数控铣削加工过程中，铣削参数直接决定铣削加工质量和精度，因此铣削参数的合理设定显得尤为重要。过去加工生产中，一般以经验或者铣削手册进行切削参数的设定。这种方法所设定的参数往往过于保守而导致切削用料浪费以及加工零件质量难以提升^[1-2]。实际生产过程中，将加工零件的表面粗糙度作为铣切削过程的优化目标，通过一系列优化设计以达到优化切削用量并提高零件精度的目的，是典型的多响应参数优化问题，也是铣削加工的一项关键技术。赵韩等^[3]、苏晓云等^[4]用BP神经网络法对切削参数进行优化选择，增大了最优参数组合的搜索范围。李建广等^[5]提出了基于遗传算法的车削用量优化方法，弥补了BP神经网络易陷入局部最优解的缺点。也有学者另辟蹊径，用粒子群算法进行铣削参数优化^[6]。

一般的多响应参数优化设计主要从系统简化、参数优化和稳健性设计3个方面出发，通过一系列寻优搜索处理，最终找到最佳参数组合。许静等^[7]采用主成分分析法对多个响应进行降维处理，从而达到简化多响应系统的目的。对于不易进行降维的系统，刘玉敏等^[8]通过综合满意度将多个响应转化为一个综合质量指标。此外，还有灰关联分析法^[9]、理想解逼近法^[10]等常用的多响应系统简化方法。然而这些方法均需要进行权值设定，要求各响应之间有较小相关性。实际生产过程中，权值有时不易确定，而多个响应之间的相关性不易把控，简单的权重设定很难准确地刻画各响应之间的关系。模糊逻辑推理通过设置模糊规则将多响应优化问题简化为单响应优化设计^[11-12]，避免权值设定的同时不需要考虑各响应之间相关性大小，充分提取各响应之间的内在关系。实际生产过程中，往往存在噪声干扰，为避免噪声影响，人们通常将响应的实际质量波动值进行均值化处理^[13]，然而简单的均值处理法会造成一定的信息损失，为此，引入数学中的模糊理论，使之更加贴近实际生产过程。Zadeh^[14]用模糊子集理论对复杂模糊概念进行描述，为不确定性的数量化提供了有效路径。直觉模糊集以及区间模糊集等概念^[15-16]从一定程度上扩大了人们对模糊的认知范围。Torro^[17]于2010年提出了犹豫模糊集，不仅在一定程度上减少了信息损失，且更能反映客观事实，目前被广泛用于决策管理领域。

本文研究一种基于犹豫模糊决策的铣削优化方法，对铣削加工过程中多个响应变量的实验数据进行稳健参数优化设计，构建犹豫模糊决策矩阵，减少均值处理造成的信息损失，也在一定程度上消除了噪声干扰。然后将犹豫模糊距离与模糊逻辑推理相结合，形成综合评价指标，有效避免了权值设置问题，充分提取各响应之间的内在机理关系。最后通过主效应法分析获得最优参数组合，并将结果与满意度函数法相对比，说明该方法的实用性与有效性。

铣削加工过程影响因素(可控因子)主要有4个，即进给量、铣削深度、铣削速度和铣削宽度，分别记为 ${x_1}{\text{、}}{x_2}{\text{、}}{x_3}{\text{、}}{x_4}$ ，各影响因素因子水平见表1^[18]。为使铣削效率便于观测，这里将加工零件表面粗糙度R_a和R_t作为实验的响应变量，记为 ${y_1}$ 、 ${y_2}$ 。

表 1(Tab. 1)

表 1 铣削控制因子水平值 Tab. 1 Milling cutting control factor level value 控制因子 符号 水平及水平值 1 2 3 4 5 进给量fz(mm/tooth) x1 0.01 0.10 0.15 0.20 0.29 铣削深度ap/mm x2 0.064 0.75 1.125 1.500 2.186 铣削速度vc(m/min) x3 254 300 325 350 396 铣削宽度ae/mm x4 12.26 15.00 16.50 18.00 20.74

表 1 铣削控制因子水平值 Tab. 1 Milling cutting control factor level value

4个可控因子5个水平的正交实验设计L₂₅(5⁴)共有25组参数组合。考虑到铣削加工过程中的干扰因素，为提高设计参数的稳健性，每组参数进行4次重复实验(其中中心区加密做了10次重复实验)。实验结果^[18]如表2、表3所示。由实验结果可见，铣削加工过程受干扰因素影响，表面粗糙度两个响应值存在不确定性。

表 2(Tab. 2)

