0 引言

近年来，无线传感器网络(Wireless Sensor Network,WSN)已应用在多种场合，例如环境监测、健康、监视和机器人探测等^[1~2]。WSN由低功率传感器构成，具有信息感知、处理和通信能力。通常情况下，传感器网络中节点通过协同工作，实现感兴趣区域(Region Of Interest,ROI)的事件监控。然后将提取到的有用信息，发送至特殊节点：融合中心(Fusion Center,FC)，其融合所有传感器输出，并形成了全局态势评估数据^[3]。

分布式检测(Distributed Detection,DD)在资源有限WSN上的应用效果受到学者关注，因为直接发送数据到FC会消耗更多的带宽和能量^[4]。在DD中，传感器首先进行自我决策，然后这些决策信息传输至FC进行最优融合。最优分布式检测是在Bayesian和Neyman-Pearson(N-P)条件独立假设下进行分析^[5]。此外，文献^[6]研究了观测相关的决策融合方法，但是上述研究是建立在每个传感器节点和FC之间的通信信道无差错假设基础上的。文献^[7]提出非理想信道的分布式检测方法，并假定噪声影响的传感器和FC之间的通信渠道为二进制对称信道(Binary Symmetric Channel,BSC)。文献^[8]提出一种分层拓扑结构的WSN在理想状态下的分布式决策融合策略。DD擅长解决多址信道衰减产生的不利影响，因为FC可提供不同信道的独立信号传输，可获得空间多样性效果。以上所提到的研究，信号传输和信息融合是基于正交通信(Orthogonal Communication,OC)完成，可避免多址干扰(Multiple Access Interference,MAI)，但是同时刻仅有一个传感器发送的决策，而其他传感器则处于等待。然而，这会降低系统的吞吐量，并且造成带宽使用效率不高的问题，特别是针对大型网络情形。为提高整个网络的效率，文献^[9]采用非正交的通信(Non-Orthogonal Communication,NOC)的决策融合策略，其中本地传感器通过多接入信道(Multiple Access Channel,MAC)直接发送决策信息到FC中。使用中继也可增强无线传感器网络中DD算法性能，并可实现多用户通信的时空多样性。

提高中继MAC信道的可靠性和吞吐量，可通过采用网络编码(Network Coding,NC)策略进行加强，如物理层网络编码(Physical Network Coding,PNC)和复数域网络编码(Complex Field Coding,CFC)等，例如文献^[10] 提出一种无线传感器网络中网络编码的自适应压缩编码技术，但是数据的压缩会降低算法可靠性；文献^[11]结合二进制干扰和物理层网络编码提高双向中继网络的中断可靠性能，但是编码过程较为复杂，需要编写对接协议；文献^[12]提出用于无线通信的符号错误率优化的复杂场网络编码，编码实现较为简单，并获得较好效果。

对此，本文在中继过程中采用如下中继策略：首先，传感器在无线介质上发送其决策信息，并且由于无线信道的广播特性，使得中继节点和FC可承载传感器信息；然后，中继节点提取所需的传感器决策信息，在随后的时间间隔中，中继节点通过中继协议将信号转发到FC中；最后采用复数域网络编码，提高中继MAC信道的可靠性。

1 经典正交信道分布检测技术

首先回顾无线传感器网络中利用平行拓扑结构的经典正交信号的分布式检测(无中继节点)技术——CDD(Classical DD)，本文专注二进制假设：H₁和H₀，分别代表目标存在和不存在。考虑具有N个传感器节点的子网络(无中继节点)，如图 1所示^[13-14]。

假定第k个传感器为S_k，首先在ROI中获得其测量值m_k，其到达决策为μ_k，通过调制可获得x_k。然后，调制信号x_k根据衰减函数和噪声产生信号扭曲，并在FC处产生信号y_k。最后，FC将接收到的所有的信号，根据融合规则进行决策u_k。假设整个信道的衰落函数是复高斯随机变量，电子噪声模型为加性高斯白噪声(Additive Gauss White Noise,AGWN)。此外，假设FC上的信道状态信息是可用的。这里仅考虑二进制相移键控调制(Binary Phase Shift Keying Modulation,BPSK)信号，但会简单地将结果进行扩展获得其他调制方案。

在正交信号下，第k个传感器接收信号的融合^[6]为：

${{y}_{k}}=\sqrt{{{\gamma }_{k}}}{{h}_{k}}{{x}_{k}}+{{z}_{k}}$

(1)

其中：γ_k是传感器k和FC之间的链路路径损耗系数；h_k为复高斯信道系数；x_k为BPSK调制信号，其值为-1和1；第k个传感器的决策μ_k输出为0和1。z_k在每个维度上是零均值的高斯样本，其方差为σ²=N₀/2。

