0 引言

近年来，无人机在环境监测、地图测绘、灾难救援、边境巡逻、态势感知、毁伤评估、通信中继等民用和军用领域得到了广泛应用^[1]。在多种任务想定中，无人机都需要具有规划参考航迹并精确跟踪该参考航迹的能力^[2]。在城区监控和野外搜救等任务中，无人机需要在城市建筑之间或各种地形表面贴近飞行。这种情况下，无人机必须具备精确跟踪参考航迹能力。与有人机依赖飞行员控制飞机按照参考航迹飞行不同，无人机依赖自动控制技术实现该功能。作为无人机自动控制关键技术之一，航迹跟踪控制技术能够保证无人机跟踪以时间为参数的参考航迹^[3]。航迹跟踪控制技术也应用于无人机编队控制、自动空中加油和追踪动态目标等动态任务中^[4]。航迹跟踪控制的基本要求是精确性^[5]。而对于无人机来说，其被控过程机理复杂，具有高度非线性、时变性和不确定性，又由于负载等内外部扰动因素的影响，精确的无人机航迹跟踪控制是一个较大的挑战^[6]。

目前大部分的研究关注二维平面的航路跟踪。传统的线性化方法已经应用于航迹跟踪，但是对于复杂曲线航路无法提供满意的跟踪性能^[7]；文献[2, 8]提出基于向量场的航路跟随方法，该方法可以很好地跟踪二维直线和圆弧航路，但是难以扩展到三维航路；文献[9]提出一种自适应最优航路跟随算法；文献[10]提出应用于直升机的航路规划和控制方法；文献[4]提出基于反步法的三维航路跟踪非线性制导律。以上文献对无人机模型作了简化，没有涉及动力学参数的不确定问题。

由于受到内外部扰动和无人机自身的物理特性的影响，无人机飞行控制系统或自动驾驶仪的参数标称值偏离实际值，在航迹跟踪控制律设计中使用不精确的自动驾驶仪参数将会降低跟踪精度^[11]。因此，为实现更佳的航迹跟踪效果，需要考虑自动驾驶仪参数的不确定性。文献[11]考虑不精确的自动驾驶仪参数，利用参数自适应和反步法推导出能够在线估计动力学参数并实现精确航迹跟踪的控制指令；文献[12]针对高超音速飞行器的纵向跟踪控制，提出能够估计不确定性的神经网络自适应动态控制方法；文献[13]使用在线学习自适应径向基神经网络处理旋翼无人机参数不确定性，实现了旋翼无人机的精确控制；文献[14]针对纯反馈不稳定将力学系统引入模糊系统，设计了在线估计模型未知参数的自适应模糊动态面控制。

基于此，本文提出一种能够实现无人机自动驾驶仪参数不确定条件下三维航迹自适应跟踪控制律。首先考虑自动驾驶仪参数标称值与实际值无偏离的情况，设计三维航迹跟踪控制律；进一步考虑标称值与实际值有偏离的情况，采用自适应控制方法设计能够实时估计动力学参数的自适应跟踪控制律。基于Lyapunov稳定性理论证明了该控制律能够使跟踪系统全局渐进稳定。

1 问题提出

为了使无人机按照规划航迹飞行，假设该规划航迹是一个虚拟的飞机的飞行航迹，该虚拟飞机作为长机引导无人机飞行，所以称之为虚拟长机，那么无人机可以通过跟踪该虚拟长机来实现航迹跟踪的目的。假设规划航迹光滑，各坐标分量的一、二阶导数都存在。虚拟长机位置表示为(x_r, y_r, h_r)，虚拟长机的速度为(${\dot x_r}, {\dot y_r}, {\dot h_r}$)，虚拟长机的速度为(${{\ddot x}_r}, {{\ddot y}_r}, {{\ddot h}_r}$)，其中：x_r、y_r分别表示虚拟长机在北东地坐标系中的水平面内的坐标分量，h_r表示高度。

装备自动驾驶仪的无人机模型为:

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = v\cos \left( \gamma \right)\cos \left( \chi \right)\\ \dot y = \upsilon \cos \left( \gamma \right)sin\left( \chi \right)\\ \dot h = - \dot z = \upsilon \sin \left( \gamma \right)\\ \dot \upsilon = \left( {{\upsilon ^c} - \upsilon } \right)/{\alpha _\upsilon }\\ \dot \gamma = \left( {{\gamma ^c} - \gamma } \right)/{\alpha _\gamma }\\ \dot \chi = \left( {{\chi ^c} - \chi } \right)/{\alpha _\chi } \end{array} \right. $

