对于不可修系统或总是经历完美修理的可修系统，系统失效间隔时间可以假定是独立同分布的^[1]。寿命分布模型，如威布尔分布、伽马分布和对数正态分布可用于它们的失效建模。对于可修系统(如车辆)，其失效间隔时间一般不可以假定是独立同分布的，故常用失效计数(即失效点过程)模型来描述，如齐次或非齐次泊松过程模型。泊松过程模型可由平均累积函数(mean cumulative function，MCF)或失效强度函数^[2]来描述。典型的平均累积函数有幂律(power law)模型^[3]和对数线性(Loglinear)模型^[4]。

系统随着使用而不断劣化，其劣化速度随着时间的推移会逐步加快。保养或维护是一种预防维修。它有利于减缓系统的劣化。通过对比保养前后的失效强度，可以评价预防维修的质量。当前，各行各业大量地引入外包维修。在这种背景下，维修质量评价已成为一个重要的研究课题。

已有很多研究涉及维修质量评价。张国凤和蒋仁言^[5]使用变点方法评价了公共汽车二级保养的效果。陈勇刚^[6]开发维修质量指标并用于优化飞机维修计划。刘元鹏等^[7]提出评价汽车维护质量的指标，并用于评定汽车维护质量等级。王永攀等^[8]建立了相控阵雷达的维修质量评价指标体系，并验证了该指标体系和评价方法的有效性。文献[9-10]提出了质量控制和预防维修的联合策略。配件质量影响维修质量。为了加强汽车维修市场的规范化管理，2008年杭州市出台了《杭州市机动车配件质量保证和追溯制度》，建立了机动车配件追溯平台。

当用最小二乘法拟合失效点过程时，由于靠近预防维修时间的失效数据含有更多的关于该点的失效强度的信息，故应赋予这些点更多的重视。为此，本文用一个与正态密度函数成比例的权函数来反映不同时间失效数据的重要性。用加权最小二乘法将现场数据拟合到幂律模型，以定量评价预防维修的质量。本文所述模型可看作文献[5]的模型的扩展。

1 经验平均累积函数

假设修理时间是可以忽略的，失效过程可以被简化为点过程。如图1所示，在时间 $\tau $ 内完成了一个预防维修(例如车辆的二级保养)。

考虑 $m$ 个名义相同且独立工作的可修系统，假设第 $i$ 个系统的失效点过程为

$\quad\quad\left\{ {{t_{ij}};1 {\text{≤}} i {\text{≤}} m,1 {\text{≤}} j {\text{≤}} {n_i}} \right\}{\text{。}}$

(1)

这里， ${t_{ij}}$ 表示第 $i$ 个系统的第 $j$ 次失效的时间。令 ${N_i}(t)$ 记第i个系统在 $\left[ {0,t} \right]$ 内的失效次数。对于任意的时间t， ${N_i}(t)$ 为随机变量。对所有系统的失效时间从小到大排序，并记为

$\quad\quad\left\{ {{t_k},1 {\text{≤}} k {\text{≤}} N} \right\}{\text{。}}$

(2)

令 $M(t)$ 为一个系统在 $\left[ {0,t} \right]$ 内失效次数的期望值，即

$\quad\quad M(t) = E[N(t)],$

(3)

显然，

$\quad\quad M(t_k^ - ) = M(t_{k - 1}^ + ),M(t_k^ + ) = M(t_{k - 1}^ + ) + 1/s({t_k}),M(t_0^ + ) = 0{\text{。}}$

(4)

这里 $s({t_k})$ 为在 ${t_k}$ 时刻仍在运行的系统的数目。由式(4)可知，平均累积函数在 ${t_k}$ 时刻存在跳跃，为保持其平滑性，定义经验平均累积函数为

$\quad\quad M({t_k}) = [M(t_k^ - ) + M(t_k^ + )]/2{\text{。}}$

(5)

