随着互联网和物流业的纵深发展，线上和线下双渠道开发已经成为了制造商普遍采用的渠道销售模式。然而在迅速增加销售量的同时，在整个供应链系统链条上也面临着成本压力及废旧产品的回收再利用问题^[1]。以苹果公司为例，苹果刚开始的直营店销售模式规模小，效率低，并且成本较高，扩张速度较慢，制约了苹果产品在中国的销售，因此苹果公司为提高产品的销售量开辟了线上销售渠道，形成了线上、线下相结合的营销模式。由于线上销售渠道和线下销售渠道之间运营成本的差异，线上、线下零售商共存所引起的竞争加剧就会造成渠道间冲突，渠道之间存在的不公平厌恶感势必会影响到各自行为决策，并且各决策者在信息不对称情况下均以自身利润最大化为决策目标也会造成整个闭环供应链的损失，出现双重边际化问题^[2]。制造商面对的销售渠道管理问题日益严峻，如何降低成本而更大程度上给渠道伙伴让渡利润成为制造商不得不解决的问题。另外，伴随销售量的不断增加，尤其是电子产品，大量的废旧电子产品造成了稀有金属的浪费以及电子垃圾带来的环境污染等现实问题，根据苹果公司2016年4月15日发布的年度环境报告显示，从废旧的产品中回收了大于60万英镑的钢、铝等金属用于新产品再制造，这在节约资源、达到可持续发展目的的同时也为苹果公司节省了近4 000万美元的生产成本。因此，构建回收再利用的闭环供应链已经成为了制造商解决成本、环境及渠道优化问题的理性选择。那么，渠道零售商之间存在的不公平厌恶感如何影响双渠道闭环供应链中各决策者的定价策略？在不同回收模式下制造商如何抉择使其利润最大化？制造商作为供应链条的主导者如何解决渠道冲突以此实现闭环供应链的协调？为解决以上问题，需要在制造商直接回收和委托第三方回收模式下的双渠道闭环供应链中引入零售商的公平关切行为，以及制定合适的契约实现闭环供应链的优化，从而实现帕累托最优。

针对供应链中双渠道销售模式问题的拓展研究，大都基于国外学者Webb等^[3]和Park等^[4]建立的博弈模型。研究指出，双渠道销售有利于制造商和供应链整体效用的提高，但是零售商的效用却递减。这就造成了零售商与制造商之间的效用冲突，这种冲突源于供应链中渠道的定价策略。对于如何解决渠道定价的冲突问题，Kurata等^[5]指出仅靠批发价契约不可能实现供应链的协调，但是Tsay等^[6]表明可以通过收益共享契约和转移支付合同实现。随着研究的深入，Nagurneya等^[7]将双渠道销售模式扩展到闭环供应链中，基于随机市场需求的情况建立了各厂商的期望利润模型，研究了双渠道闭环供应链的网络均衡问题。另外，针对双渠道闭环供应链的研究，政府是个不可忽视的影响因素，考虑到政府对闭环供应链中废旧品回收的激励因素，Ma等^[8]和Saha等^[9]基于消费者对线上、线下销售渠道偏好的差异研究了政府的补贴行为对双渠道闭环供应链定价策略的影响及补贴前后各厂商利润变化。国内学者在学习和借鉴国外学者研究的基础上进行了拓展。首先，张桂涛等^[10]和李晓靖等^[11]针对双渠道闭环供应链的定价问题的影响因素展开研究，分别发现生产过程中缺陷产品的比例和碳排放指标会影响整个闭环供应链中各决策者的定价和均衡策略。其次，考虑到一些企业在采用双渠道销售模式获利的同时，也会导致供应链竞争和冲突加剧。针对如何缓解渠道冲突与闭环供应链的协调等问题，易余胤等^[12]基于双渠道销售和双渠道回收模式的闭环供应链，分别考虑了销售和回收渠道冲突下通过一种改进的两部收费制契约实现双渠道闭环供应链的协调优化。在此基础上，林杰等^[13]考虑了制造商和零售商分别为博弈的领导者时，两种不同市场力量下各决策者的定价问题。

总结以上关于双渠道闭环供应链的文献大都是假设决策者为完全理性，然而现实生活中，当自身的利润低于其他厂商时会产生不公平厌恶感，效用会降低，进而影响定价策略。因此将公平关切引入到闭环供应链中更能清楚地反映真实的决策。为此，王磊等^[14]和陈宾等^[15]分别考虑了仅制造商公平关切、仅零售商公平关切和双方均公平关切3种情况下双渠道供应链的均衡定价策略和效用，研究表明公平关切会影响各决策者的效用水平，并设计了收益共享契约实现了协调。但该研究仅考虑了传统的双渠道供应链中公平关切行为对各决策者的影响。在此基础上，唐飞等^[16]发现在双渠道闭环供应链中公平倾向问题仍然存在，并且更能体现集中、分散决策下各决策者的行为。该研究仅涉及到了上下游之间的纵向公平偏好。随着研究的深入，学者们发现不仅存在上下游之间的纵向公平关切，零售商之间也存在横向公平关切行为。Wu等^[17]和浦徐进等^[18]基于零售商之间存在竞争行为，同时考虑了零售商横向、纵向公平关切下传统双渠道供应链的均衡策略。然而，现有的研究并未涉及将零售商间横向公平引入到双渠道闭环供应链的定价问题中，这就会引起在整个闭环供应链中对于各决策者定价问题及策略选择认识的不足。

基于以上考虑，本文在借鉴Ho等^[17]、浦徐进等^[18]和郑本荣等^[19]文献的基础上，将线下零售商的横向公平关切引入到双渠道闭环供应链的定价问题中，基于两种不同回收模式分析了线下零售商的横向公平偏好对双渠道闭环供应链中各决策主体的定价策略及利润的影响差异。本文创新性工作主要表现在以下2个方面。1) 在线下零售商具有横向公平关切情况下，分别基于制造商直接回收模式和委托第三方回收模式将传统的双渠道供应链拓展到加入回收再制造环节的双渠道闭环供应链中，考虑了横向公平关切行为对不同回收模式下各决策者定价策略及效用的影响，丰富了以往研究只考虑供应链各主体之间纵向公平关切的情形。2) 针对横向公平关切对各决策者定价及效用的影响，提出通过一种改进的三方收益共享契约，实现了在零售商之间存在横向公平关切时整个闭环供应链的优化协调。

