0 引言

光学图像处理技术已经广泛应用于机器人、模式识别、机器视觉等领域中。Jabbari等^[1]提出了一种基于图像的视觉伺服算法，用来控制无人飞行器的三维平动和旋翼偏航旋转; Hsiao等^[2]对多视觉系统实现分布式移动机器人估计目标位置等方面进行了研究; 其他研究人员在对光学图像进行处理和识别算法研究中也取得了一些进展^[3-4]。

马尔可夫随机场(Markov Random Field, MRF)模型由于能够表达图像像素间的空间信息，并根据这些图像矩阵的像素值服从的概率分布来进行数学分割，因此在声呐图像等噪声干扰严重的图像分割中，最先获得广泛应用，而且在声呐图像分割中取得了较好的分割结果^[5-6]，但是只是在灰度的声呐图像上有较好的分割效果。Zhang等^[7]提出一种自适应MRF模型参数的算法，对某一类灰度图像有较好的分割效果，但是对彩色图像进行分割时，需进行灰度化处理。褚一平等^[8]对分层MRF模型在抗抖动视频分割上进行了研究，相对传统的灰度图像分割算法具有一定的分割速度和精度优势，但是难以满足图像精确分割的要求。而针对不同的应用环境对MRF模型进行改进的算法也层出不穷^[9-10]，只是针对彩色图像难以获得较高的分割精度。

彩色图像的分割任务是现阶段机器视觉中研究的重要课题与研究热点。杨华勇等^[11]提出了一种结合多空间特征的多尺度马尔可夫随机场彩色图像分割算法；胡钦瑞等^[12]提出了一种基于粗糙集和马尔可夫随机场的彩色图像分割方法，在基于粗糙集分割的基础上，采用颜色特征和纹理特征建立多特征的自适应可变权重马尔可夫随机场分割模型。上述算法均对MRF算法进行改进，对某些彩色图像分割获得了比较好的效果，但是不能实现对一个区域内颜色分布不均目标进行良好分割。其他研究人员在彩色图像分割算法研究中也取得了一些进展^[13-15]。由于传统的MRF算法在对图像像素值分布模型进行描述时，往往采用单一的数学模型进行拟合，这种方法不但带来了大量的计算成本，而且难以用一个模型描述不同颜色分布、不同背景及不同的分割对象，适应性较差。本文中结合红绿蓝(Red Green and Blue, RGB)模型，采用一种基于统计的颜色分布描述方法来解决该问题。

1 分层MRF模型

分层MRF模型分为完全分层和不完全分层两种，它们之间的区别仅在于在顶层。不完全分层MRF模型的节点没有条件独立性，也就是说，每个节点不仅与父节点有关系，而且与相邻节点有关系^[5]；而完全分层模型每个节点仅与父节点有关系。为了获得良好的分割性能，考虑到求解计算困难度，我们选择了三次不完全分层MRF模型和二阶邻域。若有彩色图像F, 其图像大小为M×N，f为图像中s=(m, n)处的一个像素点，其像素值为(x, y, z), 将其分割为目标区域S₁与背景区域S₂。分割结果用M×N的标记图像G表示，g为标记图像中对应(m, n)处的标记结果。F^l为l层的观测图像，G^l为l层的标记图像，由于图像分为3层，l=(1, 2, 3)。其中F¹为最顶层图像，F³=F，G³为最终分割结果。二阶MRF模型参数如图 1所示。

图 1中{β₁, β₂, …, β₈}为平面模型参数，利用β₉来描述像素点和其父辈节点之间的关系；{α₁, α₂, …, α₉}为后代2^l×2^l块中包含的基团数。利用最小二乘法估算模型参数^[14]：

$\begin{array}{l} \ln \frac{{P\left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in {S_1}} \right.} \right)}}{{P\left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in } \right.{S_2}} \right)}} = \sum\limits_{j = 1}^9 {\alpha _j^l\beta _j^l\left[{1 - g\delta \left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in {S_1}} \right.} \right)} \right]} - \\ \sum\limits_{j = 1}^9 {\alpha _j^l\beta _j^l\left[{1 - \delta \left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in {S_2}} \right.} \right)} \right]} \end{array}$

(1)

