YAN Hongxu, born in 1989, Ph. D. candidate. Her research interests include management and decision, enterprise management, technical economics and management.
粗糙集理论是由波兰华沙理工大学Pawlak[1]于1982年提出的一种解决不精确、不完整、不确定信息系统的数据分析理论。它以完备信息系统为研究对象,以不可分辨关系为基础,通过上、下近似的分类对知识进行描摹和刻画。
由于该理论不需要提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验知识,被证明是分析多种多属性决策问题的有力工具[2]。然而,经典粗糙集理论只能处理离散化数据,不能将其直接应用于现实评价系统的数据挖掘,且基于等价关系的经典粗糙集理论不能反映属性值间带有的偏好关系。为避免离散过程中的信息丢失和最大限度反映数据偏好,Greco等[3-5]提出了基于优势关系的粗糙集方法。近年来,对于优势关系粗糙集的研究主要集中于方法拓展及其应用方面[6-8],其中在应用该理论解决多属性决策问题的排序方法上已取得一定研究成果[9-11]。
运用经典优势关系粗糙集理论, 针对方案或对象进行优劣排序时,要求其在所有属性下满足优于或等于关系,然而,当参评对象或属性较多时,这一要求往往过于严格而难以满足,使得对象之间的优劣关系难以比较从而导致模型失效。为了使粗糙集更适合应用于实际问题,文献[12]从概率包含度的角度研究了变精度模糊粗糙集模型,提出通过引入精度系数定义论域上的近似算子来模糊刻画粗糙集,但在此变精度模糊粗集概念下求解优势类时仍需遵从严格的偏序关系,并无法满足现实排序问题的宽松需求。文献[9]提出了具有一定容错能力的单阈值约束容差优势关系粗糙评价模型,认为只要x1的属性值劣于x2的程度控制在一定范围内,那么就认为x1优于或等于x2,而可能造成虽劣势程度处于约束阈值之内,但若x1在更多数属性上劣于x2,则人们就会直观认为x1劣于x2,而非x1优于或等于x2这一矛盾。
本文针对序信息系统下经典优势关系粗糙集在求解优势类时过于严格,从而导致评价模型失效,而单阈值约束容差优势关系粗糙集在求解优势类时又过于宽松,而无法容纳人的感知和判断这一不足,提出对噪声数据具有一定容差能力且更具智能性的(α,β)-双阈值约束容差优势关系,即不要求两个对象或方案在所有属性下的取值存在严格的优劣关系,而仅仅要求不满足优劣关系的属性值及属性个数不超过一定比例即可。此拓展的优势关系对优劣属性的要求程度介于经典优势关系和单阈值约束容差优势关系之间,通过针对属性值以及属性个数的双重约束定义优势关系,以期避免经典优势关系对属性值的要求过于严格, 而单阈值约束容差优势关系又对属性个数的要求过于宽松的问题。在此基础上构建基于双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型,并将此模型应用于我国区域建筑业发展实力的综合评价当中,同时将所得评价结果与原通过经典优势关系粗集法得到的排序结果进行对比分析以验证该模型的可行性及有效性。
1 基于双约束阈值的容差优势关系定义1[13] 称一个四元组S=(U,A,V, f)为一个信息系统, 其中:U={x1, x2, …, xn}为有限对象集,A={a1, a2…, am}为有限条件属性集,f={fk:U→Vk, k≤m}为U与A的关系集,Vk是ak的有限值域。若每个属性的值域均为偏序集,则此信息系统称为序信息系统。
定义2 设S=(U,A,V,f)为序信息系统,对∀xi,xj∈U, a∈A,记:
$ \begin{array}{l} {e_a}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = \\ \;\;\;\left\{ \begin{array}{l} \frac{{f\left( {{x_j}, a} \right)-f\left( {{x_i}, a} \right)}}{{f\left( {{x_j}, a} \right)}}, \;\;f\left( {{x_i}, a} \right) < f\left( {{x_j}, a} \right)\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. \end{array} $ |
称ea(xi, xj)为对象xi的取值相对于xj在属性a下的相对劣势率,表示xi在属性a下的取值劣于xj的程度。若ea(xi, xj)=0,则表明xi在属性a下的取值优于或等于xj; 否则表明xi在属性a下的取值一定劣于xj。称
