中国电商平台的高速发展，使得中小型企业之间的竞争日益激烈，商家需要在产品质量和市场销量两方面取得优势才可以更好地生存与发展^[1-2]. 取得较高的市场份额是企业营销的重中之重，其中电商商家市场份额的拓展主要手段之一是在线广告投资^[3]. 参与广告关键词竞价，使有限的广告成本在竞价中采取合理投资组合策略，以获得较高的广告排名^[4-5]，对依托于第三方平台作主销售渠道的电商厂家而言极为重要.

电商厂家通过关键词竞价，占领并管理相关“广告位置”^[6-8]，进而提高营销收益，优化资金组合，对于当前电商市场而言具有重要的应用价值与理论研究意义^[9-10]. 围绕广告关键词的竞价及其最优广告策略的研究已经成为国内外许多学者研究热点和难点.

基于此，本文主要根据淘宝商家的广告投资情况，对在线关键词的投资组合进行研究，使其利润最大化和投资合理化. 结合“基于角色的协同”（Role-Based Collaboration，简称RBC）工程理论与方法^[11-12]及其E-CARGO模型^[11-14]，本文对淘宝商家的在线关键词投资问题进行建模，并在群组角色指派（Group Role Assignment，简称GRA）^[14]基础上，进一步扩充了组合优化求解方式，提出了群组角色组合（Group Role Combination，简称GRC）方法，以解决资本受限时广告关键词投资组合优化问题. 相关研究可在历史数据有效支持下，预测周期性在线广告关键字竞价，使厂家能获得最大利润^[15]，并对投资回报率区间进行分析，定性并定量给出电商厂家理性投资建议.

1 场景预设

为详细阐述广告关键字投资组合问题，本文给出场景预设如下：某X公司近年来主要收入源于线上商店，公司为了提高产品销量，每年投入很大成本在线上商品的广告费上. 然而公司近几年的广告投资费不断增加，但是广告投资利润回报率和所获得利润都没有达到公司的预期值. 于是，总裁要求销售总监安娜研究出符合自家线上商品的广告关键词的最佳投资组合，以避免盲目投资带来的资金损失. 已知，X公司线上商品为一款型号为mate9的华为手机，每部盈利为300元. 该公司销售总监安娜通过分析得知影响该商品广告投资的两大因素为：商品的广告关键字和关键字的投放时间段. 通过网上收集关于该产品的历史销售数据，安娜得到某周该商品不同广告关键字在不同的投放时间段的广告投资费用和商品销量的历史数据信息，如表1所示。

公司在周三给关键字“华为手机”进行广告投资. 投入的广告费用为604 607元，带来的手机销售量为204部. 已知每售出一部手机可盈利300元. 根据利润计算公式：利润=300×销量–广告花费，可以得到上一周期（如上周）不同关键字在不同投放时间段内的获利，如表2所示.

在表2中，正数表示盈利，负数表示亏本. 例如周五给关键字“华为手机”的广告投资成本是483 140元，但是当天净利润亏本了23 240元. 所以广告投资具有风险，不能盲目的进行投资. 在投资成本受限时，安娜对广告投资成本、广告矩阵和利润矩阵进行分析以便求出投资分配矩阵和最大利润. 然而，当投资金额很小时，安娜勉强可以对其分析求得结果；当投资金额不断变大，此项任务已经不是个人能力可以胜任的. 因此需要一个良好解决方案进行求解.