1 双渠道闭环供应链问题描述与基本假设

本文考虑了由一个制造商、线下线上两个零售商组成的闭环供应链,制造商可以选择直接回收模式(由下图1所示)，也可以选择委托第三方进行回收模式(由图2所示)。其中，制造商为寡头垄断，是决定市场价格的领导者，可通过激励渠道、修改渠道决策等措施确保渠道成员间的协调，而零售商、第三方是价格跟随者，各厂商之间进行动态博弈。

具体的假设和参数描述如下。

1) 假设新产品的单位成本为c₁，再制造品的单位成本为c₂，新产品的生产成本高于再制造品，即c₁＞c₂，δ=c₁–c₂表示生产再制造品的单位节约成本。

2) 一般情况下，根据Huang等^[20]的研究可知线上销售成本低于线下销售，假设线下零售商单位销售成本为c_s，线上零售商销售成本为0。

3) 参考Savaskan等^[21]的假设，废旧产品经过回收再制造与新产品在质量、功能等方面同质无差异，消费者对它们的接受程度也相同。并且制造商对于相互独立的线上零售商和线下零售商无价格歧视，批发价同为ω。

4) 假定市场回收率t满足0＜t＜1，所有回收的产品均用于再制造过程，根据Savaskan等^[21]的研究，制造商的平均单位生产成本可表示为： $ \mathop c\limits^ - = (1 - t){c_1} +$ $ t{c_2} = {c_1} - t({c_1} - {c_2}) = {c_1} - \delta t $ 。废旧品的回收成本为C(t)=kt²，其中k为规模参数(k＞0)，可见，回收率越高，回收成本越高，并且当委托第三方回收时，制造商转移支付成本为A。

5) 考虑线上、线下双渠道竞争的销售的模式，参考浦徐进等^[18]的研究，假设线下销售的需求函数为 $ {D_1} = Q - {P_1} + \beta {P_2}({D_1}{\text{＞}}0) $ ，线上销售的需求函数为 $ {D_2} = Q - {P_2} + \beta {P_1}({D_2} {\text{＞}} 0) $ ，其中，Q是潜在市场容量，β是线上、线下销售产品的替代程度(0＜β＜1)。并且，两零售商根据市场需求向制造商批发商品，库存成本为0。

6) 各决策者非完全理性，面对利润分配不均衡会产生公平偏好。

因此，双渠道闭环供应链中各厂商的关系及决策如图1、图2所示。

2 各决策者公平中性时的定价策略

假设制造商和两个零售商都为公平中性，他们不关心利润分配的公平性，都分别以自身利润最大化为目标进行动态博弈。

2.1 制造商直接回收模式下的定价策略

各厂商动态博弈顺序：首先，制造商决定批发价格ω和回收率t；其次，两零售商分别决定其零售价格P₁、P₂。

线下零售商、线上零售商、制造商以及整个供应链系统的利润函数可以表示为：

$ \begin{array}{l}{\varPi _{{{\rm R}_1}}} = ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1},\\{\varPi _{{{\rm R}_2}}} = ({P_2} - \omega ){D_2},\\{\varPi _{\rm{M}}} = (\omega - {c_1}){D_1} + (\omega - {c_1}){D_2} + t\delta ({D_1} + {D_2}) - k{t^2},\\{\varPi _{\rm{T}}} = ({P_1} - {c_1} - {c_{\rm{s}}}){D_1} + ({P_2} - {c_1}){D_2} + \delta t({D_1} + {D_2}) - k{t^2}{\text{。}}\end{array} $

由逆推归纳法可知：

$\qquad \begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} {\varPi _{{{\rm R}_1}}}}}{{\text{∂} {P_1}}} = Q - {P_1} + \beta {P_2} - ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}) = 0,\\[10pt]\displaystyle\frac{{\text{∂} {\varPi _{{{\rm R}_2}}}}}{{\text{∂} {P_2}}} = Q - {P_2} + \beta {P_1} - ({P_2} - \omega ) = 0{\text{。}}\end{array} $

求得：

$ \quad\quad \left\{ \begin{array}{l}{P_1} = \displaystyle\frac{{(2 + \beta )(Q + \omega ) + 2{c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}},\\[10pt]{P_2} = \displaystyle\frac{{(2 + \beta )(Q + \omega ) + \beta {c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}}{\text{。}} \end{array} \right.$

(1)

将式(1)代入到制造商的利润函数中：

$ \begin{split}&\qquad{\varPi _{\rm{M}}} = (\omega - {c_1})\left[ {\displaystyle\frac{{Q - (1 - \beta )\omega }}{{2 - \beta }} - \displaystyle\frac{{(2 - {\beta ^2}){c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}}} \right] +\\&(\omega - {c_1})\left[ {\displaystyle\frac{{Q - (1 - \beta )\omega }}{{2 - \beta }} + \displaystyle\frac{{\beta {c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}}} \right] + \\&\delta t\left[ {\displaystyle\frac{{2Q - 2(1 - \beta )\omega - (1 - \beta ){c_{\rm{s}}}}}{{2 - \beta }}} \right] - k{t^2}{\text{。}}\end{split} $

(2)

由 $\displaystyle\frac{{\text{∂} {\varPi _{\rm{M}}}}}{{\text{∂} \omega }} = 0, \,\, \displaystyle\frac{{\text{∂} {\varPi _{\rm{M}}}}}{{\text{∂} t}} = 0, $ 求得最优批发价和最优回收率为：

$\begin{split} &\quad\quad{\omega ^ * } = \displaystyle\frac{{(2 - \beta )k - (1 - \beta ){\delta ^2}}}{{2k(1 - \beta )(2 - \beta ) - {\delta ^2}(1 - \beta )}} +\\ &\displaystyle\frac{{2k(2 - \beta ){c_1} - [k(2 - \beta ) - {\delta ^2}(1 - \beta )]{c_{\rm{s}}}}}{{4k(2 - \beta ) - 2{\delta ^2}(1 - \beta )}}, \end{split}$