定义3 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,对∀xi,xj∈U,a∈A,记
$ {p_a}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \;\;\;\;f\left( {{x_i}, a} \right) < f\left( {{x_j}, a} \right)\\ 0, \;\;\;\;其他 \end{array} \right. $ |
称pa(xi, xj)为对象xi的取值相对于xj在属性a下的劣势二值表征,(0,1)数值代表xi在属性a下的取值是否劣于xj。若pa(xi, xj)=1,则表明xi在属性a下的取值劣于xj;若pa(xi, xj)=0,则表明xi在属性a下的取值优于或等于xj。称
称QA(xi, xj)=EA(xi, xj)/PA(xi, xj)为平均劣势率,表明对象xi在劣势属性上的取值劣于xj的平均水平。如QA(xi, xj1) < QA(xi, xj2),则表明对于劣势属性上的取值,对象xi劣于xj1的平均水平要低于劣于xj2的平均水平,即与对象xj1相比,对象xi更劣于xj2,因此对象xj2优于xj1的可能性更大; 反之亦然。
定义4 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,则序信息系统S在属性集A下的(α,β)-容差优势关系可定义为:
$ \begin{array}{l} R_A^{ \le \left( {\alpha, \beta } \right)} = \\ \left\{ {\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \in U \times U\left| \begin{array}{l} 0 \le {E_A}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \le \alpha, \;\;0 \le \alpha \le 1\\ 0 \le {P_A}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \le \beta, \;\;0 \le \beta \le 0.5 \end{array} \right.} \right\} \end{array} $ |
其中: (α,β)称为容差优势关系的双约束阈值,
定义4表明,当α=1,β=0.5时,表示即便劣势属性的取值相差无穷大,劣势属性的个数达到总属性个数的一半,也满足“优于”的条件,这一要求相对宽松而容易满足;当α=β=0时,表示不能接受任何“误差”,即全部“优”才为“优”,这一要求相对严格而难以满足,此时的双阈值约束容差优势关系即退化为经典优势关系。因此,以不同约束程度的阈值(0, 0)与(1, 0.5)分别作为悲观型和乐观型决策的上下界限,对于不同风险偏好的决策者具有重要意义。
在实际评价研究中,约束阈值(α,β)的选取除取决于不同决策者的风险偏好之外,还可参考不同类型指标数据的允许偏差值,并应注意从整体劣势率及整体劣势频率的集中趋势出发,多次选取,反复对比,力求阈值选取宽严得当,能够从不同侧面揭示对象间的优劣关系。
定义5 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,(α,β)为容差优势关系的双约束阈值,若有0-1二值矩阵
$ m_A^{ \le \left( {\alpha, \beta } \right)}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \;\;\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \in R_A^{ \le \left( {\alpha, \beta } \right)}\\ 0, \;\;\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \notin R_A^{ \le \left( {\alpha, \beta } \right)} \end{array} \right. $ |
则称
定义6 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,(α,β)为容差优势关系的双约束阈值,记
定义5及定义6表明,任一对象的容差优势类
定义7 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,(α,β)为容差优势关系的双约束阈值,X⊆U,X关于容差优势关系
