0 引言

图像是人类获取和交换信息的主要来源,随着人类活动范围的不断扩大,图像处理的应用领域也将随之不断扩大。现实中的数字图像在获取、数字化、传输、存储等过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响,称为含噪图像或噪声图像^[1]。受到噪声污染的图像会对后续的处理操作,如图像分割、图像识别和图像理解等造成干扰和误差。因此,减少数字图像中噪声(图像降噪)在整个图像处理领域是十分基础和重要的。脉冲噪声是数字图像中最常见的噪声之一。基于其强度数值,脉冲噪声可以被分为两类:椒盐噪声(定值脉冲噪声)和随机脉冲噪声。由于后者更加复杂,本文将重点研究后者。

在过去,许多降噪方法被提出用于去除图像中的脉冲噪声分布。中值滤波(MEDian filtering,MED)算法^[2]是一种被广泛应用的降噪方法,它十分简单和高效。然而这种滤波算法在保存细节方面的能力比较差,因为图像中所有的点,无论是噪声点还是正常点都会被滤波算法产生的中值修改。当噪声水平较高时,图形中一些真实的细节会被算法产生的平滑小块替代。为了解决此问题,一些改进方法被提出,通过给可能的正常细节点赋予较大的权重值来达到保留更多细节的目的。这些方法有权重中值滤波(Weighted Median,WM)算法^[3]、中心权重中值滤波(Center Weighted Mmedian,CWM)算法^[4]、递归权重中值滤波(Recursion Weighted Mmedian,RWM)算法^[5]等。

虽然这些加权方法在降噪过程中能够保留较多细节信息,但是仍然不区分噪声点和干净点,采用一致的方法去处理整个图像。因此,一种在过滤噪声前先进行噪声检测的两阶段策略被提出,比如开关中值滤波(Switching Median,SWM)算法^[6]。之后,更多的方法被提出,包括依赖平均秩次的信号滤波(Signal Dependent Rank Order Mean,SD-ROM)算法^[7]、三态中值滤波(Tri-State Median,TSM) 算法^[8]、适应性中央加权滤波(Adaptive Center Weighted Mmedian,ACWM) 算法^[9]、Luo(Luo-Iteration)算法^[10]、定向加权中值滤波(Directional Weighted Median,DWM) 算法^[11]、自适应开关中值滤波(Adaptive Switching Median,ASWM) 算法^[12]、最优方向中值滤波(Optimal Direction-based Median ODM) 算法^[13]，以及一种基于非局部均值的鲁棒性滤波(Robust Outlyingness Ratio based Non-Local Mean,ROR-NLM) 算法^[14]。

此类算法由于只使用中值或者基于中值的计算值去估计恢复后的值,因此仍然会模糊部分细节。为了克服这类缺点,文献^[15]提出一种保边正则(Edge-Preserving Regularization,EPR)方法,在保护边缘细节和非噪声点的同时能有效地移除脉冲噪声。以此为基础,文献^[16-17]提出一种结合EPR滤波器和噪声检测器的两阶段策略方法，这类方法的主要限制在于第一阶段噪声检测器的精度。在文献^[18]中,一种基于绝对差排序的局部统计变量ROAD(Rank-Ordered Absolute Differences)被提出用于识别脉冲噪声。文献^[19]提出一种基于ROAD且更加鲁棒性的方法ROLD(Rank-Ordered Logarithmic Differences),它结合保边正则,形成ROLD-EPR滤波器。在文献^[20]中,ROAD-BEPR(Bilateral Edge-Preserving Regularization)滤波器被提出来,它结合了ROAD统计量和双保边正则。ROAD和ROLD在检测大部分脉冲噪声时有比较好的性能,但是当噪声水平较高时,它们对边缘部分噪声识别的精度不够高。

近年来,一些基于机器学习的方法被引入图像去噪领域,取得了较好的效果。如基于神经网络和模糊系统的图像去噪算法^[21-22],文献^[23]提出了一种结合统计特征和遗传规划的去噪算法INDE-GP(Image Denoising Genetic Programming)。然而此类算法最大的问题在于需要大量的前置训练,并且计算开销大。

