肿瘤是一种严重危害人类生命健康的疾病，特别是恶性肿瘤。近年来，许多学者开始关注肿瘤生长、转移和微环境等相关问题，尤其是在了解肿瘤转移的机制并提供有效治疗策略方面，数学建模成为重要的研究手段之一。肿瘤转移是癌症发展过程中的关键环节，也是治疗失败和恶化的主要原因之一^[1]。

肿瘤淋巴管是肿瘤中新形成的血管(tumor angiogenesis)，为肿瘤提供营养和氧气，被认为是与肿瘤转移和发展有关的重要因素之一^[2]。淋巴管在正常情况下是通过一系列复杂的反应和信号来生成的，但在肿瘤中肿瘤细胞释放特殊的生长因子和化学信号物质，诱导周围的血管和淋巴管内皮细胞增殖和分化，形成新的淋巴管网络^[3]。研究肿瘤淋巴管生成对于了解肿瘤的生长、转移和治疗具有重要意义。通过阻断肿瘤淋巴管生成，可以抑制肿瘤的生长和转移，并提高现有抗肿瘤治疗的效果。

在肿瘤淋巴管生成中，内皮细胞生长因子(Vascular Endothelial Growth Factor, VEGF)和细胞外基质(Extracellular Matrix，ECM)重塑是关键因素之一。VEGF在肿瘤发展中起着重要作用，高表达的VEGF与肿瘤的恶性程度和淋巴管生成密切相关^[4]。ECM重塑则为肿瘤细胞的转移和淋巴管生成提供了条件^[5]。VEGF作为一种主要的血管生成因子，已被广泛研究和证实其在血管新生和肿瘤转移中的作用。先前的研究表明，VEGF是肿瘤淋巴管生成的重要调节因子之一，实验证实干扰VEGF可以有效抑制肿瘤生长和淋巴管生成^[6]。曹雪涛院士等^[7]的研究综述中指出，肿瘤转移微环境对VEGF的产生和释放具有重要的调节作用，以及和ECM重塑等多方面的协同作用。此外，在过去的几十年里，前人研究中提到基质降解酶(Matrix Metalloproteinases，MMP)也是ECM重塑的一个关键成分^[8]。

以往的数学模型主要关注肿瘤生长规律，而忽略了基于肿瘤转移各组分间的相互作用^[9-10]。为了更准确地描述肿瘤淋巴管生成过程，本文提出了一个考虑ECM重塑的模型，并且考虑了MMP对肿瘤淋巴管生成的影响。此外，VEGF作为关键的血管生成因子，在模型中起着重要作用。研究发现肿瘤转移微环境对VEGF的产生和释放具有调节作用，这进一步说明了VEGF在肿瘤淋巴管生成中的关键性。

1 数学模型及方程

上述考虑肿瘤转移过程中的ECM重塑作用，针对微环境中各种涉及肿瘤淋巴管生成的成分进行建模。至此，用流程图来描述本文提出的模型机制(见图1)，由图1可知，内皮细胞的趋化性作用由内皮细胞生长因子VEGF引起。内皮细胞生长因子由肿瘤细胞和ECM分泌，MMP由肿瘤细胞和内皮细胞分泌，MMP的作用是降解ECM。内皮细胞和MMP的趋触性由ECM引起，内皮细胞和MMP会向ECM发生微小转移。

为了建立肿瘤转移微环境的模型，需要对肿瘤淋巴管生成的机制进行数学描述。本文总结在肿瘤淋巴管生成过程中的主要参与成分，并进行各个因素和变量的确定。根据上述肿瘤淋巴管生成机制的表述，这里设定相关成分：$m$为ECM的浓度，$n$为肿瘤细胞的浓度，$c$为内皮细胞的浓度，$s$为淋巴管内皮细胞生长因子VEGF的浓度，$q$为基质降解酶MMP的浓度。

不同因素之间存在相互作用和调节关系，共同影响和塑造了肿瘤淋巴管生成的环境。因此，本文可以考虑各成分之间作用关系的数学表达，以描述它们之间的相互作用和调节关系。

假设所有成分${X_i}\left( {i = 1, \cdots ,5} \right) $都以系数${\delta _{{X_i}}}$扩散或者转移，肿瘤细胞和内皮细胞将以${\mu _{{X_i}}}$的速率死亡或降解。本文进行如下考虑：如果${X_i} + {X_j} \to {X_m}$，那么${X_m}$形成的速率或${X_i}$与${X_j}$丢失的速率是$\lambda {X_i}{X_j}$，式中$\lambda $为一个正参数。在${X_k}$被细胞因子${X_i}$激活的过程中，${X_i}$代表被${X_k}$结合和内化的分子，这种内化可能由于循环的速率有限而受到限制，本文用米氏方程表示激活速率$ \nabla \left(\dfrac{\theta \rho }{1+\rho } {X}_{i}\nabla {X}_{j}\right) $，式中$\theta ,\rho $为正参数。最后，$ \nabla ({X}_{i} $$\chi $$ \nabla {X}_{j}) $的表达式意味着${X_i}$通过趋化作用以趋化力$\chi $向趋化剂${X_j}$的梯度方向移动，式中$\chi $为一个正参数。物质${X_i}$的生长增殖速率本文用$\left( {1 - \dfrac{{{X_i}}}{{{X_H}}}} \right) {\lambda _{{X_i}}}{X_{i0}}$表示。肿瘤淋巴管生成阶段各成分之间发生的相互作用关系如图2所示。

