社区健康服务是指在一定社区中由卫生及有关部门向居民提供的预防、医疗、康复和健康促进为内容的卫生保健活动。社区健康服务中心常常面临着有时资源不足以应对服务需求、有时资源又处于闲置状态的情况，如何均衡社区健康服务中心的资源，使得社区健康服务中心能实现供需匹配，将有助于社区健康服务中心的可持续发展。由于社区健康服务中心除了提供医疗服务外，还有一部分非常重要的工作是提供预防保健、健康教育等服务，而预防保健、健康教育等服务的紧急程度远不像医疗服务，其可通过提前预约以均衡社区健康服务中心的资源。因此，为了给社区健康服务中心搭建一个服务运营预约系统，研究预防保健服务的预约策略具有重要的理论和实践意义。

近些年来,国内外很多学者选择采用预约的思想来实现特定服务的运营，这类文献主要以优化医院的门诊预约系统为主。Robinson和Chen^[1]比较了在预约人数已知、服务时间确定、病人按时就诊的情况下，传统和开放式2种预约模式门诊收益的差异；Dobson等^[2]比较了为急诊保留一定诊疗能力的情况下，传统和开放式2种预约模式对门诊收益的影响；Cayirli等^[3-4]提出基于临时到访率和爽约率调整服务时间均值和标准值的方法，最大程度降低临时到访和患者爽约对任何一种预约系统的影响；Chakraborty等^[5]指出最优预约时间间隔依赖于服务时间的变动以及患者爽约率的不同，较短的预约时间间隔更能提高门诊的灵活性；Cayirli和Veral^[6]考虑通过缩短预约时间间隔的方式来缓解爽约对门诊收益的影响；Gupta和Denton^[7]通过采取超额预约策略的方式来缓解爽约对门诊收益带来的损失；Qu等^[8]通过对混合型医院门诊预约问题进行数学建模，得出单个服务周期内不同类型患者的最佳预约比例；Feldman等^[9]使用了多项分对数模型来管理患者偏好，病人可以选择使得门诊收益最优的各个可行预约日期中的任意一天就诊；Turkcan等^[10]研究了服务时间服从指数分布的情况下，门诊预约系统的最优预约方案；Kuiper等^[11]将门诊服务时间刻画成服从相位型分布，用较低的计算量有效地解决了门诊预约系统的最优化问题；Gupta和Wang^[12]研究混合型门诊预约问题时考虑了患者的选择行为，研究指出在不同的医疗环境下均存在为预约患者和当天到访患者的最优分配数量；曹萍萍等^[13-15]以医院的期望收益最大为决策目标建立患者存在取消预约和爽约行为的医疗预约问题的马尔可夫过程模型，并基于模型的特征给出预约问题的决策方法。总体来看，近些年关于预防保健服务的研究很少，将预约问题应用到预防保健服务中的研究更少。

医院门诊预约可能存在取消预约和爽约，当天预约考虑其紧急性一般不会出现取消预约和爽约的情况。但预防保健服务则不同，对于这类服务而言，早几天和晚几天接受服务的影响不大，因此为了均衡预约的居民和当天到达的居民，可设置提前预约的价格比当天预约的价格低。提前预约可能存在取消预约和爽约，而当天到达社区健康服务中心的居民也可能有一部分人会因为需要排队等待、价格比提前预约贵等因素而离开不接受当天服务，选择另外时间接受服务。因此，本文将考虑提前预约和当天到达社区健康服务中心两类居民，提前预约的居民可能存在取消预约和爽约、当天到达的居民可能不接受当天服务等情形，给出一定预约期内的动态门诊预约策略，实现社区健康服务中心的收益最大化，为未来给这项服务搭建服务运营预约系统提供技术支持。

1 模型建立 1.1 问题描述及假设

为了均衡社区健康服务中心的资源，本文采纳预约方式来模拟预防保健服务的运营过程。考虑到预防保健服务与医院门诊不同，设置提前预约的服务价格比当天到达的低，且假设每完成一次服务的时间相同。考虑到这类服务是预防保健服务，所以在服务当天到达的居民也可以自由选择是否要在当天参与这类服务。