表 2 铣削25组实验控制因子观测值 Tab. 2 Milling and cutting 25 sets of experimental control factor observations 实验序号 x1(mm/tooth) x2/mm x3(m/min) x4/mm 1 0.10 0.75 300 15.00 2 0.20 0.75 300 15.00 $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ 25 0.15 1.13 325 16.50

表 2 铣削25组实验控制因子观测值 Tab. 2 Milling and cutting 25 sets of experimental control factor observations

表 3(Tab. 3)

表 3 铣削实验响应变量观测值 Tab. 3 Milling cutting experiment response variable observations 实验序号响应变量观测值 y1/µm y2/µm 1 2 3 4 … 10 1 2 3 4 … 10 1 0.297 0.497 0.803 0.823 … - 2.097 4.560 4.007 4.690 … - 2 1.807 2.770 2.030 3.007 … - 7.587 10.973 7.213 11.787 … - $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ 25 0.343 0.540 0.680 0.520 … 0.430 2.99 3.283 4.083 3.247 … 2.863

表 3 铣削实验响应变量观测值 Tab. 3 Milling cutting experiment response variable observations

在进行稳健参数设计时，传统做法一般是将响应的质量波动值进行均值化处理，但这样会造成一定的信息损失。犹豫模糊集中每个元素可以有多个隶属度值^[19]，因此，引入犹豫模糊集可以更加客观描述铣削加工过程，避免损失实验信息。

为进行无量纲化处理，将表3中实验观测值按照式(1)计算

其中， $y_{ij}^{\left( k \right)}$ 表示第 $i$ 次实验第 $j$ 个响应的第 $k$ 个质量波动观测值，而 ${y_{j(\max )}}$ 和 ${y_{j(\min )}}$ 分别为第 $j$ 个响应所对应全部实验值中的最大值和最小值。响应值 ${y_1}{\text{、}}{y_2}$ 的归一化值构成犹豫模糊集 ${\tilde y_1}{\text{、}}{\tilde y_2}$ ，而铣削过程的犹豫模糊决策矩阵如表4所示。

表 4(Tab. 4)

表 4 铣削过程犹豫模糊决策矩阵 Tab. 4 Hesitant fuzzy decision matrix of milling process 实验序号 $\scriptstyle{\tilde y_1}$ $\scriptstyle{\tilde y_2}$ 1 0.062 6 0.126 2 0.223 4 0.229 7 0.088 0.257 8 0.219 6 0.266 7 2 0.542 4 0.848 4 0.613 3 0.923 7 0.466 4 0.699 7 0.440 6 0.755 8 $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ $\scriptstyle{\vdots}$ 25 0.077 2 0.139 8 0.184 3 0.133 5 0.139 8 0.149 6 0.169 7 0.224 9 0.167 3 0.225 4 0.070 9 0.135 7 0.161 1 0.189 7 0.104 9 0.149 8 0.287 4 0.181 5 0.286 0 0.140 8

表 4 铣削过程犹豫模糊决策矩阵 Tab. 4 Hesitant fuzzy decision matrix of milling process

根据犹豫模糊决策矩阵，可以确定表面粗糙度两个响应的正理想点^[19]。

正理想点的分量对应各响应 $\tilde y_j^{}$ $\left( {j = 1,2} \right)$ 的犹豫模糊元中的最优理想值 $y_j^ + $ $\left( {j = 1,2} \right)$ ，记作 ${{{Y}}^ + }$ 。其确立方法如下。

从而正理想点为 ${{{Y}}^ + } = \left( {{{y}}_1^ + , {{y}}_2^ + } \right)$ 。因为表面粗糙度两个响应均为望小特性^[18]，所以铣削过程的正理想点为 ${{Y}^ + } = \left( {0,0} \right)$ 。

定义各个犹豫模糊元的犹豫模糊距离如式(3)所示

用犹豫模糊距离测量表面粗糙度和两个响应值的优劣，计算结果见表5中的 ${d_{i1}}{\text、}{d_{i2}}(i = 1,2, \cdots , 25),$ 简记为 ${d_1}{\text、}{d_2}$ 。

表 5(Tab. 5)

表 5 犹豫欧式距离 Tab. 5 Hesitant Euclidean distance 控制变量 $\scriptstyle{d_{i1}}$ $\scriptstyle{d_{i2}}$ $\scriptstyle{x_1}$ $\scriptstyle{x_2}$ $\scriptstyle{x_3}$ $\scriptstyle{x_4}$ 2 2 2 2 0.175 0.220 4 2 2 2 0.749 0.607 $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ $\scriptstyle{\vdots }$ 3 3 3 3 0.139 0.205