对于这种网络拓扑结构和正交信号模型，采用最优似然比(Optimal Likelihood Ratio,OLR)融合法则^[8]：

$\Lambda (y)=\prod\limits_{k=1}^{N}{\frac{{{P}_{{{D}_{k}}}}{{\text{e}}^{\frac{{{\left| {{y}_{k}}_{-}\sqrt{{{\gamma }_{k}}}{{h}_{k}} \right|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}}+(1-{{P}_{{{D}_{k}}}}){{\text{e}}^{-\frac{{{\left| {{y}_{_{k}}}+\sqrt{{{\gamma }_{k}}}{{h}_{k}} \right|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}}}{{{P}_{{{F}_{k}}}}{{\text{e}}^{\frac{{{\left| {{y}_{k}}_{-}\sqrt{{{\gamma }_{k}}}{{h}_{k}} \right|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}}+(1-{{P}_{{{F}_{k}}}}){{\text{e}}^{-\frac{{{\left| {{y}_{k}}_{-}\sqrt{{{\gamma }_{k}}}{{h}_{k}} \right|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}}}}$

(2)

其中：y=[y₁,y₂,…,y_N]^T是接收到的信号矢量。P_Dk和P_Fk分别是传感器的检测概率和虚警概率，分别表示为：P_Dk=P(μ_k=1|H₁),P_Fk=P(μ_k=1|H₀)。

平行网络常规策略是假定每个传感器的信息传输是通过正交信道来完成的，因此，每个符号信息对于每个传感器决策使用N个信道进行传送，每个信道有T₀的持续时间。因此，CDD利用正交信号的信息速率或吞吐量可计算为：R_CDD=1/(NT₀)。

2 复域编码多址信道分布式检测

首先，提出使用中继MAC地址的无线传感器网络；接着把复数域网络编码技术应用在无线传感器网络；然后，研究CFC中继辅助的多址信道分布式检测技术。

如前文所述，使用中继有助于实现协同分集，以降低信道衰落不利影响。因此，如图 2所示提出CFC与中继节点的并行网络，所有的信息信号通过MAC信道传输，传感器节点为N个，中继节点为R。每个传感器S_k分配有独特签名θ_k。然后传感器的调制决策x_k，在时隙1将所得传感器信号发送到非正交信道，在时隙2通过中继节点将其发送至FC。从平面衰落下的非正交通信产生的信号^[3]可以被写为：

$\left\{ \begin{align} & {{y}_{r}}=\sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}{{\theta }_{k}}{{x}_{k}}+{{z}_{r}} \\ & {{y}_{sd}}=\sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{\gamma }_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}d}}{{\theta }_{k}}{{x}_{k}}+{{z}_{d}} \\ & {{y}_{rd}}=\sqrt{{{g}_{r}}}{{h}_{rd}}\sqrt{\alpha }{{x}_{r}}+{{z}_{d}} \\ \end{align} \right.$

(3)

其中：y_r和y_sd分别是在时隙1，由中继节点和FC上所接收的信号；y_rd是在时隙2，FC在中继节点获取的信号；h_skr、h_skd和h_rd分别是图 2中对应的SK-R、SK-FC和R-FC三条信道的衰减增益，其为具有零均值和单位方差的复高斯随机变量；参数α决定分配给中继节点的发射功率；γ_k、g_k和g_r分别是SK-R，SK-FC和R-FC信道的衰减系数；z_r和z_d分别代表在中继节点和FC的噪声样本，其中的加性高斯白噪声模型在每个维度具有零均值和N₀/2方差。

因此，每个传感器通过双通道进行信号传输，每个通道持续T₀，则信息速率可变为： R_CFNC=1/(2T₀)。假设信道状态信息(Channel State Information,CSI)在所有接收节点是已知的。采用基于前向式中继的ML检测估计：

$\hat{x}=\left( {{{\hat{x}}}_{1}},{{{\hat{x}}}_{2}},\cdots ,{{{\hat{x}}}_{N}} \right)=\underset{{{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{N}}}{\mathop{\arg \min }}\,{{\left\| {{y}_{r}}-\sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}}{{\theta }_{k}}{{x}_{k}} \right\|}^{2}}$

(4)

然后，通过整合传感器消息ML估计器与传感器签名可生成中继信号${{x}_{r}}=\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\theta }_{k}}}{{\hat{x}}_{k}}$。