(1)

其中：x、y、z表示无人机在北东地坐标系中的三个坐标分量；h表示飞行高度；v^c、γ^c、 χ^c分别表示速度指令、航迹倾斜角指令和航迹方位角指令；v、γ、 χ分别表示速度、航迹倾斜角和航迹方位角；α_*表示与自动驾驶仪相关的常数^[4]。自动驾驶仪参数实际值θ=(α_v, α_γ, α_χ)^T，其标称值记为θ₀。

令r=(x, y, h)^T，r_r=(x_r, y_r, h_r)^T，本文提出如下问题：当无人机自动驾驶仪参数标称值与实际值偏离，即‖θ-θ₀‖≠0时，设计反馈控制律使得无人机在任意初始条件下跟踪误差收敛到零，即有下式成立：

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left\| {\boldsymbol{r}\left( t \right) - {\boldsymbol{r}_r}\left( t \right)} \right\| = 0 $

(2)

2 导引律设计

本节采用反馈线性法和自适应控制推导无人机三维航迹跟踪控制指令。令：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\upsilon _x} = \upsilon \cos \left( \gamma \right)\cos \left( \chi \right)\\ {\upsilon _y} = \upsilon \cos \left( \gamma \right)\sin \left( \chi \right)\\ {\upsilon _h} = \upsilon \sin \left( \gamma \right) \end{array} \right. $

(3)

进一步，令v=(v_x, v_y, v_h)^T，ξ=r-r_r，η=v-ṙ_r，μ=(v, γ, χ)^T，μ^c=(v^c, γ^c, χ^c)^T。那么，跟踪系统动力学方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{\dot \xi} = \boldsymbol{\eta} \\ \boldsymbol{\dot \eta} = \boldsymbol{T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}\left( {{\boldsymbol{\mu} ^c} - \boldsymbol{\mu} } \right) - {\boldsymbol{{\ddot r}}_r} \end{array} \right. $

(4)

其中：

$ \boldsymbol{A} = {\text{diag}}\left( {{\alpha _v}, {\alpha _\gamma }, {\alpha _\chi }} \right) $

$ T = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \gamma \right)\cos \left( \chi \right)}&{-v\;\sin \left( \gamma \right)\cos \left( \chi \right)}&{-v\;\cos \left( \gamma \right)\sin \left( \chi \right)} \\ {\cos \left( \gamma \right)\sin \left( \chi \right)}&{-v\;\sin \left( \gamma \right)\sin \left( \chi \right)}&{v\;\cos \left( \gamma \right)\cos \left( \chi \right)} \\ {\sin \left( \gamma \right)}&{v\;\cos \left( \gamma \right)}&0 \end{array}} \right] $

定义滑模函数为：

$ \boldsymbol{s} = \boldsymbol{\dot \xi} + \boldsymbol{\Lambda \xi} $

(5)

其中Λ=diag (λ₁, λ₂, λ₃)(λ₁, λ₂, λ₃>0)。那么，

$ \boldsymbol{\dot s} = \boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\Lambda \eta} $

(6)

设计控制器为：

$ {\boldsymbol{\mu} ^c} + \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{A}{\boldsymbol{T}^{ - 1}}\left( {{\boldsymbol{{\ddot r}}_r} - \boldsymbol{\Lambda \eta} - \boldsymbol{Ks}} \right) $

(7)

其中K为正定对角矩阵。

定理1 由虚拟长机、无人机方程(1)和控制器(7)组成的闭环系统渐近稳定且控制器能够保证跟踪误差收敛到零。

证明 对以s为状态变量的系统，取Lyapunov候选函数：

$ {V_1} = \frac{1}{2}{\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{s} $

(8)

那么：

$ {\dot V_1} = {\boldsymbol{s}^T}\left( {\boldsymbol{\dot \eta} + \boldsymbol{\Lambda \eta} } \right) $

(9)

将式(7)代入式(9)可得：

$ {\dot V_1} = - {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{Ks} $

(10)

显然，V₁是正定函数，其导数负定。由Lypunov稳定性定理知该闭环系统渐近稳定。所以当t→∞时，s→0。由滑模定义式(5)可知${\boldsymbol{\dot \xi }}$=-Λξ，因而有ξ=exp(-Λt)，故有t→∞，ξ→0，即式(2)成立。

