0 引言

机器人是一门综合性的交叉学科，涉及多方面的研究领域，包括机械结构设计、图像处理、自动控制、人工智能以及定位技术等，且适用于一些危险、肮脏、狭小等场所。随着传感器机器技术的不断发展，机器人的应用领域越来越广泛，特别是自主移动机器人逐渐受到众多学者的关注。自主移动机器人能够根据其内部所存储的地图以及外部传感器提供信息实现自主定位，正成为智能机器人的研究热点^[1-2]。

移动机器人应该能够解决导航中的三大问题，即：“我在哪里” “我要去哪里” “我如何到达那里”。不同类别的机器人，采用的定位技术^[3-5]有一定差别。本文主要研究相对定位技术。王金^[6]提出了一种以双码盘实现对差动机器人的定位，但双码盘定位方式经过长距离运动容易累积误差，影响定位精度；文献[7]提出一种通过建立里程计的非系统误差模型对因长距离运动里程计产生的累积误差进行补偿，能提高机器人的定位精度；文献[8]分析了单码盘结合陀螺仪和双码盘定位方式，但单码盘结合陀螺仪的安装精度对机器人的定位误差具有较大的影响。针对上述问题，本文提出了一种正交码盘与陀螺仪结合的定位系统，并建立梯度优化的在线加权最小二乘支持向量回归(Gradient Optimization Online Weighted Least Squares Support Vector Regression，GO-OWLSSVR)误差补偿模型，来提高移动机器人的定位精度。

1 移动机器人设计

轮式移动机器人^[9-10]是最常见的运动方式，19世纪Nils Nilssen等开发的轮式机器人Shakey，是典型人工智能技术应用，而通过全向轮构成全向移动机器人具有结构简单、精确定位以及全向运动能力等优点而被广泛应用。

本文所设计的全向移动机器人底盘以三个全向轮轴心互成120°构成，且具有独立驱动，采用双排全向轮相结合，提高机器人的负载能力和避免侧滑现象的发生，同时在其尾部增加两个万向轮，增加机器人的稳定性。机器人位姿信息主要通过安装在底盘的正交(互相垂直)码盘与陀螺仪获得，为了能更加准确地得到机器人的位姿信息，分别在两个码盘上各安装一个全向轮。自制的实验机器人如图 1所示。

2 移动机器人运动学分析

全向移动机器人最大的特点就是全向轮边缘上的小轮能避免非完整线性运动的限制，实现全向运动。

2.1 运动模型分析

在分析移动机器人的运动模型之前，要先对运动场地和机器人分别建立坐标系，如图 2所示。

其中，坐标系X_W-Y_W和x_r-y_r分别为世界坐标系和机器人坐标系，并假设机器人为一个刚体，其质心与坐标系x_r-y_r的点O重合；θ为X_W与x_r的夹角，通过安装在底盘的陀螺仪获得；γ为全向轮线速度方向与y_r的夹角，可根据机器人的实际结构得到；L为全向轮中心到O点的距离。

V₁、V₂和V₃分别为三个全向轮的线速度，则可得到运动学方程为：

$\left\{ \begin{gathered} {V_1} = {{\dot X}_w}\cos \left( \theta \right) + {{\dot Y}_w}\sin \left( \theta \right) + L\dot \theta \hfill \\ {V_2} = - {{\dot X}_w}\sin \left( {\gamma + \theta } \right) + {{\dot Y}_w}\cos \left( {\gamma + \theta } \right) + L\dot \theta \hfill \\ {V_3} = - {{\dot X}_w}\sin \left( {\gamma - \theta } \right) - {{\dot Y}_w}\cos \left( {\gamma - \theta } \right) + L\dot \theta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(1)

将式(1)变换为矩阵形式：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}} \\ {{V_2}} \\ {{V_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \theta \right)} \\ { - \sin \left( {\gamma + \theta } \right)} \\ { - \sin \left( {\gamma - \theta } \right)} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \left( \theta \right)} \\ {\cos \left( {\gamma + \theta } \right)} \\ { - \cos \left( {\gamma - \theta } \right)} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} L \\ L \\ L \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {{\dot X}_w} \hfill \\ {{\dot Y}_w} \hfill \\ {\dot \theta } \hfill \\ \end{gathered} \right]$

(2)

