芯片堆叠是实现存储卡类产品提高存储容量的主流技术之一。在存储卡外形尺寸固定的情况下，解决芯片堆叠高度限制的方法就是将堆叠的芯片厚度减薄。就Micro SD卡1 mm厚度的空间而言，以三星25 μm厚度的Chip为例，排除PCB板、模具厚度等因素，堆叠层数极限可达到8层或9层。但是，随着晶圆尺寸的增大，在芯片减薄的工艺阶段，必然会出现芯片碎裂和晶圆翘曲、不平整等问题，导致产品成品率的下降。因此，如何在晶圆减薄后，对抽样的样本数据进行统计分析，捕捉晶圆减薄工序的主要变异来源，对于提高和改进晶圆减薄工序的质量控制具有重要的实用意义，这也是多工序制造系统当前所面临的重大挑战之一^[1]。

通常，统计质量控制是基于过程的观测数据满足统计独立且服从同分布的假设，而实际工作中，过程数据并不是总能满足彼此统计独立的假设前提。特别是在多工序制造过程中，本工序制造的质量控制参数是由本工序与上一道工序质量共同决定。此时，采集到的数据往往会存在数据自相关，传统的统计过程控制理论不能有效、恰当地控制过程质量，若使用控制图将会出现大量的误报。Vasilopoulos等^[2]对数据建立自回归二阶，修正了休哈特控制图，重新计算受控状态均值的方差，使得控制图控制限之间的宽度适合于自相关过程中样本均值的方差和样本标准差的方差。文献[3-4]分别同时证明了在观测数据是具有自相关的特征情况下，通过观测数据得到的控制图效果较差，特别是在正常生产情况下，会出现较多误报。文献[5]研究表明，在有限样本下，可以用小波方法构造的检验量来检测方差中的变点。

在实际晶圆生产过程中，在经过晶圆减薄工艺工序后会对每个产品进行质量检验，厂方发现当前生产过程每个批次都会出现较多的误报。通过，研究晶圆减薄工艺生产过程质量检测数据得出，该数据具有一定的自相关性。符合文献[3-4]证明的假设前提，拟采用时间序列的分析方法，建立该参数自回归滑动平均模型，重新计算质量控制图的上下限。结合误差流理论与多尺度估计理论对质量控制参数的方差变化使用累积和方法分析，获得产品质量参数的方差变化进行监控。

1 减薄工艺生产过程质量控制与建模分析

半导体减薄工艺是在芯片外形尺寸固定的情况下，解决芯片堆叠高度限制的常用方法。堆叠过程中，减薄工序通常是同一台磨床对一批晶圆连续减薄后，再堆叠。因此，每个晶圆减薄的质量与上一个晶圆加工完后，砂轮的磨损情况、定位角度变化等干扰因素相关，具有一定的误差传递性。如何在晶圆减薄后，对样本数据进行统计分析，捕捉晶圆减薄工序的主要变异来源，对于提高和改进晶圆减薄工序的质量控制具有重要的实用意义。

本文采用数据驱动的统计质量分析方法，针对正常生产中，该工序质量出现误报较多的问题，分析其出现误报的原因，并在此基础上建立自回归滑动平均模型，提出使用基于多尺度理论的方差变化检测方法，对生产过程中的方差变化原因进行讨论。

1.1 工序质量表达与建模

当前生产中，大部分的加工过程都是多工序生产过程，随着加工工序顺序地进行，输入加工系统的坯件误差就转换成输出的产品误差。这个输入加工系统的坯件误差有序地变换为产品误差的变化过程就称为加工误差的流动^[1](简称误差流)，它表征了制造过程中误差的形态变化，是制造系统不可逆过程中不断变化的广义流。这种坯件误差按照加工顺序依次通过各道工序，有序地变换为产品误差的过程就是多工序生产过程中误差传递的过程。在多工序制造过程中，随着加工工序的顺序进行，加工误差经过各道工序转换并发生变化的规律就称为误差传递规律。

