n表示谐波成分的个数：A_c,i、A_s,i、θ_c,i、θ_s,i正弦和余弦的幅值和相位角：ω₀是基波频率。

谐波信号是连续的，这里需要对其采样离散化，其中离散采样个数m要远大于所需估计参数N+1：

$\begin{align} & x\left( k \right)={{x}_{0}}{{e}^{-\lambda t}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{A}_{c,i}}\cos \left( i{{\omega }_{0}}k{{T}_{s}}+{{\theta }_{c,i}} \right) \right)} \\ & +{{A}_{s,i}}\sin \left( i{{\omega }_{0}}k{{T}_{s}}+{{\theta }_{s,i}} \right) \\ \end{align}$

(8)

其中：k是采样数；T_s是采样时间间隔。

谐波估计的目标函数是均方误差函数^[11]：

$EF=1/\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}{e_{m}^{2}}/m+\Delta }$

(9)

其中：e_m=x(t)-x_e(t)，x(t)为估计信号，x_e(t)是采样信号；Δ取0.00001，使得函数EF在最优点有意义。

3.2 CS算法谐波估计的步骤

谐波估计的参数包括3个方面：直流衰减分量的幅值、时间常数和各次谐波的振幅。

CS算法谐波估计的算法代码如下。

Begin

混沌初始化N个鸟巢位置：X_i=(x_i1,x_i2,…,x_iD),i=1,2,…,N；

 按式(9) 计算适应度值f(X_i)；

 While(不满足结束条件)

 采用莱维飞行更新公式(1) 产生新的解X_ji；

 选择候选解X_j；

 计算新解的适应度值f(X_i)；

 If (f(X_i)>f(X_j))

 用新解替代候选解；

 End

 按发现概率Pa丢弃部分解；

 用偏好随机游动公式(2) 产生新替代丢弃的解；

 比较适应度值，保留较优的解X_best；

 用式(3) 产生混沌序列；

 用式(5) 确定混沌扰动区域；

 对保留的最优解X_best按式(6) 进行混沌扰动，产生新的解X_i替代任意一个当前代的解；

 If (f(X_i)>f(X_best))

 X_best=X_i；

 End

 End

 End

4 实验结果及分析 4.1 混沌布谷鸟算法的性能

对算法的性能分析采用Matlab 2010b来完成，实验中设定种群规模为30，分别在20,50维对表 1中的5个经典单目标测试函数仿真，实验结果在表 2~5和图 1中显示。最大迭代次数为2000，β设为0.5，独立运行50次。

在固定的收敛次数下，分别比较了PSO、CS和CCS算法的收敛精度的最大值、最小值、平均值、标准误差。f₁是简单的单峰函数，常用于测试算法的收敛精度，由表 2的Sphere函数运行结果可知，CS算法的收敛精度远高于PSO算法，CCS算法也在一定程度上提高了收敛精度。f₂~f₄是复杂的多峰函数。其中： f₂在搜索空间内存在多个极值点，极难优化，表 2的Geiwank函数运行结果表明CS算法相比PSO算法有更好的搜索能力，CCS算法则能够更好地跳出局部最优点，搜索到更优的解； f₃函数峰形呈高低跳跃，很难寻到全局最优值，常用于验算全局寻优能力和收敛能力，由表 2的Rastrigin函数运行结果可知，CS算法比PSO算法具有更优的全局寻优能力，由于该函数的强烈震荡，CCS算法相比CS算法未能更好地跳出局部最优点； f₄函数由于全局极小值被无限多个局部极小值所包围，很难跳出局部极小值。由表 2的Rosenbrock函数运行结果可知，CS算法的收敛精度比PSO高，但CCS这种改进算法仍成功提高了收敛精度。

由图 1和表 3可知，PSO、CS、CCS均能够成功收敛。在达到相同目标精度的情况下，CS所需的最大迭代次数、最小迭代次数和平均迭代次数低于PSO算法，成功率高于PSO算法，而CCS算法比标准CS算法更少，成功率更高，说明混沌CS算法的收敛速度、收敛性能明显更优。综上所述，CS算法较PSO算法具有更好的寻优能力，但仍有很大的改进空间。由实验结果可知，CCS算法这种改进算法比CS算法具有更优的寻优能力。

4.2 谐波估计的结果

在这里采用文献^[11]中的谐波电流信号，其数学表达式为：

I(t)=0.2491e^-0.4t+0.95872 cos(ωt)+0.2841 sin(ωt)+

0.0619 cos(2ωt)+0.1054 sin(2ωt)+0.0329 cos(3ωt)+

0.0811 sin(3ωt)+0.0206 cos(4ωt)+0.0643 sin(4ωt)+

0.0146 cos(5ωt)+0.0528 sin(5ωt)+0.0116 cos(6ωt)+

0.0448 sin(6ωt)+0.0052 cos(7ωt)+0.0401 sin(7ωt)

在文献^[11]中，分别使用了离散傅里叶变换方法和PSO算法进行了谐波估计，结果显示PSO算法比离散傅里叶方法的估计精度更高，但是PSO算法谐波估计没有达到最优估计。在这里，对CS算法谐波估计与PSO算法谐波估计进行了比较。CS算法的参数设置于文献^[11]相同，采样个数为64，种群规模为30，最大迭代次数为15000，算法独立运行10次。

表 4是采用PSO算法与CS算法及CCS算法分析谐波电流的实验结果。实验分别比较了估计均值和标准偏差，实验结果显示CCS算法可以更加精确地估计谐波成分，特别是对直流衰减分量的时间常数λ的估计；并且在估计电流信号时，CCS算法的标准偏差比PSO算法要小5个数量级，比CS算法小两个数量级。说明CCS算法比PSO算法及CS算法更加精确，更加稳定和可靠。由于取Δ=0.00001，所以适应度函数EF的最大值为100000。固定目标精度为100000，用布谷鸟算法与混沌布谷鸟算法估计谐波成分。由表 5可知混沌布谷鸟算法在达到目标精度时所需的最大迭代次数、最小迭代次数、平均迭代次数均比标准CS算法要少。这说明混沌布谷鸟算法有更快的搜索能力，具有很好的实用性和寻优的有效性。

5 结语

混沌运动具有遍历性、随机性和规律性等优点，将混沌理论引入CS算法有效提高了标准CS算法的优化性能，弥补标准CS算法后期收敛速度慢、收敛精度不高等不足。通过对4个基准函数仿真测试，实验结果证明了这种改进方法的有效性。将CCS算法应用于谐波估计后，通过仿真实验，结果表明，与基于PSO算法的谐波估计方法相比，基于CCS算法的谐波估计方法具有更高的估计精度，特别是对直流衰减分量的时间常数的估计。但是CCS算法并没有在总体变量上得到优化，如何改进算法更好地适用于谐波估计，这将是进一步的研究内容。