表 5 犹豫欧式距离 Tab. 5 Hesitant Euclidean distance

在传统模糊测度方法中，通常通过简单加权和^[20]如式(4)，计算各组实验结果的表面粗糙度两个响应与正理想点的距离为

其中， ${w_1}{\text{、}}{w_2}$ 表示 ${\tilde y_1}{\text{、}}{\tilde y_2}$ 的重要程度。

模糊逻辑推理通过设置模糊规则构建映射模型，可将多个输入变量转化为一个模糊推理等级(fuzzy reasoning grade，FRG)。加权法简单易行,但不能充分利用响应间关系所提供的机理信息。本文引入模糊逻辑推理算法，将铣削的表面粗糙度R_a和R_t两个响应的犹豫模糊距离值作为输入变量，最终输出对应的模糊推理等级(FRG)，反映铣削过程的综合质量指标，实现铣削参数优化过程的简化。模糊逻辑推理方法不依赖权重的设定和加权计算，推理规则设置时具有较大的灵活性，可以充分提取反映响应间相互关系的机理信息。

模糊推理过程可以划分为3个步骤：模糊化处理、模糊逻辑推理以及清晰化，通过Matlab软件中的Fuzzy工具箱实现。

将表面粗糙度两个响应变量对应的犹豫欧氏距离( ${d_1},{d_2}$ )记为 $A,B$ ，作为模糊系统的输入；将模糊推理等级(FRG)记为 $O\left( x \right)$ 作为系统输出。模糊化处理就是将 $A\text{、}B$ 两个输入就其论域划分为非常大、大、中、小、非常小等5个语言变量(即very high，high，medium，low，very low)，分别记为 ${A_1},{A_2}, \cdots, {A_5}$ 和 ${B_1},$ ${B_2}, \cdots ,{B_5}$ ；将模糊推理等级FRG按类似的方法从小到大划分为6个语言变量(level1，level2，level3，level4，level5，level6)，并记为 ${C_q}\left( {q = 1,2, \cdots ,6} \right)$ 。分别定义 ${d_1}{\text、}{d_2}$ 以及FRG语言变量对应的模糊子集为 ${\tilde A_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,5} \right)$ ， ${\tilde B_j}( {j = 1,} $ ${2, \cdots ,5})$ ， ${\tilde C_q}\left( {q = 1,} \right.$ $ 2, \cdots ,6)$ 。

各模糊子集的隶属函数分别为

${\mu _{{{\tilde A}_i}}}\left( {i = 1,2, \cdots ,5} \right)$ ， ${\mu _{{{\tilde B}_j}}}\left( {j = 1,2, \cdots ,5} \right)$ ， ${\mu _{_{{{\tilde C}_q}}}}( {q = 1,} $ ${2, \cdots ,6} )$ 。

各模糊子集对应的隶属函数设置为三角隶属函数，如图1~图3。

图 1(Fig. 1)

图 1 ${d_1}$ 对应模糊子集隶属函数 Fig. 1 Fuzzy subset membership function of d1

图 2(Fig. 2)

图 2 ${d_2}$ 对应模糊子集隶属函数 Fig. 2 Fuzzy subset membership function of d2

图 3(Fig. 3)

图 3 FRG对应模糊子集隶属函数 Fig. 3 FRG′s fuzzy subset membership function

铣削过程参数优化的模糊逻辑推理规则采用IF…THEN形式表示，根据实际设定25条规则(如表6所示)。

表 6(Tab. 6)

表 6 模糊逻辑推理规则 Tab. 6 Fuzzy logic inference rules 规则 If d1 is And d2 is Then FRG is 规则 If d1 is And d2 is Then FRG is 1 very low very low Level1 14 medium high Level4 2 very low low Level1 15 medium very high Level5 3 very low medium Level2 16 high very low Level2 4 very low high Level2 17 high low Level3 5 very low very high Level3 18 high medium Level4 6 low very low Level1 19 high high Level5 7 low low Level2 20 high very high Level6 8 low medium Level3 21 very high very low Level3 9 low high Level3 22 very high low Level4 10 low very high Level4 23 very high medium Level5 11 medium very low Level2 24 very high high Level6 12 medium low Level3 25 very high very high Level6 13 medium medium Level4 26 None None None

表 6 模糊逻辑推理规则 Tab. 6 Fuzzy logic inference rules

表6设定的规则所对应的曲面图(见图4)展示出规则制定较为合理，在曲面上分布均匀。阶梯状的曲面还可以看出模糊推理等级随着距离变小而变小，二者呈正相关关系。由此可见，模糊推理等级与距离同样具有望小的质量特性。

图 4(Fig. 4)