一般单道工序的质量偏差可以分为2部分：一部分是上道工序传递的误差 ${u_i}$ ；另一部分是本工序固有的加工误差 ${e_i}$ 。如式(1)，在大部分情况下，可以认为这两者是相互独立的。因此，正常情况下， ${E_i} \!\sim\! N(0,\sigma _{{u_i}}^2 + \sigma _{{e_i}}^2)$ ，其中， ${u_i} \!\sim\! N(0,\sigma _{{u_i}}^2)$ ， ${e_i}\! \sim \!N(0,\sigma _{{e_i}}^2)$ 。

$\quad\quad{Y_i} = f({x_i}) + {E_i}{\text{。}}$

(1)

其中， $\sigma _{{u_i}}^2$ 和 $\sigma _{{e_i}}^2$ 分别为两种加工误差的方差。式(1)为第i道工序的输出函数，E_i为该工序的制造偏差。

若是质量出现异常，则会有以下2类错误：

1) 上道工序方差变大，即 ${u_i}\! \sim\! N(0,{\delta _u}\sigma _{{u_i}}^2),{\delta _u} {\text{＞}} 1$ ；

2) 本道工序方差变大，即 ${e_i} \sim N(0,{\delta _e}\sigma _{{e_i}}^2),{\delta _e} {\text{＞}} 1$ 。

不论哪类错误，方差变小意味着最终质量的提高。为了讨论简便，认为这种情况不属于讨论范围。综上所述，过程质量模型如图1所示。

1.2 质量变化检测原理与模型分析

多尺度估计理论(multiscale estimation theory, MSET)把基于模型的动态系统分析方法与基于统计特性的信号多尺度变化和分析方法相结合，将小波变化作为连接在不同尺度上模型和信号的桥梁，进而使动态系统模型信息加入了多尺度系统理论。将传统的基于测量值分析的过程监控技术转化为基于状态估计值的过程监控策略。相比传统的方法具有较少的误报率与更好的稳定性。使用该方法可以对采集的信号进行任意尺度上的重构或分解，从而获得对信号在不同尺度的描述^[6]。该理论利用了小波变换的多尺度解析分析最大优点——不同的解析度都可以分解为一嵌套系列的闭合子空间^[7]，即如果原始数据集合 $Y = [{y_1},{y_2},...,{y_n}] \in {V_n}$ ，n为最大分解层次，那么数据集合 $Y$ 应该满足式(2)。

${V_n} = {V_{n - 1}} \oplus {W_{n - 1}} = ... = {V_0} \oplus {W_0} \oplus {W_1} \oplus ... \oplus {W_{n - 2}} \oplus {W_{n - 1}}{\text{。}}$

(2)

其中， $ \oplus $ 运算符定义为一次分解运算。通常，分解层次并不需要达到最大分辨等级，只需根据应用分解至合适的尺度即可。在本文中，分解层次只要达到可以检测到过程参数的变化即可。对于一般的时间序列，选用Haar变换作为滤波器，则能更好地适应计算机运算的需求，更加贴近计算机语言。因此小波变化的滤波器结构如图2所示。

图2中，h_i与l_i为第i级的相应高通与低通滤波器，离散小波变换具体定义如式(3)，Haar小波变换的尺度函数与母小波如式(4)。

$\quad\quad y(t) = \sum\limits_{k \in Z} {{c_{j,k}}{\phi _{j,k}}(t) + } \sum\limits_{n = - \infty }^j {\sum\limits_{k \in Z} {{d_{n,k}}{\psi _{n,k}}(t)} }{\text{。}} $

(3)

其中， ${\phi _{j,k}}(t) \!=\! {2^{ - j/2}} \cdot \phi ({2^{ - j}}t - k)$ ； $\phi (t) \!=\! \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,\;\;\;0 {\text{＜}} t {\text{＜}} 1;}\\ {0,\;\;\;{\rm{otherwise}}{\text{。}}} \end{array}} \right.$