针对该问题，将运用RBC方法及其E-CARGO模型对淘宝商家在线关键词的投资问题进行建模，并运用群组角色组合线性规划使问题形式化，利用IBM ILOG CPLEX工具包对问题求解.其中，RBC是加拿大学者朱海滨教授提出的工程理论与方法. 它是一种计算思维方法，将角色作为底层基本机制，以方便抽象、分类和分离，以及相互并动态作用，其E-CARGO模型以9元组 $\displaystyle\sum :: = $ <C, O, A, M, R , E, G, S₀ , H >抽象并描述了协作系统的组成部分. 其中, A(Agent)表示协作个体单元集合；R(Role)表示角色集合（即任务与需求抽象）；G(Group)表示群组集合，可用于表示所有投资组合；E用于抽象协作环境；而C和O作为类与对象，使E-CARGO建模得以引入面向对象方法. 而在线关键词和投资的高层抽象即为角色，各角色间的协作结果直接影响着投资组合的效果. RBC及其E-CARGO模型已被广泛应用于管理和工业领域. 其主要使用角色作为核心来抽象、分类、分离问题，提供有序的系统行为分析. RBC与E-CARGO能帮助投资者对复杂的投资组合做有效理解与分解，有着明确和严格的规范作用.

2 数学建模 2.1 问题建模

区别于RBC问题中的群组角色指派，本文所需求解问题属于组合线性优化（而非指派）. 由此在GRA基础上，本文发展了相关方法，提出群组角色组合方法，建模及求解过程如下.

本案例研究的是：在5万元和1 000万元之间的有限广告投资成本中，使“手机”“华为手机”“华为mate”“华为全网通”“华为mate9”5个角色与“周一”到“周日”7个代理进行任意组合. 目标是找到盈利最大的投资组合. 从以上分析可知：该论题是一个线性规划组合变量问题. 根据E-CARGO模型，该组合变量方案等均可用向量和矩阵形式化表示.

设以群组G表示所有投资组合G(Group)、关键词集R_k表示角色集R(Role)，时间段集A_p表示代理集A(Agent)，则对广告投资费、商品销量、利润表（直观上如表1和表2所示）均可用矩阵或向量进行形式化描述. 其中，用非负整数m(m=|A_p|，指集合A_p的基数)代表集合A_p的大小；n(n=|R_k|，指集合R_k的基数)代表集合R_k的大小. 用i₀，i₁，i₂，i₃…代表Agent的下标，具体指每一个Agent；j₀，j₁，j₂…代表Role的下标，具体指每一个Role. 而利润矩阵、销量矩阵、分配矩阵、广告投资矩阵定义如下：

定义1 　销量矩阵S是一个m×n矩阵. 其中S[i, j]∈N⁺，agent_i(0≤i<m)代表第i个时间段，role_j(0≤j<n)代表第j个关键词. S[i, j]表示在第i个时间段和第j个关键词下商品卖出的数量.

从表1可以看出，销量矩阵S反映了在m个时间段内n个关键词下的公司商品的销量情况.

定义2 　广告矩阵A是一个m×n矩阵. 其中A[i, j]∈R⁺，A[i, j]代表agent_i(0≤i<m)的时间段在role_j(0≤j<n)的关键词下广告费价格.

广告矩阵A形如表1中的广告费，广告费的值是一个正实数. 如在周一的时间段下对华为手机的关键词进行广告投资的投资费用为671 903元. 广告矩阵A反映了公司对产品的广告投资情况.

定义3 　投资分配矩阵T是一个m×n的矩阵. 其中T [i, j]∈{0, 1}(0≤i<m, 0≤j<n)代表agent_i的时间段是否投资了role_j关键词. T[i, j]=1代表投资；T[i, j]=0代表不投资. 由于分配矩阵T随着广告投资成本的变化而有所不同，所以以广告投资为10万元为例，根据表1和表2并利用线性规划组合变量求解可得出分配矩阵T.

${{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}} \right].$

定义4 　利润矩阵Q_p是一个m×n矩阵. 其中Q_p[i, j]∈R，Q_p[i, j]代表进行了广告投资之后，agent_i(0≤i<m)的时间段在role_j(0≤j<n)的关键词下获得的利润.

利润矩阵的求解过程是：Q_p=a×S[i, j]–A[i, j]，其中，a是一个常数且满足a∈R⁺.

定义5 　总利润σ为分配矩阵T之后，所有的利润之和，即： $\sigma = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m{\rm{ - }}1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n{\rm{ - }}1} {{{{Q}}_p}[i,j] \times {{T}}[i,j]} } $ .

