0 引言

传统的无限冲激响应(Infinite Impulse Response, ⅡR)数字滤波器设计方法^[1]是根据给定的滤波器性能指标先设计模拟滤波器，然后通过适当的变换转换成数字滤波器，该方法模数转换时系数存在量化误差。近年来更多地是采用优化算法^[2-4]，通过确定滤波器系统函数，优化系数，找到近似最优解再生成滤波器，常用的方法有遗传算法^[5-6]、差分算法^[7-8]、粒子群算法^[9-11]、蚁群算法^[12-13]、模拟退火算法^[14]等。以上算法均存在可能停滞或陷入局部极值的现象。

文献[15]提出一种新的基于遗传算法结构进化的ⅡR数字滤波器生成方法，能够直接由目标频率响应设计滤波器结构，但由于遗传算法是在整个解空间中进行搜索, 容易陷入局部最优，存在早熟现象，不能保证得到的就是全局最优值。本文提出了一种改进的寻优算法，该算法是在文献[15]方法基础上, 从寻到的“全局最优点”出发, 通过不断调整寻优步长和正反向探测的策略，进一步搜索多维解空间，得到局部最优系数, 从而实现了数字滤波器结构参数同时优化。实验结果表明，该算法优于文献[15]中的遗传算法，具有全局收敛性好、收敛速度快的优点，且该算法适用性较强。

1 遗传算法演化结构

ⅡR数字滤波器结构的生成过程就是由输入端开始，按照生成指令不断地添加组件，直到输出端。一个生成指令(C|T|P|I)控制一个逻辑组件的添加方式。所有生成指令按照产生的时间顺序依次链接，形成指令序列, 就是最终生成的滤波器结构。

遗传算法不能对流图结构直接操作，必须对结构进行编码，采用混合编码方式。每条生成指令包含结构的所有信息，分别为连接方式(C)、组件类型(T)、组件参数(P)和节点编号(I)。新组件添加到流图结构的连接方式有四种：从当前节点接入到新产生的一个节点、系统输入端、系统输出端和之前的节点。

乘法器和延时器参与滤波器结构生成过程，在结构生成过程完成之后，若某个节点有多个输入，那么用加法器代替这个节点。延时器采用单位延迟器，故其值默认为单位1。每个乘法器逻辑组件都有自己的参数，其值设定在一个范围内，随机取值。

指令序列生成之后，就可以得到其信号流图。利用梅逊增益公式求其系统函数。梅逊公式用式(1)表示：

$H(s) = \frac{1}{\Delta }\sum\limits_{k = 1}^n {{P_k}} {\Delta _k}$

(1)

其中：H(S)为滤波器传递函数；r为从输入节点到输出节点的前向通道总数；P_k为第k条前向通路的传递函数。Δ流图特征式，计算公式如式(2)所示：

$ \Delta = 1-\sum {{L_{(1)}}} + \sum {{L_{(2)}}}-\sum {{L_{(3)}}} + \cdot \cdot \cdot + {(-1)^m}\sum {{L_{(m)}}} $

(2)

其中：∑L₍₁₎为所有不同回路的传递函数之和；∑L₍₂₎为每两个互不接触回路传递函数乘积之和；∑L₍₃₎为每三个互不接触回路传递函数乘积之和；∑L_(m)为任何m个互不接触回路传递函数乘积之和；Δ_k为第k条前向通路特征式的余因子。根据滤波器的传输函数得到滤波器的幅频响应，适应度可以用目标滤波器的频率响应与设计的滤波器幅频响应在抽样点上的均方误差(Mean Squared Error, MSE)来评价：

$ MSE(x) = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = j}^n {(H({K_i})}-D({K_i}){)^2} $

(3)

其中：H(K_i)为设计的幅频响应；D(K_i)为目标幅频响应；M为抽样频率。

选择过程采用轮盘赌算法。交叉以随机单点交叉的重组方式得到子代指令序列，两个父代的交叉点编号需一致，确保得到有效的滤波器结构。变异就是滤波器结构中的每个逻辑组件有一定概率变为另一种逻辑组件类型，乘法器参数也有一定概率变为另一个数值。

算法过程是随机产生一组合法流图结构的编码作为初始群体，然后循环执行交叉、变异和选择函数，直到预定最大迭代次数，以此获得滤波器结构。但是遗传算法有着局部搜索能力不好、容易陷入早熟的缺点，所以要继续利用差分算法和步长变停算法对ⅡR数字滤波器参数演化。

