随着科学技术的发展和人们生活水平的提高，用户对日常生活和工作中所需的各类产品的质量和个性化需求越来越高，因此是否将消费者对产品的个性化需求考虑到产品的设计中(称之为“用户协同设计”)成为厂商需要考虑的问题之一。“尽量用满足或超过他们需求的新产品回应用户”这一理念推动着制造行业的发展^[1]。在软件行业中，许多厂商允许用户将定制设计的组件添加到他们的标准产品中，然后将这些组件的某些部分商业化，如Open source软件允许用户进行设计、构建、分发自己的程序^[1]。再者，勤哲Excel提供一项用户协同设计的服务，用户可以根据自己对软件功能的需求，在该平台上搭建一个满足自己需求的信息系统。一个名为eMachineShop.com的在线公司，向用户提供一套在线产品设计工具和产品配置工具，供用户参与产品设计。随着生产水平和信息技术的进步，公司逐渐能够在产品设计中有效地结合用户的特殊需求和偏好，厂商对提供定制产品的兴趣增加了^[2]。产品定制可以通过多种方式实现，其中最为积极的一种方式是“用户协同设计”，这也是本文的主要研究基础。在这种模式下，用户有机会参与产品设计，协助设计其有特定需求的定制产品^[3]。

许多学者对用户参与产品开发设计方面进行了研究。Thallmaier^[3]和Seybold^[4]研究了厂商可以通过用户协同设计策略满足用户对产品的独特化偏好。Tseng等^[5]的研究表明用户协同设计描述的是一个过程，该过程主要是将用户对产品的个性化需求映射到产品的物理领域，最终达成产品的实现。Mendelson等^[6]在考虑厂商竞争地位的基础上，研究了厂商在选择用户协同设计策略的情况下，厂商选择什么级别的用户协同设计策略最优。Baldwi等^[2]的研究中得出这样的结论：个人用户协同创新和开放式协同创新是两种创新模式，在经济的许多领域中，用户创新的竞争越来越激烈，并可能取代生产商创新。以上学者对于用户协同设计的相关研究，主要集中在怎样能够最大效果地发挥用户协同设计的给厂商带来的优势。另外，部分学者的研究集中在产品价值创造与用户协同设计的关系，以及厂商从用户协同设计中的受益程度。Salvador等^[7]指出大多数公司都能从大规模定制中受益，但很少有人能做到这一点。Terwiesch等^[8]发现由于用户常常无法准确地表达他们的需求，因此定制设计产品的一个主要挑战在于激发用户的需求。范秀成等^[9]表示用户参与产品设计对于产品的价值创造具有举足轻重的效果。其研究结果表明用户参与产品设计实际上是一把“双刃剑”，用户参与协同设计能够满足用户的个性化需求，增加其购买产品所获得效用，但在用户参与不同情境的用户协同设计时，也会产生不利于价值创造的负向影响，用户参与更多地受到情境化因素的影响。姚山季等^[10]揭示在通过关系嵌入各维度时，用户参与产品设计各维度对新产品开发绩效的各维度的影响。韦铁等^[11]基于博弈论，建立了涵盖企业、供应商以及用户三方参与的一个创新模型。研究结果分析了在不同开放程度情形下，各参与方有关福利方面的变化情况，表明创新模式的开放程度将影响用户对厂商创新的参与度，同时有利于提高各参与方的福利。游达明等^[12]依据企业对不同创新模式的选择，将市场分成了三种不同的竞争形式，通过对博弈方法的运用，求解了模型的均衡结果，得到结论：厂商和用户共同参与到产品的设计中有利于增加厂商对突破性技术创新模式的选择占比，同时减少厂商对渐进性产品技术创新的选择比重，市场中厂商对突破性技术创新的选择比重将随着各种影响的增加而增加。

另一方面，也有很多学者对盗版和网络外部性等方面展开了研究。Besen等^[13]、Gopal等^[14]发现随着用户之间盗版产品复制与分享的增加，正版产品的需求量也会随之增加。Shy等^[15]发现有战略动机的厂商往往不是选择保护他们的软件市场免受盗版入侵，而是选择有效的利用正向网络外部性。Jeong等^[16]研究结果表明，虽然厂商利润随着市场规模和盗版风险成本的增加而增加，但是厂商的边际成本却随之降低了。潘小军^[17]等构建了一个两阶段动态博弈模型，研究结果表明正版厂商在第2阶段中，将升级产品推到市场中面向用户，网络外部性对正版厂商最优定价和产品升级有重要影响，且正版厂商的均衡价格与网络外部性的强弱有关。

综上可知，目前对于用户协同设计的研究大多集中在厂商如何实施用户协同设计最优、厂商选择用户协同设计的何种等级最优、用户参与产品设计与产品价值创新的关系以及企业对不同用户创新模式的选择等方面。然而，极少有学者在信息产品市场中存在盗版的情况下，对信息产品正版厂商选择用户协同设计策略的必要性进行研究。本文基于信息产品具有网络外部性效应和易被盗版的特点，对厂商何时选择用户协同设计最优进行了研究。希望本研究所得结论能够为相关企业的管理决策提供一定的理论指导。

1 问题描述

在信息产品市场中是否存在盗版产品情形下，本文研究一个销售正版信息产品的垄断厂商是否选择用户协同设计策略的问题。当厂商不选择用户协同设计策略时，用户对正版产品的估值为 $vq$ ；当厂商选择用户协同设计策略产品时，用户对正版产品的估值为 $(1 + \theta )vq$ ，此时用户参与协同设计付出的努力成本为 $k{\theta ^2}$ ，其中， $\theta $ 为用户参与协同设计的努力水平^[18]。本文依据厂商是否选择用户协同策略，分别建立信息产品市场中不存在盗版时的NS、NC模型与信息产品市场中存在盗版时的YS、YC模型，对模型结果进行比较，分析了正版厂商何时选择用户协同设计策略最优。在市场中不存在盗版产品的模型中，用户有2种选择，分别为购买正版产品和不购买；在市场中存在盗版产品的模型中，用户有3种选择，分别为购买正版产品、购买盗版产品以及不购买。

符号说明如下。

$v$ 为正版信息产品的价值，服从 $\left( {0,1} \right)$ 上的均匀分布。

$\delta $ 为盗版信息产品的价值折扣系数。

$q$ 为正版信息产品的质量。

$\theta $ 为用户参与协同设计的努力水平， $k{\theta ^2}$ 为用户参与协同设计所付出的成本，其中， $k$ 为用户协同设计成本的敏感系数。

$r$ 为用户对信息产品网络外部性的偏好程度，且 $r \in \left( {0,1} \right)$ ， $rn$ 为用户使用此类信息产品获得的网络外部性效用，其中， $n$ 为使用该类信息产品的消费者总人数。