(1) MMP会降解ECM，则ECM的浓度方程为

$ \frac{{\partial m}}{{\partial t}} = - \sigma qm $

(1)

式中：t为时间，$\sigma $为MMP降解系数。

(2) 肿瘤细胞会发生增殖和扩散，还会分泌内皮细胞生长因子。因此肿瘤细胞的浓度方程为

$ \frac{{\partial n}}{{\partial t}} = {D_n}{\nabla ^2}n + \lambda {n_0}\left( {1 - \frac{n}{{{n_M}}}} \right) - {\mu _n}n $

(2)

式中：等号右边第1项为肿瘤细胞的扩散，${D_n}$为肿瘤扩散系数；右边第2项为肿瘤细胞的增殖，$\lambda $为肿瘤增殖系数，${n_0}$为肿瘤细胞初始浓度，${n_M}$为肿瘤细胞增殖上限；右边第3项为肿瘤细胞的死亡，${\mu _n}$为肿瘤细胞死亡系数。

(3) 内皮细胞会发生扩散，并且会对VEGF的刺激发生趋化运动，内皮细胞的受体会与VEGF相结合，另外内皮细胞还会向ECM转移，帮助形成淋巴管结构。内皮细胞的方程为

$ \frac{{\partial c}}{{\partial t}} = {D_c}{\nabla ^2}c - \nabla \left( {\frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }} c\nabla s} \right) - \nabla \left( {c{\chi _c}\nabla m} \right) - {\mu _c}c $

(3)

式中：等号右边第1项为肿瘤细胞的扩散，${D_c}$为内皮细胞扩散系数；右边第2项为内皮细胞受到VEGF的刺激发生的趋化运动项，$\theta ,\rho $为相关激活和趋化系数；右边第3项为内皮细胞向ECM的转移项，${\chi _c}$为内皮细胞转移系数；右边第4项为肿瘤细胞的死亡，${\mu _c}$为肿瘤细胞死亡系数。

(4) VEGF由肿瘤细胞和ECM分泌，会与内皮细胞相结合，并且还会发生扩散。VEGF的浓度方程为

$ \frac{{\partial s}}{{\partial t}} = {D_s}{\nabla ^2}s + {\alpha _s}n + {\beta _s}m - \varphi cs $

(4)

式中：等号右边第1项为肿瘤细胞的扩散，${D_s}$为VEGF扩散系数；右边第2、3项为肿瘤细胞和ECM分泌VEGF项，${\alpha _s},{\beta _s}$分别为肿瘤分泌VEGF系数和ECM分泌VEGF系数；右边第4项为内皮细胞吸收项，$\varphi $为内皮细胞与 VEGF作用的吸收系数。

(5) MMP由肿瘤细胞和内皮细胞分泌，并发生扩散，并且向基质转移降解ECM。MMP的浓度方程为

$ \frac{{\partial q}}{{\partial t}} = {D_q}{\nabla ^2}q - \nabla \left( {q{\chi _q}\nabla m} \right) + {\alpha _q}n + {\gamma _q}c $

(5)

式中：等号右边第1项为肿瘤细胞的扩散，${D_q}$为MMP扩散系数；右边第2项为MMP向ECM转移项，${\chi _q}$为MMP转移系数；右边第3、4项为分泌项，${\alpha _q},{\gamma _q}$分别为肿瘤分泌MMP系数和内皮细胞分泌MMP系数。

本文提出一个模型来研究肿瘤淋巴管生成中VEGF的影响。在建立模型之前，基于以下假设：

(a) 假设VEGF是肿瘤淋巴管生成的关键因素之一，其高表达与淋巴管生成的增加密切相关。VEGF的表达受到多个因素的调控，如肿瘤细胞内部信号通路的激活以及外部环境因素的影响，本模型仅考虑VEGF与内皮细胞受体结合后生成淋巴管结构的情况。

(b) 本文假设变量初值满足以下条件：对于$\forall \alpha \in \left( {0,1} \right) ,{m_0},{n_0},{c_0},{s_0},{q_0} \in {C^{2 + \alpha }}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) $

(c) 本文假设系统为封闭的，在边界上不存在物质的输入或输出，内外的物质无法通过边界交换。因此，在理论分析中本文假设各个变量${X_i}$边值满足以下条件：$ {\left. {\dfrac{{\partial {X_i}}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0}} = {\left. {\dfrac{{\partial {X_i}}}{{\partial x}}} \right|_{x = L}} = 0 $

2 预备知识

下面将介绍一些需要用到的引理和记号。首先，本文引入一些记号：

① 记$ {\overline \varOmega _T} $是${\varOmega _T}$的闭包，T为一个正实数，表示时间t的上限，其中${\varOmega _T}$表示为

$ {\varOmega _T} = \left\{ {\left( {x,t} \right) \left| {0 < x < L,0 < t < T} \right.} \right\},L > 0,T > 0$

② 定义$W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $为

${ W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) = \left\{ {u,v \in {L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) \left| {{u_t},{v_t},\nabla u,} \right.\nabla v,{\nabla ^2}u,{\nabla ^2}v \in {L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) } \right\}} $

对$1 \leqslant p < \infty $，记空间$W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $中的函数$u\left( {x,t} \right) $的范数$ {\left\| u \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} $如下：$ {\left\| u \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} = $${\left\| {{D_x}u} \right\|_{{L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} + {\left\| {D_x^2u} \right\|_{{L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} + {\left\| {{D_t}u} \right\|_{{L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) }}$。