在这之后，中继信号r在时隙2根据式(3)发送至FC。最后，FC通过贝叶斯过程整合其在时隙1和时隙2接收的所有信号。具体来说，基于OLR最优融合规则：

$\begin{align} & \Lambda ({{y}_{d}})= \\ & \frac{\sum\limits_{x}{f}({{y}_{sd}}|{{H}_{1}},x)(\sum\limits_{{\hat{x}}}{f}({{y}_{rd}}|{{H}_{1}},\hat{x})P(\hat{x}|x))p(x|{{H}_{1}})}{\sum\limits_{x}{f}({{y}_{sd}}|{{H}_{0}},x)(\sum\limits_{{\hat{x}}}{f}({{y}_{rd}}|{{H}_{1}},\hat{x})P(\hat{x}|x))p(x|{{H}_{0}})} \\ \end{align}$

(5)

其中，y_d=[y_sd,y_rd]，x=[x₁,x₂,…,x_N]^T。同时，P(${\hat{x}}$|x)是中继决策${\hat{x}}$的概率。为简化分析，假设可实现完美的中继解码，即${\hat{x}}$=x，因此，在 FC中可基于如下OLR规则进行计算：

$\Lambda ({{y}_{d}})=\frac{\sum\limits_{x}{f}({{y}_{sd}}|{{H}_{1}},x)f({{y}_{rd}}\left| {{H}_{1}},x \right.)P(x|{{H}_{1}})}{\sum\limits_{x}{f}({{y}_{sd}}|{{H}_{0}},x)f({{y}_{rd}}|{{H}_{0}},x)P(x|{{H}_{0}})}$

(6)

因为y_sd(y_rd)的条件概率密度满足独立特性，传感器决策也满足条件独立，式(6)中的条件分布和概率为：

$\left\{ \begin{align} & f({{y}_{sd}}\left| x \right.)=\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\text{ex}{{\text{p}}^{(-{{{\left| {{y}_{sd}}-\sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{\gamma }_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}d}}{{\theta }_{k}}{{x}_{{{s}_{k}}}} \right|}^{2}}}/{2{{\sigma }^{2}})}\;}} \\ & f({{y}_{rd}}|x)=\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\text{ex}{{\text{p}}^{(-{{{\left| {{y}_{rd}}-\sqrt{{{g}_{r}}}{{h}_{rd}}\sqrt{\alpha }{{x}_{r}} \right|}^{2}}}/{2{{\sigma }^{2}}}\;)}} \\ \end{align} \right.$

(7)

$\left\{ \begin{align} & P(x\left| {{H}_{1}} \right.)=\prod\limits_{k=1}^{N}{P_{{{D}_{k}}}^{{{u}_{k}}}}{{(1-{{P}_{{{D}_{k}}}})}^{1-{{u}_{k}}}} \\ & P(x|{{H}_{0}})=\prod\limits_{k=1}^{N}{P_{{{F}_{k}}}^{{{u}_{k}}}}{{(1-{{P}_{{{F}_{k}}}})}^{1-{{u}_{k}}}} \\ \end{align} \right.$

(8)

式中，π为圆周率常数。y_d′=P(x|H₁)/P(x|H₀)，FC产生最终决策μ₀为Λ(y_d′)τ，其中Λ(y_d′)表示如果y_d′>μ₀，则Λ(y_d′)=1，否则Λ(y_d′)=0，τ是在FC上的最佳阈值。考虑FC上的最小错误概率检测，则在ROI上可根据事件发生率的先验概率确定最优阈值：τ=P(H₀)/P(H₁)，其中P(H₀)和P(H₁)分别为H₀和H₁的先验概率。网络的平均误差概率可确定为：

${{P}_{e}}=P({{H}_{0}}){{P}_{F}}+P({{H}_{1}})(1-{{P}_{D}})$

(9)

其中，P_F和P_D分别是FC的虚警率和检测概率：

$\left\{ \begin{align} & {{P}_{F}}=P(\Lambda ({{y}_{d}})>\tau |{{H}_{0}}) \\ & {{P}_{D}}=P(\Lambda ({{y}_{d}})>\tau |{{H}_{1}}) \\ \end{align} \right.$

(10)

在CDD融合过程中，其计算复杂度是N的线性函数，而在复域编码多址信道分布式检测(Complex Field Network Coding by Distributed Detection,CFC-DD)中，计算复杂度是N的指数函数，但是CFC-DD算法在性能上要远优于CDD融合算法。

3 非正交多址信道分布检测 3.1 几何网络结构

本节提出结合网络符号差错概率的ML最佳传感器标签选择算法。签名矢量为θ=[θ₁,θ₂,…,θ_N]^T。因传感器决策为二进制的，可放置在有序列表中，则传感器决策有2^N种可能。令x_i为第i种可能的决策向量，1≤i≤2^N。因为CFC编码的决策矢量x_i具非正交信号特征，则为：c_i=θ^Tx_i。因此，CFC符号编码具有2^N种不同的值。假设ICS在中继和ML中继时已知，中继节点成对符号错误概率(Pairwise Symbol Error Probability,PEP)^[4]为：