$D_i^x$ 为在 $x$ 的情况下，当正版厂商选择第 $i$ 种策略时，信息产品市场中正版信息产品的市场占有率；其中， $x \in ({\rm{N}},{\rm{Y}})$ ， ${\rm{N}}$ 表示信息产品市场中无盗版产品，Y表示信息产品市场中有盗版产品； $i \in ({\rm{S}},{\rm{C}})$ ， ${\rm{S}}$ 表示不选择用户协同设计策略， ${\rm{C}}$ 表示选择用户协同设计策略(下面类似)。

$p_i^x$ 表示在 $x$ 的情况下，当正版厂商选择第 $i$ 种策略时，正版信息产品的定价。

$\pi _i^x$ 表示在 $x$ 的情况下，当正版厂商选择第 $i$ 种策略时，正版厂商的利润。

${p_{\rm C}^{}}$ 为盗版信息产品的价格。

${d_i}$ 表示在厂商选择第 $i$ 种策略时，盗版产品的市场占有率。

2 不存在盗版下的模型建立

在市场中不存在盗版产品情况下，考虑一个向用户销售正版信息产品的垄断正版厂商，用户有购买正版产品和不购买两种选择，用户使用该类信息产品获得的效用由两方面构成，一方面是产品本身价值带来的效用；另一方面是网络外部性带来的效用^[19]。而用户不选择使用该类信息产品的效用为 $0$ 。

2.1 厂商不选择用户协同设计策略(NS)

在信息产品市场中不存在盗版产品的情况下，用户有购买正版信息产品和不购买两种选择，由基本效用模型可知，用户购买正版信息产品所获得的效用为 $vq - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} + rn$ 。用户基于个人理性选择产品，因此用户选择购买正版产品应满足 $vq - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} + rn {\text{＞}} 0$ ，可得 ${v_1} = \dfrac{{p_{\rm{S}}^{\rm{N}} - rn}}{q}$ ，在该情况下用户对信息产品的选择分布，如图1所示。

由图1可知，信息产品价值越高，用户对信息产品满意度越高，此时购买正版信息产品的用户也随之越多。图1中用户购买正版产品的市场占有率为 $1 - {v_1}$ ，可得正版厂商的利润函数表达式为

$\quad\quad\pi _{\rm{S}}^{\rm{N}} = p_{\rm{S}}^{\rm{N}}\left(1 - \frac{{p_{\rm{S}}^{\rm{N}} - rn}}{q}\right){\text{。}}$

(1)

根据式(1)对 $p_{\rm{S}}^{\rm{N}}$ 求二阶导数，有 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}}}{{{{\partial \left( {p_{\rm{S}}^{\rm{N}}} \right)}^2}}} {\text{＜}} 0$ ，所以利润函数存在极大值。令其一阶导数 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}}}{{\partial p_{\rm{S}}^{\rm{N}}}} = 0$ ，可得 ${\rm{NS}}$ 模型中正版产品的最优定价为 $p{_{\rm{S}}^{{\rm{N}}^{*}}} = \dfrac{q}{2}$ 。将最优价格 $p{_{\rm{S}}^{{\rm{N}}^{*}}}$ 代入利润函数 $\pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}$ 中，可求得 ${\rm{NS}}$ 模型中正版厂商的最优利润为 $\pi {_{\rm{S}}^{{\rm{N}}^{*}}} = \dfrac{{{q^2}}}{{4(q - r)}}$ 。正版厂商正版产品的市场需求为 $D_{\rm{S}}^{\rm{N}} = 1 - {v_1}$ ，可得 ${\rm{NS}}$ 模型中正版产品的销售量为 $\dfrac{q}{{2(q - r)}}$ ； ${\rm{NS}}$ 模型中使用该类信息产品的用户总数为 $n_{\rm{S}}^{\rm{N}} = 1 - {v_1}$ ，所以可得用户总数为 $\dfrac{q}{{2(q - r)}}$ 。其中，正版信息产品的市场占有为 $D_{\rm{S}}^{\rm{N}} = $ $q/(2(q - r)) $ ，需满足 $D_{\rm{S}}^{\rm{N}} {\text{＞}} 0$ ，因此有 $q {\text{＞}} r$ 。

2.2 厂商选择用户协同设计策略(NC)

在市场中不存在盗版产品的情况下，用户有购买正版信息产品和不购买两种选择，由基本效用模型可知，用户购买正版信息产品所获得的效用为 $(1 + \theta )vq - p_{\rm{C}}^{\rm{N}} + rn - k{\theta ^2}$ 。用户基于个人理性选择产品，因此用户选择购买正版产品应满足 $(1 + \theta )vq - p_{\rm{C}}^{\rm{N}} + rn-$ $k \theta ^2{\text{＞}} 0$ ，可得 ${v_2} = \dfrac{{p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - rn + k{\theta ^2}}}{{(1 + \theta )q}}$ ，在该情况下用户对信息产品的选择分布，如图2所示。

由图2可知，用户购买正版产品的市场占有率为 $1 - {v_2}$ ，可得正版厂商的利润函数表达式为

$\quad\quad\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}} = p_{\rm{C}}^{\rm{N}}\left(1 - \frac{{p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - rn + k{\theta ^2}}}{{(1 + \theta )q}}\right){\text。}$

(2)

根据式(2)对 $p_{\rm{C}}^{\rm{N}}$ 求二阶导，有 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}}}}{{{{\partial\left( { p_{\rm{C}}^{\rm{N}}} \right)}^2}}} {\text{＜}} 0$ ，所以利润函数存在极大值。令其一阶导函数 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm{C}}^{\rm{N}}}}{{\partial p_{\rm{C}}^{\rm{N}}}} = 0$ ，可得 ${\rm{NC}}$ 模型中正版产品的最优定价为 $p{_{\rm{C}}^{{\rm{N}}^{*}}} = \dfrac{{q\theta + q - k{\theta ^2}}}{2}$ ，将最优价格 $p{_{\rm{C}}^{{\rm{N}}^{*}}}$ 代入利润函数 $\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}}$ 中，可求得 ${\rm{NC}}$ 模型中正版厂商的最优利润为 $\pi {_{\rm{C}}^{{\rm{N}}^{*}}} = \dfrac{{{{(q\theta + q - k{\theta ^2})}^2}}}{{4(q\theta + q - r)}}$ 。正版厂商正版产品的市场需求为 $D_{\rm{C}}^{\rm{N}} = 1 - {v_2}$ ，可得 ${\rm{NC}}$ 模型中正版产品的销售量为 $\dfrac{{q\theta + q - k{\theta ^2}}}{{2(q\theta + q - r)}}$ ； ${\rm{NC}}$ 模型中使用该类信息产品的用户总数为 $n_{\rm{C}}^{\rm{N}} = 1 - {v_2}$ ，所以可得用户总数为 $\dfrac{{q\theta + q - k{\theta ^2}}}{{2(q\theta + q - r)}}$ 。