(3)

$ \quad\quad{t^ * } = \displaystyle\frac{{\delta Q}}{{2k(2 - \beta ) - {\delta ^2}(1 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{\delta (1 - \beta )({c_{\rm{s}}} + 2{c_1})}}{{4k(2 - \beta ) - 2{\delta ^2}(1 - \beta )}} {\text{。}\!\!\!\!\!\!\!\!\!}$

(4)

将式(3)、式(4)代入到式(1)、式(2)中求出线下、线上零售商的最优销售价格、销售量分别为：

$\quad\quad\begin{split}& P_1^ * = \displaystyle\frac{{(3 - 2\beta )Q}}{{2(1 - \beta )(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{2{c_1} - 2\delta {t, ^ * }}}{{4(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(6 - \beta ){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}} ,\\ & P_2^ * = \displaystyle\frac{{(3 - 2\beta )Q}}{{2(1 - \beta )(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{2{c_1} - 2\delta {t^ * }}}{{4(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(3\beta - 2){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}} \text{。}\end{split} $

(5)

$\begin{split}& D_1^ * = \displaystyle\frac{Q}{{2(2 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{(1 - \beta )(2{c_1} - 2\delta {t^ * })}}{{4(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(3{\beta ^2} - \beta - 6){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}} ,\!\!\!\!\!\!\! \\& D_2^ * = \displaystyle\frac{Q}{{2(2 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{(1 - \beta )(2{c_1} - 2\delta {t^ * })}}{{4(2 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{({\beta ^2} - 3\beta - 2){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}} {\text{。}\!\!\!\!\!\!}\end{split} $

(6)

进而，线下零售商、线上零售商、制造商的最优利润分别为：

$\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * = {\left\{ {\displaystyle\frac{Q}{{2(2 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{(1 - \beta )(2{c_1} - 2\delta {t^ * })}}{{4(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(3{\beta ^2} - \beta - 6){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}}} \right\}^2},$

(7)

$\varPi _{{{\rm R}_2}}^ * = {\left\{ {\displaystyle\frac{Q}{{2(2 - \beta )}} - \displaystyle\frac{{(1 - \beta )(2{c_1} - 2\delta {t^ * })}}{{4(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{( - {\beta ^2} + 3\beta + 2){c_{\rm{s}}}}}{{4(4 - {\beta ^2})}}} \right\}^2}{\text{。}}$

(8)

$\begin{split}&\quad\quad\varPi _{\rm{M}}^ * = \displaystyle\frac{{{Q^2}}}{{2(1 - \beta )(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(\delta t - {c_1})Q}}{{2 - \beta }} +\\&\displaystyle\frac{{(1 - \beta )[4{c_1}^2 + 2{c_1} + (2\delta t - {c_{\rm{s}}}^2)]}}{{8(2 - \beta )}} + \displaystyle\frac{{(1 - \beta ){c_1}}}{{2(2 - \beta )}} - k{t^2}{\text{。}}\end{split}$

(9)

当决策主体都为公平中性时，制造商直接回收模式下由制造商首先确定的最优回收率和最优批发价分别为 $ {t^*} $ 、 $ \omega^* $ ，随后，线下、线上零售商所决定的最优零售价分别为 $ P_1^* $ 、 $ P_2^* $ 。此时，各厂商的最优收益分别为 $ \varPi _{{{\rm R}_1}}^ * $ 、 $ \varPi _{{{\rm R}_2}}^ * $ 、 $ \varPi _{{{\rm{M}}}}^ * $ 。分析上述表达式可知，由于 $ 0 {\text{＜}} \beta {\text{＜}} 1 $ ， $ 3{\beta ^2} - \beta - 6 {\text{＜}} - {\beta ^2} + 3\beta + 2 $ ，则 $\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * {\text{≤}} \varPi _{{{\rm R}_2}}^ * $ 。

结论1　各厂商公平中性时，在制造商直接回收的定价策略下， $\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * {\text{≤}} \varPi _{{{\rm R}_2}}^ * $ ，即线下零售商的利润低于线上零售商，在竞争中处于劣势。

2.2 第三方回收模式下的定价策略

各厂商博弈顺序：1) 制造商决定批发价 $\omega $ 和转移支付价格A；2) 两零售商分别决定零售价 $ {P_1}{\text{、}} $ $ {P_2}$ ；3) 第三方决定回收率t。

线下零售商、线上零售商、制造商、第三方以及整个供应链系统的利润函数可以表示为：

$\begin{array}{l} {\varPi _{{{\rm R}_1}}} = ({P_1} - \omega - {{c}_{\rm{s}}}){D_1} ,\\ {\varPi _{{{\rm R}_2}}} = ({P_2} - \omega ){D_2} ,\\ {\varPi _{\rm{M}}} = (\omega - {c_1}){D_1} + (\omega - {c_1}){D_2} + t(\delta - A)({D_1} + {D_2}) , \\ {\varPi _\tau } = At({D_1} + {D_2}) - k{t^2} , \\ {\varPi _{\rm{T}}} = ({P_1} - {c_1} - {c_{\rm{s}}}){D_1} + ({P_2} - {c_1}){D_2} + \delta t({D_1} + {D_2}) - k{t^2}{\text{。}}\end{array} $

由逆推归纳法可知

$\quad\quad{t} = \displaystyle\frac{{A({D_1} + {D_2})}}{{2k}}\text{。}$

(10)

$\quad\quad \left\{ \begin{aligned}& {P_1} = \displaystyle\frac{{(2 + \beta )(Q + \omega ) + 2{c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}} , \\& {P_2} = \displaystyle\frac{{(2 + \beta )(Q + \omega ) + \beta {c_{\rm{s}}}}}{{4 - {\beta ^2}}} {\text{。}}\end{aligned} \right. $

(11)