$\begin{align} & PE{{P}^{r}}({{c}_{i}},{{c}_{j}})=p({{c}_{i}}\to {{c}_{j}}|{{c}_{i}},{{h}_{sr}})= \\ & \text{ }Q\left( {\left| \sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}{{\theta }_{k}}{{d}_{ijk}} \right|}/{\left( 2\sigma \right)}\; \right) \\ \end{align}$

(11)

其中：h_sr=[h_s1r,h_s2r，…,h_sNr]^T；，P(c_i→c_j|c_i,h_sr)是决策符号c_j的概率。$Q(x)\equiv \left( 1/\sqrt{2\pi } \right)\int_{x}^{\infty }{\exp (-{{t}^{2}}/2)dt}$，d_ij为第i和第j个决策向量的距离，d_ij=x_i-x_j。d_ijk为d_ij的第k个元素。因此，在中继节点的瞬时CFC符号误差率(Symbol Error Rate,SER)为：

$P_{e}^{r}({{h}_{sr}})\le \sum\limits_{i=1}^{2N}{\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{2N}{P}({{c}_{i}})Q({\left| \sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}{{\theta }_{k}}{{d}_{ijk}} \right|}/{\left( 2\sigma \right)}\;)}$

(12)

其中，P(c_i)是CFC编码符号的概率，1≤i≤2^N，其取决于传感器的虚警率和检测概率：

$\begin{align} & P({{c}_{i}})=\prod\limits_{k=1}^{N}{P_{{{F}_{k}}}^{{{u}_{k}}}}{{(1-{{P}_{{{F}_{k}}}})}^{1-{{u}_{k}}}}P({{H}_{0}})+ \\ & \text{ }\prod\limits_{k=1}^{N}{P_{{{D}_{k}}}^{{{u}_{k}}}}{{(1-{{P}_{{{D}_{k}}}})}^{1-{{u}_{k}}}}P({{H}_{1}}) \\ \end{align}$

(13)

通过使用切尔诺夫边界，Q(x)≤e^-x2/2/2，中继节点的瞬时PEP与SET上界为：

$PE{{P}^{r}}({{c}_{i}},{{c}_{j}})\le \frac{1}{2}\text{exp}\left( {{{\left| \sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}{{\theta }_{k}}{{d}_{ijk}} \right|}^{2}}}/{8{{\sigma }^{2}}}\; \right)$

(14)

$\begin{align} & P_{e}^{r}({{h}_{sr}})\le \frac{1}{2} \\ & \sum\limits_{i=1}^{2N}{\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{2N}{P}({{c}_{i}})\centerdot \text{exp}\left( -{{\left| \sum\limits_{k=1}^{N}{\sqrt{{{g}_{k}}}}{{h}_{{{s}_{k}}r}}{{\theta }_{k}}{{d}_{ijk}} \right|}^{2}}/8{{\sigma }^{2}}\ \right)} \\ \end{align}$

(15)

因此，平均PEP与SER边界可通过传感器到中继节点的链路衰减增益获得：

$APE{{P}^{r}}({{c}_{i}},{{c}_{j}})\le \frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{g}_{k}}}{{\left| {{\theta }_{k}} \right|}^{2}}d_{ijk}^{2}}$

(16)

$\bar{P}_{e}^{r}\le \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2N}{\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{2N}{P}({{c}_{i}})\frac{8{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{g}_{k}}}{{\left| {{\theta }_{k}} \right|}^{2}}d_{ijk}^{2}}}$

(17)

通过使用ML序列检测在FC上对所有时隙信号进行检测，对于FC上的PEP和SER均值可得如下类似结果：

$\begin{align} & APE{{P}^{D}}({{c}_{i}},{{C}_{j}})\le \frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{g}_{k}}}|{{\theta }_{k}}{{|}^{2}}d_{ijk}^{2}}+ \\ & \frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\gamma }_{k}}}|{{\theta }_{k}}{{|}^{2}}d_{ijk}^{2}}\centerdot \frac{8{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+{{g}_{r}}\alpha |\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\theta }_{k}}}{{d}_{ijk}}{{|}^{2}}} \\ \end{align}$

(18)

$\begin{align} & \bar{P}_{e}^{D}\le B_{e}^{D}(\theta ,\alpha )=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2N}{\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{2N}{(\frac{8{{\sigma }^{2}}P({{c}_{i}})}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{g}_{k}}}|{{\theta }_{k}}{{|}^{2}}d_{ijk}^{2}}}}+ \\ & \frac{8{{\sigma }^{2}}P({{c}_{i}})}{8{{\sigma }^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\gamma }_{k}}}|{{\theta }_{k}}{{|}^{2}}d_{ijk}^{2}}\centerdot \frac{8{{\sigma }^{2}}P({{c}_{i}})}{8{{\sigma }^{2}}+{{g}_{r}}a|\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\theta }_{k}}}{{d}_{ijk}}{{|}^{2}}}) \\ \end{align}$