关于具体的服务预约策略，一方面，对于提前预约的居民，在各个预约时段内，由于一个服务周期内的额定服务容量有限，且考虑到在服务当天到达的居民数量，运营商需要依据接受预约能否带来正收益来决策是否接受这项请求。而对于当天到达的居民，考虑到前期实际预约的情况以及提前预约的价格优惠政策，部分居民可能会选择不在当天参与服务，这一点与医院门诊预约挂号不同，本文假设当天到达的居民不参与服务的概率相同；另一方面，对于提前预约的居民，有一定的比例会由于特殊原因而选择取消之前的预约或者直接爽约，本文假设提前预约的不同居民取消预约和爽约的概率相同。此外，为了便于建模，本文将预约时段进行细分，假设在每个细分预约时段内，最多只有一个居民进行预约或者取消预约。

综上，本文的研究问题为：在单个服务周期内且额定服务容量有限的情况下，如何确定任意预约时段为提前预约的居民分配的最优数量，且在不影响当天到达的居民服务容量的同时，尽量减少不必要的加班时间以及空闲时间的损失，目标是最大限度提高运营商的累计服务收益。

1.2 符号定义

为了便于模型的建立和求解，本文假设参与服务的不同居民之间是相互独立的，结合预约过程的特征以及预防保健服务的实际背景，模型建立所需要的参数和变量符号定义如表1。

1.3 模型构建

假设居民已经可以通过预约系统提前预约这类服务，在服务当天，运营商对提前预约和当天到达的居民安排服务，正常工作时间内无法完成的服务采取加班策略。本文首先建立运营商服务当天到达的居民的收益模型，然后加入提前预约的情形，建立运营商的累计服务收益模型。

1) 服务当天到达的居民的期望收益。

根据前文符号定义，将服务当天设为t=0，s为前期总预约人数。考虑到额定服务容量有限以及当天到达的居民会有一定的概率不参与服务，因此可能存在时间闲置或加班的情形。所以，当天到达的居民为运营商带来的收益主要包括以下3个部分。

① 服务当天到达的居民的收益。

由于额定服务容量k有限，当天到达的居民人数为X，而为当天到达的居民预留的实际服务容量与前期总预约人数s有关，所以当天到达的居民中可以完成服务的最多人数为 $k-s(1-\rho_1) $ ，因此，该部分收益为 $R_0^1(s)=r_2\min\;\{k-s(1-\rho _1),(1-\rho_2)X\} $ 。

② 因时间闲置造成的利益损失。

据前文，在一个服务周期内，有 $k-s(1-\rho_1) $ 个服务容量可以分配给当天到达的居民，如果 $\left( {1 - {\rho _2}} \right)X {\text{＜}} $ $k - s\left( {1 - {\rho _1}} \right)$ ，则会引起时间闲置，从而对运营商造成利益损失。闲置的服务容量为 $k - \left( {1 - {\rho _2}} \right)X - $ $\left( {1 - {\rho _1}} \right)s$ ，则利益损失为 $R_0^2\left( s \right) = {l_1}\max\;\left\{ {k - \left( {1 - {\rho _2}} \right)X - }\right.$ $\left.{\left( {1 - {\rho _1}} \right)s,0} \right\}$ 。

③ 因加班造成的利益损失。

如果 $\left( {1 - {\rho _2}} \right)X {\text{＞}} k - s\left( {1 - {\rho _1}} \right)$ ，则在正常工作时间内无法保证完成全部服务，从而会造成加班情形。其中，将会有 $\left( {1 - {\rho _2}} \right)X - \left[ {k - s\left( {1 - {\rho _1}} \right)} \right]$ 个居民需要在加班时间内完成服务，该部分损失为 $R_0^3\left( s \right) = $ $ {l_2}\max\;\left\{ {\left( {1 - {\rho _2}} \right)X - \left[ {k - s\left( {1 - {\rho _1}} \right)} \right],0} \right\}$ 。

综上所述，服务当天到达的居民为运营商带来的期望收益为 ${R_0}\left( s \right) = E\left\{ {R_0^1\left( s \right) - R_0^2\left( s \right) - R_0^3\left( s \right)} \right\}$ ，经整理可得R₀(s)的表达式为

$\begin{split} &\qquad{R_0}\left( s \right) = - {l_2}\left( {1 - {\rho _2}} \right)E\left( X \right) + \left( {{r_2} + {l_2}} \right)\left[ {k - s\left( {1 - {\rho _1}} \right)} \right]-\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ & \left( {{r_2} + {l_1} + {l_2}} \right)E\left( {\max\left\{ {k - \left( {1 - {\rho _2}} \right)X - \left( {1 - {\rho _1}} \right)s,0} \right\}} \right){\text{。}} \end{split}$