总利润的求解过程：将利润矩阵与分配矩阵进行矩阵点乘.

定义6 　群组角色组合变量求解，即寻找一个可行且获得利润最大的分配矩阵T，其中

目标函数： ${\rm{MAX}}\sigma \! =\! \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n - 1} {\left( {{{Q}}[i,j] \times {{T}}[i,j]} \right)} } $ .

限制于：

$T[i,j] \in {0,1},(0\leqslant i < m, 0\leqslant j <n).$

(1)

$\begin{array}{l}{\rm{Money}} \,\,=\,\, \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n{\rm{ - }}1} {\left( {{{A}}[i,j] \, \, \times \,\, {{T}}[i,j]} \right)} },\\[4pt](0\leqslant i <m, 0\leqslant j < n).\end{array}$

(2)

${{Q}}=a\times {{S}}[i,j]-{{A}},(0\leqslant i < m, 0\leqslant j < n).$

(3)

约束条件 (1) 表示分配矩阵T的值只能取0或1，1表示分配，0表示不分配；约束条件 (2) 表示在所有时间段内对所有关键词的广告投资之和等于投资总额Money；约束条件 (3) 表示利润矩阵Q等于单件商品利润a乘以销量矩阵减去广告矩阵.

2.2 回报率及其归一化

为了更好地反映出广告投资的效益，特定义回报率如下：

定义8 　回报率θ为一实数，为

${\begin{array}{l}\theta \!=\! \displaystyle\frac{{{\rm{max\{ }}\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m{\rm{ - }}1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n{\rm{ - }}1} {{{Q}}[i,j] \times {{T}}[i,j]} } {\rm{ \} }}}}{{{\rm{Money}}}},\\[5pt]\;(0 \leqslant i < m,{\rm{ }}0 \leqslant j < n).\end{array}}$

其中，Money表示公司对该产品机型广告投资的总额度， ${\rm{max\{ }}\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m{\rm{ - }}1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n{\rm{ - }}1} {{{Q}}[i,j] \times {{T}}[i,j]} } {\rm{ \} }}$ 代表在进行了广告投资之后，公司可以得到的最大利润，此时的最大利润是净利润，已经减去了成本.

回报率的设置，不仅可以反映广告投资效益，还利于找到最佳的投资区域. 由于随着广告投资费用的不断增加，最大利润可能会增大或者变小；同时回报率也会增大或者减小. 因此可以由表3得出最佳广告投资区域.

为体现最大利润σ与回报率θ的平衡化处理，使其在[0, 1]空间均匀化，并且便于比较结果和分析数据，还需做归一化处理如下.

最大利润归一化处理为一正小数，形如

${P_q} = \displaystyle\frac{{Q({\rm{Money}}) - \min \{ Q\} }}{{\max \{ Q\} - \min \{ Q\} }} \in (0,1).$

其中，Q(Money)表示在广告投资金额为Money时，获得的最大利润；min{Q}表示系列max{σ}的最小值，而max{Q}表示最大值.

回报率归一化处理为一正小数，形如

${P_\theta } = \displaystyle\frac{{{P_\theta }\left( \theta \right) - \min \left\{ \theta \right\}}}{{\max \left\{ \theta \right\} - \min \left\{ \theta \right\}}} \in (0,1).$

其中，P_θ(θ)表示当前有限广告投资的回报率. min{θ}表示系列θ的最小值，而max{σ}表示最大值.

广告投资归一化处理为一正小数，形如

${P_A} = \displaystyle\frac{{{P_A}({\rm{Money}}) - \min \{ {\rm{Money}}\} }}{{\max \{ {\rm{Money}}\} - \min \{ {\rm{Money}}\} }} \in (0,1).$

其中，P_A(Money)是投资的广告费用，min{Money}表示系列Money的最小值，而max{Money}表示最大值.

至此，将最大利润、回报率和广告投资费均归一化到[0, 1]空间，由此可对其做投资组合分析.