(19)

其中，B_e^D(θ,α)表示融合中心的符号误差率上界。总发送功率和网络几何结构约束为：

$\eqalign{ & \min B_e^D(\theta ,\alpha ) \cr & s.t.\left\{ \matrix{ {P_T} - \sum\limits_{k = 1}^N | {\theta _k}{|^2} - \alpha (\sum\limits_{k = 1}^N | {\theta _k}{|^2}) \ge 0 \hfill \cr |{\theta _k} - {\theta _l}{|^2} > 0,k \ne l \hfill \cr} \right. \cr} $

(20)

其中，约束分别与总发射功率和签名独特性相关。

3.2 签名极坐标形式

签名极坐标形式可表示为：

${{\theta }_{i}}=\sqrt{{{P}_{i}}}{{\text{e}}^{j{{\phi }_{i}}}}$

(21)

其中，P_i和φ_i代表第i个传感器签名的幅度和相位。使用BPSK调制可得相位为：

${{\phi }_{i}}=\frac{\pi }{N}(i-1);i=1,\cdots ,N$

(22)

考虑发送CFC符号的超级节点(Super Node,SN)网络的传感器节点，超级节点平均发射功率P_SN满足${{P}_{SN}}=\sum\limits_{k=1}^{N}{{{P}_{k}}}$。因为决策符号的能量为1。根据式(27)并考虑最坏符号对情形，则SN网络的APEP变为：

$\begin{align} & APEP_{SN}^{D}({{c}_{i}},{{c}_{j}})\le B_{SN}^{D}=\frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\bar{g}{{P}_{SN}}d_{\min }^{2}}+ \\ & \text{ }\frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\bar{\gamma }{{P}_{SN}}d_{\min }^{2}}\centerdot \frac{8{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+{{g}_{r}}\alpha {{P}_{SN}}d_{\min }^{2}} \\ \end{align}$

(23)

其中：B_SN^D代表SN网络最大APEP上界，g、γ分别代表SN-R和SN-FC链路增益。d_min为c_i和c_j最小距离：

${{d}_{\min }}=\min \left| {{c}_{i}}-{{c}_{j}} \right|$

(24)

其中，c_i=[e^jφ₁,e^jφ₂,…,e^jφ_N]x_i，假设原N个节点的WSN的所有传感器到中继节点的链路和到FC的链路路径增益分别接近于g和γ，则式(17)中的最大APEP边界B^D接近于式(33)SN网络的边界B_SN^D，即B^D≈B_SN^D。

对于普通设置，其增益可能会有所不同，这里采用路径增益平均值表示SN-R链路和SN-FC链路的路径增益，形式为：$\bar{g}={\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}}/{N}\;,\bar{\gamma }={\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\gamma }_{i}}}}/{N}\;$。网络的平均误差概率为：

$(1+\alpha )(\sum\limits_{k=1}^{N}{{{P}_{k}}})=(1+\alpha ){{P}_{SN}}={{P}_{T}}$

(25)

总功率约束方程中，可用式(18)中P_T-P_SN替换αP_SN：

$\begin{align} & B_{SN}^{D}=\frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+g{{P}_{SN}}d_{\min }^{2}}+ \\ & \frac{4{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+\bar{\gamma }{{P}_{SN}}d_{\min }^{2}}\centerdot \frac{8{{\sigma }^{2}}}{8{{\sigma }^{2}}+{{g}_{r}}({{P}_{T}}-{{P}_{SW}})d_{\min }^{2}} \\ \end{align}$

(26)

如果d_min²/σ²值过大，可进一步简化为：

$B_{SN}^{D}\approx \frac{32{{\sigma }^{4}}}{(\bar{\gamma }{{P}_{SN}}d_{\min }^{2})({{g}_{r}}({{P}_{T}}-{{P}_{SN}})d_{\min }^{2})}+\frac{4{{\sigma }^{2}}}{g{{P}_{SN}}d_{\min }^{2}}$

(27)

对所有传感器传输保留最优总功率，减小最大成对错误概率，可得P_SN形式为：

$\begin{align} & {{P}_{SN}}={{P}_{T}}+\frac{(8{{\sigma }^{2}}/d_{\min }^{2})\bar{g}}{\bar{\gamma }{{g}_{r}}}- \\ & \frac{\sqrt{4\bar{g}\bar{\gamma }{{P}_{T}}(8{{\sigma }^{2}}/d_{\min }^{2})+4{{{\bar{g}}}^{2}}{{(8{{\sigma }^{2}}/d_{\min }^{2})}^{2}}}}{2\bar{\gamma }{{g}_{r}}} \\ \end{align}$