将式(10)、式(11)代入到制造商的利润函数中，

由 $ \displaystyle\frac{{\partial {\varPi _{\rm{M}}}}}{{\partial \omega }} = 0 , \,\, \displaystyle\frac{{\partial {\varPi _{\rm{M}}}}}{{\partial A}} = 0 ,$ 可求出最优批发价和转移支付价格分别为：

$\quad\quad\begin{aligned}{{\bar \omega }^*} = & \displaystyle\frac{{\left[ {2{\delta ^2}\left( {\beta - 1} \right) + 4\left( {2 - \beta } \right)k} \right]Q + 4k\left( {2 - \beta } \right)\left( {1 - \beta } \right){c_1} }}{{8k\left( {2 - \beta } \right)\left( {1 - \beta } \right) - 2{{\left( {1 - \beta } \right)}^2}{\delta ^2}}} + \\ &\displaystyle\frac{{\left[ {{\delta ^2}{{\left( {1 - \beta } \right)}^2} - 2\left( {1 - \beta } \right)\left( {2 - \beta } \right)k} \right]{c_{\rm{s}}}}}{{8k\left( {2 - \beta } \right)\left( {1 - \beta } \right) - 2{{\left( {1 - \beta } \right)}^2}{\delta ^2}}}\quad\quad\quad\quad\!\quad(12)\end{aligned}$

$\quad\quad{\overline A ^ * } = \displaystyle\frac{\delta }{2}{\text{。}}$

(13)

由此可求出两零售商的最优零售价格分别为 $ {\overline {{P_1}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{P_2}} ^ * } $ ，第三方的最优回收率为 ${\overline t ^ * }$ ，渠道各成员的最优利润分别为( $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_1}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_2}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_\tau}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_{\rm{M}}}}}} ^ * } $ )。

当各决策主体都为公平中性时，制造商委托第三方回收模式下由制造商首先确定最优批发价和转移支付价格分别为 ${\overline \omega ^ * }$ 、 ${\overline A ^ * }$ ，随后，线下、线上零售商所决定的最优零售价分别为 $ {\overline {{P_1}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{P_2}} ^ * } $ ，第三方最优回收率为 ${\overline t ^ * }$ ，此时，各厂商的收益分别为 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_1}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_2}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_\tau}}}} ^ * } $ 、 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_{\rm{M}}}}}} ^ * } $ 。分析上述表达式可知， $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_1}}}} ^ * } {\text{＜}} {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_2}}}} ^ * } $ ，且 $ \varPi _{{{\rm R}_1}}^ * - {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_1}}}} ^ * } {\text{＞}} 0 $ ， $ \varPi _{{{\rm R}_2}}^ * - {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_2}}}} ^ * } {\text{＞}} 0 $ ， $ \varPi _{\rm{M}}^ * - {\overline {{\varPi _{\rm{M}}}} ^ * } {\text{＞}} 0 $ 。

结论2　各厂商公平中性时，在制造商委托第三方回收的定价决策下，线下零售商的利润依然低于线上零售商，即 $ {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_1}}}} ^ * } {\text{＜}} {\overline {{\varPi _{{{\rm R}_2}}}} ^ * } $ ；并且各厂商的利润均低于制造商直接回收模式下的利润，即 $ {\overline {{\varPi _ \bullet }} ^ * } {\text{＜}} \varPi _ \bullet ^ * $ 。

3 线下零售商横向公平关切行为下各决策者的定价策略

现实中，非完全理性的决策者只会对自身不利的非公平产生厌恶感，而不会对自身有利的非公平产生厌恶^[22]。由于线下零售商的利润低于线上零售商，面对利润分配的不均衡线下零售商会产生一种横向公平关切，进而影响自身效用。参考杜少甫等^[23]做法，引入公平关切系数 $ \lambda \left( {\lambda {\text{≥}} 0} \right) $ ，其中当 $\lambda = 0$ 时表示公平中性的情况。

3.1 横向公平关切下基于制造商直接回收模式的定价策略

线下零售商、线上零售商、制造商和整个供应链系统的效用函数分别为

$\begin{array}{l} {U_{{{\rm R}_1}}} = {\varPi _{{{\rm R}_1}}} - \lambda ({\varPi _{{{\rm R}_2}}} - {\varPi _{{{\rm R}_1}}}) = ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1} -\\\quad\quad\;\; \lambda \left[ {({P_2} - \omega ){D_2} - ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1}} \right] , \\ {U_{{{\rm R}_2}}} = {\varPi _{{{\rm R}_2}}} = ({P_2} - \omega ){D_2} , \\ {U_{\rm{M}}} = {\varPi _{\rm{M}}} = (\omega - {c_1}){D_1} + (\omega - {c_1}){D_2} + \delta t({D_1} + {D_2}) - k{t^2} , \\ {U_{\rm{T}}} = ({P_1} - {c_1} - {c_{\rm{s}}}){D_1} + ({P_2} - {c_1}){D_2} + \delta t({D_1} + {D_2}) - k{t^2} - \\ \quad\quad\;\; \lambda [({P_2} - \omega ){D_2} - ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1}] {\text{。}}\end{array} $

由逆推归纳法求解

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{{{\rm R}_1}}}}}{{\text{∂} {P_1}}} = Q - {P_1} + \beta {P_2} - {P_1} + \omega + {c_{\rm{s}}} - \\[5pt]\quad\quad \lambda \left[ {\beta (P{}_2 - \omega ) - (Q - {P_1} + \beta {P_2}) + {P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}} \right] = 0,\end{array}$

$\displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{{{\rm R}_2}}}}}{{\text{∂} {P_2}}} = Q - {P_2} + \beta {P_1} - {P_2} + \omega = 0{\text{。}}$

联立求解得

$\begin{array}{l} {P_1} = \displaystyle\frac{{(2 + 2\lambda + \beta )Q + (2 + \beta + 2\lambda + 2\beta \lambda )\omega + 2(1 + \lambda ){c_{\rm{s}}}}}{{4 + 4\lambda - {\beta ^2}}} , \\ {P_2} = \displaystyle\frac{{(\lambda \!+\! 1)(\beta \!+\! 2)Q + \left[ {(2 \!+\! \beta )(\lambda \!+\! 1) \!+\! {\beta ^2}\lambda } \right]\omega \!+\! \beta (1 \!+\! \lambda ){c_{\rm{s}}}}}{{4 \!+\! 4\lambda \!-\! {\beta ^2}}}{\text{。}}\end{array} $