$ \begin{array}{l} \overline {R_A^{ \le (\alpha, \beta )}} = \left\{ {x \in U\left| {\left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} \cap X \ne \emptyset } \right.} \right\}\\ \underline {R_A^{ \le (\alpha, \beta )}} = \left\{ {x \in U\left| {\left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} \subseteq X} \right.} \right\} \end{array} $ |
若
性质1[14] 容差优势关系及容差优势类具有如下性质:
1)
2)若α1≤α2,β1≤β2,则有
3)
4)若
定义8 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,(α,β)为容差优势关系的双约束阈值,对象xi相对于xj关于容差优势关系
$ \begin{array}{l} D_A^{(\alpha, \beta )}({x_i}, {x_j}) = \\ 1/2, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} = \left[{{x_j}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left| {\left[{{x_j}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} - \left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )}} \right|}}{{\left| {\left[{{x_j}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} - \left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )}} \right| + \left| {\left[{{x_i}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )} - \left[{{x_j}} \right]_A^{ \le (\alpha, \beta )}} \right|}}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. \end{array} $ |
其中:
定义8表明,在(α,β)-容差优势关系下,对象间的优劣关系只与对象的容差优势类所包含的元素个数有关,即容差优势类集合所含的元素个数越少,则对象按容差优势度越优。同时,若某两个对象存在严格的优劣关系,则在容差优势度矩阵中,占优对象的行亦存在严格的优劣关系,二者一一对应。
定义9 设S=(U,A,V, f)为序信息系统,(αt, βt)={(α1, β1), (α2, β2), …, (αk, βk)}为容差优势关系双约束阈值集,对象xi关于容差优势关系
$ d_A^{(\alpha, \beta )}({x_i}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {D_A^{(\alpha, \beta )}({x_i}, {x_j})} $ |
考虑到(α,β)取值不同时得到的各对象的整体容差优势度不同,因此采用经过统计分析方法处理后的综合容差优势度作为评价标准,对全体对象进行评价排序,即:
$ {d_A}{({x_i})^ * } = \frac{1}{k}\sum\limits_{t = 1}^k {d_A^{({\alpha _t}, {\beta _t})}({x_i})} $ |
综合容差优势度越大表明对象越优,由此即可实现对全部对象进行综合评价。
性质2 设xi, xj∈U,n=|U|则容差优势度具有如下性质:
1)
2)
3)