(28)

近似中继功率控制参数为：

$\alpha =\frac{2\bar{\gamma }{{g}_{r}}{{P}_{T}}}{2\bar{\gamma }{{g}_{r}}{{P}_{T}}+\left( \frac{16\bar{g}{{\sigma }^{2}}}{d_{\min }^{2}} \right)\pm \sqrt{4\bar{g}\bar{\gamma }{{g}_{r}}{{P}_{T}}\left( \frac{8{{\sigma }^{2}}}{d_{\min }^{2}} \right)+\frac{32{{{\bar{g}}}^{2}}{{\sigma }^{2}}}{d_{\min }^{2}}}}$

(29)

因此，SN网络近似可确定式(28)中所有传感器中继节点功率参数和总发射功率，则图 2中继辅助CFC平行传感器网络的超级节点等价网络，如图 3所示。

3.3 解码复杂性分析

通过超级节点的选取，可对所有传感器传输保留最优总功率，实现传感器节点间的功率优化协调，减小最大成对错误概率，但是超级节点所含个体节点数量N会对超级节点数量产生影响，进而会对解码速度产生影响。

假定网络中的原始数据块数据包数量为B，总传感器节点数为M，基于高斯消去理论进行解码，那么可得其解码复杂度是O(B³)，设定解码所需时间为T=k·B³+O(B³)，k是常值，则每个超级节点的解码时间为：

${{T}_{i}}=k\cdot {{\left( \frac{N\cdot B}{M} \right)}^{3}}+O\left( {{\left( \frac{NB}{M} \right)}^{3}} \right)$

(30)

则整个网络的解码时间可计算为：

$T=\frac{M}{N}{{T}_{i}}=k\cdot {{\left( \frac{N}{M} \right)}^{2}}{{B}^{3}}+O\left( {{B}^{3}} \right)$

(31)

由此可知，N取值越大，整个网络的解码时间越长，对此本文选取N=M/10，作为N的取值上限。

3.4 传感器功率确定

通过超级节点(SN)近似，可得中继功率和总发射功率对于所有传感器的分配，但其并未在无线传感器网络中指定单个传感器的功率。对此，这里采用信息论方式，确定单个传感器功率。

为每个传感器进行最佳功率分配是关键，同时保持传感器间能耗公平也非常重要。对通信系统中的资源分配，不同文献提出了不同的公平性标准，如最大最小公平、比例公平与信息公平。为保证传感器之间的平均速率公平性，采用如下策略：首先，考虑用户中继信道，实质为MAC信道保证传感器实现速率均衡；

$\begin{align} & {{R}_{1}}+{{R}_{2}}+\cdots +{{R}_{N}}\le \\ & \frac{1}{2}E\left\{ 1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}\frac{|{{\theta }_{i}}{{h}_{sr}}{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}\ ) \right\}\le \\ & \frac{1}{2}1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}{{P}_{i}}E\left\{ {{\left| {{h}_{{{s}_{i}}r}} \right|}^{2}} \right\})/2{{\sigma }^{2}}\ = \\ & \frac{1}{2}1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}\frac{{{P}_{i}}}{2{{\sigma }^{2}}}) \\ \end{align}$

(32)

其中：第一部分$\frac{1}{2}E\left\{ 1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}\frac{|{{\theta }_{i}}{{h}_{sr}}{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}) \right\}$是对MAC信道的容量遍历；第二部分$\frac{1}{2}1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}{{P}_{i}}E{\left\{ {{\left| {{h}_{{{s}_{i}}r}} \right|}^{2}} \right\})}/{2{{\sigma }^{2}}}\;$为Jensen不等式对数凹函数；第三部分$\frac{1}{2}1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}\frac{{{P}_{i}}}{2{{\sigma }^{2}}})$为独立同分布假设单位能量衰减增益。因此，单用户的平均速率边界为：

${{R}_{i}}\le \frac{1}{2}1\text{g}(1+\frac{{{g}_{i}}{{P}_{i}}}{2{{\sigma }^{2}}}),i=1,2,\cdots ,N$

(33)