图 4 铣削过程模糊规则三维曲面图 Fig. 4 Fuzzy regular 3D surface map of milling cutting process

根据推理规则，利用Mamdani模糊推理法^[21]进行模糊推理。图5是模糊逻辑推理过程的示意图。

图 5(Fig. 5)

图 5 模糊逻辑推理示意图 Fig. 5 Schematic diagram of fuzzy logic inference

如图5所示，经过模糊逻辑推理后得到的是一个模糊子集，需将其转化为一个清晰化数值，作为输出结果。采用重心法，将模糊集合转化为清晰确定的输出值FRG。

在Matlab的Fuzzy工具箱中，模糊推理界面见图6，第1列和第2列分别对应输入变量 ${d_1}$ 和 ${d_2}$ ，第3列对应输出变量模糊推理等级FRG，3列竖形条框中分别显示出各变量对应的模糊子集，通过条框下方的imput可以输入表6中任意一组 ${d_1}$ 和 ${d_2}$ ，推理可得对应的模糊推理等级。图6中直线对应的即为任意输入的 ${d_1}$ 、 ${d_2}$ 以及输出的FRG所对应的模糊子集。

图 6(Fig. 6)

图 6 模糊推理界面 Fig. 6 Fuzzy inference interface

将表6中两个响应所对应的多组犹豫欧式距离输入模糊推理界面，得到对应的模糊推理等级，结果见表7中的FRG。至此，模糊逻辑推理将参数优化系统简化成对单响应FRG的参数优化问题，继而可进行参数优化设计。

表 7(Tab. 7)

表 7 模糊推理等级计算结果 Tab. 7 The calculation results of fuzzy reasoning grade 实验序号 d1 d2 FRG 实验序号 d1 d2 FRG 1 0.175 0.220 0.100 14 0.665 0.554 0.575 2 0.749 0.607 0.709 15 0.133 0.167 0.100 3 0.149 0.229 0.100 16 0.722 0.617 0.759 4 0.845 0.647 0.775 17 0.000 0.000 0.500 5 0.205 0.237 0.216 18 0.744 0.685 0.775 6 0.639 0.496 0.575 19 0.079 0.075 0.100 7 0.095 0.133 0.100 20 0.468 0.413 0.425 8 0.641 0.551 0.575 21 0.175 0.306 0.100 9 0.144 0.192 0.100 22 0.108 0.179 0.100 10 0.716 0.583 0.591 23 0.092 0.177 0.100 11 0.085 0.104 0.100 24 0,344 0.373 0.275 12 0.800 0.737 0.775 25 0.139 0.205 0.100 13 0.144 0.176 0.100 - - - -

表 7 模糊推理等级计算结果 Tab. 7 The calculation results of fuzzy reasoning grade

在讨论模糊规则三维曲面图时，得出模糊推理等级与模糊距离为正相关关系。模糊距离是用于刻画模糊事物之间的相近程度，是模糊事物之间远近度量的一种方式。模糊距离越小，模糊事物间相似程度越高。因此，模糊距离具有望小特性，由此可推出FRG也具有望小特性。

利用Minitab软件中的主效应方法，根据表5中的铣削过程响应的综合质量指标FRG，对铣削过程的4个可控因子进给量、铣削深度、铣削速度和铣削宽度 $\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right)$ 进行主效应分析，结果如图7所示。

图 7(Fig. 7)

图 7 模糊推理等级主效应图 Fig. 7 The main effect diagram of fuzzy reasoning grade

根据图7可知，4个控制因子分别在第2、1、5、1四个水平时，可使铣削过程得到较好的优化。经过与利用传统综合满意度法^[18]的优化结果对比，得到的铣削过程控制変量的优化参数是一致的。从而，进给量采用0.1 mm/tooth，铣削深度采用0.064 mm、铣削速度为396 m/min、铣削宽度的最佳水平为12.26 mm时，加工零组件的表面粗糙度可以达到较好状态，进而有助于提高铣切削加工零组件寿命。

本文所研究的基于犹豫模糊决策的铣削参数优化方法，将犹豫模糊决策矩阵与逻辑推理相结合，应用于铣削参数优化设计过程中，得到的结果与采用传统综合满意度法^[18]所得结果基本一致，证明文中方法具有良好的实用性与有效性。上述结果进一步表明，在复杂工业过程的参数优化中引入犹豫模糊决策方法，一方面，可以使信息利用更加充分，避免由于简单加权处理所造成的信息损失；另一方面，通过犹豫模糊决策矩阵对工业过程中的不确定性进行描述，增加了方案的实用性和实验设计的鲁棒性。此外，在参数优化过程中利用模糊逻辑推理制定模糊规则，充分提取多个响应之间的机理信息，突破了个别问题权重难以设定的局限性。