③ 对于$p > \dfrac{5}{2}$，记${D_P}\left( {0,1} \right) $为$t = 0$时$W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $的迹空间，即$\varphi \in {D_P}\left( {0,1} \right) $当且仅当$\exists u \in W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $使得$ u\left(\cdot,0\right) =\phi $。定义${D_P}\left( {0,1} \right) $空间中的函数$\varphi \left( {x,t} \right) $的范数${\left\| \varphi \right\|_{{D_P}\left( {0,1} \right) }}$为

$ {\left\| \varphi \right\|_{{D_P}\left( {0,1} \right) }}= \{{T}^{-\tfrac{1}{P}}{\Vert u\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }|u\in {W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) ,u\left(\cdot,0\right) =\varphi \} $

由于$p > \dfrac{5}{2}$时，$W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $连续嵌入到$C\left( {{\varOmega _T}} \right) $，因此上面的定义是有意义的。而且，显然如果$\varphi \in {W^{2,p}}\left( {0,1} \right) $，则$\varphi \in {D_P}\left( {0,1} \right) $且${\left\| \varphi \right\|_{{D_P}\left( {0,1} \right) }} \leqslant {\left\| \varphi \right\|_{{W^{2,p}}\left( {0,1} \right) }}$。

④ 记$C_{x,t}^{k + \alpha ,\beta }\left( {{\varOmega _T}} \right) $，整数$k \geqslant 0$，$\alpha ,\beta $满足$0 < \alpha < 1, 0 < \beta < 1$。$C_{x,t}^{k + \alpha ,\beta }\left( {{\varOmega _T}} \right) $空间中的函数$u\left( {x,t} \right) $有如下范数：

$ {\left\| u \right\|_{C_{x,t}^{k + \alpha ,\beta }\left( {{\varOmega _T}} \right) }} = \sum\limits_{\left| l \right| = 0}^k {\left[ {\mathop {\sup }\limits_{{\varOmega _T}} \left| {D_x^lu} \right| + \left\langle {D_x^lu} \right\rangle _{x,{\varOmega _T}}^\alpha + \left\langle {D_x^lu} \right\rangle _{t,{\varOmega _T}}^\beta } \right]} $

式中：

$ \begin{split} &\left\langle u \right\rangle _{x,{\varOmega _T}}^\alpha = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x,t} \right) ,\left( {y,t} \right) \in {\varOmega _T}} \dfrac{{\left| {u\left( {x,t} \right) - u\left( {y,t} \right) } \right|}}{{{{\left| {x - y} \right|}^\alpha }}}\\ &\left\langle u \right\rangle _{t,{\varOmega _T}}^\beta = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x,t} \right) ,\left( {x,\tau } \right) \in {\varOmega _T}} \dfrac{{\left| {u\left( {x,t} \right) - u\left( {x,\tau } \right) } \right|}}{{{{\left| {t - \tau } \right|}^\beta }}} \end{split}$

下面介绍一些有用的引理。

引理1^[11] 　假设$D$是一个正常数，$a\left( {x,t} \right) ,$$b\left( {x,t} \right) $是区间${\varOmega _T}$连续有界函数，函数$f\left( {x,t} \right) $$ \in {L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) $，$\varphi \in {C^1}\left[ {0,T} \right]$，且对$1 < p < \infty $有${u_0}\left( x \right) \in {D_P}\left( {0,L} \right) $。令$Bu = \alpha \dfrac{{\partial u}}{{\partial n}} + \beta u$，其中(1) $ \alpha \text{=}0，\beta \text{=}1 $；(2) $ \alpha {=1}，\beta \geqslant 0 $，初值问题

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\partial u}}{{\partial t}} = D\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + a\left( {x,t} \right) \dfrac{{\partial u}}{{\partial x}} + b\left( {x,t} \right) u + f\left( {x,t} \right) \\ \left\{ {\left. {\left( {x,t} \right) } \right|0 < x < L,0 < t < T} \right\} \\ x = 0,L:Bu = \varphi ,0 < t < T \\ u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right) ,0 \leqslant x \leqslant L \end{array} \right.$

存在唯一解$u\left( {x,t} \right) \in W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) $且有以下估计

$ \begin{gathered} {\left\| u \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant \\ {C_P}\left( T \right) \left( {{{\left\| {{u_0}\left( x \right) } \right\|}_{{D_P}\left( {0,L} \right) }} + {{\left\| {\varphi \left( {x,t} \right) } \right\|}_{{W^{2,P}}\left( {0,T} \right) }} + {{\left\| f \right\|}_P}} \right) \\ \end{gathered} $

式中：${C_P}\left( T \right) $是一个依赖于$D,p,T,{\left\| a \right\|_\infty },{\left\| b \right\|_\infty }$的常数，且对任意的$T$有界集，${C_P}\left( T \right) $是有界的。

引理2^[12-13] 　设$ a\left( {x,t} \right) ,b\left( {x,t} \right) ,f\left( {x,t} \right) \in $ $ {C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{\varOmega _T}} \right) $和${u_0}\left( x \right) \in {C^{2 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]$，则上述初值问题存在唯一解$u\left( {x,t} \right) \in {C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) $，且

(1) 当$\alpha = 0,\;\beta = 1$时，有$ {\left\| u \right\|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant $$ {\left\| u \right\|_{{C^{2 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} + {C_\alpha }\left( T \right) \left( {{{\left\| \varphi \right\|}_{{C^{1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left[ {0,T} \right]}} + {{\left\| f \right\|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}} \right) $。