(1)

2) 加入提前预约过程后运营商的累计服务收益模型。

下面基于某一时段 $t\left( {t = T,T - 1, \cdots ,1} \right)$ 的3种预约情形(预约、取消预约以及不预约或不取消预约)分别探讨运营商的累计服务收益，此时前期已成功完成预约的人数为s_t。

① 有居民进行预约。

若该预约请求被接受，则运营商的累计服务收益为 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right) + {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right)$ ；反之，累计服务收益为 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - c$ 。因此，若 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right) + {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) {\text{＞}} $ $ {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - c$ ，则运营商会接受该居民的预约请求，反之则拒绝。因此，在预约时段t，有居民进行预约时运营商的累计服务收益为 $R_t^1\left( {{s_t}} \right) = \max\;\left\{ {{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right) +}\right. $ $\left.{ {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right),{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - c} \right\}$ 。

② 有居民取消预约。

这种情形下，t时刻之后预约人数变为s_t-1-1，此时运营商的累计服务收益为 $R_t^2\left( {{s_t}} \right) = {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} - 1} \right)$ 。

③ 没有居民进行预约或取消预约。

这种情形下，由于不存在预约或取消预约，所以运营商的累计服务收益与上一预约时段相同，即为 $R_t^3\left( {{s_t}} \right) = {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)$ 。

综上，在预约时段t，运营商的累计服务收益R_t(s_t)的表达式为

$\begin{split} &\qquad{R_t}\left( {{s_t}} \right) = \alpha \left( {{s_t}} \right)R_t^1\left( {{s_t}} \right) + \beta \left( {{s_t}} \right)R_t^2\left( {{s_t}} \right) + \\ &\left( {1 - \alpha \left( {{s_t}} \right) - \beta \left( {{s_t}} \right)} \right)R_t^3\left( {{s_t}} \right)=\alpha\left( {{s_t}} \right)\max\;\{{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right) +\\ & {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right),{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - c \}+ \beta \left( {{s_t}} \right){R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} - 1} \right) + \\ &\left( {1 - \alpha \left( {{s_t}} \right) - \beta \left( {{s_t}} \right)} \right){R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right){\text{。}} \end{split}$

(2)

将上式进一步整理可得

$\begin{split}&\quad\quad{R_t}\left( {{s_t}} \right) = \alpha \left( {{s_t}} \right)\max\;\left\{ {\Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right),0} \right\} + \\ &\beta \left( {{s_t}} \right){R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} - 1} \right) + \left( {1 - \beta \left( {{s_t}} \right)} \right){R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - \alpha \left( {{s_t}} \right)c{\text{。}}\end{split}$

(3)

其中， $ \Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)\; \buildrel \Delta \over =\; {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} \;+\; 1} \right) \;-\; {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) \;+$ $ {r_1}( 1 - {\rho _1} ) + c$ ，则居民的预约请求被接受当且仅当 $\Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) {\text{≥}}0$ 。

以上，分别建立了运营商服务当天到达的居民的期望收益模型——式(1)，以及加入提前预约过程后的累计服务收益模型——式(3)。

2 模型分析 2.1 模型解的存在性

根据模型式(1)和式(3)，为了决策在任意预约时段t时，运营商为提前预约的居民分配的最优服务容量，需证明在当天到达的居民人数为随机的情形下，对应于不同的爽约和不参与服务的概率，均存在为提前预约的居民分配的最优容量，以下先给出2个引理。

引理1 　存在临界点a，使得当s≥a时， $\Delta {R_0}\left( s \right) {\text{＜}} 0$ ；反之，当s＜a时， $\Delta {R_0}\left( s \right) {\text{≥}} 0$ 。

证明 　首先证明 ${R_0}\left( {s + 1} \right) - {R_0}\left( s \right)$ 为关于s的非增函数。根据式(1)可得