准确测定区域建筑业的综合实力是了解某一地区建筑业发展水平的有效方式,是政府部门和研究人员制定相关产业政策和发展规划的重要基础,也是建筑企业管理者制定企业自身竞争战略的首要前提[15],因此,对我国区域建筑业的综合实力进行科学评价,对各层面主体全面掌握我国区域建筑业发展能力的整体情况及明确未来发展方向具有重要意义。测定和评价区域建筑业综合实力的关键在于制定科学的指标体系和选择恰当的评价模型,学者们的研究热点也主要集中在这两个方面。文献[15]在全面梳理相关研究成果的基础上,构建了涵盖产业规模、产业经营效益、产业生产效率、产业结构、技术装备水平及关联产业经营状况等六大关键因素在内的18个二级指标评价体系,并运用基于“灰贡献度”的TOPSIS评价模型对我国区域建筑业的竞争和发展能力进行了实证研究。文献[16]以模糊聚类分析法与经典优势关系粗糙集理论为基础,采用基于可辨识矩阵的启发式约简算法,对我国区域建筑业综合实力评价指标体系进行了简化并重构,在此基础上根据各区域建筑业发展实力的综合评价值对其进行分析排序。本文以文献[16]中的指标体系和数据为基础,充分考虑属性值间具有偏好这一特点,直接从原始数据出发,应用上文提出的基于(α,β)-双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型,对我国八省市建筑业发展实力进行综合评价研究,并将本文得出的实验结果与原评价结果进行对比分析,以验证该模型的可行性和有效性。
选取建筑业总产值之和约占全国57%的8省市在12个综合实力评价指标下的属性值,U={x1, x2, …, x8}表示参评对象的集合,分别为北京、上海、天津、重庆、江苏、浙江、广东及山东,A={a1, a2, …, a12}表示原我国八省市建筑业综合实力评价指标集,a1是固定资产投资额(亿元),a2是从业人员数量(万人),a3是亿元产值能耗(万吨标准煤),a4是人均利润率(亿元/万人),a5是人均产值(亿元/万人),a6是人均房屋竣工面积(m2),a7是人均动力装备率(kW/人),a8是人均技术装备率(元/人),a9是产值利润率(%),a10是全员劳动生产率(元/人),a11是建筑垃圾量(万吨),a12是从业人员人均报酬率(元/人)。其中,a3(亿元产值能耗)和a11(建筑垃圾量)为成本型指标,即指标数值越大,反映相应省市建筑业的综合实力越差,其余指标均为效益型指标,即指标数值越大,相应省市建筑业的综合实力越强。为消除原各评价指标不同量纲对评价结果的负面影响,首先需要使各指标值标准化,其中,效益型指标按公式
利用上文提出的(α,β)-双阈值约束容差优势关系粗糙评价模型对表 1中我国八省市建筑业相关指标数据进行综合实力评价的步骤如下。
步骤1 根据定义2和定义3,计算信息表在属性集A下的整体劣势累计矩阵EA及整体劣势频率矩阵PA,如下:
$ \begin{array}{l} {E_A} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0.238}&{0.094}&{0.056}&{0.143}&{0.202}&{0.183}&{0.183}\\ {0.207}&0&{0.22}&{0.111}&{0.225}&{0.254}&{0.216}&{0.213}\\ {0.449}&{0.491}&0&{0.274}&{0.291}&{0.393}&{0.37}&{0.24}\\ {0.596}&{0.614}&{0.503}&0&{0.561}&{0.637}&{0.632}&{0.456}\\ {0.488}&{0.469}&{0.429}&{0.139}&0&{0.286}&{0.299}&{0.143}\\ {0.363}&{0.404}&{0.294}&{0.16}&{0.163}&0&{0.208}&{0.24}\\ {0.365}&{0.303}&{0.297}&{0.118}&{0.189}&{0.224}&0&{0.132}\\ {0.604}&{0.661}&{0.528}&{0.383}&{0.499}&{0.434}&{0.601}&0 \end{array}} \right] \end{array} $ |
$ \begin{array}{l} {P_A} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0.5}&{0.417}&{0.083}&{0.167}&{0.333}&{0.25}&{0.333}\\ {0.5}&0&{0.333}&{0.25}&{0.333}&{0.333}&{0.333}&{0.25}\\ {0.583}&{0.667}&0&{0.333}&{0.333}&{0.5}&{0.5}&{0.25}\\ {0.917}&{0.75}&{0.667}&0&{0.75}&{0.75}&{0.75}&{0.583}\\ {0.833}&{0.667}&{0.667}&{0.25}&0&{0.583}&{0.5}&{0.333}\\ {0.667}&{0.667}&{0.5}&{0.25}&{0.417}&0&{0.333}&{0.417}\\ {0.75}&{0.583}&{0.5}&{0.25}&{0.5}&{0.667}&0&{0.25}\\ {0.667}&{0.75}&{0.75}&{0.417}&{0.667}&{0.583}&{0.75}&0 \end{array}} \right] \end{array} $ |