${\psi _{j,k}}(t) = {2^{ - {j / 2}}} \cdot \psi ({2^{ - j}}t - k);\psi (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;1,\;\;\;0 {\text{＜}} t {\text{＜}} 1/2;}\\{ - 1,\;\;\;1/2 {\text{＜}} t {\text{＜}} 1;}\\{\;\;\;0,\;\;\;{\rm{otherwise}}{\text{。}}}\end{array}} \right.$

(4)

则使用Haar基的迭代多尺度分解，尺度系数 $ c_{i,k}^y $ 与高频参数尺度信号 $ d_{i,k}^y $ 可以由式(5)、(6)获得。如果过程质量变化发生在时间n且 $ n \geqslant {2^j} $ (j是使用分辨率)，则由式(5)、(6)计算获得的系数可以用于作为在线过程质量的检测。因此，使用小波参数构造质量检测控制图可以达到与过程模型无关检测质量变化的目的。

$\quad\quad c_{i,k}^y = [({y_k} + \cdots + {y_{k - {2^i} + 1}})]/{2^{{i / 2}}} ,$

(5)

$d_{i,k}^y = [({y_{k - {2^i} + 1}} + \cdots + {y_{k - {2^{i - 1}}}}) - ({y_{k - {2^{i - 1}} - 1}} + \cdots + {y_k})]/{2^{{i / 2}}} {\text{。}}$

(6)

对于一个时间序列或者确定性随机系统来说，其自相关函数的傅里叶变换可以有效地显示过程输出在各个频带上的方差变化。若过程模型是ARMA(m, n)模型，其自相关谱更可以表示为式(7)，其中， ${\varDelta _t}$ 为采样时间间隔， $\omega $ 为角频率，每单位时间的范围为( $ - \displaystyle\frac{{\text{π }} }{{{\varDelta _t}}} {\text{≤}} \omega {\text{≤}} \displaystyle\frac{{\text{π }} }{{{\varDelta _t}}}$ )；若过程模型为未知，自相关谱可以使用采样自协方差的傅里叶变换获得。根据第2.1节的分析可知，两种质量误差可被假定为服从高斯白噪声的正态分布，因此其全频段的自相关谱可以表达为式(8)。

$\quad\quad f_0^y(\omega ) = \frac{{{\varDelta _t}\sigma _x^2{{\left| {{{\rm{e}}^{mi\omega {\varDelta _t}}} - {\theta _1}{{\rm{e}}^{(m - 1)iw{\Delta _t}}} - \cdots - {\theta _m}} \right|}^2}}}{{2{\rm{{\text{π}} }} {{\left| {{{\rm{e}}^{ni\omega {\varDelta _t}}} - {\phi _1}{{\rm{e}}^{(n - 1)iw{\varDelta _t}}} - \cdots - {\phi _n}} \right|}^2}}},$

(7)

$\quad\quad f_0^e(\omega ) = \frac{{{\varDelta _t}\sigma _e^2}}{{2{\rm{{\text{π}} }} }}{\text{。}}$

(8)

由上文讨论可知，针对两类质量异常导致的方差变化，其变化前后自相关谱比率可以使用式(9)、(10)描述。

$\quad\quad\frac{{F_{H_1^1}^y(\omega )}}{{F_{{H_0}}^y(\omega )}} = \frac{{\delta _u^2f_0^u(\omega ) + f_0^e(\omega )}}{{f_0^u(\omega ) + f_0^e(\omega )}},$

(9)

$\quad\quad\frac{{F_{H_1^2}^y(\omega )}}{{F_{{H_0}}^y(\omega )}} = \frac{{f_0^u(\omega ) + \delta _e^2f_0^e(\omega )}}{{f_0^u(\omega ) + f_0^e(\omega )}}{\text{。}}$

(10)

由式(9)与(10)可知方差变化率会被单道工序误差的自相关谱与上道工序误差自相关谱影响。因此，分析这种影响，可以获得两种误差引起的方差变化情况。又由于小波变化能将检测信号分解为高频与低频两部分，直接对高频部分分析可以获得方差信息的变化。