由于式(7)给出的控制器包含无人机自动驾驶仪参数实际值θ，在标称值与实际值有偏离时，该控制器无法实现或者只能依靠标称值，但依靠有偏离的标称值将使跟踪精度降低。因此，需要给出一种实时在线的估计算法来给出自动驾驶仪参数实际值θ的估计值${\boldsymbol{\hat \theta} }$。现在来设计自适应控制器。

令：

$ \boldsymbol{\varphi} = {\boldsymbol{T}^{ - 1}}\left( {{\boldsymbol{{\ddot r}}_r} - \boldsymbol{\Lambda \eta} - \boldsymbol{Ks}} \right) $

(11)

那么式(7)简化为：

$ {\boldsymbol{\mu} ^c} + \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{A\varphi} $

(12)

由于参数θ未知，那么控制器只能用估计值给出：

$ {\boldsymbol{\mu} ^c} + \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\hat A}\boldsymbol{\varphi} $

(13)

其中，$\hat A = {\text{diag}}\left( {\hat \theta } \right) = {\text{diag}}\left( {{{\hat \alpha }_v}, {{\hat \alpha }_\gamma }, {{\hat \alpha }_\chi }} \right)$。

设计自适应律如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} .\\ {\boldsymbol{\hat \theta} } \end{array} = - \boldsymbol{P}{\rm{diag}}\left( \boldsymbol{\varphi} \right){\boldsymbol{T}^T}\boldsymbol{s} $

(14)

其中：P=diag (p₁, p₂, p₃)(p₁, p₂, p₃>0)。

定理2  由虚拟长机、无人机方程(1)、控制器(13)和自适应律(14)组成的闭环系统稳定且跟踪误差收敛到零。

证明 考虑Lyapunov候选函数：

$ {V_2} = {V_1} + \frac{1}{2}{\boldsymbol{\tilde \theta} ^T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}{\boldsymbol{P}^{ - 1}}\boldsymbol{\tilde \theta} $

(15)

其中，$\boldsymbol{\tilde \theta} = \boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\hat \theta} $。

对时间求导可得：

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_2} = {\boldsymbol{s}^T}\left( {\boldsymbol{T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}\boldsymbol{\hat A}\boldsymbol{\varphi} - {\boldsymbol{{\ddot r}}_r}} \right) + {\boldsymbol{{\tilde \theta }}^T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}{\boldsymbol{P}^{ - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} .\\ \boldsymbol{{\tilde \theta }} \end{array} = \\ \;\;\;\;\;\; - {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{Ks} + {\boldsymbol{{\tilde \theta }}^T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}{\boldsymbol{P}^{ - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} .\\ \boldsymbol{{\tilde \theta }} \end{array} + {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{T}\left( {{\boldsymbol{A}^{ - 1}}\boldsymbol{\hat A} - \boldsymbol{I}} \right)\boldsymbol{\varphi} = \\ \;\;\;\;\;\; - {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{Ks} + {\boldsymbol{{\tilde \theta }}^T}{\boldsymbol{A}^{ - 1}}{\boldsymbol{P}^{ - 1}}\begin{array}{*{20}{c}} .\\ \boldsymbol{{\tilde \theta }} \end{array} + {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{T}{\rm{diag}}\left( \boldsymbol{\varphi} \right){\boldsymbol{A}^{ - 1}}\boldsymbol{\tilde \theta} \end{array} $

(16)

注意到$\mathop {\tilde \theta }\limits^. = - \mathop {\hat \theta }\limits^. $，并将式(14)代入，则有：

$ {{\dot V}_2} = - {\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{Ks} $

(17)

显然，V₂是正定函数，其导数半负定，故由Lypunov稳定性定理知该闭环系统稳定。

另外，由于${{\dot V}_2} \leqslant 0$，故V₂(t)有界。因而有$-\int_0^\infty {{{\dot V}_2}\left( t \right){\text{d}}t = } {V_2}\left( 0 \right)-{V_2}\left( \infty \right) < \infty $，所以$\infty >-\int_0^\infty {{{\dot V}_2}\left( t \right){\text{d}}t = } \int_0^\infty {{\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{Ks}\;{\text{d}}t} \geqslant {\lambda _k}\int_0^\infty {{\boldsymbol{s}^T}\boldsymbol{s}\;{\text{d}}t} $，其中λ_k是K的最小特征值。因而$\int_0^\infty {\left\| s \right\|_2^2{\text{d}}t} < \infty $。于是由Barbalat引理^[15]得$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } s = 0$。类似定理1分析可得式(2)成立。

另外，由式(14)可知，$\mathop {\hat \theta }\limits^. $趋近0，又由于θ是常量，不是持续性激励，因此${\boldsymbol{\hat \theta }}$将收敛到一个常数。

