地图数字化过程中，由于绘图误差、数字化误差、属性输入错误等因素，相邻图幅边界间要素的几何位置和属性信息可能会出现不一致。在地形图生产过程中，相邻图幅间图形的几何和属性接边处理是一项必不可少的工作。接边处理方法有多种，如：人工接边、软件辅助接边、软件自动化接边等。但是，接边质量评价一直以来没有一个统一的标准。和接边质量评价相关的研究有：将接边图面精度指标作为衡量地图数字化质量的一个量化指标; 以及通过软件自动化检查接边过程中存在的问题，来提高接边工作效率等; 2014年蒋勇等^[1]提出了基于ArcGIS Engine的IPointCollection接边检查法，通过ArcGIS Engine提供的IPointCollection设计接边检查软件。

现有的接边质量评价研究侧重对接边工作的检查，比如：人员操作是否违规、地图参数是否符合国家规范等，导致评价结果片面、不够客观，为了解决这些问题，同时考虑地图数据的模糊性，本文提出基于模糊综合评价的接边质量评价方法，根据国家标准和先验知识确定评价对象的因素论域和评语等级论域，通过熵权法确定评价因素的模糊权向量，利用现有经典算子对接边质量进行评价，分析评价结果存在的问题，提出一种新的地图映射评价算子(Geographical Mapping Operator, GMO)，并验证了GMO的评价效果。

1 模糊综合评价

在接边质量评价过程中，由于空间信息具有多重性、复杂性、不确定性等特点，导致其表示的各种复杂地理现象存在模糊性^[2]。因此，本文采用模糊综合评价方法来进行接边质量评价。其算法步骤如下：

1) 确定评价对象的因素论域。

2) 确定评语等级论域。本文评语等级分为四级：优秀、良好、合格、不合格。

3) 进行单因素评价，建立模糊关系矩阵。

4) 确定评价因素的模糊权向量。

5) 模糊评价运算。

6) 对模糊综合评价结果进行分析。

1.1 评价对象的因素论域

评价对象因素论域的确定取决于评价指标的选取。本文选取6个符合接边质量评价要求的评价指标，分别是平面精度、属性精度、格式一致性、拓扑一致性、接边精度和接边相关量，前4个来源于《CH/T1025—2011数字线划图(Digital Line Graphic, DLG)质量检验技术规程》所列举的质量详查相关检验内容和方法^[3], 后2个依据接边的特点和先验知识所得。数据变化量表示接边前后的地图平面绝对位置和相对位置误差、控制点平面坐标等参数的变化，属性精度表示地图要素属性值、分类码，格式一致性和拓扑一致性分别指数据格式的表述和地图数据的拓扑关系。以上4个指标均是地图数据状态和国家标准对比，通过对比可以确定地图数据的优劣。接边精度是指接边工作对地图数据精度的影响程度以及接边操作的规范性^[4]。接边相关量是指图幅接边过程中变化明显的指标, 这些指标是接边独有而传统地图评价方法中不包含的^[5]，例如：线要素接边考虑的线要素长度变化，面要素接边考虑的面要素面积变化和点要素的坐标变化等。

1.2 评价因素的模糊权向量

人们在评价决策中所获信息的多少，是评价精度和可靠性的决定因素之一。在信息论中，熵是系统无序程度的度量，如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。因此可以通过熵来确定权重^[6]。熵值赋权法就是在客观的条件下由各评价指标的值构成的判断矩阵来确定各指标的权重的方法，由于其尽量避免了各因子权重的主观性，因而评价的结果更能反映实际的情况。本文采用熵权法计算各指标的权重，即评价因素的模糊权向量。

2 地图映射评价算子

模糊综合评价的关键是模糊算子的确定，算子直接影响评价结果^[7]。本文对现有的经典算子进行比较和分析，提出GMO，并证明其有效性。

2.1 数据源

本研究实验数据采用海南省某地1990年的土地利用数据，所有数据均为未经过接边处理的分幅数据，并且数据精度达到制图标准，边界要素错位距离均在图上0.6 mm之内；各图幅比例尺均为1∶10000，坐标系统一为西安80坐标系，各要素属性数据完整准确，属性表结构相同，图幅边界已经过裁切，无重复绘制的区域。数据类型包括零星地物、线状地物及地类图斑，图幅数量为20幅。图幅接边方式均为人工手动接边。接边后的地图数据通过海南接边工作人员的审核。接边前后地图变化如图 1所示。