令三个全向轮的速度矢量V=[V₁V₂V₃]^T，变换矩阵为：

$ P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \theta \right)} \\ { - \sin \left( {\gamma + \theta } \right)} \\ { - \sin \left( {\gamma - \theta } \right)} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \left( \theta \right)} \\ {\cos \left( {\gamma + \theta } \right)} \\ { - \cos \left( {\gamma - \theta } \right)} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} L \\ L \\ L \end{array}} \right] $

机器人的期望速度矢量为：$S={\left[{{{\dot X}_w}\; \; \; {{\dot Y}_w}\; \; \; \dot \theta } \right]^{\text{T}}}$，式(2)即可变形为:V=PS。

2.2 机器人定位模型分析

在图 2中d₁、d₂分别为坐标系x_r-y_r的O点到两个正交码盘末端全向轮中心的距离；v₁、v₂为两个正交码盘末端全向轮的速度，即可得到系统的定位方程为：

$\left\{ \begin{gathered} {v_1} = {X_w}\sin \left( \varphi \right) - {Y_w}\cos \left( \varphi \right) + {d_1}\dot \varphi \hfill \\ {v_2} = {X_w}\cos \left( \varphi \right) + {Y_w}\sin \left( \varphi \right) + {d_2}\dot \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(3)

其中φ可通过机器人实际结构得到，φ=θ-π/6。同理将式(3)改写成矩阵形式，可得：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{ - \cos \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{{d_1}} \\ {\cos \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{ - \sin \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{{d_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot X}_w}} \\ {{{\dot Y}_w}} \\ {\dot \theta } \end{array}} \right] $

将式中两边同时右乘Δt，则可变形为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_1}} \\ {{S_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{ - \cos \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{{d_1}} \\ {\cos \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{ - \sin \left( {\theta - \pi /6} \right)}&{{d_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {dx} \\ {dy} \\ {d\theta } \end{array}} \right]$

(4)

其中：S₁、S₂和dθ分别是两个正交码盘和陀螺仪在一个采样周期Δt内返回的数据，而dx、dy为系统在每个采样周期Δt的位移增量。则可获得机器人每一时刻的位姿如下：

$\left\{ \begin{gathered} {X_{i + 1}} = {X_i} + dx \hfill \\ {Y_{i + 1}} = {Y_i} + dy \hfill \\ {\theta _{i + 1}} = {\theta _i} + d\theta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(5)

其中dx、dy可通过对式(4)求反解得到。

3 支持向量机算法

移动机器人具有多种定位方式，不论采用哪一种，最终目的是要实现其自主定位以及避障等任务。本文提出的正交码盘+陀螺仪定位是一种比较新颖的、有效的定位方式，但为了进一步校正、减小定位误差，采用在线支持向量回归机预测机器人的位姿，并及时对其进行补偿。

支持向量机(Support Vector Machine, SVM)^[11-12]是Vapnik与Corinna Cortes在1995年提出，用于解决数据挖掘、分类以及回归估计等问题的有效算法。因为SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出的很多独有特点，及可以用在函数拟合等机器学习中，支持向量机一直是科研工作者研究的热点，而且随着支持向量机在回归预测方面的研究不断深入，应用也日渐增多。

但是支持向量机在计算二次规划问题时，具有较大的计算量并且随样本数量的增加耗时越长，严重影响实时性。在线支持向量机与传统的批量训练方法最大不同在于其对样本进行更新，即具有样本滚动过程。在k+l时刻对样本进行更新，加入新的样本(x_k+l, y_k+l)，丢弃最早的样本(x_k, y_k)，从而将核函数矩阵更新为Q(k+1)=K(x_i+k, x_j+k)(i, j=1, 2, …, l)。

3.1 基于梯度算法参数优化算法

梯度算法是一种在多维无约束极值问题求解常用的方法，是文献[13]中刘昌平等提出的一种用于支持向量机算法参数优化的新方法。

该算法的主要特点：1)收敛速度快，在优化求解过程中与给定的初始区域不相关，理论上可以选择任意的点作为初始点；2)当陷入局部最优，可通过扩大搜索空间跳出局部最优；3)以混沌优化方法在搜索空间内寻找最优点，并以找到的最优点作为梯度方向进行迭代。

梯度优化在线加权最小二乘支持向量回归(GO-OWLSSVR)算法原理如图 3所示，其中加权最小二乘支持向量回归机(Weighted Least Squares Support Vector Regression, WLSSVR)算法的核参数C、g、ε通过梯度算法得到。