步骤2从EA(xi, xj)及PA(xi, xj)的集中趋势出发,选取(α,β)={(0.183,0.25),(0.239,0.5)},根据定义5和定义6,求得各对象在属性集A下的(α,β)-容差优势类
各对象在双约束阈值(0.183,0.25)下的容差优势类为:
步骤3 按照定义8计算得到各对象在属性集A下的(α,β)-容差优势度矩阵DA(α, β),而后根据定义9求解得到各对象的整体容差优势度dA(α, β)(xi)为:
经计算得到各对象的综合容差优势度为:
将本文的评价结果与文献[16]中运用经典优势关系粗糙集计算得到的排序结果x1>x3>x2>x6>x7>x8>x5>x4进行对比分析发现,只有对象x6与x3及x2与x3的关系与原评价结果有所不同,其余对象之间的相互优劣关系与原结果达到一致。本文认为x6>x3及x2>x3更为合理。以x6与x3为例说明,原因有以下两点:
1)从整体劣势率EA(xi, xj)及整体劣势频率PA(xi, xj)看,对象x6与x3的整体劣势率为EA(x6, x3)=0.294,EA(x3, x6)=0.393,整体劣势频率为PA(x6, x3)=PA(x3, x6)=0.5。即对象x6与x3互为优劣的属性各占一半,但对象x3在属性集A下的取值劣于x6的程度要大于对象x6劣于x3的程度,因此,x3应在更大概率上劣于x6,亦即对象x6优于x3的可能性更大。
2)从平均劣势率QA(xi, xj)看,对象x1与x3的平均劣势率为QA(x1, x3)=0.226,对象x1与x6的平均劣势率为QA(x1, x6)=0.606,即对象x1劣于x6的平均水平要高于劣于x3的平均水平,说明在分别与对象x3与x6相较时,x1更劣于x6,按此思路考察对象x3与x6与除其自身的其他对象相比得到的优劣可能性可知,对象x5与x7更劣于x3,对象x1、x2、x4及x8更劣于x6,说明在整个对象集U范围内有更多数的对象劣于x6,且各对象劣于x6的总水平要高于劣于x3的总水平,因此对象x6占优的概率更大。综上所述,x6>x3更为合理,x2>x3同理可得。由此可见,运用本文提出的基于双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型对我国区域建筑业综合实力进行综合评价研究,完全以原始数据为导向,有效避免了评价指标权重的确定,而仅以指标值自身的相互优劣程度及频率作为评价标准即可得到理想的排序方案。
另外,若采用文献[13]中经典优势关系下的粗糙评价模型对表 1中的建筑业综合实力数据进行评估,得到的结果为8个对象都是等序无差异的,因而评价模型失效。导致这种现象产生的原因是各个对象根据经典优势关系粗糙集理论求得的优势类都只含有该对象本身,在此基础上计算得出的优势度都是相等的,因而导致评价模型失效。
分析发现基于双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型能够有效避免经典优势关系粗糙集因属性个数较多、属性值互有优劣时可能造成的排序失效问题,同时,该粗糙评价模型能够有效改善单阈值约束粗糙集由于阈值选取过于乐观而造成的对象间的优劣关系不符合人们认知和判断的不足,此外,基于双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型由于引入双重调控参数,允许不同风险偏好的决策者机动灵活地选择粗细得当的优势关系粒度,从而将决策过程从静态刚性的被动判定转变为动态弹性的主动调整,因此更具智能性,运用本文提出的粗糙评价模型解决多属性决策排序问题更为高效,所得结论也更具解释性和说服力。
4 结语本文针对序信息系统下经典优势关系粗糙集在求解优势类时过于严格,从而导致评价模型失效,而单阈值约束容差优势关系粗糙集又过于宽松,因而造成排序结果无法容纳人的感知和判断这一问题,提出了双阈值约束容差优势关系,在此基础上给出了基于此关系的容差优势度概念,并融合统计分析方法构建了基于双阈值约束容差优势关系的粗糙评价模型,最后将该模型应用于我国八省市建筑业综合实力的分析评价当中,实验结果与原排序结果基本一致,证明了该模型在解决多属性决策排序问题方面的可行性及有效性。本文是对单阈值约束容差优势关系粗糙集的有效拓展,且进一步丰富和完善了多属性决策问题的评价模型。本文的后续工作是研究双阈值约束容差优势关系粗糙集在多标准属性集下的模型构建,并探讨如何结合其他智能算法以最大限度地发挥优势关系粗糙集处理决策问题的整体优势以及其基于启发式算法的属性约简程序等。
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