(2) 当$\alpha {{ = 1,}}\;\beta \geqslant 0$时，有$ {\left\| u \right\|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant $$ {\left\| {{u_0}} \right\|_{{C^{2 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} + {C_\alpha }\left( T \right) \left( {{{\left\| \varphi \right\|}_{{C^{1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left[ {0,T} \right]}} + {{\left\| f \right\|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}} \right) $。

这里的$ {C_\alpha }\left( T \right) $是仅依赖于$D,T,$${\left\| {a\left( {x,t} \right) } \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}, {\left\| {b\left( {x,t} \right) } \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}$的常数。

引理3^[14-15]　设$u\left( {x,t} \right) \in {C^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) $，则有

$ {\left\| {u\left( {x,t} \right) - u\left( {x,0} \right) } \right\|_{{C^{1 + \alpha ,{{\left( {1 + \alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant C\eta \left( T \right) {\left\| u \right\|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} $

式中：$ \eta \left( T \right) = \max \left\{ {{T^{{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}},{T^{{{\left( {1 - \alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - \alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}} \right\} $。

3 局部解的存在唯一性

对$\forall T > 0$和一个正常数$M$,引入度量空间$\left( {{X_M},d} \right) $，对任意的$m\left( {x,t} \right) ,n\left( {x,t} \right) ,c\left( {x,t} \right) ,$$s\left( {x,t} \right) ,q\left( {x,t} \right) \in {X_M}\left( {0 < x < L,0 < t < T} \right) $满足条件：$m\left( {x,t} \right) ,n\left( {x,t} \right) , c\left( {x,t} \right) , s\left( {x,t} \right) ,q\left( {x,t} \right) $$ \in C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) $，并满足问题(1)~(5)且

$ \begin{split} & {\left\| {m\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant M,{\left\| {n\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant M \\ & {\left\| {c\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant M,{\left\| {s\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant M \\ &{\left\| {q\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant M \end{split} $

记$u = \left( {m,n,c,s,q} \right) ,\widetilde u = \left( {\widetilde m,\widetilde n,\widetilde c,\widetilde s,\widetilde q} \right) $，定义${X_M}$中的度量为$d( {u,\widetilde u} ) = {\| {u - \widetilde u} \|_{{C^{1 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }}$。

显然度量空间$\left( {{X_M},d} \right) $是一个完备的度量空间，对于$\forall u \in {X_M}$，定义一个映射$u \to \widetilde u$，式中$\widetilde u = F\left( u \right) $满足如下问题：

$ \frac{{\partial \widetilde m}}{{\partial t}} = - \sigma q\widetilde m $

(6)

$ \frac{{\partial \widetilde n}}{{\partial t}} = {D_n}{\nabla ^2}\widetilde n + \lambda {n_0}\left( {1 - \frac{{\widetilde n}}{{{n_M}}}} \right) - {\mu _n}\widetilde n $

(7)

$ \frac{{\partial \widetilde c}}{{\partial t}} = {D_c}{\nabla ^2}\widetilde c - \nabla \left( {\frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }} \widetilde c\nabla s} \right) - \nabla \left( {\widetilde c{\chi _c}\nabla m} \right) - {\mu _c}\widetilde c $

(8)

$ \frac{{\partial \widetilde s}}{{\partial t}} = {D_s}{\nabla ^2}\widetilde s + {\alpha _s}n + {\beta _s}m - \varphi c\widetilde s $

(9)

$ \frac{{\partial \widetilde q}}{{\partial t}} = {D_q}{\nabla ^2}\widetilde q - \nabla \left( {\widetilde q{\chi _q}\nabla m} \right) + {\alpha _q}n + {\gamma _q}c $

(10)

(1) 下面先证明$F$映射到${X_M}$自身。

(a) 由引理2可知，问题(1) 存在唯一解$\widetilde m\left( {x,t} \right) \in C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) $且满足

$ {\| {\widetilde m} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {\| {\widetilde m} \|_{{C^{2 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} = {C_1}\left( {T,M} \right) $

对于问题(1)再由引理3可得

$ \begin{split} {\| {\widetilde m} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant &\; {\left\| {{m_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} + {\| {\widetilde m - {m_0}} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,{{\left( {1 + \alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \\ &{\left\| {{m_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} + C\eta \left( T \right) {\| {\widetilde m} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \\ & {\left\| {{m_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}{\text{ + }}C\eta \left( T \right) {C_1}\left( {T,M} \right) \end{split} $

同理，对于问题(2) 、(4) 分别有类似上述结论成立，具体为

$ \begin{split} & {\| {\widetilde n} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {\left\| {{n_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}{\text{ + }}C\eta \left( T \right) {C_2}\left( {T,M} \right) \\ & {\| {\widetilde s} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {\left\| {{s_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}{\text{ + }}C\eta \left( T \right) {C_4}\left( {T,M} \right) \end{split} $

(b) 考虑问题(3) ，为方便记

$\begin{split} & {a_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}\nabla s - {\chi _c}\nabla m \\ & {b_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}{\nabla ^2}s - {\chi _c}{\nabla ^2}m \\ & {h_c}\left( {x,t} \right) = - {\mu _c}c \end{split} $

由(a)的结论可知

$ {\left\| {{a_c}\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} + {\left\| {{b_c}\left( {x,t} \right) } \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant C\left( T \right) M $

计算可知问题(3)可化为

$ \frac{{\partial \widetilde c}}{{\partial t}} = {D_c}{\nabla ^2}\widetilde c + {a_c}\left( {x,t} \right) \nabla \widetilde c + {b_c}\left( {x,t} \right) \widetilde c + {h_c}\left( {x,t} \right) $