命题1 　市场中不存在盗版产品情况下，当 $ r {\text{＜}}$ $ {r_1}$ 时， $\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}} {\text{＞}} \pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}$ ；当 $r {\text{＞}} {r_1}$ 时， $\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}} {\text{＜}} \pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}$ 。

其中， ${r_1}$ 为不存在盗版的情况下，比较厂商选择用户协同设计策略的最优利润和厂商不选择用户协同设计策略的最优利润之间大小的临界点。

证明 　将厂商选择用户协同设计策略的最优利润和厂商不选择用户协同设计策略的最优利润作差可得

$\begin{split}&\quad\quad\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}} - \pi _{\rm{S}}^{\rm{N}} = \frac{{{{(q\theta + q - k{\theta ^2})}^2}}}{{4(q\theta + q - r)}} - \frac{{{q^2}}}{{4(q - r)}} =\\ &\frac{{\theta E}}{{4(q\theta + q - r)(q - r)}}{\text{。}}\end{split}$

(3)

其中， $E = {k^2}{\theta ^3}q - {k^2}{\theta ^3}r - 2k{q^2}{\theta ^2} + 2kqr{\theta ^2} -2k\theta {q^2} +$ $ 2kqr\theta+ {q^3}\theta - {q^2}r\theta + {q^3} - 2r{q^2}$ 。由2.1节可知 $q {\text{＞}} r$ ，因此式(3)的正负取决于E，令 $E = 0$ ，可得

$\quad\quad{r_1} = \frac{{q({k^2}{\theta ^3} - 2kq{\theta ^2} - 2kq\theta + {q^2}\theta + {q^2})}}{{{k^2}{\theta ^3} - 2kq{\theta ^2} - 2kq\theta + {q^2}\theta + 2{q^2}}}{\text{。}}$

(4)

综上可得，当 $r {\text{＜}} {r_1}$ 时，厂商选择用户协同设计策略的利润高于不选择用户协同设计策略的利润；当 $r > {r_1}$ 时，厂商选择用户协同设计策略的利润低于不选择用户协同设计策略的利润。

命题1表明在市场中信息产品的网络外部性较小情况下，用户购买信息产品所获得的效用相对较小，此时厂商选择用户协同设计策略有利于增加用户购买信息产品获得的效用，从而增大使用该信息产品的用户总人数，进而厂商利润增加。在市场中信息产品网络外部性较大情况下，用户购买信息产品所获得的效用相对较大，此时厂商选择用户协同设计策略对于增加用户购买信息产品所获得的效用效果不明显，若是用户参与产品协同设计后，未感知自身购买信息产品的效用明显增大，用户的总效用在一定程度上会减值，可知网络外部性较大时，厂商不选择用户协同设计策略可获得更高利润。

3 存在盗版下的模型

在市场中存在盗版产品情况下，考虑一个向用户销售正版信息产品的垄断正版厂商，用户有购买正版产品、购买盗版产品以及不购买该类产品3种选择，用户使用该类信息产品获得的效用由两方面构成，一方面是产品本身价值带来的效用，另一方面是网络外部性带来的效用。而用户不选择使用该类信息产品的效用为 $0$ 。

3.1 厂商不选择用户协同设计策略(YS)

在市场中存在盗版产品的情况下，用户有购买正版信息产品、购买盗版产品和不购买3种选择，由于盗版产品的价值低于正版产品的价值，因此盗版产品的价值折扣 $\delta $ 。由基本效用模型可知，用户购买正版信息产品所获得的效用为 $vq - p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} + rn$ ，购买盗版信息产品所获得的效用为 $\delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn$ 。用户基于激励相容和个人理性选择产品，选择购买正版产品应满足以下条件：

$\begin{split} &\qquad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} vq - p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} + rn {\text{＞}} 0{\text{，}}\\ vq - p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} + rn {\text{＞}} \delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn{\text{。}} \end{array}} \right.\;\;\; {\text{即}} \;\;\; \\ &\qquad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} v {\text{＞}} {v_3} = (p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} - rn)/q{\text{，}}\\ v {\text{＞}} {v_4} = (p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}})/(1 - \delta )q{\text{。}} \end{array}} \right.\end{split} $

(5)

其中， ${v_3}$ 为企业未选择用户协同设计策略情况下，消费者购买产品所获得的效用大于0的临界点。

同理，用户选择使用盗版产品应满足以下条件

$\begin{split} &\qquad\left\{ \begin{array}{l} \delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn {\text{＞}} 0{\text{，}}\\ \delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn {\text{＞}} vq - p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} + rn{\text{。}} \end{array} \right.\;\;\;\; {\text{即}} \;\;\;\\ &\qquad\left\{ \begin{array}{l} v {\text{＞}} {v_5} = ({p_{\rm{C}}} - rn)/\delta q{\text{，}}\\ v {\text{＜}} {v_4} = (p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}})/(1 - \delta )q{\text{。}} \end{array} \right.\end{split} $

(6)

由上可得用户对信息产品的选择分布，如图3所示。

由图3可知，用户购买正版产品的市场占有率为 $1 - {v_4}$ ，可得正版厂商的利润函数表达式为

$\quad\quad\pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}} = p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}\left(1 - \frac{{p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}}}}{{(1 - \delta )q}}\right){\text{。}}$

(7)

根据式(7)对 $p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 求二阶导，有 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}}}{{{{\partial\left( { p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}} \right)}^2}}} {\text{＜}} 0$ ，所以利润函数存在极大值。令其一阶导函数 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}}}{{\partial p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}}} = 0$ ，可得 ${\rm{YS}}$ 模型中正版产品的最优定价为 $p{_{\rm{S}}^{{\rm{Y}}^{*}}} = \dfrac{{q \!+\! {p_{\rm{C}}} \!-\! \delta q}}{2}$ 。将最优价格 $p{_{\rm{S}}^{{\rm{Y}}^{*}}}$ 代入利润函数 $\pi _{\rm{S}}^{\rm{N}}$ 中，可求得 ${\rm{YS}}$ 模型中正版厂商的最优利润为 $\pi {_{\rm{S}}^{{\rm{Y}}^{*}}} = \dfrac{{{{(\delta q - {p_{\rm{C}}} - q)}^2}}}{{4(1 - \delta )q}}$ 。正版厂商正版产品的市场需求为 $D_{\rm{S}}^{\rm{Y}} = 1 - {v_4}$ ，可得 ${\rm{YS}}$ 模型中正版产品的销售量为 $\dfrac{{\delta q - {p_{\rm{C}}} - q}}{{2q(\delta - 1)}}$ ； ${\rm{YS}}$ 模型中使用该类信息产品的用户总数为 $n_{\rm{S}}^{\rm{Y}} = 1 - {v_4}$ ，所以可得用户总数为 $\dfrac{{\delta q - {p_{\rm{C}}}}}{{\delta q - r}}$ 。