2 差分算法和改进的寻优算法参数演化

在遗传算法得到滤波器结构的同时就可以确定乘法器参数数量。由于差分算法不具备良好的局部搜索能力，要用到本文算法进一步优化滤波器系数。

W_i=(W_i1, W_i2, …, W_in)为差分算法得到的最优解，即乘法器系数，i表示为第i次迭代，n表示乘法器个数，W_i可以被看作n维的坐标数值。设定每个乘法器系数变化的初始步长为0.001。系数的变动就是在个体在搜索过程中，每个参数依次变化，每次只变动一个参数。对于每一个参数而言，始终存在着正反两个寻优方向，假设当前第i轮迭代第j个参数以步长k进行双向试探搜索，相应的当前适应度在这个位置便会产生两个值，选择适应度减少的方向确定为下一轮寻优方向。若下一轮新搜索解的适应度(fit)比更优解的适应度(best_fitness)小，那么新搜索解的适应度(fit)对应的坐标值变更为更优坐标值。

在从W_i1到W_in的一轮搜索中，若W_ij以步长k搜索找到更优坐标，那么下轮W_(i+1)j以步长2k搜索解空间，若连续m轮搜索找到更优坐标，则第m轮W_(i+m)j以步长2^m×k搜索解空间。若第m+1轮W_(i+m+1)j未找到更优坐标，则在第m+2轮重新以初始步长开始搜索解空间。若第m+2轮继续没有找到，那么隔一轮继续搜索；若连续m次未找到更优坐标，则隔2^m轮搜索。若在某一轮找到更优坐标，则在下一轮两倍初始步长开始搜索解空间。改进的寻优算法的实现伪代码如下所示：

Do

  If still_j!=0 Then

    If still_j < still_check_j Then

      still_j←still_j +1

      continue

    ElseIf still_j > still_check_j Then

        still_j←still_j +1

        still_check_j ←2 ×still_check_j

        continue

    End If

  End If

  fit=fitness_evaluate(P, DE_variable_num)

  If best_fitness > fit Then

    best_fitness←fit

    steps ← 2×steps

    still_j ←0

    still_check_j ← 2

  Else

    If steps==0.00l Then

      still_j←still_j +1

    Else

      still_j←0

      steps←0.001

    End If

  End If

  Until所有维坐标都找不到更优坐标

End Do

本文算法中steps表示搜索步长；still_j表示连续停止轮数, 即一直没找到更优值的连续轮数，其初始值为0；still-check_j表示在此轮对这个系数寻优，表示为2的指数次幂，其初始值为2；fitness_evaluate表示计算滤波器结构的幅频响应误差。

Still-check_j受Still_j制约，如果没有找到更优值，Still_j就计数，接下来判断Still-check_j和Still_j的大小关系，如果Still-check_j=Still_j，表示在这一代进行了寻优。每一次寻优都是在上一次的方向上继续进行，没有找到更优值则反向寻优，如果找到了则下一轮变为本轮的两倍步长同向寻优。只有在某一轮寻优没有找到最优值，Still_j才开始计数，接着下一轮变成初始步长寻优。如果进行了多次隔代寻优找到了更优值，那么Still_j清零，下一步变成两倍步长寻优。

使用此算法来局部寻优，不需要目标函数连续且可导，适用性广泛，而且采用动态调整搜索步长，停止搜索代数的指数次增加的策略，提高收敛速度，提高多维空问的寻优能力，进一步增大得到全局最优滤波器的概率。

3 实验仿真 3.1 设计不同组件数的低通、高通数字滤波器

用所提出的方法设计一个截止频率在0.5π的理想高通滤波器，并用Matlab进行仿真。

遗传算法仿真参数：种群数200，组件数200，采用不同的交叉率、突变率试探适应度的最小值、平均值、中间值，通过实验结果得出交叉率、突变率取0.7时，收敛效果好。

迭代次数为5 000，乘法器参数范围[-10⁶, 10⁶]。在上述参数下，进行30次实验仿真。对目标幅频响应和设计的幅频响应进行128次抽样，抽样结果用来计算两者的均方误差，求解实验得到的滤波器的适应度。

在得到最优滤波器结构的基础上，继续利用差分算法优化乘法器系数，迭代次数为5000，此实验运行30次。根据以往的实验数据发现，变异算子取0.5，交叉概率取0.1时，收敛效果不错。乘法器个数可由遗传算法优化得到的滤波器结构确定。