3 仿真实例

定理2表明本文提出的控制器(13)和自适应律(14)组成的自适应导引律在理论上是成立的，为验证该自适应导引律跟踪三维曲线的有效性，将导引律应用于无人机跟踪三维空间内上横8字形航迹。以时间为参数的螺旋线参考航迹由航迹生成器生成，在生成参考航迹时考虑了无人机的速度、过载等约束^[16]。以下将给出三个仿真实验，分别是标称值无偏离时不采用自适应航迹跟踪控制律，标称值偏离时不采用自适应航迹跟踪控制律以及标称值偏离时采用自适应航迹跟踪控制律的情况。仿真实验设置如下：仿真时间为100s，仿真步长为0.01s，无人机参数θ实际值(1, 1, 1)，无人机初始状态是(160m, 10m, 260m)，v=13m/s, γ=0rad, χ=π/4rad。设计参数Λ=diag(1, 1, 1), K=diag(1, 1, 1)，P=diag(0.1, 0.1, 0.1)。无人机参考航迹为上横8字形^[17-18]，其方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_r} = a\;\cos \left( {\omega t} \right)\\ {y_r} = a\;\sin \left( {2\omega t} \right)\\ {h_r} = b + c\;\cos \left( {\omega t} \right) \end{array} \right. $

仿真1  在无人机参数标称值(1, 1, 1)，即标称值等于实际值的条件下，验证控制律(7)。仿真结果如图 1~3。图 1显示无人机飞行的三维航迹和参考航路；图 2显示无人机与虚拟长机的位置误差；图 3显示无人机的控制量，即空速指令、航迹偏角和航迹倾角指令。可以看出，控制量能够使无人机的飞行航迹收敛到三维参考航路，说明该控制律可以有效跟踪三维空间复杂曲线。

仿真2  在无人机参数标称值(0.5, 0.5, 0.5)，即标称值偏离实际值的条件下，不使用自适应算法，将标称值作为估计值，使用控制律(13)。仿真结果如图 4~6。图 4显示无人机的三维航迹和参考航路，图 5显示无人机与虚拟长机的位置误差，图 6显示无人机的控制量。可以看出，当无人机动力学参数标称值偏离实际值时，动力学参数不能精确获知，导致无人机不能精确跟踪参考航迹。进一步的仿真实验还可以得出，当无人机标称值与实际值偏差越大，其跟踪误差越大。限于篇幅，这里没有给出实验结果。

仿真3  在无人机参数标称值(0.5, 0.5, 0.5)，即标称值偏离实际值的条件下，将标称值作为估计值的初始值，使用自适应控制律(13)；同时与文献[4]的反步法导引律进行对比。反步法导引律参数为：α_x=α_y=α_h=0.1, β_x=β_y=β_h=0.4，仿真时间为400s，仿真结果如图 7~10。图 7显示无人机飞行的三维航迹和参考航路，图 8显示无人机与虚拟长机的位置误差，图 9显示本文方法得到的无人机的控制量，图 10显示本文方法对无人机动力学参数的估计值。可以看出，尽管无人机参数有偏离，自适应控制律给出的控制量仍然能够使无人机精确跟踪三维参考航路。

仿真2和仿真3的对比说明无人机动力学参数标称值偏离实际值条件下自适应控制律提高了三维航迹跟踪精度。另外，从位置误差(图 8)可以看出，在无人机动力学参数偏离情况下，由于自适应控制律中包括无人机动力学参数的自适应估计算法，本文方法的跟踪误差小于文献[4]的方法。对比实验说明，在无人机动力学参数偏离条件下，本文方法与文献[4]的方法相比具有更好的跟踪性能。

4 结语

本文讨论了无人机动力学参数不确定条件下的无人机三维航路跟踪问题，提出了一种能够实现在无人机动力学参数标称值偏离实际值时三维航路跟踪的自适应控制律。首先假设动力学参数标称值与实际值匹配，设计了航迹跟踪控制律；之后考虑动力学参数标称值与实际值不匹配，设计自适应控制律来估计实际的动力学参数，得到航迹跟踪自适应控制律。仿真结果验证了航迹跟踪自适应控制律的有效性。

进一步的工作可以从以下方面开展：1)本文提出的控制律使用的是全状态反馈，能否使用高增益观测器等方法将控制律扩展到输出反馈；2)考虑无人机动力学特性中的未建模动态，使用神经网络控制或模糊控制等方法研究无人机动力学特性含有未建模动态项的航迹跟踪问题。