3.2 支持向量机算法改进

常用的非线性支持向量回归算法的优化问题为：

$\begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{w,b\xi \left( * \right)} \frac{1}{2}{\left\| w \right\|^2} + C\sum\limits_{i = 1}^l {\left( {{\xi _i} + \xi _i^ * } \right)} \hfill \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}}\;\;\left[ {\left( {w \cdot {x_i}} \right) + b} \right] - {y_i} \leqslant \varepsilon + {\xi _i};i = 1,2, \cdots ,l \hfill \\ \;\;\;\;\;\;{y_i} = \left[ {\left( {w \cdot {x_i}} \right) + b} \right] \leqslant \varepsilon + {\xi _i};i = 1,2, \cdots ,l \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\xi _i^{\left( * \right)} \geqslant 0;i = 1,2, \cdots ,l \hfill \\ \end{gathered} $

(6)

最小二乘支持向量回归(Least Squares Support Vector Regression, LSSVR)算法是为了提高求解速度，将不等式约束函数改成等式约束函数，则优化问题变成为：

$\begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{w,b,e} J\left( {w,e} \right) = \frac{1}{2}{\left\| w \right\|^2} + \frac{C}{2}\sum\limits_{i = 1}^l {e_i^2} \hfill \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}}\;\;{y_i} = {w^{\text{T}}}\varphi \left( {{x_i}} \right) + b + {e_i},i = 1,2, \cdots ,l \hfill \\ \end{gathered} $

(7)

为了提高支持向量机回归算法的鲁棒性，对式(7)中的误差平方进行加权，即：

$\begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{w,b,e} J\left( {w,e} \right) = \frac{1}{2}{\left\| w \right\|^2} + \frac{C}{2}\sum\limits_{i = 1}^l {{v_i}e_i^2} \hfill \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}}\;\;{y_i} = {w^{\text{T}}}\varphi \left( {{x_i}} \right) + b + {e_i};i = 1,2, \cdots ,l \hfill \\ \end{gathered} $

(8)

引入拉格朗日多项式解决式(8)的对偶问题，然后对w、b、e、α求偏导，化简得：

$L\left( {w,b,w,a} \right) = J\left( {w,e} \right) - \sum\limits_{i = 1}^l {{\alpha _i}\left[ {{w^{\text{T}}}\varphi \left( {{x_i} + b + {e_i} - {y_i}} \right)} \right]} $

(9)

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} O&{1_v^{\text{T}}} \\ {{1_v}}&{\Omega + {V_C}} \end{array}} \right|\left| \begin{gathered} b \hfill \\ \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right| = \left| \begin{gathered} 0 \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right|$

(10)

${v_i} = \left\{ \begin{gathered} 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_i}/\hat s} \right|{\text{ < }}{c_1} \hfill \\ \frac{{{c_2} - \left| {{e_i}/\hat s} \right|}}{{{c_2} - {c_1}}},\;\;\;\;{c_1} \leqslant \left| {{e_i}/\hat s} \right| \leqslant {c_2} \hfill \\ {10^{ - 4}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(11)

式(9)、(10)中：${V_C}={\text{diag}}\left\{ {\frac{1}{{C{v_1}}}, \frac{1}{{C{v_2}}}, \cdots, \frac{1}{{C{v_l}}}} \right\}$；e_i的标准差鲁棒估计$\hat s=\frac{{IQR}}{{2 \times 0.6745}}$，IRQ=e_i/2；c₁、c₂的经典取值为2.5与3；Q_l=Ω_l+V_C。由式(10)可求得：

$\left\{ \begin{gathered} b = \frac{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}y}}{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}1}} \hfill \\ \alpha = Q_l^{ - 1}\left( {y - 1 \times \frac{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}y}}{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}1}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(12)

式(12)代入下式：

$ y\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^l {{\alpha _i}K\left( {x,{x_i}} \right) + b} $

即可以得加权最小二乘支持向量回归机(WLSSVR)回归函数如下：

$y\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^l {Q_l^{ - 1}} \left( {y - 1 \times \frac{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}y}}{{{1^{\text{T}}}Q_l^{ - 1}1}}} \right)K\left( {{x_i},{x_j}} \right) + \frac{{1Q_l^{ - 1}y}}{{1Q_l^{ - 1}1}}$

(13)