$\begin{split} &\qquad {R_0}\left( {s + 1} \right) - {R_0}\left( s \right) = - \left( {{r_2} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right) -\\ &\left( {{r_2} + {l_1} + {l_2}} \right)[E\left( {\max\;\left\{ {k - \left( {1 - {\rho _2}} \right)X - \left( {1 - {\rho _1}} \right)\left( {s + 1} \right),0} \right\}} \right)-\\ & E\left( {\max\;\left\{ {k \!-\! \left( {1 \!- {\rho _2}} \right)X - \left( {1 - {\rho _1}} \right)s,0} \right\}} \right)]\!=\! -\! \left( {{r_2} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right) +\\ & \left( {{r_2} + {l_1} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right)F\left( {\frac{{k - \left( {1 - {\rho _1}} \right)\left( {s + 1} \right)}}{{1 - {\rho _2}}}} \right){\text{。}} \end{split}$

在定义范围内取a₁、a₂，且a₁≥a₂，则有

$\begin{split} &\qquad{R_0}\left( {{a_2} + 1} \right) - {R_0}\left( {{a_2}} \right) = - \left( {{r_2} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right) +\\ &\left( {{r_2} + {l_1} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right)F\left( {\dfrac{{k - \left( {1 - {\rho _1}} \right)\left( {{a_2} + 1} \right)}}{{1 - {\rho _2}}}} \right) {\text{≥}}\\ & - \left( {{r_2} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right) + \left( {{r_2} + {l_1} + {l_2}} \right)\left( {1 - {\rho _1}} \right)\cdot\\ &F\left( {\dfrac{{k - \left( {1 - {\rho _1}} \right)\left( {{a_1} + 1} \right)}}{{1 - {\rho _2}}}} \right) = {R_0}\left( {{a_1} + 1} \right) - {R_0}\left( {{a_1}} \right){\text{。}} \end{split}$

因此， ${R_0}\left( {s + 1} \right) - {R_0}\left( s \right)$ 为关于s的非增函数。接下来需证明

① 若存在a使得ΔR₀(a)＜0，则对任意的s≥a均有ΔR₀(s)＜0成立；

② 若存在a使得ΔR₀(a)≥0，则对任意的s＜a均有ΔR₀(s)≥0成立。

根据对称性，只需证明其中一个即可，以①为例。由于 ${R_0}\left( {s + 1} \right) - {R_0}\left( s \right)$ 为关于s的非增函数，若存在a使得ΔR₀(a)＜0，即 ${R_0}\left( a \right) - {R_0}\left( {a + 1} \right) {\text{＞}} $ ${r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) + c$ ，从而对任意的s≥a，均有 ${R_0}\left( s \right) - {R_0}$ $ \left( {s + 1} \right) {\text{≥}} {R_0}\left( a \right) - {R_0}\left( {a + 1} \right) {\text{＞}} {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) + c$ 成立，所以有ΔR₀(s)＜0成立，①得证，同理可证②。引理1证毕。

引理2 　存在临界点b_t，使得当s_t≥b_t时，ΔR_t(s_t)＜0；反之，当s_t＜b_t时，ΔR_t(s_t)≥0，其中， $t = T,T - 1, \cdots ,1$ 。

证明 　考虑选用数学归纳法来证明这个引理。当t=1时，引理2可通过引理1得证。

假设当t=k(k＞1)时条件成立，即存在临界点b_k，使得当s_k≥b_k时，ΔR_k(s_k)＜0；反之，当s_k＜b_k时，ΔR_k(s_k)≥0。

当t=k+1时，可以证明

$\begin{split} &\qquad\beta \left( {{s_{k + 1}}} \right){R_k}\left( {{s_k} - 1} \right) + \left( {1 - \alpha \left( {{s_{k + 1}}} \right) - \beta \left( {{s_{k + 1}}} \right)} \right)\cdot\\ &{R_k}\left( {{s_k}} \right) - \beta \left( {{s_{k + 1}} + 1} \right){R_k}\left( {{s_k}} \right)-\left( {1 - \alpha \left( {{s_{k + 1}} + 1} \right) -}\right.\\ & \left.{ \beta \left( {{s_{k + 1}} + 1} \right)} \right){R_k}\left( {{s_k} + 1} \right) \end{split}$

(4)

是关于s_k+1的非减函数。同理，可以证明

$\begin{split}&\qquad \max \;\left\{ {{R_k}\left( {{s_k} + 1} \right) + {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right),{R_k}\left( {{s_k}} \right) - c} \right\} -\\ &\max\; \left\{ {{R_k}\left( {{s_k} + 2} \right) + {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right),{R_k}\left( {{s_k} + 1} \right) - c} \right\}\end{split}$