假设中继节点可对用户信息实现完全解码，在两个时隙目标接收信号可改写为：

$\begin{align} & \left[ \begin{matrix} {{y}_{sd}}\left[ n \right] \\ {{y}_{rd}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \sqrt{{{\gamma }_{1}}}{{h}_{{{s}_{1}}d}} & \sqrt{{{\gamma }_{2}}}{{h}_{{{s}_{2}}d}} & \cdots & \sqrt{{{\gamma }_{N}}}{{h}_{{{s}_{N}}d}} \\ \sqrt{{{g}_{1}}\alpha }{{h}_{1d}} & \sqrt{{{g}_{2}}\alpha }{{h}_{2d}} & \cdots & \sqrt{{{g}_{r}}\alpha }{{h}_{rd}} \\ \end{matrix} \right]\times \\ & {{\left[ \begin{matrix} {{\theta }_{1}}{{x}_{{{s}_{1}}}}\left[ n \right] & {{\theta }_{2}}{{x}_{{{s}_{2}}}}\left[ n \right] & \cdots & {{\theta }_{N}}{{x}_{{{s}_{N}}}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}+\left[ \begin{matrix} {{z}_{d}}\left[ n \right] \\ {{z}_{d}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$

(34)

式中：首项${{\left[ \begin{matrix} {{y}_{sd}}\left[ n \right] & {{y}_{rd}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$为目标的接收信号矢量；次项$\left[ \begin{matrix} \sqrt{{{\gamma }_{1}}}{{h}_{{{s}_{1}}d}} & \sqrt{{{\gamma }_{2}}}{{h}_{{{s}_{2}}d}} & \cdots & \sqrt{{{\gamma }_{N}}}{{h}_{{{s}_{N}}d}} \\ \sqrt{{{g}_{1}}\alpha }{{h}_{1d}} & \sqrt{{{g}_{2}}\alpha }{{h}_{2d}} & \cdots & \sqrt{{{g}_{r}}\alpha }{{h}_{rd}} \\ \end{matrix} \right]$为信道增益矩阵；第三项${{\left[ \begin{matrix} {{\theta }_{1}}{{x}_{{{s}_{1}}}}\left[ n \right] & {{\theta }_{2}}{{x}_{{{s}_{2}}}}\left[ n \right] & \cdots & {{\theta }_{N}}{{x}_{{{s}_{N}}}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$为功率尺度和签名的用户信息向量；第四项${{\left[ \begin{matrix} {{z}_{d}}\left[ n \right] & {{z}_{d}}\left[ n \right] \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$为AGWN噪声向量。因此，该信道可等效为2×N的虚拟多入多出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系统。在FC的联合传感器速率边界均值为：

$\begin{align} & {{R}_{1}}+{{R}_{2}}+\cdots +{{R}_{N}}\le \frac{1}{2}E\{1\text{g}(\det (1+\frac{HS{{H}^{*}}}{2{{\sigma }^{2}}}))\}\le \\ & \text{ }\frac{1}{2}1\text{g}(\det (1+\frac{E\{HS{{H}^{*}}\}}{2{{\sigma }^{2}}})) \\ \end{align}$

(35)

式中：*表示共轭转置操作；S=E[xx^T]是输入协方差矩阵，其为对角矩阵，对角元素为P₁,P₂,…,P_N。根据式(33)，单个传感器的平均速率可推导为：

${{R}_{i}}\le \frac{1}{2}1\text{g}(1+\frac{{{\gamma }_{i}}{{P}_{i}}+{{g}_{r}}\alpha {{P}_{i}}}{2{{\sigma }^{2}}})$

(36)

结合式(32)~(33)和(35)~(36)可得，单传感器和联合用户速率均值上界为：

$\begin{align} & {{R}_{i}}\le \min \{\frac{1}{2}1\text{g}(1+\frac{{{\gamma }_{i}}P+{{g}_{r}}\alpha P}{2{{\sigma }^{2}}}),\frac{1}{2}1\text{g}(1+\frac{{{g}_{i}}P}{2{{\sigma }^{2}}})\}; \\ & i=1,2,\cdots ,N \\ \end{align}$

(37)

则可得：

$\begin{align} & {{R}_{1}}+{{R}_{2}}+\cdots +{{R}_{N}}\le \\ & \min \{\frac{1}{2}1\text{g}(\det (I+\frac{E\{HS{{H}^{*}}\}}{2{{\sigma }^{2}}})),\frac{1}{2}1\text{g}(1+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{i}}}{{P}_{i}}/2{{\sigma }^{2}})\} \\ \end{align}$

(38)

为了实现速率均值公平，设定传感器的最大均值速度边界估计为：

$\begin{align} & \min \{{{\gamma }_{i}}+g,\alpha ,{{g}_{i}}\}{{P}_{i}}=\min \{{{\gamma }_{i+1}}+{{g}_{r}}\alpha ,{{g}_{i+1}}\}{{P}_{i+1}} \\ & i=1,2,\cdots ,N-1 \\ \end{align}$

(39)