(14)

将式(14)代入到解制造商M的效用函数中，由 $ \displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{\rm{M}}}}}{{\text{∂} \omega }} = 0 , \,\, \displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{\rm{M}}}}}{{\text{∂} {{t}}}} = 0 , $ 得出线下零售商横向公平关切时制造商的最优批发价格和回收率分别为

$\quad\quad {\omega ^{ * * }} \!=\! \displaystyle\frac{{f(\lambda )}}{{g(\lambda )}},{t^{ * * }} \!=\! \displaystyle\frac{{h(\lambda )}}{{g(\lambda )}} $

(15)

$ {f(\lambda ){\text{、}\!\!}g(\lambda ){\text{、}\!\!}h(\lambda )}$ 的表达式见附录1。进而可以求出两零售商的最优销售价格分别为 $ P_1^{ * * } $ 、 $ P_2^{ * * } $ ，销售量分别为 $ D_1^{ * * } $ 、 $ D_2^{ * * } $ ，效用分别为 $ {U^ * }_{{{\rm R}_1}} $ 、 $ {U^ * }_{{{\rm R}_2}} $ ，制造商的效用 ${U^ * }_{\rm{M}}$ ，整个供应链的效用 ${U^ * }_{\rm{T}}$ 。

3.2 横向公平关切下基于第三方回收模式的定价策略

线下零售商、线上零售商、制造商、第三方和整个供应链系统的效用函数分别为

$\begin{array}{l} {U_{{{\rm R}_1}}} = ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1} - \lambda \left[ {({P_2} - \omega ){D_2} - ({P_1} - \omega - {c_{\rm{s}}}){D_1}} \right] ,\\ {U_{{{\rm R}_2}}} = {\varPi _{{{\rm R}_2}}} = ({P_2} - \omega ){D_2} ,\\ {U_{\rm{M}}} = (\omega - {c_1}){D_1} + (\omega - {c_1}){D_2} + t(\delta - A)({D_1} + {D_2}) ,\\ {U_\tau } = At({D_1} + {D_2}) - k{t^2} , \\ {U_{\rm{T}}} = ({P_1} - {c_1} - {c_{\rm{s}}}){D_1} + ({P_2} - {c_1}){D_2} + \delta t({D_1} + {D_2}) - k{t^2} {\text{。}}\end{array} $

由逆推归纳法得

$\quad\quad t = \displaystyle\frac{{A({D_1} + {D_2})}}{{2k}},$

(16)

$ \begin{array}{l} {P_1} = \displaystyle\frac{{(2 + 2\lambda + \beta )Q + (2 + \beta + 2\lambda + 2\beta \lambda )\omega + 2(1 + \lambda ){c_{\rm{s}}}}}{{4 + 4\lambda - {\beta ^2}}} ,\\ {P_2} = \displaystyle\frac{{(\lambda \!+\! 1)(\beta \!+\! 2)Q \!+\! \left[ {(2 \!+\! \beta )(\lambda \!+\! 1) \!+\! {\beta ^2}\lambda } \right]\omega \!+\! \beta (1 + \lambda ){c_{\rm{s}}}}}{{4 + 4\lambda - {\beta ^2}}} {\text{。}}\end{array} $

(17)

将式(16)、(17)代入到制造商效用函数中，由 $\displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{\rm{M}}}}}{{\text{∂} \omega }} = 0 , \,\, \displaystyle\frac{{\text{∂} {U_{\rm{M}}}}}{{\text{∂} A}} = 0 ,$ 求解得线下零售商横向公关切时的最优零售价格和转移支付价格分别为

$\quad\quad{\overline \omega ^{ * * }} = \displaystyle\frac{{F(\lambda )}}{{G(\lambda )}},$

(18)

$\quad\quad{\overline A ^{ * * }} = \displaystyle\frac{\delta }{2}{\text{。}}$

(19)

${F(\lambda ){\text{、}}G(\lambda )}$ 的表达式见附录2。进而可以求出两零售商的最优销售价格分别为 $ {\overline {{P_1}} ^{ * * }}、{\overline {{P_2}} ^{ * * }} $ ，销售量分别为 $ {\overline {{D_1}} ^{ * * }}、{\overline {{D_2}} ^{ * * }} $ ，效用分别为 $ {\overline {{U_{{{\rm R}_1}}}} ^ * }、{\overline {{U_{{{\rm R}_2}}}} ^ * } $ ，制造商的效用 ${\overline {{U_{\rm{M}}}} ^ * }$ ，第三方的效用 ${\overline {{U_\tau }} ^ * }$ ，整个供应链的效用 ${\overline {{U_{\rm{T}}}} ^ * }$ 。

结论3　第三方回收模式下，制造商所决定的最优转移支付价格A与零售商的公平偏好行为无关，不受公平关切系数 $\lambda $ 的影响，恒等于 $\displaystyle{\delta }/{2}$ 。

4 横向公平关切行为下基于制造商直接回收模式的供应链协调

通过赋值比较以及结论2可知，基于制造商直接回收模式下各厂商的效用高于第三方回收模式，在利润最大化的驱动下作为博弈领导者的制造商会选择直接回收模式。此时，当线下零售商具有横向公平关切时，制造商效用高于公平中性时的效用，但两零售商的效用却低于公平中性的情形，因此，制造商需要提供合理的契约实现协调。为此，在唐飞等^[16]研究的基础上，对传统的收益共享契约进行改进，将制造商收益增加量( ${U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * $ )的 ${\varphi _1}$ 分配给线下零售商 $R{}_1$ ,将收益增加量的 ${\varphi _2}$ 分配给线上零售商 ${\rm R}_2$ ，制造商分享剩余的 $(1 - {\varphi _1} - {\varphi _2})$ ，其中 $ 0 {\text{＜}} {\varphi _1} {\text{＜}} 1 $ ， $ 0 {\text{＜}} {\varphi _2} {\text{＜}} 1 $ ， $ 0 {\text{＜}} {\varphi _1} + {\varphi _2} {\text{＜}} 1 $ ，需满足