再由引理2可知，问题(3) 存在唯一解$\widetilde c\left( {x,t} \right) \in C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{\varOmega _T}} \right) $，且满足$ {\| {\widetilde c} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant $$ {\| {\widetilde c} \|_{{C^{2 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} +{C_\alpha }\left( T \right) {\left\| {h_c} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} = {C_3}\left( {T,M} \right) $。

结合引理3可得

$ {\| {\widetilde c} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {\left\| {{c_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}{\text{ + }}C\eta \left( T \right) {C_3}\left( {T,M} \right) $

类似地可以得到问题(5)结论为

$ {\| {\widetilde q} \|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {\left\| {{q_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}{\text{ + }}C\eta \left( T \right) {C_5}\left( {T,M} \right) $

综上所述，当$T$足够小时，$\mathop {\lim }\limits_{T \to 0} \eta \left( T \right) = 0$,取

$ M = \max \left\{ \begin{array}{l} {\left\| {{m_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}},{\left\| {{n_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}},{\left\| {{c_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}}, \\ {\left\| {{s_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}},{\left\| {{q_0}} \right\|_{{C^{1 + \alpha }}\left[ {0,L} \right]}} \end{array} \right\} $

当$T > 0$充分小时，$\widetilde u \in {X_M}$，即映射$F$将${X_M}$映射到它自身。

(2) 下面证明映射$F$是压缩映射。对任意的${u_1}, {u_2} \in {X_M}$，假设$ {\widetilde u_1} = F{u_1},{\widetilde u_2} = F{u_2}, $${\widetilde u^*} = {\widetilde u_1} - {\widetilde u_2},\delta = \left\| {u_1} - {u_2} \right\|_{{C^{1 + \alpha ,{{\left( {1 + \alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }$。

记$ {\widetilde m^*} = {\widetilde m_1}^* - {\widetilde m_2}^* $，则有

$ \frac{{\partial {{\widetilde m}^*}}}{{\partial t}} = - \sigma q{\widetilde m^*} + {h_m}\left( {x,t} \right) $

式中：$ {h_m}\left( {x,t} \right) = - \sigma \left( {{q_1} - {q_2}} \right) {\widetilde m_2} $，则由引理2得

$ \begin{split} & {\| {{{\widetilde m}_1} - {{\widetilde m}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) {\left\| {{h_m}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) ( {\sigma {{\left\| {{q_1} - {q_2}} \right\|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}{{\| {{{\widetilde m}_2}} \|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}} ) \leqslant\\ & C\left( T \right) M \end{split} $

(11)

记$ {\widetilde n^*} = {\widetilde n_1}^* - {\widetilde n_2}^* $，则有

$ \frac{{\partial {{\widetilde n}^*}}}{{\partial t}} = {D_n}{\nabla ^2}{\widetilde n^*} - \left( {\frac{{\lambda {n_0}}}{{{n_M}}} + {\mu _n}} \right) {\widetilde n^*} + {h_n}\left( {x,t} \right) $

式中：$ {h_n}\left( {x,t} \right) = - \dfrac{{\lambda {n_0}}}{{{n_M}}}{\widetilde n_2} - {\mu _n}{\widetilde n_2} $，则由引理2得

$ \begin{split} & {\| {{{\widetilde n}_1} - {{\widetilde n}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) {\left\| {{h_n}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) \left( {\frac{{\lambda {n_0}}}{{{n_M}}}{{\| {{{\widetilde n}_2}} \|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} + {\mu _n}{{\| {{{\widetilde n}_2}} \|}_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}} \right) \leqslant\\ & C\left( T \right) M \end{split} $

(12)

记$ {\widetilde c^*} = {\widetilde c_1}^* - {\widetilde c_2}^* $，则有

$ \frac{{\partial {{\widetilde c}^*}}}{{\partial t}} = {D_c}{\nabla ^2}{\widetilde c^*} + {a_c}\left( {x,t} \right) \nabla {\widetilde c^*} + {b_c}\left( {x,t} \right) {\widetilde c^*} + {h_c^\prime} \left( {x,t} \right) $

式中：

$\begin{split} & {a_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}\nabla s - {\chi _c}\nabla m \\ & {b_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}{\nabla ^2}s - {\chi _c}{\nabla ^2}m \\ & {h_c^\prime} \left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}\nabla \left( {{s_1} - {s_2}} \right) - {\chi _c}\nabla \left( {{m_1} - {m_2}} \right) - \\ &\qquad\qquad \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}{\nabla ^2}\left( {{s_1} - {s_2}} \right) - {\chi _c}{\nabla ^2}\left( {{m_1} - {m_2}} \right) - {\mu _c}{{\widetilde c}_2} \end{split} $

则由引理2得

$ \begin{split} {\left\| {{{\widetilde c}_1} - {{\widetilde c}_2}} \right\|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant &\;{C_\alpha }\left( T \right) {\left\| {{h_c^\prime }} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \\ & C\left( T \right) M \end{split} $

(13)

记$ {\widetilde s^*} = {\widetilde s_1}^* - {\widetilde s_2}^* $，则有

$ \frac{{\partial {{\widetilde s}^*}}}{{\partial t}} = {D_s}{\nabla ^2}{\widetilde s^*} - \varphi c{\widetilde s^*} + {h_s^\prime} \left( {x,t} \right) $