则根据平均速率最优功率公平分配准则可以得到：

$\begin{align} & {{P}_{i}}=\frac{{{P}_{SN}}}{\sum\limits_{j=2}^{N}{{\left\{ \min \left\{ {{\gamma }_{i}}+{{g}_{r}}\alpha ,{{g}_{i}} \right\} \right\}}/{\left\{ \min \left\{ {{\gamma }_{j}}+{{g}_{r}}\alpha ,{{g}_{j}} \right\} \right\}}\;}} \\ & i=1,2,\cdots ,N \\ \end{align}$

(40)

基于上述分析，在式(22)、(38)和(29)中分别确定签名阶段传感器功率和中继功率控制等参数，这些参数将在CFC-DD算法中使用到。

4 实验结果与分析

在这部分中，研究在非正交信号CFC-DD和正交信号CDD两种策略错误概率曲线和接收器工作特性曲线，以检测算法性能。设定研究区域大小为100 m×100 m，随机分布20个传感器节点。假设其传感器的假警率和检测概率相同：P_Fj=0.05和P_Dj=0.5。为公平对比经典的DD(CDD)和CFC-DD算法性能，设定每时隙的网络平均发射功率一致，即设定P_T=2。接收器的噪声样本设定为每维度均是零均值和σ²方差的高斯随机变量。此外，假定从传感器S₁到FC链路的距离为1，同时相应的路径损耗系数设为1，即γ₁=1 dB或0 dB，在这项工作中，路径损耗指数为2，中继信道的路径损耗系数应满足以下三角形不等式：

$\left| g_{k}^{-0.5}-g_{r}^{-0.5} \right|＜\gamma _{k}^{-0.5}＜g_{k}^{-0.5}+g_{r}^{-0.5}$

(41)

在模拟中，信号噪声比可定义为：

$SNR=101\text{g}\left( {{P}_{T}}{{T}_{0}}/2{{\sigma }^{2}} \right)$

(42)

比较两种方案的信息速率，设置每个通道的使用时间T₀。为对比CFC-DD和CDD算法性能，首先比较2个无线传感器网络的错误概率，设置不同信噪比情形下的检测率、平均错误率，以及虚警率-检测率曲线如图 4所示。

图 4(a)参数设置为：N=2，γ₁=γ₂=0 dB，g₁=g₂=10.45 dB，g_r=3.10 dB，该图为虚警率-检测率曲线。可看出：随着信噪比SNR的增大算法的检测率增大，同时可看出在相同SNR参数下，CFC-DD算法的检测率要高于CDD算法，这体现了所提算法在检测率指标上的优势。图 4(b)参数设置为：N=2，g₁=10.45 dB，g₂=3.10 dB，该图为SNR-错误概率曲线，可看出随着SNR的增大，算法的错误概率降低，这与图 4(a)相对应，同时随着γ₂的增大，算法的错误概率也降低。同等γ₂参数设置下，CFC-DD算法的错误率要低于CDD算法。图 4(c)参数设置为：N=2，g₁=10.45 dB，g₂=3.10 dB，g_r=3.10 dB，SNR=-5 dB，该图为虚警率-检测率曲线，可看出随着γ₂的增大，算法的检测率增大。相同γ₂设置下，CFC-DD算法的检测率要高于CDD算法。图 4(d)参数设置为：N=4，g₁=g₂=g₃=g₄=13.98 dB，g_r=0.91 dB，该图为SNR-错误概率曲线，可看出在γ₄=20 dB时，CFC-DD算法和CDD算法的错误率最低，算法性能最好。

为验证网络编码技术对于算法性能影响，选取参数设置为：N=2，γ₁=0 dB，g₁=10.45 dB，g₂=3.10 dB，g_r=3.10 dB，SNR=-5 dB，虚警率设定为0.8，实验区域大小及传感器数量设置同上。对比算法选取非网格编码技术、复数域网络编码、物理层网络编码以及本文编码技术四种，对比指标选取计算时间、检测率和平均错误率，如表 1所示。

根据表 1实验数据可知，网络编码技术对于算法的计算时间和检测率、平均错误率指标均产生较大影响，不采用网络编码情况下的计算时间达到25 s，无法满足网络数据处理的实时性要求，而采用复数域网络编码核物理层网络编码技术，可一定程度上实现计算效率和检测性能的提升。而本文复数域网络编码的改进版本在计算效率和检测指标上均优于选取的对比算法，验证了算法的有效性。

5 结语

为提高非正交网络编码算法的检测性能，提出一种基于超级节点多接入信道中继的复域分布检测非正交网络编码策略，实现了传感器网络吞吐量和带宽利用效率的有效提升；同时基于中继多接入信道无线传感器网络，结合复数域网络编码技术和超级节点近似，实现了中继功率和总发射功率的公平分配，实验结果验证了所提算法的有效性。下一步将主要针对超级节点的选取进行优化，实现节点选取的更加合理化。