所以本文认为接边前后地图质量发生变化，而且这种变化是积极的。本文选取3例数据作为演示。

2.2 模糊关系矩阵和评价因素权重

首先使用ArcCatalog工具对地图数据进行整理分析，对地图数据进行数据库化处理；然后根据评价指标对应的评价条件确定需要分析的地图属性数据；其次根据规定的四个等级，对地图数据分析处理来划分数据所属等级；最后通过对每个指标评级得到的评价向量得到合成的评价矩阵。

通过对地图数据分析得到三组评价矩阵，R_a1、R_a2、R_a3分别为地图数据1组、2组、3组的评价矩阵，R_b1、R_b2、R_b3为接边后地图的评价矩阵。

$\begin{array}{l} {\boldsymbol{R}_{a1}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.1}&{0.2}&{0.5}&{0.2}\\ {0.2}&{0.3}&{0.4}&{0.1}\\ {0.3}&{0.2}&{0.4}&{0.1}\\ {0.2}&{0.2}&{0.5}&{0.1}\\ {0.3}&{0.2}&{0.4}&{0.1}\\ {0.2}&{0.3}&{0.3}&{0.2} \end{array}} \right],{\boldsymbol{R}_{b1}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.6}&{0.2}&{0.1}&{0.1}\\ {0.4}&{0.3}&{0.2}&{0.1}\\ {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2}\\ {0.2}&{0.2}&{0.2}&{0.1}\\ {0.4}&{0.3}&{0.2}&{0.1}\\ {0.5}&{0.2}&{0.2}&{0.2} \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{R}_{a2}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.1}&{0.3}&{0.3}&{0.3}\\ {0.1}&{0.2}&{0.3}&{0.4}\\ {0.2}&{0.2}&{0.3}&{0.3}\\ {0.1}&{0.2}&{0.5}&{0.2}\\ {0.2}&{0.2}&{0.4}&{0.2}\\ {0.1}&{0.3}&{0.4}&{0.2} \end{array}} \right],{\boldsymbol{R}_{b2}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.7}&{0.1}&{0.1}&{0.1}\\ {0.5}&{0.3}&{0.2}&0\\ {0.4}&{0.3}&{0.2}&{0.1}\\ {0.5}&{0.2}&{0.3}&0\\ {0.3}&{0.3}&{0.3}&{0.1}\\ {0.2}&{0.2}&{0.2}&{0.1} \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{R}_{a3}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.1}&{0.2}&{0.5}&{.02}\\ {0.3}&{0.3}&{0.3}&{0.1}\\ {0.1}&{0.2}&{0.3}&{0.4}\\ {0.2}&{0.2}&{0.1}&{0.5}\\ {0.1}&{0.2}&{0.4}&{0.3}\\ {0.4}&{0.1}&{0.1}&{0.4} \end{array}} \right],{\boldsymbol{R}_{b3}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.8}&{0.1}&{0.1}&0\\ {0.4}&{0.3}&{0.2}&{0.1}\\ {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2}\\ {0.5}&{0.3}&{0.1}&{0.1}\\ {0.4}&{0.3}&{0.2}&{0.1}\\ {0.5}&{0.2}&{0.2}&{0.1} \end{array}} \right] \end{array}$

根据熵权法的计算方法，首先对评价矩阵进行归一化得到归一化矩阵；然后根据熵的概念确定每个评价指标的熵和熵权；最后得到每个评价指标对应的权重。其中A_a1、A_a2、A_a3分别为评价矩阵R_a1、R_a2、R_a3的权重向量。A_b1、A_b2、A_b3为评价矩阵R_b1、R_b2、R_b3的权重向量。

$\begin{array}{l} {A_{a1}} = \left( {0.1,.01,0.2,0.2,0.2,0.2} \right)\\ {A_{b2}} = \left( {0.3,0.2,0.1,0.2,0.1,0.1} \right)\\ {A_{a2}} = \left( {0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1} \right)\\ {A_{b2}} = \left( {0.2,0.2,0.1,0.1,0.1,0.3} \right)\\ {A_{a3}} = \left( {0.1,0.2,0.1,0.3,0.1,0.2} \right)\\ {A_{b3}} = \left( {0.1,0.3,0.1,.02,0.2,0.1} \right) \end{array}$