3 算法与实验分析 3.1 算法描述

为寻找问题的最优解，可尝试使用穷举法解决. 将广告矩阵中任意多项之和等于广告投资总额的组合方案一一枚举出来，继而找到获得利润σ最高的一组作为最佳组合方案. 由于淘宝商家广告投资费用的范围不大，而实验数据中要考虑所有可能出现的情况，广告投资费用的跨度可能是几千万，所以目前用随机数据代替历史数据进行预测. 同时历史数据最好选择去年同时期的数据，周期长度根据实际情况而定，本文实验的周期长度为一个星期. 但根据问题规模，使用穷举法求解将具有非常高的时间复杂度，无法在有效时间内给出最佳的组合方案. 因此，可将该问题转换为0-1整数规划，这样问题的复杂度变为O(n!)，能在有效时间内解决相关问题.

因此，本文采用线性规划组合变量的方法：先得到销量矩阵、广告矩阵，在求解利润过程中，必须满足式(1)～(3)限制前提下，形成一个0-1整数规划问题，最后选择总利润σ最高的一组分配方案.

针对相关求解归一化最大利润与回报率，算法的伪码描述如下：

输入：

▲　销量矩阵M

▲　广告矩阵A

▲　利润矩阵Q

▲　广告投资成本增加的步长Length

Output：

▲　最大利润σ变化序列

▲　投资分配矩阵T变化序列

▲　归一化最大利润P_q变化序列

▲　归一化回报率P_θ变化序列

　　//计算P_q和P_θ

　　{初始化：Money，a；根据表格得到销量矩阵M、广告矩阵A；利用广告矩阵计算最大广告费maxad；计算利润矩阵Q；

　　 while (Money<=maxAd ) {

利用整数规划计算T_Money；

计算： $\sigma ({\rm{Money}}) \!=\!\! \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n - 1} {{{Q}}[i,j] \times {{{T}}_{\rm{Money}}}[i,j]} } $ ；

计算： $\theta ({\rm{Money}}) = \displaystyle\frac{{\sigma ({\rm{Money}})}}{{{\rm{Money}}}}$ ；

Money=Money+Length；

}

　　保存σ在数组arry1；保存θ在数组arry2；

for (inti=0；i<arry1.length；i++) {

${\theta ^i} = \displaystyle\frac{{\theta (i) - \min \{ \theta \} }}{{\max \{ \theta \} - \min \{ \theta \} }}$ ；

${\sigma ^i} = \displaystyle\frac{{\sigma (i)\min \{ \sigma \} }}{{\max \{ \sigma \} \min \{ \sigma \} }}$ ；

}

　　}

3.2 实验及结果分析

基于以上案例，为测试本解决方案的有效性与可靠性，本文进行了随机实验，对广告投资组合做仿真模拟。其中m（时间段的数量）和n（关键词数），m=7，代表一周的七天；n取值范围为5至20，以步长5作跳变；实验以50 000作为广告投资成本Money的最小值， ${\rm{sum}}\left( {{\rm{sum}} = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^{n - 1} {{{A}}[i,j]} } } \right)$ 为投资成本的最大值，即Money∈{50 000, sum}，做了两组不同规模的实验。A矩阵、M矩阵规模据m、n变化，具体行列值范围在表4内随机取值。实验仪器配置如表5所示。

由于利润矩阵会有3种情况：利润矩阵Q的所有行列值都是正数，说明每一种广告投资都是盈利的；利润矩阵Q的所有行列值中有正有负，说明进行的广告投资有盈有亏；利润矩阵Q的所有行列值都是负数，说明所有的广告投资都是亏本的. 因此没有投资的必要，不用再进行分析.

根据前两种情况的利润矩阵Q，分别做了两组规模的随机试验来进行分析. 数据规模的选取要符合实际情况，并能够表现出前两种情况即可.

(1) 利润矩阵Q的行列值都是正数，简称为Q⁺矩阵，数据规模如表4所示.

实验结果如图1所示. 由图1可以看出，随着广告投资费用投资不断地增加，所获利润也不断地增大. 虽然利润在不断地增加，但其增加幅度会越来越小. 在m×n=(7×5, 7×10, 7×15, 7×20) 4组实验规模中，本文选取了m=7，n=5进行了回报率与最大利润的研究，如图2所示.