其中δ为Kronecker函数；β_j^l为第l层模型参数；α_iⁱ为包含的后代节点的数，其服从以下关系：

$\begin{array}{l} \alpha _1^l = \alpha _2^l = \alpha _5^l = \alpha _6^l = \left[{{2^l} + 2\left( {{2^l} - 1} \right)} \right]\\ \alpha _3^l = \alpha _4^l = \alpha _7^l = \alpha _8^l = 1,\alpha _9^l = {4^l} \end{array}$

由于：

$\ln \frac{{P\left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in {S_1}} \right.} \right)}}{{\left( {g_s^l,g_t^l\left| {g_s^l \in {S_2}} \right.} \right)}} \approx \frac{{NUM\left\{ {s \in {S_1}:g = g_s^l,g_t^l} \right\}}}{{NUM\left\{ {s \in {S_2}:g = g_s^l,g_t^l} \right\}}}$

(2)

利用最小二乘法可以估算出模型参数，具体公式如下：

$\left\{ {{\beta _1},{\beta _2},\cdots ,{\beta _8}} \right\} = {\left( {{\boldsymbol{B}^{\rm{T}}} \cdot \boldsymbol{B}} \right)^{ - 1}} \cdot {\boldsymbol{B}^{\rm{T}}} \cdot \boldsymbol{A}$

(3)

其中：B为基团组合统计矩阵，A为对应包含的后代点统计向量^[15]。

2 RGB颜色分布

RGB颜色空间是计算机领域中应用最广泛的颜色系统之一。传统的MRF分割算法利用数学分布模型拟合图像中的像素值分布，在RGB色彩空间中一个像素点的像素值用三维坐标(x, y, z)表示，但用数学模型模拟像素值分布针对不同环境、分割不同对象时，很难表达，而且解算过程会带来比较高的计算成本。本文提出基于统计的RGB分布描述模型，根据图像中像素点在R、G、B通道分布密度和范围设定统计范围, 能够描述任意颜色区间的颜色分布。假设R通道划分U个色彩段，G通道划分V个色彩段，B通道划分W个色彩段，f处的像素值(x, y, z)中，x∈u, y∈v, z∈w，其中u, v, w为R、G、B通道中的一个色彩段，则的隶属于哪个一个区域的概率公式如下：

${P_{{S_1}}}\left( {f\left| g \right.} \right) = \frac{{Sum\left( {x \in u,y \in v,z \in w\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}{{Sum\left( {s\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}$

(4)

${P_{{S_2}}}\left( {f\left| g \right.} \right) = \frac{{Sum\left( {x \in u,y \in v,z \in w\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}{{Sum\left( {s\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}$

(5)

由此能量函数可以写成:

$\begin{array}{l} U_{{s_1}}^l\left( {g\left| f \right.} \right) = - \sum {\ln \frac{{Sum\left( {x \in u,y \in v,z \in w\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}{{Sum\left( {s\left| {s \in {S_1}} \right.} \right)}}} \\ \sum {\alpha _{s,t}^l\beta _{s,t}^l\left[{1 - \delta \left( {g_s^l,g_t^l} \right)} \right] + \sum {\alpha _9^l{\beta _9}\left[{1 - \delta \left( {g_s^l,g_{parent\left( s \right)}^{l + 1}} \right)} \right]} } \end{array}$

(6)

$\begin{array}{l} U_{{s_2}}^l\left( {g\left| f \right.} \right) = - \sum {\ln \frac{{Sum\left( {x \in u,y \in v,z \in w\left| {s \in {S_2}} \right.} \right)}}{{Sum\left( {s\left| {s \in {S_2}} \right.} \right)}}} \\ \sum {\alpha _{s,t}^l\beta _{s,t}^l\left[{1 - \delta \left( {g_s^l,g_t^l} \right)} \right] + \sum {\alpha _9^l{\beta _9}\left[{1 - \delta \left( {g_s^l,g_{parent\left( s \right)}^{l + 1}} \right)} \right]} } \end{array}$

(7)

其中t为s的邻域点。

基于RGB颜色分布的分层MRF彩色图像分割算法的具体步骤为：

1) 对最顶层图像F¹利用k-means算法初始分割，将图像分割为两类。采用最小二乘法，根据式(1)、(2)、(3)利用预分割结果估算模型参{β₁¹, β₂¹, …, β₈¹}，对每一个节点，其颜色分布概率为所有子节点概率均值${P_s}\left( f \right) = \frac{1}{{16}}\sum {{P_{{\rm{child}}}}} $，利用式(4)、(5)得到颜色分布。利用式(6)、(7)通过后验能量函数最小重新得到最顶层的分割结果，采用条件迭代模式(Iterated Conditional Mode, ICM)进行迭代，直到得到最顶层最终结果。