$ \quad\quad\begin{array}{l} {U^{' * }}_{\rm{M}} = (1 - {\varphi _1} - {\varphi _2})({U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * ) + \varPi _{\rm{M}}^ * {\text{≥}} \varPi _{\rm{M}}^ * , \\[5pt] U_{{{\rm R}_1}}^{' * } = U_{{{\rm R}_1}}^ * + {\varphi _1}({U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * ) {\text{≥}} \varPi _{{{\rm R}_1}}^ * ,\\[5pt] U_{{{\rm R}_2}}^{' * } = U_{{{\rm R}_2}}^ * + {\varphi _2}({U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * ) {\text{≥}} \varPi _{{{\rm R}_2}}^ * {\text{。}}\end{array} $

解得

$\quad\quad\varphi {}_1 + {\varphi _2} {\text{≤}} 1,{\varphi _1} {\text{≥}} \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * - U_{{{\rm R}_1}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }},{\varphi _2} {\text{≥}} \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_2}}^ * - U_{{{\rm R}_2}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }}{\text{。}}$

结论4　当 ${\varphi _1}$ 在 $[\underline {{\varphi _1}} ,\overline {{\varphi _1}} ]$ 范围内变化， ${\varphi _2}$ 在 $[\underline {{\varphi _2}} ,\overline {{\varphi _2}} ]$ 范围内变化时，此收益共享契约可以实现双渠道闭环供应链的协调。其中， $\underline {{\varphi _1}} = \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * - U_{{{\rm R}_1}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }}$ 、 ${\overline {\varphi _1}} = $ $1 - \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_2}}^ * - U_{{{\rm R}_2}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }}$ 、 $\underline {{\varphi _2}} = \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_2}}^ * - U_{{{\rm R}_2}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }}$ 、 $\overline {{\varphi _2}} = 1 - \displaystyle\frac{{\varPi _{{{\rm R}_1}}^ * - U_{{{\rm R}_1}}^ * }}{{{U^ * }_{\rm{M}} - \varPi _{\rm{M}}^ * }}$ 。

分析结论4可知， ${\varphi _1}$ 和 ${\varphi _2}$ 越小对制造商越有利，越大对两零售商越有利，区间越大表示制造商与零售商之间议价空间越大，然而 ${\varphi _1}$ 和 ${\varphi _2}$ 的取值取决于线下、线上两零售商对制造商讨价还价的能力。

5 数值仿真

通过模型推导出的结果很复杂，无法直观地分析和比较。为了使结论更加清晰，下面将通过数值仿真来讨论有无公平关切时各变量取值，以及各变量关于公平关切系数 $\lambda $ 的敏感性分析。假定Q、c₁、c₂、k、 ${c_{\rm{s}}}$ 和 $\beta $ 是外生变量，均由系统给定，参考郑本荣等^[19]的研究，具体参数赋值如表1。

由数值仿真求得各厂商公平中性时各变量的取值如表2。

通过表2可以清楚地发现，在不同回收模式下都存在线下零售商利润低于线上零售商的现象，并且当制造商委托第三方回收时，批发价和零售价提高，各厂商的利润都相应降低。因此，制造商为达到利润最大化会选择直接回收模式，由此可以验证结论1和结论2。

在制造商直接回收的决策模式下，参考唐飞等^[16]的研究，下面考虑横向公平关切系数 $\lambda $ 在区间 $\left[ {0,1} \right]$ 上变动对各变量的敏感性分析。

1) 零售价格 $ {P_1}{\text{、}}\!{P_2} $ 与横向公平关切系数 $\lambda $ 的关系。

观察图3可知，制造商选择直接回收模式下，由于公平中性情况下线下零售商的利润低于线上零售商，公平关切心理驱使线下零售商采取措施减少收益差距。线下零售商希望通过降低零售价的方式来提高销量、增加销售额以保证市场占有率，从而降低负效用。面对线下零售商的降价措施，线上零售商也会紧跟步伐及时降价来防止销售量下滑，于是市场上出现了竞相降价的结果，导致竞争不断加剧。另一方面，随着线下零售商的降价，线上零售商要加大降价幅度来保证自己的销售量。换句话说，消费者对于线下的降价策略会更加的敏感，从而增加在线下的购买量，线上零售商必须做出让消费者更加满意的降价措施才能在激烈的竞争中保持市场占有率。

结论5　制造商直接回收模式下，当线下零售商 ${\rm R}_1$ 具有横向公平关切行为时，线下零售商的零售价格 ${P_1}$ 和线上零售商的零售价格 ${P_2}$ 都低于各厂商公平中性时的零售价，与横向公平关切系数 $\lambda $ 负相关，且 ${P_2}$ 下降幅度大于 ${P_1}$ 。

2) 制造商决定的回收率t、批发价 $\omega $ 与横向公平关切系 $\lambda $ 数的关系。

观察图4、图5并结合结论5可知，制造商选择直接回收模式下，当线下零售商具有横向公平偏好时，线上、线下产品零售价格均降低，市场需求量随之增加，制造商为降低单位平均生产成本会回收更多的废旧产品进行再制造。而回收率的不断提高使得制造商的单位生产成本逐渐降低，制造商为鼓励两零售商竞相降价来提高市场需求量，获得长期利益，会相应地降低批发价。

结论6　制造商直接回收模式下，当线下零售商 ${\rm R}_1$ 具有横向公平关切行为时，废旧产品的回收率t高于各厂商公平中性时情况，并与横向公平关切系数 $\lambda $ 正相关；而产品的批发价格 $\omega $ 低于公平中性时的情形，并且与横向公平关切系数 $\lambda $ 负相关。

3) 线下零售商效用 ${U_{{{\rm R}_1}}}$ 、线上零售商效用 ${U_{{{\rm R}_2}}}$ 与横向公平关切系数 $\lambda $ 的关系。