受两阶段策略思想的启发,本文提出了一种针对随机脉冲噪声的降噪算法,称作基于加权空间离群点度量的保边正则(Weighted Spatial Local Outlier Measure-Edge-Preserving Regularization,WSLOM-EPR)过滤算法。该算法首先定义了一种加权空间离群值度量(WSLOM),用来在第一阶段检测脉冲噪声。由于该度量结合了图像的局部统计特性,充分利用了图像本身的几何属性,所以提高了噪声检测的精确度。该算法使用EPR方法在第二阶段进行污染像素点的去噪恢复,由于EPR具有较好的保持细节信息的能力,所以算法在降噪过程中能较好地保持图像的边缘和细节信息。并且算法在第一阶段精确检测的基础上,简化了EPR的势函数,提高了算法执行效率。

1 相关工作 1.1 脉冲噪声模型

不同于高斯噪声,脉冲噪声的一个重要特点是只有一部分像素点被随机值代替,而剩下的像素点保持不变。在这类噪声图像中,最突出的像素点是那些和周围强度值相差最大的点。

假设X是原始的数字图像,Y是被脉冲噪声污染的图像。让X和Y表示R^m×n中的两个矩阵。它们的关系可以用如下模型表示:

$Y={{N}_{r}}\left( X \right)$

(1)

其中:N_r:R^m×n→R^m×n表示脉冲噪声,其以r为几率,在X的动态范围[d_min,d_max]内取值。更确切地说,让x_p和y_p分别表示原始图像X和含噪图像Y中,位置p的强度值。当噪声水平达到r,式(1)可以被表达如下:

${{y}_{p}}=\left\{ \begin{align} & \text{ }{{n}_{p}},\text{ }概率为r \\ & {{x}_{p}},概率为1-r \\ \end{align} \right.$

(2)

其中:n_p是脉冲噪声在位置p的强度值。有两种常见的脉冲噪声:固定值(椒盐)噪声和随机值噪声。当n_p只以等概率取d_min或者d_max时,这类噪声叫作椒盐噪声;当n_p在区间[d_min,d_max]内随机取值时,这类噪声被称作随机脉冲噪声。

1.2 针对脉冲噪声的保边滤波器

噪声检测之后的下一个问题是如何选择合适的滤波器来去除识别出的噪声,恢复可能的估算值。大多数的非线性方法用噪声点附近的某些类型的中值来直接替换噪声点的强度值,而不考虑局部图像的特征,例如可能存在的边缘等。因此,这种恢复技术在细节和边缘处的处理结果并不好,特别是当噪声水平较高时。因此一种基于最小化保边正则的方法在文献^[24]中被使用,以此来保护含高斯噪声的图像在恢复过程中的边和细节。在文献^[15]中,一种基于这种思想的技术被提出来处理脉冲噪声。

令N表示候选噪声集合,Ω_p⁰表示p的邻域(不包含p),表示恢复后的图像。如果一个点p∉N,它将被识别为无噪点,算法自然地保持它的原始强度值,例如,${{\hat{x}}_{p}}={{y}_{p}}$；如果p是一个噪声候选点,即p∈N,那么y_p必须被恢复。这一规则也被应用到该点的邻域集合中。在文献^[15]中,噪声候选点集的恢复采用最小化含有l₁ 数据保真项的目标函数Θ:

$\begin{align} \Theta (x)=\sum\limits_{p\in N}{\{}|{{x}_{p}}-{{y}_{p}}| & \\ +\frac{\beta }{2}[{{\sum }_{q\in \Omega _{p}^{0}\backslash N}}2{{\varphi }_{\alpha }}({{x}_{p}}-{{y}_{q}}) & \\ +\sum\limits_{q\in \Omega _{p}^{0}\cap N}{{{\varphi }_{\alpha }}}({{x}_{p}}-{{x}_{q}})]\}, & \\ \end{align}$

(3)

其中: β是一个正则化参数;φ_α^{[17, 21]}是一个带参数α的保边势函数。

2 算法原理

在噪声检测时,ROAD和ROLD是很好的统计量,然而由于没有充分考虑图像的局部特征,比如均值、标准差等,使得它们容易在边缘细节部分的噪声检测中失败。因此本文提出一种可以充分利用图像局部特征的统计量来对含噪图像进行检测。

2.1 平均差距离度量

设o表示一个邻域的中心点,在文献^[25]中定义了一种目标点o和它邻域点之间关系的空间量度d(o):