(5)

是关于s_k+1的非减函数。

因此，再结合式(2)可得 ${R_{k \;+\; 1}}\;\left( {{s_{k \;+\; 1}}} \right)\;- {R_{k + 1}}$ $\left( {{s_{k + 1}} + 1} \right)$ 为关于s_k+1的非减函数。所以 $ {R_t}\left( {{s_t}} \right) -$ $ {R_t}\left( {{s_t} + 1} \right)$ 为关于s_t的非减函数。从而接下来只需证明

① 若存在b_t使得ΔR_t(b_t)＜0，则对任意的s_t≥b_t均有ΔR_t(s_t)＜0成立；

② 若存在b_t使得ΔR_t(b_t)≥0，则对任意的s_t＜b_t均有ΔR_t(s_t)≥0成立。

证明方法与引理1相同，不再赘述。引理2证毕。

2.2 模型求解

根据式(3)，对于任意的概率ρ₁和ρ₂，居民的预约请求被接受当且仅当 $\Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) {\text{≥}} 0$ 。又由引理2， ${R_t}\left( {{s_t}} \right) - {R_t}\left( {{s_t} + 1} \right)$ 为关于s_t的非减函数，所以在概率 $\rho_1 $ 和 $\rho_2 $ 确定的情形下，在预约时段t, $\min\;\left\{ {{s_{t - 1}}\left| {{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) -}\right.}\right. $ $ \left.{{{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right)} {\text{＞}} {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) + c} \right\}$ 是运营商为提前预约的居民预留的服务容量的临界值，因此，为提前预约的居民分配的最优服务容量为 $s_t^* \buildrel \Delta \over = \min\;\left\{ {{s_{t - 1}}\left| {{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) -}\right.}\right. $ $\left.{\left.{ {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right)} {\text{＞}}\right. {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) + c} \right\} - 1$ 。因此，在任意预约时段t，可以通过比较最优预约人数s_t^*与实际预约人数s_t的大小来决定是否要接受在该时段进行预约的居民。当 $ s_t^*$ ＞s时，接受该预约请求，反之则拒绝。由此可以得到如下定理。

定理 　在概率ρ₁和ρ₂确定的情形下，这类服务的动态预约策略为 $\left( {s_1^*, \cdots ,s_t^*, \cdots ,s_T^*} \right)$ ，为当天到达的居民所分配的服务容量为 $k - s_t^*$ 。其中， $ s_t^*$ 表示在预约时段 $t\left( {t = T,T - 1, \cdots ,1} \right)$ ，运营商为提前预约的居民分配的最优服务容量，由下式表示

$s_t^* \!=\! \min\;\left\{ {{s_{t - 1}}\left| {{R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)\! -\! {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right)} {\text{＞}}\right. {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) \!+\! c} \right\}\! -\! 1{\text{。}}$

(6)

特别地，如果恒有 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right) - {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}} + 1} \right) {\text{≤}} $ $ {r_1}\left( {1 - {\rho _1}} \right) + c$ 成立，即只要有居民预约就会为运营商带来正收益，因此，在不超过额定服务容量的情形下运营商会直接采取接受政策，此时的最优预约人数 $s_t^* = \min\;\left\{ {T - \left( {t - 1} \right),\left[ {\dfrac{k}{{1 - {\rho _1}}}} \right]} \right\}$ ，其中，[x]为取整函数。

以上通过对模型的分析和论证将研究问题转化为在概率ρ₁和ρ₂确定的情形下，如何决策在任意预约时段t时的最优预约人数 $ s_t^*$ ，目标是最大化运营商的累计服务收益。模型的求解思路为：根据上述定理，想要得到 $ s_t^*$ ，则需要知道任意预约时段t时的累计服务收益 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)$ 的值。而 ${R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)$ 的值需要根据模型式(1)和式(3)迭代求得。