2) 利用最顶层分割结果和中间层与最顶层的映射关系，获得中间层初始分割结果，利用最小二乘法得到初始模型参数{β₁², β₂², …, β₈², β₉²}，子节点概率均值${P_s}\left( f \right) = \frac{1}{4}\sum {{P_{{\rm{child}}}}} $，通过ICM过程，得到中间层分割结果。

3) 利用中间层分割结果和中间层与最底层的映射关系，获得最底层初始分割结果，利用最小二乘法得到初始模型参数{β₁³, β₂³, …, β₈³, β₉³}，通过ICM过程，得到最终结果。

本文所有实验图片均来自Berkeley图库，综合考虑运算速度和算法的准确度，对RGB三个颜色通道均采用间隔16的均匀划分，图 2为采用本算法对图库中12003号图像进行分割的实验结果。

图 2(a)为原图像。图 2(b)为图像库中1105号人工分割标准图像。

图 2(c)为对最顶层图像利用k-means算法进行预分割的结果，分割出的区域为目标区，留白区域为背景区。图 2(d)为顶层图像分割结果，其分辨率为120×80，共迭代8次, 耗时0.15 s。图 2(e)为迭代6次后得到的中间层分割结果, 其分辨率为240×160，耗时0.33 s。(d)、(e)两幅图像均为分割过程图像，图 2(f)为迭代11次后得到的最终分割结果, 耗时1.52 s。

为了说明分割算法的有效性，本文利用Dice系数^[14]进行评价，分割精度系数越大，说明分割精度越高。图 2的Dice系数为0.965，拥有比较好的分割结果精度。采用kappa系数衡量分割结果与实际分割类型相一致的概率，0.0~0.20极低的一致性、0.21~0.40表示一般的一致性、0.41~0.60表示中等的一致性、0.61~0.80表示高度的一致性和0.81~1表示几乎完全一致^[11]。表 1为各层最终迭代后得到的模型参数。图 3为最底层目标区颜色统计分布。

3 实验结果和对比

将本文算法的分割结果与模糊C均值(Fuzzy C-Means, FCM)算法和传统的MRF算法分割结果进行比较。实验环境为Windows 7，i5四核CPU主频3.3GHz计算机，采用C#和Emgu CV图像处理库进行编程。为了说明算法的有效性，分别对不同类型、不同对象的彩色图像进行分割对比。三种算法与本文算法均采用相同的k-means预分割结果进行初始化。由于传统MRF算法无法直接对彩色图像进行分割，所以将其转化为灰度图像进行处理。采用比例分布模型描述目标区，高斯分布描述背景区。

图 4、图 6、图 7中图像分辨率为481×321，图 5的分辨率为321×481。从表 2中采用的Dice系数描述分割精度可以看出，本文算法比传统的聚类算法精度要高，在所有应用环境下均远远高于FCM的分割效果。

由于传统的MRF算法采用单一模型描述目标区或背景区，在面对不同对象和背景图像分割时，分割效果较差，且耗时较长。从表 2中采用kappa系数衡量分割结果与实际分割类型相一致的概率比较中能看出，本文算法均获得了几乎完全一致的值，远远优于比较算法；尤其在目标区域包含颜色反差较大、纹理复杂的情况中，往往能获得较好的分割效果。从表 2中对分割耗时进行的定量对比可以看出，本文的分割算法在运算速度上也具备一定优势。

4 结语

在彩色图像分割中，针对目标包含颜色反差较大、纹理复杂等难以分割的情况，传统的分割算法难以获得较好的分割结果。基于统计的RGB色彩空间模型不受目标和背景颜色区间分布的限制，能够很好地描述这种目标。改进算法重写了分层MRF算法的能量函数，使得该算法在分割准确性、适应性及快速性上均有提高。实验结果表明，针对不同特征的彩色图像，本文算法在较小的时间代价下获得了理想的分割结果。在后续研究中，可以对其他色彩空间、初始化算法及其他方面进行改进，以进一步提高分割效果。