式中：$ {h_s^\prime} \left( {x,t} \right) = - \varphi \left( {{c_1} - {c_2}} \right) {\widetilde s_2} + {\alpha _s}\left( {{n_1} - {n_2}} \right) $$ + {\beta _s}\left( {{m_1} - {m_2}} \right) $。由引理2得

$\begin{split} & {\| {{{\widetilde s}_1} - {{\widetilde s}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) {\left\| {{h_s^\prime}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & {C_\alpha }\left( T \right) (\varphi {\left\| {{c_1} - {c_2}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}{\| {{{\widetilde s}_2}} \|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} - \\ & {\alpha _s}{\left\| {{n_1} - {n_2}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} - {\beta _s}{\left\| {{m_1} - {m_2}} \right\|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }}) \leqslant\\ & C\left( T \right) M \end{split}$

(14)

记$ {\widetilde q^*} = {\widetilde q_1}^* - {\widetilde q_2}^* $，则有

$ \frac{{\partial {{\widetilde q}^*}}}{{\partial t}} = {D_q}{\nabla ^2}{\widetilde q^*} + {a_q}\left( {x,t} \right) \nabla {\widetilde q^*} + {b_q}\left( {x,t} \right) {\widetilde q^*} + {h_q^\prime} \left( {x,t} \right) $

式中：

$ \begin{split} & {a_q}\left( {x,t} \right) = - {\chi _q}\nabla m,{b_q}\left( {x,t} \right) = - {\chi _q}{\nabla ^2}m, \\ & {h_q^\prime} \left( {x,t} \right) = - {\chi _q}\nabla \left( {{m_1} - {m_2}} \right) - {\chi _q}{\nabla ^2}\left( {{m_1} - {m_2}} \right) + \\ &\qquad\qquad {\alpha _q}\left( {{n_1} - {n_2}} \right) + {\gamma _q}\left( {{c_1} - {c_2}} \right) \end{split}$

则由引理2得

$ \begin{split} {\| {{{\widetilde q}_1} - {{\widetilde q}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant &\;{C_\alpha }\left( T \right) {\| {{h_q^\prime }} \|_{{C^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & C\left( T \right) M \end{split} $

(15)

综合(11)-(15)，再由引理3可得

$\begin{split} {\| {{{\widetilde m}_1} - {{\widetilde m}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant &\;C\eta (T) {\| {{{\widetilde m}_1} - {{\widetilde m}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{1 + \alpha } \mathord{\left/ {\vphantom {{1 + \alpha } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant\\ & \eta \left( T \right) C\left( T \right) \delta \end{split} $

式中：$\eta \left( T \right) = \max \left\{ {{T^{{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}},{T^{{{\left( {1 + \alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}} \right\}$，同理

$\begin{split} & {\| {{{\widetilde n}_1} - {{\widetilde n}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \eta \left( T \right) C\left( T \right) \delta \\ & {\| {{{\widetilde c}_1} - {{\widetilde c}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \eta \left( T \right) C\left( T \right) \delta \\ & {\| {{{\widetilde s}_1} - {{\widetilde s}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \eta \left( T \right) C\left( T \right) \delta \\ & {\| {{{\widetilde q}_1} - {{\widetilde q}_2}} \|_{{C^{2 + \alpha ,{{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1{\text{ + }}\alpha } \right) } 2}} \right. } 2}}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant \eta \left( T \right) C\left( T \right) \delta \end{split} $

取$T > 0$充分小，使得$0 < \eta \left( T \right) C\left( T \right) < 1$，此时$F$为${X_M}$上的压缩映射。由Banach不动点定理可知，当$T > 0$充分小时，$F$存在唯一的不动点$ \left( {m,n,c,s,q} \right) $，是问题(6)~(10)在区域${\varOmega _T}$中的唯一解。由证明过程可知$T$依赖于初值$m\left( {x,0} \right) ,n\left( {x,0} \right) ,c\left( {x,0} \right) ,s\left( {x,0} \right) ,q\left( {x,0} \right) $在空间${C^{2 + \alpha }}\left( {0,L} \right) $中的范数的上确界。上述结果可以整理为定理1。

定理1　存在$T > 0$，对所有$t \in \left[ {0,T} \right]$，原问题(1)~(5)的逼近问题(6)~(10)在区域${\varOmega _T}$内存在唯一的解 ，其中$T$依赖于$m\left( {x,0} \right) ,n\left( {x,0} \right) ,c\left( {x,0} \right) ,s\left( {x,0} \right) ,q\left( {x,0} \right) $在${C^{2 + \alpha }}\left( {0,L} \right) $中的范数的上确界。

4 整体解的存在唯一性

引理4　对式(1)~(5)有结论：$ 0 \leqslant n \leqslant {n_M} $，以及$ m,c,s, q \geqslant 0 $成立。

证明　对式(2)应用极值原理可得

$ 0 \leqslant n \leqslant C\sup \left( {{n_0}} \right) \equiv {n_M} $

同理对于问题(1)、(3)、(4)、(5)中的变量$X$，应用极值原理可得

$ 0 \leqslant X \leqslant C\sup \left( X \right) \equiv {X_M} $

则有$ m,n,c,s,q \geqslant 0 $成立。引理4得证。

引理5　对任意$1 < k < \infty $，存在一个依赖于$T$的常数${C_k}\left( T \right) $满足

$\begin{split} &{\Vert m\Vert }_{{L}^{k}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{k}\left(T\right) ,{\Vert n\Vert }_{{L}^{k}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{k}\left(T\right) \\ &{\Vert c\Vert }_{{L}^{k}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{k}\left(T\right) ,{\Vert s\Vert }_{{L}^{k}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{k}\left(T\right) \\ &{\Vert q\Vert }_{{L}^{k}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{k}\left(T\right) \end{split} $