3.2 厂商选择用户协同设计策略(YC)

在市场中存在盗版产品的情况下，用户有购买正版信息产品、购买盗版产品和不购买3种选择，由基本效用模型可知，用户购买正版信息产品所获得的效用为 $(1 + \theta )vq - p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} + rn$ ，用户购买盗版信息产品所获得的效用为 $(1 + \theta )\delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn$ 。用户基于激励相容和个人理性选择产品，用户选择购买正版产品应满足以下条件：

$\begin{split} &\qquad\left\{ \begin{array}{l} (1 + \theta )vq - p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} + rn-k{{\theta }^{2}} {\text{＞}} 0{\text{，}}\\ (1 \!+ \!\theta )vq \!- \!p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} + rn \!-\!k{{\theta }^{2}}{\text{＞}} (1\! +\! \theta )\delta vq \!-\! {p_{\rm{C}}} + rn{\text{。}} \end{array} \right.{\text{即}} \\ &\qquad\left\{ \begin{array}{l} v {\text{＞}} {v_6} = (p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - rn + k{\theta ^2})/(1 + \theta )q{\text{，}}\\ v {\text{＞}} {v_7} = (p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}} + k{\theta ^2})/(1 - \delta )q(1 + \theta ){\text{。}} \end{array} \right.\end{split} $

(8)

同理，用户选择使用盗版产品应满足以下条件：

$\begin{split} &\qquad\left\{ \begin{array}{l} (1 + \theta )\delta vq - {p_{\rm{C}}} + rn {\text{＞}} 0{\text{，}}\\ (1 \!+ \!\theta )\delta vq\! -\! {p_{\rm{C}}} \!+\! rn {\text{＞}} (1\! + \!\theta )vq\! -\! p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} + rn-k{{\theta }^{2}}{\text{。}} \end{array} \right. {\text{即}} \;\;\;\\ &\qquad\left\{ \begin{array}{l} v {\text{＞}} {v_8} = ({p_{\rm{C}}} - rn)/(1 + \theta )\delta q{\text{，}}\\ v {\text{＜}} {v_7} = (p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}} + k{\theta ^2})/(1 - \delta )q(1 + \theta ){\text{。}} \end{array} \right. \end{split} $

(9)

其中， ${v_6}$ 为在企业选了用户协同设计策略的情况下，消费者购买正版产品所获得的效用大于0的临界点。

由上可得用户对信息产品的选择分布，如图4所示。

由图4可知，用户购买正版产品的市场占有率为 $1 - {v_7}$ ，可得正版厂商的利润函数表达式为

$\quad\quad\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}} = p_{\rm{C}}^{\rm{Y}}\left(1 - \frac{{p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - {p_{\rm{C}}} + k{\theta ^2}}}{{(1 - \delta )q(1 + \theta )}}\right){\text{。}}$

(10)

根据式(10)对 $p_{\rm{C}}^{\rm{Y}}$ 求二阶导，有 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}}}}{{{{\partial\left( { p_{\rm{C}}^{\rm{Y}}} \right)}^2}}} {\text{＜}} 0$ ，所以利润函数存在极大值。令其一阶导函数 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}}}}{{\partial p_{\rm{C}}^{\rm{Y}}}} = 0$ ，可得 ${\rm{YC}}$ 模型中正版产品的最优定价为 $p{_{\rm{C}}^{{\rm{Y}}^{*}}} = $ $ \dfrac{{(\theta + 1 - \delta - \delta \theta )q - k{\theta ^2} + {p_{\rm{C}}}}}{2}$ 。将最优价格 $p{_{\rm{C}}^{{\rm{Y}}^{*}}}$ 代入利润函数 $\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}}$ 中，可求得 ${\rm{YC}}$ 模型中正版厂商的最优利润为 $\pi {_{\rm{C}}^{{\rm{Y}}^{*}}} = \dfrac{{{{(\delta \theta q + k{\theta ^2} + \delta q - q\theta - {p_{\rm{C}}} - q)}^2}}}{{4(1 - \delta )q(1 + \theta )}}{\text{}}$ 。正版厂商正版产品的市场需求为 $D_{\rm{C}}^{\rm{Y}} = 1 - {v_7}$ ，可得 ${\rm{YC}}$ 模型中正版产品的销售量为 $\dfrac{{\delta \theta q + k{\theta ^2} + \delta q - q\theta - q - {p_{\rm{C}}}}}{{2q(\delta - 1)(1 + \theta )}}$ ； ${\rm{YC}}$ 模型中使用该类信息产品的用户总数为 $n_{\rm{C}}^{\rm{Y}} = 1 - {v_7}$ ，所以可 ${\normalsize {\text{得用户总数为}}}\dfrac{{\delta \theta q + \delta q - {p_{\rm{C}}}}}{{\delta \theta q + \delta q - r}}$ 。

4个模型中的定价、正版市场占有率、盗版市场占有率和用户总人数以及正版厂商利润见表1。

为保证表1中的所有值都大于0，做出如下假设： $q {\text{＞}} r$ ， $\delta q {\text{＜}} r$ ， $\delta q {\text{＜}} {p_{\rm{C}}}$ 。

命题2 　在市场中存在盗版产品情况下，当 $q {\text{＞}} {q_1}$ 时， $\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}} {\text{＞}} \pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ ；当 $q {\text{＜}} {q_1}$ 时， $\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}} {\text{＜}} \pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 。

其中， ${q_1}$ 为存在盗版的情况下，比较厂商选择用户协同设计策略的最优利润和厂商不选择用户协同设计策略的最优利润之间大小的临界点。

证明 　将厂商选择用户协同设计策略的最优利润和厂商不选择用户协同设计策略的最优利润作差可得

$\begin{split}&\pi _{\rm{C}}^{\rm{Y}} \!-\! \pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}} \!=\! \frac{{{{(\delta \theta q + k{\theta ^2} + \delta q - q\theta - {p_{\rm{C}}} - q)}^2}}}{{4(1 - \delta )q(1 + \theta )}} - \frac{{{{(\delta q - {p_{\rm{C}}} - q)}^2}}}{{4(1 - \delta )q}} =\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &\frac{{{q^2}F + Gq + {k^2}{\theta ^3} - 2k\theta {p_{\rm{C}}} - {p_{\rm{C}}}^2}}{{4(1 + \theta )q(1 - \delta )}}{\text{。}}\end{split}$