在利用差分算法找到全局最优解之后，继续利用改进的优化算法寻找局部最优解，最终得到的滤波器幅频响应如图 1所示，其适应度如图 2所示。

图 1中，数字滤波器通带波纹为0.43 dB，过渡带宽度为0.05π rad，阻带最小衰减为-63.57 dB。图 2中，第一根虚线表示遗传算法优化滤波器结构的5000次迭代，适应度从71.48下降到23.61。两根虚线之间的5000次迭代表示差分算法优化乘法器系数，适应度基本保持不变。最后部分是改进算法的优化，适应度从23.61下降到9.01，性能提高62.00%。第4×10⁴次迭代，每一维系数都未找到更优坐标，停止迭代运算。

在组件数为50条件下仿真高通数字滤波器，运行30次。仿真参数与设计200组件高通滤波器一致，其仿真结果所得最优滤波器幅频响应如图 3所示，其适应度如图 4所示。

图 3中，数字滤波器通带波纹为0.32 dB，过渡带宽度为0.07π rad，阻带最小衰减为-63.94 dB。图 4中，遗传算法优化滤波器结构，适应度从71.40快速减少到18.28。差分算法优化滤波器乘法器系数，适应度减少到15.03，差分算法使滤波器的性能提高了17.78%。利用改进的算法优化滤波器系数，当迭代次数到达6×10⁴，滤波器的适应度减少到5.05，且所有参数找不到更优坐标，停止运算。由此可知，在上一步实验的基础上滤波器性能又提高了66.40%

3.2 对比实验

用本文方法和基于遗传算法结构进化的方法^[15]设计一个截止频率为0.5π低通、高通ⅡR滤波器来作对比实验。设定初始种群都为100，频率采样为128次。进行30次仿真实验，两者实验最优结果如图 5~8所示。

图 5中，基于遗传算法结构进化方法设计的低通滤波器，通带波纹为0.26 dB，过渡带为0.20π rad，阻带最小衰减为-26.49 dB。本文方法设计的数字滤波器，通带波纹为0.40 dB，过渡带为0.07π rad，阻带最小衰减为-62.97 dB。两者相比，继续利用差分算法和改进的优化算法优化乘法器参数得到的数字滤波器的通带性能相差不大，过渡带宽度减少了35%，阻带最小衰减下降了36.48 dB。

图 6中，遗传算法优化滤波器结构，适应度从70.30快速减少到29.75。差分算法优化滤波器乘法器系数，适应度从29.75减少到27.03，差分算法使滤波器的性能提高了9.14%。利用改进的算法优化滤波器系数，一开始收敛效果非常明显，经过393次迭代，适应度迅速从27.03下降到23.70，在之后的迭代中，逐步减小。当迭代次数到达12×10⁴，滤波器的适应度减少到8.61，且所有参数找不到更优坐标，停止运算。由此可得，在上一步实验的基础上滤波器性能又提高了68.15%。

图 7中，基于遗传算法结构进化方法设计的高通滤波器，通带波纹为0.71 dB，过渡带为0.16π rad，阻带最小衰减为-54.16 dB。本文方法设计的数字滤波器，通带波纹为0.53 dB，过渡带为0.07π rad，阻带最小衰减为-66.29 dB。两者相比，继续利用差分算法和改进的优化算法优化乘法器参数得到的数字滤波器的通带波纹减少了75%，过渡带宽度减少了44%，阻带最小衰减下降了12.13 dB。

图 8中，遗传算法优化滤波器结构，适应度从59.86减少到28.07。差分算法优化滤波器乘法器系数，适应度减少到12.52，差分算法使滤波器的性能提高了55.40%。利用改进的算法优化滤波器系数，迭代次数到达1.6×10⁴，滤波器的适应度减少到8.29，且所有参数找不到更优坐标，停止运算。由此可得，在上一步实验的基础上滤波器性能又提高了33.79%。

最后，与四种经典滤波器设计模型做基于同阶的幅频响应对比实验，实验结果如图 9~10所示。

通过实验结果可以直观地看到，在通带方面本文方法设计的数字滤波器优于椭圆型和切比雪夫Ⅰ型，过渡带优于巴特沃斯和切比雪夫Ⅰ型(图 9中优于切比雪夫Ⅱ型)；巴特沃斯型数字滤波器过渡带很差，但是阻带最小衰减优于切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆型。综合来看，本文方法设计的数字滤波器性能优良，能够满足设计指标。

4 结语

本文提出一种新的结构参数同时进化的ⅡR数字滤波器设计方法，在保证滤波器生成有效结构的同时进一步优化了乘法器系数，并设计实验验证了该方法的有效性，所设计的滤波器性能优良，是一种有效可行的ⅡR数字滤波器设计方法。下一步工作将对复杂环境下的数字滤波器对故障的容忍能力将作深入研究。