2.3 经典算子比较

算子是模糊综合评价中的计算方法，根据不同评价对象，选取的算子也不一样。算子的选取主要依赖人工经验^[8-12]。模糊综合评价中有许多运用广泛的通用算子，其中运用比较多的有取小取大算子M(∧, ∨)、乘积取大算子M(×, ∨)和有界和与和算子M(⊕, ∨)，如式(1)~(3)。

$\begin{array}{c} M\left( { \wedge , \vee } \right) = {\rm{MAX}}\left( {{\rm{MIN}}\left( {{a_i},{r_{ij}}} \right)} \right);\\ i = 1,2, \cdots ,n,j = 1,2, \cdots ,n \end{array}$

(1)

$M\left( { \times , \wedge } \right) = {\rm{MAX}}\left( {{a_i} \times {r_{ij}}} \right);i = 1,2, \cdots ,n$

(2)

$\begin{array}{c} M\left( { \oplus , + } \right) = {\rm{SUM}}\left( {{\rm{MIN}}\left( {1,{a_i} + {r_{ij}}} \right)} \right);\\ i = 1,2, \cdots ,m,j = 1,2, \cdots ,n \end{array}$

(3)

其中：r_ij是评价矩阵中某个指标对应的值，a_i是该指标对应的权重。采用3种现有算子对评价矩阵分别进行处理，结果如表 1所示。

实验所得到的结果向量根据最大隶属度原则确定质量等级。根据表 1可知取小取大算子M(∧, ∨)处理接边前后的得到的评价结果均无法给出地图质量，而乘积取大算子M(×, ∨)无法处理接边前的地图数据。所以可以得出结论：这两个算子均无法判断地图数据质量，不能用于处理接边的质量评价问题。有界和与和算子M(, +)得到的结果根据最大隶属度原则可知：接边前地图数据质量为优秀，接边后地图质量为优秀。该算子认为接边前后地图数据质量没有发生变化。由于有界和与和算子M(, +)无法区分接边前后接边质量变化，也不适合进行接边质量评价。3个算子均无法判断地图质量和区分接边前后的地图质量变化，因此为了进行接边地图质量评价必须提出一种新的算子。

2.4 GMO

综上所述，现有算子均无法对接边质量进行评价，需要提出适合的新算子。本文先对地图数据进行分析，然后根据基本幂运算法则提出一种适合接边地图数据的新算子——GMO。

1) 通过对地图数据的分析可得出其具有如下特点：

①地图数据质量前后变化有增大趋势，接边后地图质量比接边前质量更好；

②对比评价矩阵中评价等级和评价指标权重变化，可以发现评价等级增大趋势越大其对应的权重也越大；

③地图数据是非线性的。

2) 新算子的定义。

为了有效评价接边前后地图的质量，根据地图数据的特点，GMO必须满足以下性质：

①当r_ij增大时，GMO计算结果即地图的整体质量也应该增大。

②a_i变化趋势比r_ij变化趋势对GMO结果影响大。

③GMO必须具有处理非线性数据的功能。

因此，GMO采用非线性模糊综合评价模型，定义如下：

$\begin{array}{c} GMO = {\left[ {{\rm{SUM}}\left( {{a_i} \times r_{ij}^{ai}} \right)} \right]^{\frac{1}{{{\rm{MAX}}\left( {{a_i}} \right)}}}};\\ i = 1,2, \cdots ,m,j = 1,2, \cdots ,n \end{array}$

(4)

3) GMO非线性评价能力验证。

根据压缩映像原理，GMO要有非线性评价能力，必须满足：

①当a₁=a₂=…=a_n=a时，GMO≥${\left( {{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}} \right)^{\frac{1}{a} \cdot d\frac{1}{{na}}}} = {\left( {na} \right)^{\frac{1}{a} \cdot d\frac{1}{{na}}}}$；

②当a₁, a₂, …, a_n不恒等时，${\left[{n{{\left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right)}^{\frac{1}{n}}}} \right]^{\frac{1}{a}}} < {\left( {{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}} \right)^{\frac{1}{a}}}$。

其中：a=MAX(a₁, a₂, …, a_n)，r_ij均为同一个任意常数时(其中i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n)。