(11)

其中， $F = {\delta ^2}\theta + {\delta ^2} - 2\delta \theta - 2\delta + \theta + 1$ ； $G = 2k\delta {\theta ^2} + $ $ 2k\theta \delta - 2k{\theta ^2} - 2k\theta $ 。令 $F = 0$ ，可得 $\delta = 1$ ，由 ${\partial ^2}F/\partial {\delta ^2} {\text{＞}} $ 0， $0 {\text{＞}} \delta {\text{＞}} 1$ ，可知 $\delta = 1$ 为最小值，且 $F {\text{＞}} 0$ 。式(11)的正负取决于分子，令式(11)的分子等于 $0$ ，可得

${q_1} = \frac{{k{\theta ^2} \!+\! k\theta \!+\! ({k^2}{\theta ^3} \!+\! {k^2}{\theta ^2} \!+\! 2k{p_{\rm{C}}}{\theta ^2} \!+\! 2k{p_{\rm{C}}}\theta \!+\! {p_{\rm{C}}}^2\theta \!+\! {p_{\rm{C}}}^2)}}{{(1 \!+\! \theta )(1 \!-\! \delta )}}{\text{。}}$

(12)

当 $q {\text{＞}} {q_1}$ 时，厂商选择用户协同设计策略的利润高于不选择用户协同设计策略的利润；当 $q {\text{＜}} {q_1}$ 时，厂商选择用户协同设计策略的利润低于不选择用户协同设计策略的利润。

命题2表明当市场中存在盗版产品时，使用该类信息产品的用户总人数较多，此时市场中信息产品的网络外部性较大。在市场中信息产品的质量较高情况下，当厂商选择用户协同设计策略时，用户购买信息产品所获得的效用比厂商不选择用户协同设计策略时的效用相对较大，且市场中存在盗版产品，此时厂商会适当提高正版产品的价格，从而将正版产品和盗版产品在市场中进行区分，进而厂商利润增加，且厂商选择用户协同设计策略时的价格比厂商不选择用户协同设计策略时的价格高，因此其利润也相对较大。在市场中信息产品质量较低情况下，用户购买信息产品所获得的效用相对较小，当厂商选择用户协同设计策略时，厂商会适当降低正版产品的价格，从而占有较大的信息产品市场。但是市场中盗版产品的存在致使选择购买盗版产品的用户也相应地增加，因此厂商选择用户协同设计策略和不选择用户协同设计策略时厂商的市场占有没有太大差距，且厂商选择用户协同设计策略时的价格比厂商不选择用户协同设计策略时的价格低，因此厂商选择用户协同设计策略时利润也相对较少。

4 模型比较分析

命题3 　比较市场中是否存在盗版产品时用户协同设计策略的努力水平。当 $0 {\text{＜}} v {\text{＜}} 1 - \delta $ 时， ${\theta ^{\rm{Y}}} {\text{＞}} {\theta ^{\rm{N}}}$ ；当 $1 {\text{＞}} v {\text{＞}} 1 - \delta $ 时， ${\theta ^{\rm{Y}}} {\text{＜}} {\theta ^{\rm{N}}}$ 。

证明 　将市场中存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平减去市场中不存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平可得

$\quad\quad{\theta ^{\rm{Y}}} - {\theta ^{\rm{N}}} = \frac{{q(2v + \delta - 1)}}{{2k}} - \frac{{vq}}{{2k}} = \frac{{q(1 - v - \delta )}}{{2k}}{\text{。}}$

(13)

式(13)的正负取决于 $1 - v - \delta $ ，令 $1 - v - \delta = 0$ ，可得 $v = 1 - \delta $ 。

命题3表明当用户购买信息产品所获得的效用较大时，若市场中存在盗版产品，正版产品和盗版产品的价值都较高，消费者使用该类信息产品所获得的效用较高。此时用户的协同设计努力水平较高；若市场中不存在盗版产品时，正版厂商没有威胁，对产品努力程度不高，此时用户协同设计努力水平较低。因此市场中存在盗版时用户的协同设计努力水平高于市场中不存在盗版产品时的用户的协同设计努力水平。

命题4 　在市场中存在盗版情况下，比较厂商选择用户协同设计策略和不选择用户协同设计策略时市场中信息产品的盗版率。

1) 当 $\theta {\text{＜}} {\theta _0}$ 时，若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＞}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＞}} {d_{\rm{S}}}$ ；若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＜}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＜}} {d_{\rm{S}}}$ ；

2) 当 ${\theta _0} {\text{＜}} \theta {\text{＜}} {\theta _1}$ 时，若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＞}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＜}} {d_{\rm{S}}}$ ；若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＜}} $ $ {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＞}} {d_{\rm{S}}}$ ；

3) 当 ${\theta _1} {\text{＜}} \theta $ 时，若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＞}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＞}} {d_{\rm{S}}}$ ；若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＜}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ， ${d_{\rm{C}}} {\text{＜}} {d_{\rm{S}}}$ 。

其中， ${\theta _0}$ 、 ${\theta _1} $ 、 $ {p_{{\rm{C}}1}}$ 为存在盗版的情况下，比较厂商选择用户协同设计策略时的盗版率和厂商不选择用户协同设计策略的盗版率之间大小的临界点。

证明 　将厂商选择用户协同设计策略时的市场盗版率减去厂商不选择用户协同设计策略时的市场盗版率可得

$\begin{split}&{d_{\rm{C}}} \!-\! {d_{\rm{S}}} \!=\! \frac{{B{q^2} \!+\! Cq \!-\! r{p_{\rm{C}}} \!+\! kr{\theta ^2}}}{{2q(\delta \!-\! 1)(1 \!+\! \theta )(\delta \theta q \!+ \!\delta q \!-\! r)}} \!-\!\frac{{({\delta ^2}\! - \!\delta ){q^2} \!+\! Aq\! - \!r{p_{\rm{C}}}}}{{2q(\delta \!-\! 1)(\delta q \!-\! r)}} =\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ &\frac{{\theta (I{p_{\rm{C}}} + H)}}{{2q(1 - \delta )(1 + \theta )(\delta \theta q + \delta q - r)(\delta q - r)}}{\text{。}}\end{split}$

(14)