证明　对式(1)和(2)应用极值原理可得$0 \leqslant m \leqslant C\sup \left( {{m_0}} \right) ,0 \leqslant n \leqslant C\sup \left( {{n_0}} \right) $，则有

$ {\left\| m \right\|_{{L^k}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) ,{\left\| n \right\|_{{L^k}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) $

(16)

在方程(4)两边同时乘以${s^k}$并且在${\varOmega _T}$上积分可得

$\begin{split} & \frac{1}{{k + 1}}\int_0^L {\frac{\partial }{{\partial t}}} \int_0^t {{s^{k + 1}}} {\rm{d}}x{\rm{d}}t + k{D_s}\int_0^t {\int_0^L {{{\left| {\nabla s} \right|}^2}} } {s^{k - 1}}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant\\ & {\alpha _s}\int_0^t {\int_0^L n } {s^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t + {\beta _s}\int_0^t {\int_0^L m } {s^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant\\ & {\alpha _s}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{s^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\tfrac{k}{{k + 1}}}}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{n^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\tfrac{1}{{k + 1}}}} + \\ & {\beta _s}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{s^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\tfrac{k}{{k + 1}}}}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{m^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\tfrac{1}{{k + 1}}}} \end{split} $

(17)

将$ {\phi _s}\left( t \right) = \displaystyle\int_0^t {\displaystyle\int_0^L {{s^{k + 1}}} {\rm{d}}x{\rm{d}}t} $代入式(17)，由式(16)可得$\dfrac{{{\rm{d}}{\phi _s}}}{{{\rm{d}}t}} \leqslant C{\phi _s}^{\tfrac{k}{{k + 1}}} \leqslant {C_k}\left( {{\phi _s} + 1} \right) $。

由Gronwall不等式可得

$ {\phi _s} \leqslant {C_k}(T) $

(18)

因此可得${\left\| s \right\|_{{L^{k + 1}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) $。

把式(3)和式(5)相加，再两边同时乘以${\left( {c + q} \right) ^k}$并且在${\varOmega _T}$上积分可得

$\begin{split} & \frac{1}{{k + 1}}\int_0^L {\frac{\partial }{{\partial t}}} \int_0^t {{{\left( {c + q} \right) }^{k + 1}}} {\rm{d}}x{\rm{d}}t + \\ & k{D_{cq}}\int_0^t {\int_0^L {{{\left| {\nabla \left( {c + q} \right) } \right|}^2}} } {\left( {c + q} \right) ^{k - 1}}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant \\ & {\alpha _q}\int_0^t {\int_0^L n } {\left( {c + q} \right) ^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant \\ &{\alpha _q}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{{\left( {c + q} \right) }^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\frac{k}{{k + 1}}}}{\left( {\int_0^t {\int_0^L {{n^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t} \right) ^{\tfrac{1}{{k + 1}}}} \end{split} $

(19)

式中：$ {D_{cq}} = \max \left( {{D_c},{D_q}} \right) $，记

$ {\phi _{cq}}\left( t \right) = \int_0^t {\int_0^L {{{\left( {c + q} \right) }^{k + 1}}} {\rm{d}}x{\rm{d}}t} $

代入式(19)，由式(16)可得

$ \frac{{{\rm{d}}{\phi _{cq}}}}{{{\rm{d}}t}} \leqslant C{\phi _{cq}}^{\tfrac{k}{{k + 1}}} \leqslant {C_k}\left( {{\phi _{cq}} + 1} \right) $

则${\left\| {\left( {c + q} \right) } \right\|_{{L^{k + 1}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) $，又$c \geqslant 0,q \geqslant 0$，则

$ {\left\| c \right\|_{{L^{k + 1}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) ,{\left\| q \right\|_{{L^{k + 1}}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_k}\left( T \right) $

(20)

引理5得证。

引理6　对任意$1 < p < \infty $，存在一个依赖于$T$的常数${C_p}\left( T \right) $满足

$ \begin{split} &{\Vert m\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{p}\left(T\right) ,{\Vert n\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{p}\left(T\right) \\ &{\Vert c\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{p}\left(T\right) ,{\Vert s\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{p}\left(T\right) \\ &{\Vert q\Vert }_{{W}_{p}^{2,1}\left({\varOmega }_{T}\right) }\leqslant {C}_{p}\left(T\right) \end{split} $

证明　对于问题(1)、(2)、(4)应用引理1得

$ {\left\| m \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) ,{\left\| n \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) ,{\left\| s \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) , $

又由Sobolev嵌入定理^[16]

$ W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) \subset \subset C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}( {{{\overline \varOmega }_T}} ) ,\alpha = 2 - \frac{5}{p}\left( {p > \frac{5}{2}} \right) $

可得

$\begin{split} & {\left\| m \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) ,{\left\| n \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) \\ & {\left\| s \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) \end{split}$

问题(3)可以写成为

$ \frac{{\partial c}}{{\partial t}} = {D_c}{\nabla ^2}c + {a_c}\left( {x,t} \right) \nabla c + {b_c}\left( {x,t} \right) c + {h_c}\left( {x,t} \right) $