2 预防维修质量评价方法

采用幂律模型来近似地描述一个失效点过程。它适合于描述经验MCF的形状大体上是凹的或凸的的情况^[11-12]。幂律模型可表示为

$\quad\quad M(t) = {(t/\eta )^\beta }{\text{。}}$

(6)

其中 $\beta $ 为形状参数， $\eta $ 为尺度参数。为简便起见，有时将 $1/{\eta ^\beta }$ 写作为 $\alpha $ 。

可修系统的可靠性可以用失效发生率来描述。失效发生率是系统在单位时间内的平均失效次数，即平均累积函数的微分，并记为 $m(t)$ 。对于幂律模型，有

$\quad\quad m(t) = (\beta /\eta ){(t/\eta )^{\beta - 1}},$

(7)

参见图2，设想在时间 ${\tau _i}$ 完成了一个预防维修(例如车辆的二级保养)，在 ${\tau _i}$ 之前和之后的失效发生率分别为：

$\quad\quad m(t){\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l} {m_i}({\tau _i}),{\rm{ }}t \in ({\tau _i} - \Delta t,{\tau _i}); \\ {m_{i + 1}}({\tau _i}),{\rm{ }}t \in ({\tau _i},{\tau _i} + \Delta t){\text{。}}\end{array} \right.$

(8)

其中， $\Delta t$ 可取为车辆维修的质保期。

可以使用最小二乘法拟合在 $({\tau _{i - 1}},{\tau _i})$ 内的失效观察，建立下面的幂律模型。

$\quad\quad{M_i}(t) = {\alpha _i}{t^{{\beta _i}}}{\text{。}}$

(9)

在时间 $\tau _i^ - $ 的失效发生率可用区间平均失效发生率来近似。

$\quad\quad{m_i}({\tau _i}) = {\alpha _i}\frac{{[\tau _i^{{\beta _i}} - {{({\tau _i} - \Delta t)}^{{\beta _i}}}]}}{{\Delta t}}{\text{。}}$

(10)

类似地，拟合在 $({\tau _i},{\tau _{i + 1}})$ 内的失效观察，建立以下幂律模型。

$\quad\quad{M_{i + 1}}(t) = {\alpha _{i + 1}}{(t - {\tau _i})^{{\beta _{i + 1}}}}{\text{。}}$

(11)

在时间 $\tau _i^ + $ 的失效发生率亦可用以下区间平均失效发生率来近似。

$\quad\quad{m_{i + 1}}({\tau _i}) = {\alpha _{i + 1}}\Delta {t^{{\beta _{i + 1}} - 1}}{\text{。}}$

(12)

该预防维修前、后的失效发生率的变化程度可用差值 $\Delta m$ 来表示：

$\quad\quad\Delta m = {m_i}({\tau _i}) - {m_{i + 1}}({\tau _i}){\text{。}}$

(13)

$\Delta m$ 越大表示预防维修的效果越好。也可以用相对值 $\Delta m/{m_i}({\tau _i})$ 评价预防维修的效果。

3 参数估计方法

幂律模型的参数可用普通最小二乘法来估计。参数的最小二乘估计通过最小化以下的平方误差和(SSE)来获得。

$\quad\quad{\rm{SSE}} = \sum\limits_{k = 1}^N {[M} ({t_k};\beta ,\eta ) - M({t_k}){]^2}{\text{。}}$

(14)

使用Excel的规划求解(Solver)找参数的最小二乘估计。

在区间 $({\tau _{i - 1}},{\tau _i})$ 或 $({\tau _i},{\tau _{i + 1}})$ 内的失效过程的MCF可能有复杂的形状。为了更好地估计 ${m_i}({\tau _i})$ 和 ${m_{i + 1}}({\tau _i})$ 的值，引入一个权函数 $w({t_k})$ $ \in (0,1]$ ，使用加权最小二乘法来估计模型参数。参数的加权最小二乘估计通过最小化以下的加权的平方误差和来获得。

$\quad\quad{\rm{SS}}{{\rm{E}}_w} = \sum\limits_{k = 1}^N {w({t_k})[M} ({t_k};\beta ,\eta ) - M({t_k}){]^2}{\text{。}}$