其中， $H \!\!=\!\! k{\delta ^2}{q^2}{\theta ^2} \!\!+ \!\!k\theta {\delta ^2}{q^2} \!+ \!2r\theta {\delta ^2}{q^2} \!\!-\! \!kqr\delta {\theta ^2} \!+\!2r{\delta ^2}{q^2} \!\!-$ $ 2kqr\delta \theta - 2\delta r\theta {q^2}\! -\! 2r\delta {q^2} \!+\! k\theta {r^2}$ ； $ I \!=\! - {\delta ^2}{q^2}\theta - {\delta ^2}{q^2} \!+\! 2\delta \theta {q^2} \;-\; $ $qr\delta \theta + 2\delta {q^2} - 2qr\delta + {r^2}$ 。讨论I的正负，令 $I = 0$ ，可得

$\quad\quad{\theta _0} = \frac{{2\delta {q^2} - {\delta ^2}{q^2} - 2qr\delta + {r^2}}}{{\delta q(\delta q - 2q + r)}}{\text{。}}$

(15)

当 $\theta {\text{＞}} {\theta _0}$ 时， $I {\text{＜}} 0$ ；当 $\theta {\text{＜}} {\theta _0}$ 时， $I {\text{＞}} 0$ 。接着，讨论 $\delta \theta q + \delta q - r$ 的正负，令 $\delta \theta q + \delta q - r = 0$ ，可得

$\quad\quad{\theta _1} = \frac{{r - \delta q}}{{\delta q}}{\text{。}}$

(16)

当 $\theta {\text{＞}} {\theta _1}$ 时， $\delta \theta q + \delta q - r {\text{＞}} 0$ ；当 $\theta {\text{＜}} {\theta _1}$ 时， $\delta \theta q + \delta q - $ $ r {\text{＜}} 0$ 。最后，将 ${\theta _0}$ 和 ${\theta _1}$ 作差可得

$\begin{split}&\quad\quad{\theta _0} - {\theta _1} = \frac{{2\delta {q^2} - {\delta ^2}{q^2} - 2qr\delta + {r^2}}}{{\delta q(\delta q - 2q + r)}} - \frac{{r - \delta q}}{{\delta q}} =\\ &\frac{{2r(1 - \delta )}}{{\delta (\delta q - 2q + r)}} {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{split}$

(17)

讨论 ${p_{\rm{C}}}$ 系数 $I/(\delta \theta q + \delta q - r)$ 的正负，当 $\theta {\text{＜}} {\theta _0}$ 时，有 $I {\text{＞}} 0$ 和 $\delta \theta q + \delta q - r {\text{＜}} 0$ ，式(14)的大小与 ${p_{\rm{C}}}$ 成反比；当 ${\theta _0} {\text{＜}} \theta {\text{＜}} {\theta _1}$ 时，有 $I {\text{＜}} 0$ 和 $\delta \theta q + \delta q - $ $ r {\text{＜}} 0$ ，式(14)的大小与 ${p_{\rm{C}}}$ 成正比；当 ${\theta _1} {\text{＜}} \theta $ 时，有 $I {\text{＜}} 0$ 和 $\delta \theta q + \delta q - r {\text{＞}}$ $ 0$ ，式(14)的大小与 ${p_{\rm{C}}}$ 成反比。

由于 $0 {\text{＜}} \delta {\text{＜}} 1$ ， $q\delta {\text{＜}} r$ ，式(14)的正负取决于 $ (I{p_{\rm{C}}} +$ $ H)/(\delta \theta q + \delta q - r)$ 。令 $I{p_{\rm{C}}} + H = 0$ ，可得

$\quad\quad\quad\quad\quad{p_{{\rm{C}}1}} = \frac{{k{\delta ^2}{q^2}{\theta ^2} + k\theta {\delta ^2}{q^2} + 2r\theta {\delta ^2}{q^2} - kqr\delta {\theta ^2} + 2r{\delta ^2}{q^2} - 2kqr\delta \theta - 2\delta r\theta {q^2} - 2r\delta {q^2} + k\theta {r^2}}}{{{\delta ^2}{q^2}\theta + {\delta ^2}{q^2} - 2\delta \theta {q^2} + qr\delta \theta - 2\delta {q^2} + 2qr\delta - {r^2}}}{\text{。}}$

(18)

综上可知，当 $\theta {\text{＜}} {\theta _0}$ 或 ${\theta _1} {\text{＜}} \theta $ 时，若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＞}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ，厂商选择用户协同设计策略时的盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率；若 ${p_{\rm{C}}} {\text{＜}} {p_{{\rm{C}}1}}$ ，厂商选择用户协同设计策略时的盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率；当 ${\theta _0} {\text{＜}} \theta {\text{＜}} {\theta _1}$ 时，结果和 $\theta {\text{＜}} {\theta _0}$ 或 ${\theta _1} {\text{＜}} \theta $ 时相反。

命题4表明厂商可由盗版产品的价格控制用户协同设计策略中用户的努力水平，从而达到控制市场中信息产品盗版率的效果。

在用户协同设计策略努力水平较大情况下，厂商选择用户协同设计策略明显增加了正版产品给用户带来的效用，同时也增加了盗版产品给用户带来的效用。当盗版产品价格较高时，厂商会采取高价策略对正版产品和盗版产品进行区分，在盗版产品也够满足用户需求的时候，用户购买盗版的倾向更大，因此厂商选择用户协同设计策略时的盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率；当盗版产品的价格较低时，厂商会采取降价策略打击盗版，从而获得更大的市场占有，此时厂商选择用户协同设计策略时的盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率。

在用户协同设计策略努力水平适中情况下，厂商选择用户协同设计策略对增加用户购买正版产品的效用不明显。当盗版产品的价格较高时，厂商选择用户协同设计策略时用户购买正版产品的倾向比厂商不选择用户协同设计策略时购买正版产品的倾向高，此时厂商选择用户协同设计策略时的盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率；当盗版产品的价格较低时，厂商选择用户协同设计策略时用户购买正版产品的倾向比厂商不选择用户协同设计策略时购买正版产品的倾向低，此时厂商选择用户协同设计策略时的盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率。

在用户协同设计策略努力水平较小情况下，当盗版产品价格较高时，厂商会采取高价策略对正版产品和盗版产品进行区分，在盗版产品也能够满足用户需求的时候，用户购买盗版的倾向更大，因此厂商选择用户协同设计策略时的盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率；当盗版产品的价格较低时，厂商会采取降价策略打击盗版，从而获得更大的市场占有，此时厂商选择用户协同设计策略时的盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的盗版率。

命题5 　无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的市场占有率低于不选择用户协同设计策略的市场占有率。