观察图6和结论5可知，制造商直接回收模式下，随着横向公平关切程度的递增，在两零售商的竞相降价过程中，消费者对线下的降价更加敏感，使得线上零售商降价幅度大于线下零售商，以致于批发价的降低和销量的增加优势弥补不了零售价的降低幅度带来的损失，这种情况会慢慢演变成恶意竞争使其最终有可能退出市场。相反，随着横向公平关切程度的增加，当 $\lambda $ ≈0.6时，线上零售商的巨大损失使得线下零售商效用回升，达到了降价的目的。但是，在现实生活中，线上零售商不可能一直被动地接受线下零售商的降价措施而作出相应的降价，当自身效用低于线下零售商的时候，也会产生公平倾向。因此，当横向公平关切系数约为0.95时两零售商的效用曲线相交，达到均衡点。然而，两零售商效用曲线交点时的效用均低于各厂商公平中性的情况，因此零售商的横向公平偏好不会改善双方的效用，剧烈的市场竞争只会导致“两败俱伤”的局面。

结论7　制造商直接回收模式下，线下零售商 ${\rm R}_1$ 具有横向公平关切行为时，随着横向公平关切系数 $\lambda $ 的增加，线下零售商 ${\rm R}_1$ 的效用先下降后慢慢上升；而线上零售商 ${\rm R}_2$ 的效用低于各厂商公平中性的情况，与横向公平关切系数 $\lambda $ 负相关，且损失高于线下零售商。

4) 制造商效用 ${U_{\rm{M}}}$ 和整个供应链系统的效用 ${U_{\rm{T}}}$ 与横向公平关切系数 $\lambda $ 的关系。

观察图7可知，在各厂商公平中性时，制造商选择直接回收模式的收益要高于委托第三方回收收益(验证了结论2)，直接回收模式下的收益随着横向公平关切系数增加而提高，而第三方回收模式下的收益递减，因此制造商为收益最大化会选择直接回收模式。观察图8可知，在直接回收模式下，在两零售商竞相降价获得市场占有率的过程中，产品的需求量会不断增加，制造商的销售量随之会上升，作为市场领导者从中获益最多，收益提高。同时，由于制造商获益最大，甚至远远超过两零售商的损失量，因此整个闭环供应链系统的效用也随之递增。可见，当线下零售商具有横向公平关切行为时，制造商和整个社会的都会从中获益。

结论8　无论公平中性或存在横向公平情况下，制造商直接回收模式都要优于委托第三方回收模式，且在制造商选择直接回收模式下，当零售商 ${\rm R}_1$ 具有横向公平关切行为时，制造商M的效用和整个供应链系统的效用高于各厂商公平中性时的情况，并且与横向公平关切系数 $\lambda $ 正相关。

5) 线下、线上零售商的收益分享比例 $\underline {{\varphi _1}} {\text{、}} $ $ \overline {{\varphi _1}}{\text{、}}\underline {{\varphi _2}} {\text{、}}\overline {{\varphi _2}} $ 与横向公平关切系数 $\lambda $ 的关系。

通过观察图9和结论7、8可知，制造商直接回收模式下，当线下零售商有横向公平关切行为时，线下、线上两零售商竞相降价导致效用均低于公平中性时的情况，制造商为提高自身、消费者和社会效用，需要制定一个三方收益共享契约来实现协调，而随着横向公平关切系数增加，线上零售商的损失大于线下零售商，制造商为平衡两零售商收益会加大线上的的利润分配比例，已达到帕累托最优。

结论9　制造商直接回收模式下，随着横向公平关切系数 $\lambda $ 的增加，线下零售商收益分享比例的上下限越来越低，而线上零售商收益分享比例的上下线越来越高。

6 结束语

随着电子商务的发展，闭环供应链中线上、线下零售商相互竞争的现象越来越严重，线上销售模式甚至严重冲击了线下销售模式，不公平厌恶感使得线下零售商不得不采取措施，因此将公平关切行为引入到双渠道闭环供应链中更能反映真实的决策。本文以各决策者利润最大化为决策目标分别构建了基于制造商直接回收、委托第三方回收的双渠道销售博弈模型，考虑线下零售商的横向公平关切行为对各决策者的定价及效用的影响。研究表明：在双渠道销售的闭环供应链中，不论在公平中性还是具有横向公平关切的情况下，制造商直接回收模式都要优于委托第三方回收，且第三方回收模式下制造商转移支付价格恒等于再制造品单位成本节约的一半；在直接回收模式下，线下零售商的横向公平关切行为使得两零售商竞相降价、回收率提高，提高了制造商和整个闭环供应链系统的效用，但是线下、线上两零售商的效用却在竞争中造成“两败俱伤”的局面；为了提高资源利用率，同时改善自身和整体社会效益，制造商不得不制定合适的收益共享契约让渡部分利润以实现整个供应链的协调。

渠道冲突问题日益严峻，但也不是百利无一害。企业的发展需要竞争提供动力，但仅靠零售商之间公平偏好心理调节定价策略无法实现整个系统的优化。为把握好度防止出现恶意竞争，需要渠道管理者介入进行协调。随着公平心理引发的价格竞争的越发强烈，需求和供给都在增加，势必引起资源过度使用和浪费的问题。自十八大之后，我国政府提倡建立废旧产品和再生资源交易市场，促进了产品的回收再制造，制造型企业为适应发展的需求需要引入新技术、绿色技术，优化供应链逆向物流，在提升经济效益同时，促进我国经济健康、和谐发展。