①证明：

$\begin{array}{c} GMO = {\left( {{a_1}r_{1j}^{{a_1}} + {a_2}r_{2j}^{{a_2}} + \cdots + {a_n}r_{nj}^{{a_n}}} \right)^{\frac{1}{a}}} = \left( {{a_1}{d^{{a_1}}} + {a_2}{d_{{a_2}}} + } \right.\\ {\left. { \cdots + {a_n}{d^{{a_n}}}} \right)^{\frac{1}{a}}} \ge {\left[{n{{\left( {{a_1}{d^{{a_1}}} \cdot {a_2}{d^{{a_2}}} \cdot \cdots \cdot {a_n}{d^{{a_n}}}} \right)}^{\frac{1}{n}}}} \right]^{\frac{1}{a}}} = \\ {\left[{n{{\left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right)}^{\frac{1}{n}}}} \right]^{\frac{1}{a}}}*{d^{\frac{1}{{na}}}} \end{array}$

其中a₁=a₂=…=a_n=a。

②证明：

$\begin{array}{c} {\left[{n{{\left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right)}^{\frac{1}{n}}}} \right]^{\frac{1}{a}}} = {\left( {n{a_1} \cdot n{a_2} \cdot \cdots \cdot n{a_n}} \right)^{\frac{1}{{na}}}} \le \\ {\left( {\frac{{n{a_1} + n{a_2} + \cdots + n{a_n}}}{n}} \right)^{\frac{1}{a}}} = {\left( {{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}} \right)^{\frac{1}{a}}} \end{array}$

其中a=MAX(a₁, a₂, …, a_n)，且a₁, a₂, …, a_n不恒等。当a_n越大，[n(a₁a₂…a_n)¹ⁿ]^1a的值可能越小，GMO算子可能取到的最小值越小。

从上述性质和分析可以看出，GMO能反映指标的突出影响程度系数，评价结果更符合实际，因此更具评价优势。下面通过实验来验证新算子的是否能处理接边数据质量评价问题。新算子结果如表 2。

根据实验结果和最大隶属度原则可以看出，GMO认为接边前地图质量为合格，接边后的地图质量为优秀。GMO不仅能判断接边地图数据质量，而且可以较好区分接边前后的质量变化，因此新算子可以作为接边质量评价的适用算子。

3 结果分析

实验分别对20组数据进行模糊综合评价。评价分别采用现有的三个算子和本文提出的GMO。

图 2为算子评价结果图。图中横坐标表示20组实验，纵坐标表示地图数据质量(其中0为无法判断、1为不合格、2为合格、3为良好、4为优秀)。从取小取大算子和乘积取大评价结果图可以看出，这两个算子无法判断接边前后地图数据质量，所以这两个算子不能处理接边质量评价。从有界和与和算子评价结果图可以看出该算子可以判断接边质量但是有界和与和算子得出的结果判断接边前后质量没有发生变化。这不符合事实，所以有界和与和算子也不能用来处理接边质量变化。从GMO评价结果图可知接边前的地图数据质量普遍为不合格和合格，极个别为良好，接边后的地图数据质量普遍为优秀和良好，极个别为合格，而且接边质量变化趋势明显。

表 3是接边前后评价结果数据。从每组数据对比中可以清晰地看出取小取大算子和乘积取大算子均出现无法判断的情况，所以可以认为这两个算子不合格。有界和与和算子评价结果数据中可以看出接边前后地图数据质量总体趋势变好，但是通过有界和与和算子评价结果数据可以发现该算子会出现无法区分接边前后地图质量的问题，所以该算子也不能处理接边质量评价问题。根据测绘行业标准和项目对图幅接边的相关规定, 接边质量评价结果同等级误差不得低于50%，次等级不得高于40%。GMO评价结果数据中可以看出接边前65%的地图数据质量是不合格的，接边后的数据质量55%是优秀的，该算子结果符合实验预期目标。

通过经典算子和GMO结果对比，可以认为GMO不仅能处理接边质量评价问题，而且结果是可靠、优秀的。

4 结语

本文提出了一种对接边地图数据质量进行评价的新算子——GMO。实验结果证明，模糊综合评价可以对接边地图数据质量进行质量评价，并且大大提高了算子的适用性和准确性。虽然已经取得了一定的效果，但仍然还有很多的部分可以进一步地进行研究。首先，本文在模糊综合评价中权重直接采取的现有的熵权法，权重获取方法还需要进行相关研究；另外，模糊综合评价算子变化复杂，本文给出的算子不一定是最优结果，算子的获取方法有待研究; 最后，地图实验数据的多少也会导致实验结果的偏差，之后可使用更多的数据验证实验结果。