式中：

$ \begin{split} & {a_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}\nabla s - {\chi _c}\nabla m \\ & {b_c}\left( {x,t} \right) = - \frac{{\theta \rho }}{{1 + \rho }}{\nabla ^2}s - {\chi _c}{\nabla ^2}m \\ & {h_c}\left( {x,t} \right) = - {\mu _c}c \end{split}$

同理，问题(5)可以写成为

$ \frac{{\partial q}}{{\partial t}} = {D_q}{\nabla ^2}q + {a_q}\left( {x,t} \right) \nabla q + {b_q}\left( {x,t} \right) q + {h_q}\left( {x,t} \right) $

式中：

$\begin{split} & {a_q}\left( {x,t} \right) = - {\chi _q}\nabla m,{b_q}\left( {x,t} \right) = - {\chi _q}{\nabla ^2}m, \\ & {h_q}\left( {x,t} \right) = {\alpha _q}n + {\gamma _q}c \end{split}$

由引理5可知

$ {b_c}(x,t) + {h_c}(x,t) ,{b_q}(x,t) + {h_q}(x,t) \in {L^p}\left( {{\varOmega _T}} \right) $

且$ {a_c}(x,t) ,{a_q}(x,t) $是连续有界函数，由引理1可得${\left\| c \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) ,{\left\| q \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) }} \leqslant {C_p}\left( T \right) $，引理6得证。

引理7　存在一个依赖于$T$的常数$C\left( T \right) $，满足$ {\left\| u \right\|_{C_{x,t}^{2 + \alpha ,1 + {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant C\left( T \right) $。

证明　由引理6和Sobolev嵌入定理^[16]

$ W_p^{2,1}\left( {{\varOmega _T}} \right) \subset \subset C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) ,\alpha = 2 - \frac{5}{p}\left( {p > \frac{5}{2}} \right) $

则有${\left\| u \right\|_{C_{x,t}^{\alpha ,{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant C\left( T \right) ,0 < \alpha < 1$。

则方程(1)~(5)的系数满足引理2，因此可得${\left\| u \right\|_{C_{x,t}^{2{\text{ + }}\alpha ,{{1{\text{ + }}\alpha } \mathord{\left/ {\vphantom {{1{\text{ + }}\alpha } 2}} \right. } 2}}\left( {{{\overline \varOmega }_T}} \right) }} \leqslant C\left( T \right) $，引理7得证。

由定理1可得解的局部存在性，由引理7可得解的有界性，基于解的有界性，进而可以得到如下定理：

定理2　当条件(b)成立时，任何$t > 0$时，模型(1)~(5)存在唯一的全局解。

5 数值模拟

为了更直观地体现模型中各成分的关系，本文考虑用差分数值方法求解偏微分方程组(1)~(5)，包括二阶中心差分和一阶前后差分。为了说明简单，考虑无量纲化的数值模拟，这里设定模拟区域在$\left[ {0,50} \right] \times \left[ {0,50} \right]$网格中，时间步长为 $0.1$，空间步长为$0.5$。

相关参数值为^[17]：$ {m_0} = {n_0} = {c_0} = {s_0} = {q_0} = 1, $${D_n} = 1 \times {10^{ - 7}},{D_c} = 1 \times {10^{ - 5}},{D_s} = 1 \times {10^{ - 2}},{D_q} = 1 \times {10^{ - 3}},$ ${\chi _c} = 5, {\chi _q} = 7,{\mu _n} \,=\, 0.7,{\mu _c} \,= 10,\theta \,=\, 9 \times {10^{ - 3}},\delta \,=\, 9 \times {10^{ - 7}},$ $\lambda = 5, {n_M} = 50,\varphi = 0.3,{\alpha _s} = {\beta _s} = {\alpha _q} = {\gamma _q} = 7 \times {10^{ - 8}}$。

通过参数调整和数值方法求解，本文得到了从$t = 0.1$到$t = 0.5$肿瘤淋巴管生成的5种成分浓度变化的模拟结果对比，如图3所示。

从图3可以看出，随时间从$t = 0.1$到$t = 0.5$：(1) ECM受到MMP降解作用局部出现波动；(2) 肿瘤细胞持续发生扩散增殖；(3) 内皮细胞由于趋化和发生转移而减少，局部呈现凹凸峰错叠状；(4) VEGF由ECM和肿瘤细胞分泌而增多，受到内皮细胞吸收而减少，局部出现波动；(5) MMP由肿瘤细胞和内皮细胞分泌而增多，向ECM发生转移而减少，局部也呈现凹凸峰错叠状；此外还包括有些成分的死亡消减等。由此，通过数值实验验证了本文所建立的模型符合如图1所示的生物原理和如图2所示的建模原理，是可靠和准确的，从数学层面反映了主要影响肿瘤淋巴管生成的各成分的变化。

6 结论与展望

相较于以往关注肿瘤生长规律的模型，本文在考虑了肿瘤与ECM相互作用的基础上，建立了一个新的肿瘤淋巴管生成模型。本文考虑了多种成分的相互影响，包含肿瘤生长情况以及ECM重塑和肿瘤淋巴管生成的数量情况。通过对该模型进行理论分析，证明了局部解和整体解的存在唯一性，并通过数值模拟验证了模型的可靠性和准确性。

这项研究对于更深入地理解肿瘤转移机制，指导癌症治疗，并推动相关研究的发展具有重要意义。未来，将进一步探索该模型在不同肿瘤类型和治疗方案中的应用，例如关键因素如何影响肿瘤转移等，并进一步优化模型以提高其预测能力和临床实用性，使其更符合真实的生物学环境。