1.3 状态估计值与测量值方差变化的关系

Haar变化的频率响应分析可以知道，高通滤波器用于产生高频参数，并且会限制低频部分。因此，通过高通滤波器可获得求解出高频参数的相关信息。

由式(10)可知，若忽略上道工序传入的误差，则方差变化将会作用在所有频段，如式(11)。此时，由式(11)可以得出：在任意分辨率的等级内，高频参数将可以检测出方差变化。实际中，上道工序传入的误差是不可忽略的，同时，该误差会降低当前工序的误差变化率。因此，可以通过选择最优的分解层次获得最大的方差变化率。

$\quad\quad\frac{{F_{H_1^2}^e(\omega )}}{{F_{{H_0}}^e(\omega )}} = \delta _e^2{\text{。}}$

(11)

同理，可得式(12)。

$\quad\quad\frac{{F_{H_1^1}^u}}{{F_{{H_0}}^u}} = \delta _u^2{\text{。}}$

(12)

由式(6)可知，高频参数是测量结果数据的线性组合，本道工序的方差将叠加在所有层次上，因此， $ d_{i,k}^y $ 的分布函数为式(13)。若上道工序方差发生变化，则 $ d_{i,k}^y $ 的分布函数变为式(14)。

$\quad\quad{d_{j,k}} \sim N(0,{\rho _j}\sigma _u^2 + \sigma _e^2),$

(13)

$\quad\quad{d_{j,k}^{{y}}} \sim N(0,\delta _u^2{\rho _j}\sigma _u^2 + \sigma _e^2){\text{。}}$

(14)

则高频参数的方差变化率为式(15)，其中， ${\xi _j} = {\rho _j}\sigma _u^2/\sigma _e^2$ 。

$\quad\quad\delta _{{d_j}}^2 = \frac{{\sigma _{{d_{j,k|{H_1}}}}^2}}{{\sigma _{{d_{j,k|{H_0}}}}^2}} = \delta _u^2 - \frac{{\delta _u^2 - 1}}{{1 + {\xi _j}}}{\text{。}}$

(15)

基于式(15)可知，由于 $\delta _u^2 {\text{＞}} 1$ ，因此 $\delta _{{d_j}}^2 {\text{≤}} \delta _u^2$ ，在最优分辨率j可以获得 ${\xi _{j*}}$ 最大，此时得到最大比率 $\delta _{{d_j}}^2$ 。

类似，可以获得在第2类错误中，高频参数的方差变化率可表示为式(16)。基于式(16)可知，由于 $\delta _e^2$ 大于1，在最优分辨率j可以获得 ${\xi _{j*}}$ 最小，此时得到最大比率 $\delta _{{d_j}}^2$ 。

$\quad\quad\delta _{{d_j}}^2 = 1 + \frac{{\delta _e^2 - 1}}{{1 + {\xi _j}}}{\text{。}}$

(16)

综上所述，在一个高阶动态系统中，一个最大 ${\xi _{j*}}$ 对应的最高能量高频参数应接近于系统响应的特征频率。因此，用于检测第1类错误，通常只需经过几步分解层级即可得到对应的 $j*$ 。

2 数据验证

晶圆(wafer)减薄是进行芯片堆叠封装过程中的关键工序之一。实际生产中，一般是在一个批次产品中抽取若干个晶圆进行检验，通过质量控制图筛选合格产品。根据晶圆减薄工序后样本的样本质量，对磨片后的晶圆厚度质量进行检测。文中，从某半导体厂家获取2组连续生产的，减薄工艺完成后的晶圆厚度测量值。第1组数据是可控生产过程产品数据，第2组产品是出现缺陷产品测量数据。其归零后测量值图如图3所示。