证明 　在市场中不存在盗版产品情况下，将厂商选择用户协同设计策略的市场占有率减去厂商不选择用户协同设计策略的市场占有率可得

$\begin{split}&\quad\quad D_{\rm{C}}^{\rm{N}} - D_{\rm{S}}^{\rm{N}} = \frac{{q\theta + q - k{\theta ^2}}}{{2(q\theta + q - r)}} - \frac{q}{{2(q - r)}} = \\ &- \frac{{\theta (kq\theta + qr - k\theta r)}}{{2(q - r)(q\theta + q - r)}} {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{split}$

(19)

在市场中存在盗版产品情况下，将厂商选择用户协同设计策略的市场占有率减去厂商不选择用户协同设计策略的市场占有率可得

$\begin{split}&\quad\quad D_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - D_{\rm{S}}^{\rm{Y}} = \frac{{\delta \theta q + k{\theta ^2} + \delta q - q\theta - q - {p_{\rm{C}}}}}{{2q(\delta - 1)(1 + \theta )}} - \\ &\frac{{\delta q - {p_{\rm{C}}} - q}}{{2q(\delta - 1)}} =\frac{{\theta (k\theta + {p_{\rm{C}}})}}{{2q(\delta - 1)(1 + \theta )}} {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{split}$

(21)

命题5表明当厂商选择用户协同设计策略时，用户使用该类信息产品所获得的效用增加，用户对该类信息产品的满意度更高，此时厂商往往选择提高价格的方式来获取较高利润。由此可得，无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的市场占有都低于厂商不选择用户协同设计策略的利润。

命题6 　比较厂商选择用户协同设计策略和不选择用户协同设计策略情况下的产品定价。

1) 当 $q {\text{＜}} k\theta $ 时，无论市场中是否存在盗版产品，有 $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} {\text{＜}} p_{\rm{S}}^{\rm{N}}$ ， $p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} {\text{＜}} p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 。

2) 当 $k\theta {\text{＜}} q {\text{＜}} k\theta /(1 - \delta )$ 时，若市场中不存在盗版产品，有 $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} {\text{＞}} p_{\rm{S}}^{\rm{N}}$ ；若市场中存在盗版产品，有 $p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} {\text{＜}} p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 。

3) 当 $q {\text{＞}} k\theta /(1 - \delta )$ 时，无论市场中是否存在盗版产品，有 $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} {\text{＞}} p_{\rm{S}}^{\rm{N}}$ ， $p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} {\text{＞}} p_{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 。

证明 　在市场中不存在盗版产品情况下，将厂商选择用户协同设计策略的产品价格减去厂商不选择用户协同设计策略的产品价格可得

$\quad\quad p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} = \frac{{q\theta + q - k{\theta ^2}}}{2} - \frac{q}{2} = \frac{{\theta (q - k\theta )}}{2}{\text{。}}$

(22)

式(21)的正负取决于 $q\; -\; k\theta $ ，当 $q\; {\text{＜}}\; k\theta $ 时， $ p_{\rm{C}}^{\rm{N}} \;-$ $ p_{\rm{S}}^{\rm{N}} {\text{＜}} 0$ ；当 $q {\text{＞}} k\theta $ 时， $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} {\text{＞}} 0$ 。

在市场中存在盗版产品情况下，将厂商选择用户协同设计策略的产品价格减去厂商不选择用户协同设计策略的产品价格可得

$\begin{split}&\quad\quad p_{\rm{C}}^{\rm{Y}} - p_{\rm{S}}^{\rm{Y}} = \frac{{(\theta + 1 - \delta - \delta \theta )q - k{\theta ^2} + {p_{\rm{C}}}}}{2} - \\ &\frac{{q + {p_{\rm{C}}} - \delta q}}{2} = \frac{{\theta (q - \delta q - k\theta )}}{2}{\text{。}}\end{split}$

(23)

式(22)的正负取决于 $q \;-\; \delta q \;-\; k\theta $ ，当 $q {\text{＜}}k\theta /\left( {1 - \delta } \right)$ 时， $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} {\text{＜}} 0$ ；当 $q {\text{＞}} k\theta /(1 - \delta )$ 时， $p_{\rm{C}}^{\rm{N}} - p_{\rm{S}}^{\rm{N}} {\text{＞}} $ 0。由于 $k\theta /(1 - \delta ) {\text{＞}} k\theta $ ，因此综上可得命题6。

命题6表明在正版信息产品质量较低情况下，当企业选择用户协同设计策略时，显示出企业扩大市场占有的意愿较强，无论市场中是否存在盗版产品，此时厂商都选择薄利多销的销售策略。而当企业不选择用户协同设计策略时，若市场中不存在盗版产品，此时正版厂商垄断整个市场，此时其不会降低正版产品的价格；若市场中存在盗版产品，厂商会适当提高正版产品的价格，从而将正版产品和盗版产品在市场中进行区分。

在正版信息产品质量适中情况下，当厂商选择用户协同设计策略时，会提高用户对正版产品的满意度。若市场中不存在盗版产品，正版厂商必以较高的价格垄断整个市场，此时有厂商选择用户协同设计策略的产品价格高于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格；若市场中存在盗版产品，当厂商选择用户协同设计策略时，市场中正版产品和盗版产品竞争力度增大，正版厂商为了打击市场中的盗版产品，必然采取低价策略。

在正版信息产品质量较高情况下，用户使用该类信息产品获得的效用较大，此时无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略使正版产品的效用得到增加，厂商选择用户协同设计策略的产品价格都会高于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格。

5 算例分析

这一节将通过数值算例对以下几个方面进行比较分析：不同用户协同设计策略努力水平下，4个模型中正版信息产品质量对正版厂商利润的影响(如图5和图6)；当厂商选择用户协同设计策略时，用户努力水平对正版厂商利润的影响(如图7)；4个模型中正版信息产品质量对正版厂商市场占有率的影响(如图8)；在市场中不存在盗版产品情况下，不同用户努力水平下正版信息产品质量对正版产品价格的影响(如图9)；市场中存在盗版产品情况下，不同用户努力水平下正版信息产品质量对正版产品价格的影响(如图10)。