3 数值仿真

在这一节，本文根据社区健康服务中心预防保健服务的实际背景对模型参数加以赋值，并根据前文定理给出的结论对已建立的模型进行数值仿真分析。假设完成一次服务所需的时间为20 min，则在正常工作时间内可以完成的服务人数即额定服务容量k=18。另外，假设当天到达的居民的数量X服从泊松分布，分布的参数(期望)为10。假设可预约时段的总个数T=20。根据以往的文献分析^[16]，进行预约的居民爽约的平均可能性约为25%，而当天到达的居民不参与服务的平均可能性约为15%。因此，在数值仿真分析中，选取ρ₁=0.0~0.3，ρ₂=0.0~0.2。根据文献[12, 14]，对于预约类服务而言，在预约阶段，有居民进行预约的概率α(s_t)应先线性增加后线性减小，转折点是0.2T，本文假设其随着时段t的变化趋势满足表达式

$ \qquad\alpha \left( {{s_t}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{4\left( {t - 1} \right)}}{{15}}},&{1 {\text{≤}} t {\text{≤}} 4}; \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - \left( {t - 20} \right)}}{{20}}},&{4 {\text{＜}} t {\text{≤}} 20}{\text{。}} \end{array}} \end{array}} \right. $

而 $\beta \left( {{s_t}} \right)$ 是关于s_t的线性非减函数，且有 $\beta \left( {{s_t}} \right) = $ ${\beta _t}{s_t}$ ，本文假设

$ \qquad{\beta _t} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2\left( {t - 1} \right)}}{{15{k_1}}}},&{1 {\text{≤}} t {\text{≤}} 4}; \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - \left( {t - 20} \right)}}{{20{k_1}}}},&{4 {\text{＜}} t {\text{≤}} 20}{\text{。}} \end{array}} \end{array}} \right. $

其中，k₁的取值为 $\left[ {\dfrac{k}{{1 - {\rho _1}}}} \right]$ 。其他参数，根据实际调研，居民对这类服务可接受的收费范围为15~30元。因此，在数值仿真分析中，假设提前预约的服务价格为15~20元/人，当天到达的服务价格为20~30元/人。此外，假设l₁=15，l₂=15，c=10。

以下先假设r₁=15、r₂=20、ρ₁=0.1和ρ₂=0.1。根据模型式(1)和式(3)以及求解任意时段t所对应的s_t^*式(6)，结合定理利用Matlab求解几个不同预约时段(t=1,5,10,15,20)下运营商的收益差 $\Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)$ 与预约状态s_t的关系，结果如图1所示。

从图1可知，收益差 $\Delta {R_{t - 1}}\left( {{s_{t - 1}}} \right)$ 为关于s_t的非增函数，且随着预约时段t的增加，收益差曲线的降低幅度逐渐趋于平稳，例如，当t≥10时， $ \Delta {R_{t - 1}}$ $\left( {{s_{t - 1}}} \right) {\text{≥}} 0$ 恒成立，即在越往前的预约时段内，只要有居民预约就会为运营商带来正收益，所以在不超过额定服务容量的情形下运营商会选择直接接受预约请求。此外，由图可得，当t=1时，为预约的居民分配的最优容量 $s_t^* $ =13。因此，如果此时有居民进行预约，运营商只需依据比较实际的预约数量s_t与最优预约数量 $s_t^* $ 的大小来决定是否要接受这项预约，即若0≤s_t＜13，运营商会接受预约请求，反之则拒绝。

本文考虑了当天到达的居民会因为预约价格优惠政策等原因而不在当天参与服务的情形，即存在ρ₂≥0。此处假设当天到达的居民不参与服务的情形也称作“爽约”。对于爽约情形，图2给出了不存在爽约(ρ₁=0.0、ρ₂=0.0)、只存在1种爽约(ρ₁=0.2、ρ₂=0.0和ρ₁=0.0、ρ₂=0.1)和2种爽约均存在(ρ₁=0.2、ρ₂=0.1)4种情形下，对于任意预约时段t的最优预约人数的对比。由图可知，越接近服务当天，存在爽约情形下居民的最优预约人数大于不存在爽约的情形，且2种爽约情形均存在时的最优预约人数要大于只存在一种爽约的情形。此外，在只存在一种爽约情形下，前期爽约情形下的最优预约人数要大于当天不参与服务的情形。因此，在存在爽约情形下，运营商会选择尽量多接受提前预约的居民，以此来缓解因取消预约和爽约对运营商的收益所带来的负面影响。