2.1 减薄工艺质量数据的ARMA模型验证

以可控生产过程质量数据为参考，建立减薄工艺的统计模型。针对连续生产过程，考虑使用时间序列分析方法对数据建立统计模型。分析该生产过程发现，过程质量数据呈现平稳，无明显趋势变化，因此考虑使用自回归滑动平均模型(autoregres- sive moving average model，ARMA模型)描述。该模型是由Box等在20世纪70年代提出的经典时间序列模型。其一般形式为

$\begin{split}&\quad\quad{Y_t} - {\varphi _1}{Y_{t - 1}} - {\varphi _2}{Y_{t - 2}} - \cdots - {\varphi _p}{Y_{t - p}} =\\&{\varepsilon _t} + {\theta _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\theta _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \cdots + {\theta _q}{\varepsilon _{1 - q}}{\text{。}}\end{split}$

(17)

其中， $\left\{ {{Y_t}} \right\}$ 为平稳序列； $\left\{ {{\varepsilon _t}} \right\}$ 为独立同分布随机变量序列；非负整数p称为自回归阶数； $\left\{ {{\varphi _1},{\varphi _2}, \cdots {\varphi _p}} \right\}$ 为自回归系数；非负整数q称为滑动平均阶数； $\left\{ {{\theta _1},{\theta _2}, \cdots , {\theta _q}} \right\}$ 为滑动平均系数。

由ARMA模型的定义可知，使用该模型必须先对时间序列数据的进行相关分析。首先，检验序列观测值之间是否存在相关性，即纯随机性检验。如果序列数据之间不存在任何的相关性，将无法使用ARMA模型对其建模分析。构造统计量Q，如式(18)，其中， ${\hat \rho _l}$ 为自相关系数； $N$ 为样本个数； $k$ 为滞后期，一般取 $ k \approx N/10$ 。通过判断Q是否服从自由度为 $ k $ 的分布 ${\chi^2}$ ，若 $Q {\text{≤}} \chi_{1 - \alpha }^2(k)$ ，则接受随机序列是独立的，不能对随机序列使用ARMA模型分析。现场获得的正常生产采样数据共有84个，选取滞后期为9，得到Q值为78.34大于置信度为95%的 $ \chi _9^2 $ (16.91)，因此认为序列观测样本值之间存在相关性。

$\quad\quad Q = \sum\limits_{l = 1}^k {\left( {\sqrt N {{\hat \rho }_l}} \right)} {\text{。}}$

(18)

如果序列值之间存在相关性，则应继续检验其是否满足平稳性。判断平稳性常用的方法有数据图检验法、自相关偏相关系数图检验法、特征根检验法、逆序检验法和游程检验法等。在完全不了解序列特性的情况下，用游程检验法较为可靠^[9]。游程检验法是通过判断时间序列的值与序列的均值进行比较，获得一个符号序列；从该序列中获取样本数据出现的次序，认为该次序没有明显趋势，则可以认为原序列是平稳的；在符号序列中的每一段连续相同的符号序列叫做一个游程。设序列的长度为N，N₁和N₂分别是记号序列中“+”与“–”连续出现的次数，游程总数为r。当r＞15，N足够大时，可以构造统计量Z，如式(19)，判断统计量Z是否服从正态分布。对采样数据进行分析，可得N₁=65，N₂=10，r=18， $\left| Z \right| = 0.6817 {\text{≤}} 1.96$ ，即对于显著性水平0.05，可以接受统计量Z是服从正态分布，即原序列是平稳的。

$\quad\quad Z = \frac{{r - E\left( r \right)}}{{\sigma \left( r \right)}}{\text{。}}$

(19)

完成上述2个检验后，认为原序列可以使用ARMA模型描述，使用模型截尾性的特点初步定阶为p=2，q=2。通过使用AIC准则(Akaike Information Criterion)检验，最终确定阶数为p=2，q=1，自回归系数{–0.3273, –0.1203}，滑动平均系数{–0.4275}。