$d(o)=\frac{1}{|{{\Omega }_{o}}|}\sum\limits_{p\in {{\Omega }_{o}}}{d}ist(o,p),$

(4)

其中:Ω_o是o的邻域点集合;|Ω_o|是该集合中元素的数量;dist(o,p)是目标点o和它邻域点p之间的欧氏距离。

然而这种度量容易受到邻域噪声点的影响。假设图 1所示区域的原始状态是平坦一致的,即像素值全相同,这里为了直观,取为0,受到噪声污染后,个别像素值改变。现在来观察两个对象点o₁(3,3)和点o₂(3,4)。

1)从图 1中可以看到,对象点o₁的值为100,显然是含噪点。如果邻域都无噪,通过式(4)来计算其d(o)值应为100,然而由于其邻域p(4,2)是含噪点,它会扭曲其他邻域点和对象点之间的关系,使得其d(o)小于100。

2)接着观察对象点o₂,它本身是无噪点,如果邻域都是无噪的情况下,它的d(o)值应该是0,然而如图 1所示,其邻域点p(3,3)是含噪点,它同样改变了剩余邻域点与对象点关系的作用力,所以其最后的d(o)值大于0。

通过上面两种情况的分析,可以看到由于受到邻域噪点的影响,使得两类不同对象点o₁和o₂的d(o)值向中间靠拢,降低了区分度,也就降低了通过d(o)值来辨识像素点是否含噪的能力。

为了减小邻域噪点的影响,本文首先定义两个最值:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} dis{{t}_{max}}(o)=max\{dist(o,p)\ |\ p\in {{\Omega }_{o}}\}; \\ dis{{t}_{min}}(o)=min\{dist(o,p)\ |\ p\in {{\Omega }_{o}}\}. \\ \end{array} \right.$

(5)

然后定义新的平均差$\hat{d}(o)$如下:

$\hat{d}(o)=\frac{\sum\limits_{p\in {{\Omega }_{o}}}{d}ist(o,p)-dis{{t}_{max}}(o)-dis{{t}_{min}}(o)}{|{{\Omega }_{o}}|-2}.$

(6)

式(6)去掉了最大距离和最小距离对$\hat{d}(o)$的影响。原因是:1)在1.1节噪声模型中提到,脉冲噪声往往是“与周围强度值相差最大的点”,而最大距离正是这一特点的反映;而随机脉冲噪声的随机性则可能导致两个点之间的最小距离。2)对于对象点o₁,其邻域噪点正好是dist_min(o);而对于对象点o₂,其邻域噪点也正好是dist_max(o)。因此,从理论和实例两方面分析得出新定义的统计度量$\hat{d}(o)$能更有效地提高其抗干扰能力。最后分析在无噪情况下,新度量对于平坦区域的影响。由于无噪平坦邻域内的像素值十分接近,故而减去最值后对整体的计算结果几乎没有影响,并且由于其最后的度量值远远小于阈值,所以新的度量$\hat{d}(o)$对于平坦无噪区域无影响。

2.2 加权检测度量

本节将在新定义的距离统计度量的基础上引入反映图像局部细节的权重,产生交换加权检测度量,增强其对图像边缘部分的检测精度。

数学中标准差可以反映集合中元素偏离期望均值的程度。在图像矩阵中,某一个方向或者区域的标准差则可以反映在这个方向或者区域内,所有像素值之间接近程度,在一定程度上可以表现图像的局部特征。比如,处于同一条边上的像素的标准差较小。本文将引入这类特性以强化度量算法。

首先定义四个方向:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{1}}=\{(-2,-2);(-1,-1);(0,0);(1,1);(2,2)\} \\ {{S}_{2}}=\{(0,-2);(0,-1);(0,0);(0,1);(0,2)\} \\ {{S}_{3}}=\{(2,-2);(1,-1);(0,0);(-1,1);(-2,2)\} \\ {{S}_{4}}=\{(-2,0);(-1,0);(0,0);(1,0);(2,0)\} \\ \end{array} \right.$

(7)

令K=1,2,3,4,接着定义每个方向上的标准差σ_k(o):

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\mu }_{k}}=\frac{\sum\limits_{p\in {{S}_{k}}}{{{y}_{p}}}}{|{{S}_{k}}|},\ \ \ k\in K; \\ {{\sigma }_{k}}(o)=\sqrt{\frac{\sum\limits_{p\in {{S}_{k}}}{{{({{y}_{p}}-{{\mu }_{k}})}^{2}}}}{|{{S}_{k}}|}},\ \ \ k\in K.\quad \\ \end{array} \right.$