附录1：

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad \begin{array}{l}\quad\quad f(\lambda ) = ({\beta ^2}\lambda + 3\beta \lambda + 4\lambda + 2\beta + 4)[8k + 8k\lambda - 2{\beta ^2}k + {\delta ^2}({\beta ^3}\lambda + 2{\beta ^2}\lambda + \beta \lambda - 4\lambda + 2{\beta ^2} + 2\beta - 4)]Q - \\[5pt](8k + 8k\lambda - 2{\beta ^2}k)({\beta ^3}\lambda + {\beta ^2}\lambda - 2\lambda + {\beta ^2} + \beta - 2){c_1} + (8k + 8k\lambda - 2{\beta ^2}k)(\lambda + 1)(\beta + 2)(1 - \beta ){c_1} + \\[5pt]\left[ {{\delta ^2}(\lambda + 1)(\beta + 2)(\beta - 1)({\beta ^3}\lambda + 2{\beta ^2}\lambda + \beta \lambda - 4\lambda + 2{\beta ^2} + 2\beta - 4)} \right]({\beta ^2}\lambda + \beta \lambda - 2\lambda + {\beta ^2} + \beta - 2){c_{\rm{s}}}, \\[5pt]\quad\quad g(\lambda ) = [( - {\beta ^3} - 2{\beta ^2} - \beta + 4)\lambda + ( - 2{\beta ^2} - 2\beta + 4)][16k - 4{\beta ^2}k + (2{\beta ^2} + 2\beta - 4){\delta ^2} + \\[5pt]({\beta ^3}{\delta ^2} + 2{\beta ^2}{\delta ^2} + \beta {\delta ^2} - 4{\delta ^2} + 16k) \lambda ],\end{array}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad \begin{array}{l} \quad\quad h(\lambda ) = \delta ({\beta ^2}\lambda + 3\beta \lambda + 4\lambda + 2\beta + 4)( - {\beta ^3}\lambda - 2{\beta ^2}\lambda - \beta \lambda + 4\lambda - 2{\beta ^2} - 2\beta + 4)Q-\\[5pt]\quad\quad\quad\quad \delta ({\beta ^3}\lambda + {\beta ^2}\lambda - 2\lambda + {\beta ^2} + \beta - 2)({\beta ^3}\lambda + 2{\beta ^2}\lambda + \beta \lambda - 4\lambda + 2{\beta ^2} + 2\beta - 4){c_1}-\\[5pt]\quad\quad\quad\quad \delta ({\beta ^3}\lambda + 2{\beta ^2}\lambda + \beta \lambda - 4\lambda + 2{\beta ^2} + 2\beta - 4)(\lambda + 1)(\beta + 2)(\beta - 1){c_1} + \\[5pt]\quad\quad\quad\quad\delta (\lambda + 1)(\beta + 2)(\beta - 1)( - {\beta ^3}\lambda - 2{\beta ^2}\lambda - \beta \lambda + 4\lambda - 2{\beta ^2} - 2\beta + 4){c_{\rm{s}}}{\text{。}}\end{array}$

附录2

$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\begin{array}{l}\qquad F(\lambda ) = 4k[(16 + 8\beta - 4{\beta ^2} - 2{\beta ^3}) + (32 + 20\beta - 3{\beta ^3} - {\beta ^4})\lambda + (16 + 12\beta + 4{\beta ^2}){\lambda ^2}]Q + \\[5pt]2{\delta ^2}[( - 16 + 8\beta + 12{\beta ^2} - 2{\beta ^3} - 2{\beta ^4}) + ( - 32 + 12\beta + 20{\beta ^2} + 3{\beta ^3} - 2{\beta ^4} - {\beta ^5})\lambda + \\[5pt]( - 16 + 4\beta + 8{\beta ^2} + 4{\beta ^3}){\lambda ^2}]Q + {\delta ^2}[( - {\rm{4}} + {\rm{2}}\beta + {\rm{2}}{\beta ^{\rm{2}}})( - {\rm{4}} + {\rm{2}}\beta + {\rm{2}}{\beta ^{\rm{2}}}) + ( - {\rm{4}} + {\rm{2}}\beta + {\rm{2}}{\beta ^{\rm{2}}})\times\\[5pt]( - {\rm{8}} + {\rm{4}}\beta + {\rm{3}}{\beta ^{\rm{2}}} + {\beta ^{\rm{3}}})\lambda + ( - {\rm{4}} + \beta + {\rm{2}}{\beta ^2} + {\beta ^3})( - 4 + 3\beta + {\beta ^2}){\lambda ^2}]Q + 4k[(8 - 4\beta - 6{\beta ^2} + {\beta ^3} + {\beta ^4})+\\[5pt] (16 - 4\beta - 10{\beta ^2} - 4{\beta ^3} + {\beta ^4} + {\beta ^5})\lambda + (8 - 4{\beta ^2} - 4{\beta ^3}){\lambda ^2}]{c_1} + 4k[(8 - 4\beta - 6{\beta ^2} + {\beta ^3} + {\beta ^4})+\\[5pt] (16 - 8\beta - 10{\beta ^2} + {\beta ^3} + {\beta ^4})\lambda + (8 - 4\beta - 4{\beta ^2}){\lambda ^2}]({c_1} - {c_{\rm{s}}}) + {\delta ^2}[( - 4 + 2\beta + 2{\beta ^2})( - 2 + \beta + {\beta ^2})+\\[5pt] ( - 2 + \beta + {\beta ^2})( - 8 + 3\beta + 4{\beta ^2} + {\beta ^3})\lambda + ( - 2 + \beta + {\beta ^2})( - 4 + \beta + 2{\beta ^2} + {\beta ^3}){\lambda ^2}]{c_{\rm{s}}},\\[5pt]\\\qquad G(\lambda ) = 8k[(16 - 8\beta - 12{\beta ^2} + 2{\beta ^3} + 2{\beta ^4}) + (32 - 12\beta - 20{\beta ^2} - 3{\beta ^3} + 2{\beta ^4} + {\beta ^5})\lambda ] + \\[5pt](16 - 4\beta - 8{\beta ^2} - 4{\beta ^3}){\lambda ^2}] + {\delta ^2}[(4 - 2\beta - 2{\beta ^2})( - 4 + 2\beta + 2{\beta ^2}) + \\[5pt]2( - 4 + 2\beta + 2{\beta ^2})(4 - 2{\beta ^2} - {\beta ^3})\lambda + ( - 4 + \beta + 2{\beta ^2} + {\beta ^3})(4 - \beta - 2{\beta ^2} - {\beta ^3}){\lambda ^2}]{\text{。}}\end{array} $