由图2可以看出，随着广告投资费用的增加，获得最大利润不断增加，但增加的幅度逐渐变小，而且回报率也在不断地减小. 在最大利润曲线上的点(0.59, 0.94)，相同横坐标下对应回报率曲线上的点(0.59, 0.11). 结合这两点并观察横坐标x在[0.59, 1]区间上“获得最大利润”和“回报率”两曲线趋势可以得出：当x在[0.59, 1]上最大利润的增加幅度很小，回报率也已经降到0.11以下. 此刻，投资者在进行投资的时候考虑到投资存在风险、投资回报率偏低、利润增加缓慢三大因素可在广告投资成本达到0.59时停止增加广告投资成本.

(2) 利润矩阵Q的行列值有正数和负数，简称为Q^+–矩阵，数据规模如表4所示.

实验结果如图3所示. 图3中，横坐标是广告投资费用，纵坐标是最大利润. 4个曲线分别代表7行5列、7行10列、7行15列、7行20列的实验规模，广告投资与最大利润之间的关系. 从图中可以看出随着广告投资成本的增加，得到的最大利润也会增加，但是增加到一个最大值时，随着广告投入的加大，得到的利润反而会减小，本实验说明了投资有风险，市场上“广告投资越多，获利越多”的说法并不是完全正确的. 在m×n=(7×5, 7×10, 7×15, 7×20) 4组实验规模中，观测m=7，n=5回报率研究数据时，出现了如下两种回报率情况，分别如图4和图5所示.

在图4和图5中，横坐标是广告投资费用的归一化，纵坐标是最大利润和回报率的归一化. 从两个图中可以看出随着广告费的增加，最大利润和回报率会增加或者减小. 在m=7，n=5的两种回报率情况下，因图5的“获得最大的利润”和“回报率”两条曲线已经覆盖了图4两曲线的情况. 现就图5做分析如下：在图5中，点(0.031，1)是回报率曲线上的最高点，说明该广告投资下回报率最大；点(0.24，1)是最大利润曲线上的最高点，说明在所有的广告投资中此时获利最大. 根据“最大利润”曲线和“回报率”曲线，可利用表3进行分析.

综合图4、图5和表3对有7个广告投放时间段和5个广告关键字(m=7，n=5)的实验案例进行分析，可得到以下总结性建议，供投资者参考：

(1) 在最大利润和回报率都在增大的区域. 说明利润还有很大的增长空间，如果此时投资者流动资金不足，可以考虑在[0, 0.031]的区间内，进行广告投资.

(2) 在最大利润是增加且回报率减小的区域. 虽然回报率减小，但是利润依然增加，依旧是值得投资者考虑投资的区域. 所以当流动资金充裕时，可以考虑在[0.031,0.24]的区间内，进行广告投资.

(3) 最大利润开始减小且回报率也开始减小的区域. 由于利润开始减少，但是广告投资却在增加，因此是不适合投资的区域.

针对每种广告投资，各做了100次随机实验. 其中效率测试实验结果如图6所示. 实验证明，求解最大利润的耗时随广告投资数目增加呈线性增长，最大时间值不超过450 s，可满足日常实际运行所需.

4 结论

本文主要研究淘宝商家的广告投资成本受限时，研究优化在线关键词的投资组合问题，对其最大利润进行预测并给出合理投资区间，利用“基于角色的协同”的工程理论与方法及其E-CARGO模型，对淘宝商家的在线关键词投资问题进行建模，提出了一种群组角色组合方法，以直观有效的工程方法解决资本受限时广告关键词投资组合问题，对最大利润和回报率的投资区域进行预测，使商家在考虑利润和回报率的情况下尽可能使风险最小化和利润最大化.

在下一步工作中，将进一步研究加速线性规划投资组合求解的方法和适用于多平台的求解广告关键词投资组合的方法来满足更多行业的需求.