2.2 减薄工艺质量数据的多尺度估计理论应用

减薄工序上道工序正常质量参数服从 $N(0,{0.77^2})$ 分布，认为本道工序的误差也是服从正态分布，即 $\sigma _e^2 = {0.75^2}$ ，进一步计算获得所需多尺度参数。首先，根据式(6)，对数据序列做Haar小波变换。由于模型主频带在1附近，拟做3层小波分解满足检测需求。计算得到 $d_{i,k}^y$ 与 $\sigma _{i,k}^2$ 。由于2组数据是同一类产品的连续生产获得采样获得的，假设这2组数据都服从同一个ARMA模型。根据小波方差的特点， ${\rho _j}$ 应该只与模型相关，与当前测量的质量参数无关。在2组数据做同样小波分解时，应保持不变。根据第1组数据求得 ${\rho _j}$ ，如表1。

经过多尺度变换后的图像如图3所示， $d_{i,k}^y$ 共做了3次分析。原始数据代表现场采集的质量参数，剩下3幅图是按照图2选择的小波滤波器对质量参数变换后的结果。

2.3 减薄工艺质量数据试验结果分析

累积和(cumulative sum, CUSUM)控制图不仅能用来监控过程均值的变化, 而且能用于监控过程变量的变化的，特别是具有检测过程小变动比较灵敏的特点。本文选用累积和控制图对图3进行了分析，根据文献[11]的结论，当测量值 ${y_i}$ 的方差发生变化时，则 $\sqrt {\left| {{y_i}/\sigma } \right|} $ 的均值与方差均发生变化，其中， ${y_i}$ 认为是服从 $N(0,{\sigma ^2})$ ，并针对方差建立统计量 ${v_i}$ ，如式(20)，该统计量服从 $N(0,1)$ 分布，建立单边标准差累积和统计变量 $S_i^ + = \max \left( {0,{\sigma _i} - k + S_{i - 1}^ + } \right)$ 控制图。此时，若方差变大，则统计变量变大，直至超过上限h，其中 $S_0^ + = 0$ 。另外，此处可查表^[10]获得，k=0.5，ARL(0)=300，H=9.5。文献[12]中指出，当同时对均值与标准差使用累积和图时，如果仅仅标准差超过控制范围，可以怀疑为方差发生了变化。但是，如果两个控制图同时指示不受控制，应该被怀疑是均值发生的变化。然后，当一个过程同时存在均值与方差变化时，累计和控制图往往会遗漏均值变化。

$\quad\quad{v_i} = \left( {\sqrt {\left| {{{{y_i}} / {{\sigma ^2}}}} \right|} - 0.822} \right)/0.349{\text{。}}$

(20)

根据式(15)与式(16)的分析得出，最小的 ${\rho _j}$ 对应的小波层次重建序列可以体现最明显的由本道工序误差变化导致的方差变化，最大的 ${\rho _j}$ 对应的小波层次重建的序列应是上道工序误差变化引起的本道工序生产失控。如图4，在第15个采样点左右本道工序生产开始失控；而图5，则清楚地显示，产品线在第10个采样点已经不正常。同样的，由这两个控制图可以看出，由于只提取了质量信息中的高频信号，并不包含均值信息，达到了均值信息与方差信息的分离。从现场采样的实际数据发现，真正出现次品是在第50个采样点以后。可以认为，当出现方差变异后，直到真正导致出现废品之间还正常生产了超过30个产品。

3 结论

随着电子产品朝着轻、薄、短、小及多功能集成化方向的逐渐发展，封装技术在集成电路产品中将扮演着越来越重要的角色。对于存储卡类产品而言，在相当长的一段时间内，芯片堆叠封装技术仍将是提高其存储容量和功能集成的主流技术之一。这对于有外形尺寸要求的存储卡类产品而言，需要对堆叠的芯片进行减薄处理。如何提高减薄工艺质量是现实面临的重大问题，具有很重大的理论与实际意义。本文使用多尺度估计理论，对工艺的质量参数进行了分析，获得了很好的结果。下一步，研究将围绕如何提高方差变化检测的速度，同时，引入均值漂移检测，实现成两种检测的在线诊断。