(8)

其中k∈K。

同样为了压制邻域噪点对度量的影响,去掉最值项,新的方向综合标准差$\hat{\sigma }(o)$定义如下:

$\hat{\sigma }(o)=\frac{\sum\limits_{p\in {{\Omega }_{o}}}{{{\sigma }_{k}}(o)}-\underset{k\in K}{\mathop{\max }}\,{{\sigma }_{k}}(o)-\underset{k\in K}{\mathop{\min }}\,{{\sigma }_{k}}(o)}{|K|-2}$

(9)

以$\hat{\sigma }(o)$为基础构造权重表达式,需要将其归一化处理,并且考虑扩大两级差异以增加区分度。在机器学习中被广泛应用的逻辑回归(Logistic Regression,LR)中的Sigmoid(S形)函数正好具备这一特征。因此将Sigmoid函数应用于$\hat{\sigma }(o)$,构造反映局部邻域特征的权重表达式:

$w(o)=\frac{1}{1+{{e}^{-\hat{\sigma }(o)+\alpha }}},$

(10)

其中:α是调节参数,根据实验数据,一般取9。

根据式(6)和(10),定义加权的空间离群点统计量度(WSLOM):

$WSLOM=\hat{d}(o)w(o).$

(11)

以下着重分析权重w(o)对含边缘邻域$$\hat{d}(o)$值的调节作用。

假设邻域含有边缘,目标点是无噪点,边缘上无噪点或者含少量噪点。此时,由于边缘和平坦区域值的差异,会造成$\hat{d}(o)$的值偏大,容易造成对目标点的误判。然而,由于边缘点在相同方向趋同,故其标准差较小,进而权重较小,使得WSLOM较小,提高了边缘细节处噪声检测的精确度。

2.3 WSLOM-EPR滤波器

本文方法的本质是首先检测含噪点,然后在第二阶段只用无噪点来恢复图像。因为WSLOM是很好的噪声检测器,因此将它和保边正则方法结合形成WSLOM-EPR滤波器。为了进一步提高检测的精度,本文算法采用迭代过程中递减阈值的办法^[16]来强化算法。在迭代的初期,采用一个较大的阈值,WSLOM可以识别出最可能的像素点。在接下来的迭代序列中,逐步降低阈值来辨识出更多的噪声点。假设噪声图像是y,算法表示如下:

1) 初始化。

设置t=0和x⁰= y,其中：t是迭代次数,y表示观察到的含噪图像。

2) 噪声检测。

① 在第t次迭代图像x^t中,比较每个像素p^t的WSLOM值。

② 如果WSLOM(p^t)>T^t,则p^t被识别为含噪点,然后p∈N^t(噪声候选集合)；否则,p^t是一个无噪点。为了提高检测精度,采用迭代的方法去降低比较的阈值。阈值的计算方法采用文献^[19]中的建议:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{T}^{0}},\quad t=0; \\ {{T}^{t+1}}=0.9{{T}^{t}},\quad t>0, \\ \end{array} \right.$

(12)

其中:T⁰取接近噪声点WSLOM值的均值,因为这个均值反映了噪声强度的一个趋势。

3) 图像恢复。

采用最小化如下目标函数^[17]的算法来恢复所有属于N^t的像素点:

$\begin{align} \sum\limits_{p\in {{N}^{t}}}{\{}2{{\sum }_{q\in \Omega _{p}^{0}\backslash {{N}^{t}}}}\varphi (x_{p}^{t+1}-{{y}_{q}}) & \\ +\sum\limits_{q\in \Omega _{p}^{0}\cap {{N}^{t}}}{\varphi }(x_{p}^{t+1}-x_{q}^{t+1})\}, & \\ \end{align}$

(13)

其中:Ω_p⁰是p的邻域;φ是一个保边势函数^[21]。对于所有p∉N^t,令x_p^(t+1)=x_p^(t)。

因为检测出的无噪数据十分准确^[17],所以在这个函数中,只使用了正则项而没有式(3)中的数据保真项,用如下函数作为φ:

$\varphi (z)=|z{{|}^{\beta }},$

(14)