3.3 算法的实现

步骤1  首先，采集初始样本集S，确定WLSSVR参数C、g、ε的值，首次通过经验选定。

步骤2  计算e_k、$\hat s$、v_k、核矩阵及b、a，构造位姿预测函数。

步骤3  预测出下一点的位姿(x_i+1, y_i+1, θ_i)，并将其反馈至运动控制系统，控制机器人向预测的位姿方向运动，并及时进行误差补偿；对位姿个数i进行加1操作，且满足i∈0, 1, …, n。

步骤4  判断机器人定位误差是否满足e(i+1)=$\sqrt {\left({{Y_{i + 1}}\left({{t_{i + 1}}} \right)-Y_{i + 1}^ * } \right)} \leqslant {e_{\min }}$，式中，Y_i+1(t_i+1)为i+1时刻机器人的理论位姿，Y_i+1^*为机器人控制系统获得的实际位姿。如果满足要求则参数选择合理，跳转至步骤5，否则转至步骤6。

步骤5  对样本进行更新，即将S_i更新为S^*，其中S^*比S_i增加了当前路径的实测位姿坐标，程序转至步骤3。

步骤6  梯度优化算法调整在线WLSSVR参数C、g、ε，程序转至步骤2。

4 实验结果与分析 4.1 不同参数寻优算法比较

支持向量机算法分类与回归的准确率受其参数影响^[14-15]。本文以均方误差为目标函数，比较网格算法、遗传算法和梯度算法寻求的最优参数。

实验条件：以图 1所示的自制机器人为实验平台，设置x=600 sin(2πy/3 000), y∈[0, 3 000](单位：mm)为机器人的运动轨迹，码盘为600线增量式光电编码器，陀螺仪为IDG-300，运动场地为木地板，三种算法得到的最优参数如表 1所示。

分析实验结果可知，采用梯度算法寻求最优参数时，所得到回归均方误差(Regressive Mean Error, RME)较另外两种算法小，表明其寻得的参数能使支持向量机算法的精度更高。

4.2 不同预测算法比较

实验条件与上述相同，实验数据由控制系统通过2401无线模块发送至PC接收模块上，分别用最小二乘支持向量回归(LSSVR)算法、加权小二乘支持向量回归(WLSSVR)算法、梯度优化的在线加权最小二乘支持向量回归(GO-OWLSSVR)算法于木板场地测试机器人定位误差情况，机器人运动轨迹如图 4所示，选取8个关键点比较三种算法的定位误差如图 5所示。

通过实验可以发现，本文算法GO-OWLSSVR比普通最小二乘支持向量机和加权最小二乘支持向量机定位精度高。

4.3 不同运动场地比较

由于不同的场地摩擦系数不同，导致机器人的定位效果不同。本文分别在木地板场地与瓷砖场地验证所提出算法GO-OWLSSVR与LSSVR算法、WLSSVR算法的定位精度。实验平台与上述相同，机器人的运动轨迹与并选取了35个关键点的误差进行对比，结果如图 6、图 7所示。

通过以上实验分析发现，瓷砖场地与木地板场地摩擦系数不同，定位精度效果不同。其中，瓷砖场地由于摩擦系数较小，使得机器人容易发生打滑、跑偏等现象，其定位精度相对较低，定位误差波动很大。虽然在瓷砖场地上有些点的定位精度比木地板场地高，这是因为瓷砖场地容易打滑，机器人发生漂移、侧移等现象，使机器人滑动靠近至目标点，然而通过本文的算法仍可将其控制在一定的范围之内，且比LSSVR算法与WLSSVR算法的定位精度高，表明本文的算法具有一定的优越性，可适用于不同的运动场地。

4.4 不同定位系统比较

为了验证本文提出的正交码盘+陀螺仪定位系统的有效性，与常见的双单码盘定位、单码盘+陀螺仪定位进行比较。其他实验条件与上述相同，机器人的运动轨迹为x=600 sin(2πy/3 000), y∈[0, 3 000] (单位：mm)，重新实验，所得实验结果如图 8、图 9所示。

通过分析实验结果可知，本文提出正交码盘+陀螺仪定位系统的定位精度高于双单码盘定位及单盘码盘+陀螺仪定位方式。

5 结语

基于室内移动机器人定位技术是当前研究热点，本文提出了正交码盘+陀螺仪的定位系统，并改进了支持向量回归算法，以自制的机器人为实验平台，采用大量的实验数据与传统的支持向量机算法、不同的运动场地、不同的定位系统相比，表明所提出的定位系统与改进算法的有效性，并可适用于不同摩擦系数的场地，具有良好的定位效果。下一步工作是对室外移动机器人定位技术以及算法的移植性进行研究。