(15)

现在考虑权函数的表达式。给靠近 ${\tau _i}$ 的数据点以更大的权值；而对那些远离 ${\tau _i}$ 的数据点其权重将趋于0。以下权函数符合这些要求。

$\quad\quad w(t) \!=\! \exp \left[ \!-\! \frac{{{{(t \!-\! \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}\right] \!=\! \sqrt {2\pi } \sigma \phi (t;\mu ,\sigma ),0 {\text{＜}} t {\text{≤}} \mu{\text{。}\!\!\!\!\!} $

(16)

其中， $\phi ( \cdot )$ 是均值为 $\mu $ ，标准差为 $\sigma $ 的正态密度函数。取 $\mu = $ ${\tau _i}$ ，并按文献[13]的方法确定 $\sigma $ 的值。具体地， ${n_w} = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^{{n_i}} {w({t_k})} $ 可视为等效样本量，随 $\sigma $ 的增大而增大。由于幂律模型有2 个参数, 因此 ${n_w}$ 应大于2；为使方法适用于样本量为3的情况， ${n_w}$ 必须小于3。因此，文献[13]取 ${n_w} = 2.5$ 。这样 $\sigma $ 的值通过解方程 $\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^{{n_i}} {w({t_k})} = 2.5$ 来确定。图3显示一条典型的权函数曲线。

4 算例

此算例的数据来源于长沙市某公交公司维修保养数据库。从中选取26辆同型号并于同一时间投入使用，且运行于同一线路的公交车辆作为研究对象，评价其二级维护的质量。分析这些车辆从2006年9月1日至2009年12月31日的失效和维修记录，提取车辆在二级保养前后的失效时间(累积运行天数)和保养时间的信息。表1给出了序号为1和13的两辆车的二级保养和失效时间数据。

图4显示了1号车保养前后的经验平均累积函数。由图可见，经验MCF曲线既不是凹的，也不是凸的。这意味着从整体上讲幂律模型并不恰当。然而，在保养前后的一个小的时间区间内，MCF曲线可由幂律模型近似。加权方法和幂律模型的结合能确保找到一个保养前后失效强度的合理估计。

根据《机动车维修管理规定》^[14]，汽车二级维护质量保证期为车辆行驶5 000 km或者30 d。因此，取 $\Delta t = 30$ d。表2给出了基于普通最小二乘法获得的评估结果；表3给出了基于加权最小二乘法获得的评估结果。

图5显示了从两种不同的参数估计方法所得到的 $\Delta m$ 的值。其中，左边的值为从普通最小二乘法所得到的 $\Delta m$ 值,右边的值为从加权最小二乘法所得到的 $\Delta m$ 值。从图中可以看出：

1) 使用普通最小二乘法，有9辆车的 $\Delta m$ 为负，意味着二级保养的有效性仅为65%。使用加权最小二乘法，有5辆车的 $\Delta m$ 为负，意味着二级保养的有效性为81%。后者的结果显得更合理。这说明加权方法能更好地评价预防维修质量。

2) 从加权最小二乘法所得 $\Delta m$ 值在一个大的范围内变化，意味着二级保养的效果很不稳定。因此，应加强维修质量控制工作。另一方面，估计的 $\Delta m$ 值可能对 $\sigma $ 敏感。因此， $\sigma $ 的选择问题值得进一步的深入研究。

5 结论

本文研究了公共汽车二级保养质量评价的问题。所采用的方法是一个加权最小二乘法与幂律模型相结合的复合方法。实例表明，与普通最小二乘法相比，加权方法能找到一个保养前后失效强度的更合理估计，从而为评价维修质量提供了一个新的手段。实例也表明，二级保养的维修效果有显著改进的空间。因此，加强维修质量控制大有可为。

一个值得进一步深入研究的课题是权函数的 $\sigma $ 参数的最优选择问题，包括 $\Delta m$ 对 $\sigma $ 的敏感性分析。