根据文献^[15-16],β=1.3。为了提高计算效率,本文算法使用文献^[26]中的共轭梯度(Conjugate Gradient,CG)法来最小化式(14)中给出的目标函数。

4) 迭代。

当t>t_max或者PSNR^t-PSNR^t-1≤δ时，停止迭代(其中t_max是最大的迭代数,δ取0.01)；否则,设t=t+1,跳转至第2)步。其中，PSNR为峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio)^[27]。

3 实验结果与分析

为了验证本文算法的有效性,本文采用一组图像Lena、Bridge和Peppers来进行验证。这些图像均为512×512像素的8位灰度图。

3.1 噪声检测性能实验

在EPR框架中,影响算法降噪能力很重要的一个因素是噪声检测的精确性。用误检数和漏检数两个指标来评估检测的精确性,其中误检数是指算法将干净像素点错误判断为噪声点的个数,而漏检数则表示漏检的噪声点的个数。表 1列举了本文方法和其他方法在不同噪声水平下,对噪声点的识别结果。

从表 1中可知,虽然有些算法(如Luo和ACWM)能产生比较少的误检或者漏检,但是它们产生的误差总和高于本文算法；另外一方面,本文方法在误检和漏检之间保持一个较好的平衡；而且本文方法能在噪声水平较高时,仍然能够辨识大部分噪声,同时保持较低的误判率。

3.2 图像恢复性能实验

实验使用PSNR^[27]来定量比较各算法的在噪点恢复中的性能，其定义如下:

$PSNR=10{{\log }_{10}}\frac{{{255}^{2}}}{\frac{1}{MN}\sum\limits_{p\in A}{{{({{{\hat{x}}}_{p}}-{{x}_{p}})}^{2}}}},$

(15)

其中: A是图像坐标集合； p是图像的坐标点；$\hat{x}$_p、x_p分别是恢复后的像素值和原始图像的像素值,图像的大小为M×N。峰值信噪比的值越大,代表图像恢复的效果越好。表 2列出了不同算法在30%到50%噪声水平下处理三种图片得到的峰值信噪比。从表 2可看出本文算法在大部分情况下优于其他对比算法。

图 2显示了不同算法对60%随机脉冲噪声污染的Lena图像恢复的可视化效果。从图 2可以看出本文算法在视觉效果也好于其他几种算法。

对于效果最接近的子图 2(e)和(f),放大脸部如图 3所示。从图 3可以看出：ROLD-EPR方法虽然有较好地保持边缘的能力,但是在某些局部细节上仍会造成一些模糊及颗粒,如鼻梁及脸颊边缘；而本文算法的效果则更加平滑流畅。

3.3 差值度量比较

本文式(6)定义的差值度量$\hat{d}(o)$实现了对空间度量d(0)^[23]的优化,现将二者在真实图像中的作用效果进行比较。$\hat{d}(o)$的增强作用在于提高原度量的抗噪性能,即增加度量值的区分度。采用$\hat{d}(o)$-d(0)的差值来观察区分度的变化。表 3显示了在30%到60%噪声水平下,区分度差值的变化情况。

从表 3可以看出：$\hat{d}(o)$对于非噪点的度量值的降低比较明显,但对噪点的度量值增加相对较小,因为去掉的最小值里有部分是非噪声。但是总的效果是增加了噪点和非噪点的对比度,增强了抗干扰能力。

4 结语

本文提出了一种基于加权空间离群点度量的降噪算法。首先,该算法定义了一种加权空间离群值度量用来在检测脉冲噪声。由于该度量结合了图像的局部统计特性和几何特征,充分利用了图像本身的几何属性,所以提高了图像边缘和细节部分噪声的识别精度。其次,该算法在精确检测的基础上,简化了EPR降噪方法中的势函数,在提高算法执行效率的同时保留了其保持图像边缘和细节信息的能力,所以恢复后的图像较好地保留了边缘和细节信息。通过与其他降噪算法进行仿真实验分析,无论是从主观的视觉效果还是从客观的定量对比来看,本文算法不仅可以有效地提高噪声检测的精确度、降低误检率,而且降噪后的图像保留了更多的边缘及细节信息,使得恢复后的图像更加接近原始图像。因此,该算法的提出为图像处理的后续研究工作提供了一个较好的基础。