图2分析了是否存在爽约情形下任意预约时段的最优预约人数的变化趋势，表2和表3则分别给出了只存在一种爽约的情形下，改变另一种爽约情形的概率大小对最优预约人数的影响。其中，表2固定当天爽约概率ρ₂=0，改变前期爽约概率(ρ₁=0.0~0.3)，表3固定前期爽约概率ρ₁=0，改变当天爽约概率(ρ₂=0.0~0.2)。从两表可以看出，对于任意预约时段t，可以接受预约请求的居民的最优预约人数随着爽约概率的增加而增加。例如，在表2中，当t=3时，随着ρ₁的增大，最优预约人数从10增加到16。同理，表3也有类似的结果。因此，在爽约概率较大时，运营商会选择接受更多居民的预约请求，这样既能提高这类服务的参与度，又能减轻因爽约而对运营商的收益带来的负面影响。

以上通过对模型参数进行赋值得到了在不同类型的爽约及不同爽约概率的情形下运营商的最优预约方案。下面通过灵敏度分析探讨在不同类型爽约概率下，改变服务单价参数值的大小对最优预约人数的影响，假定其他参数值不变，预约时段以t=1为例。表4和表5分别给出了不同爽约概率下，改变服务单价对最优预约人数的影响。其中，表4假设当天爽约概率ρ₂=0，给出改变服务提前预约的居民的单价对最优预约人数的影响；表5假设前期爽约概率ρ₁=0，给出改变服务当天到达的居民的单价对最优预约人数的影响。从表中可知，服务单价一定时，爽约概率较小，则运营商应当接受较少的预约人数，反之则接受更多的预约人数以缓解爽约的影响；当爽约概率一定时，提高服务提前预约的居民的单价则为提前预约的居民分配更多的容量，反之，提高服务当天到达居民的单价则为提前预约的居民分配更少的容量。例如，在表4中，当r₁=16时，随着前期爽约概率ρ₁的增加，最优预约人数从10增加到16；当ρ₁=0.15时，随着服务单价r₁的增加，最优预约人数从12增加到13。同理，表5也有类似的结果。

通过数值仿真分析可得，在考虑取消预约和爽约的情形下，运营商可以根据实际运营情况选择在合理范围内适当调整服务单价来提高居民的满意度和参与度，以此实现这类服务未来的可持续运营。

4 结论

本文分析了居民对社区健康服务中心预防保健服务的参与情况，采用预约过程模拟这类服务的运营过程。综合考虑了居民会取消预约和爽约的情形，通过刻画运营商的累计服务收益来决策如何将有限的服务容量合理分配给提前预约和当天到达的居民，决策在各个预约时段的最优预约人数，以减少不必要的加班时间以及空闲时间的损失，最大限度提高服务的居民人数，在实现参与度最大化的同时使得运营商的累计服务收益最大化。本文将预约纳入这类服务的运营策略，考虑到这类服务不是普通的医院疾病挂号就诊或住院服务，为了均衡社区健康服务中心的服务资源，使得社区健康服务中心能实现供需匹配，设置提前预约的价格比当天预约的价格低，且假设当天到达的居民可以选择不参与服务以体现这类服务的特殊性，并在不同参数设置下通过数值仿真的形式给出具体的动态运营方案。本文通过建模和数值仿真提出的最优预约策略为动态预约策略，该策略能够反映实际的预约过程，有可操作性和实用性，运营商可以借此搭建一个服务运营预约系统，依托此运营策略对居民的预约行为做出判定，这对处理社区健康服务中心预防保健服务的运营策略具有借鉴和参考价值。

本文的这些研究未来可以在以下几个层面进行拓展研究。1) 研究居民对预防保健服务的需求，从实证的角度或定量分析影响居民参与这类服务的因素，从服务设计的角度探讨这类服务的运营模式；2) 本文主要考虑的居民的行为因素包括取消预约、前期爽约和当天不参与服务，尚未考虑到居民的其他一些行为因素，例如不准时行为等，此外，本文假设在一个预约时段内，最多只有一个居民进行预约或者取消预约这类服务，在未来的研究中，可以假设在同一个时段内可以有多个居民提出预约请求，构建新的收益模型；3) 由于研究条件和环境的限制，本文的数值实验只是在抽样调查的基础上设定参数，求解具体的运营策略，并未将该策略应用于实际的运营环境中，进行实际数据的测试与验证，这也是未来值得研究的地方。