当参数设置为 $\theta = 0.4$ ， $r = 0.4$ ， ${p_{\rm{C}}} = 0.3$ ， $k = 0.4$ ， $\delta = 0.3$ 时，可得图5。从图5可以看出，当市场中不存在盗版产品时，若正版产品质量较低，厂商选择用户协同设计策略时的利润低于厂商不选择用户协同设计策略时的利润；若正版产品质量较高，厂商选择用户协同设计策略时的利润高于厂商不选择用户协同设计策略时的利润。当市场中存在盗版产品时，若正版产品质量较低，厂商选择用户协同设计策略时的利润低于厂商不选择用户协同设计策略时的利润；若正版产品质量较高，厂商选择用户协同设计策略时的利润高于厂商不选择用户协同设计策略时的利润，验证了命题2。当参数设置中用户协同设计策略努力水平改为 $\theta = 0.8$ 时，可得图6。在市场中无盗版产品情况下，图6中厂商是否选择用户协同设计策略的利润比较结果与图5中类似；但是在市场中存在盗版产品情况下，当用户协同设计策略努力水平高到一定程度时，厂商选择用户协同设计策略时的利润始终低于厂商不选择用户协同设计策略时的利润，说明厂商选择用户协同设计策略时，用户协同设计策略努力水平并不是越高对厂商越有利。且图5中 $\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}}$ 始终高于 $\pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ ，但图6中 $\pi _{\rm{C}}^{\rm{N}}$ 和 $\pi _{\rm{S}}^{\rm{Y}}$ 存在交点，表明盗版的存在对厂商收益既存在负向影响也存在正向影响。

当参数设置为 $q = 1$ ， $r = 0.4$ ， ${p_c} = 0.3$ ， $k = 0.4$ ， $\delta = 0.3$ 时，可得图7。由图7可知，在正版厂商选择用户协同设计策略情况下，市场中不存在盗版时正版厂商的利润始终高于市场中存在盗版时正版厂商的利润，且正版厂商的利润都随着用户协同设计策略努力水平的增加而减少。由此可以看出盗版的存在一定程度上对正版厂商的利润造成损害，所以尽管盗版产品会增加市场中信息产品的网络外部性，但正版厂商一直都存在打击盗版的举措。

当参数设置为 $\theta = 0.4$ ， $r = 0.4$ ， ${p_c} = 0.3$ ， $k = 0.4$ ， $\delta = 0.3$ 时，可得图8。从图8可以看出，无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略时的市场占有始终低于厂商不选择用户协同设计策略时的市场占有，验证了命题5。再者，随着正版产品质量的提高，正版厂商的市场占有都随之减小，这是因为在正版产品质量较高的情况下，正版厂商往往选择采取高价格的措施获取高利润，因此正版厂商的市场占有随着正版产品质量的升高而降低。

当参数设置为 $\theta = 0.3/0.5/0.7/1$ ， $r = 0.4$ ， ${p_c} = 0.3$ ， $k = 0.4$ ， $\delta = 0.3$ 时，可得图9和图10。图9和图10表明在市场中不存在盗版产品和市场中存在盗版产品且厂商都选择用户协同设计策略情况下，当正版产品质量较低时，正版产品的定价与用户协同设计策略努力水平没有正向或反向关系；当正版产品质量较高时，正版产品的定价与用户协同设计策略努力水平呈正向关系，且质量越高正向关系越明显。用户协同努力水平越高，用户对正版产品的满意度越高，厂商通过提高正版产品的定价获取较高利润。

6 结论

在信息产品市场中是否存在盗版产品情形下，本文研究一个销售正版信息产品的垄断厂商对于用户协同设计策略选择的问题。基于用户基本效用、个人理性和激励相容，依据市场中是否存在盗版产品以及正版厂商是否选择用户协同设计策略，分别建立市场中不存在盗版产品且厂商不选择用户协同设计策略、市场中不存在盗版产品且厂商选择用户协同设计策略、市场中存在盗版产品且厂商不选择用户协同设计策略以及市场中存在盗版产品且厂商选择用户协同设计策略4个数学模型(分别记为 ${\rm{NS}}$ 模型、 ${\rm{NC}}$ 模型、 ${\rm{YS}}$ 模型以及 ${\rm{YC}}$ 模型)。通过对模型结果进行比较分析有如下发现。

1) 市场中不存在盗版产品情况下，当网络外部性较小时，厂商选择用户协同设计策略的最优利润高于厂商不选择用户协同设计策略的最优利润；当网络外部性较大时，厂商选择用户协同设计策略的最优利润低于厂商不选择用户协同设计策略的最优利润。市场中存在盗版产品情况下，当正版产品质量较高时，厂商选择用户协同设计策略的最优利润高于厂商不选择用户协同设计策略的最优利润；当正版产品质量较低时，厂商选择用户协同设计策略的最优利润低于厂商不选择用户协同设计策略的最优利润。

2) 当用户购买正版产品获得的效用较小时，市场中存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平高于市场中不存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平；当用户购买正版产品获得的效用较大时，市场中存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平低于市场中不存在盗版产品时厂商选择用户协同设计策略的用户努力水平。

3) 当用户协同设计策略努力水平较小或较大时，若盗版产品价格较高，厂商选择用户协同设计策略时的市场盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的市场盗版率；若盗版产品价格较低，厂商选择用户协同设计策略时的市场盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的市场盗版率。当用户协同设计策略努力水平适中时，若盗版产品价格较高，厂商选择用户协同设计策略时的市场盗版率低于厂商不选择用户协同设计策略时的市场盗版率；若盗版产品价格较低，厂商选择用户协同设计策略时的市场盗版率高于厂商不选择用户协同设计策略时的市场盗版率。

4) 无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的市场占有率低于不选择用户协同设计策略的市场占有率。

5) 当正版产品质量较低时，无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的产品价格低于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格。当正版产品质量适中时，若市场中不存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的产品价格高于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格；若市场中存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的产品价格低于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格。当正版产品质量较高时，无论市场中是否存在盗版产品，厂商选择用户协同设计策略的产品价格高于厂商不选择用户协同设计策略的产品价格。

依据以上的结论，本文具有以下几个方面的管理启示。首先，在市场中不存在盗版产品的情况下，若是市场中信息产品的网络外部性较大，厂商选择用户协同设计策略的正向效果不明显，此时厂商不选择用户协同设计更优。再者，在市场中存在盗版产品情况下，若正版产品质量较高，厂商选择用户协同设计策略且采用高价的策略获取的收益更高；若正版产品的质量较低，厂商不选择用户协同设计策略且采用降价策略更优。最后，在市场中存在盗版产品的情况下，若盗版产品的价格较低，厂商可以通过控制用户参与协同设计的努力在较高水平或较低水平，从而达到打击信息产品市场中的盗版产品的效果。

后续的研究可以从下面几个方面入手。1) 从动态博弈角度研究强势厂商和弱势厂商对用户协同设计策略的选择；2) 基于政府采取打击盗版措施的情况下，研究正版厂商对用户协同设计策略的选择；3) 基于政府采取打击盗版措施的情况下，研究双寡头垄断正版厂商对用户协同设计策略的选择。