随着控制技术飞速发展，系统功能及其组件不断扩展，系统模型变得越来越复杂，工业控制需要建立更可靠的控制方法。然而，经典控制论的线性系统控制方法无法处理系统内存在的非线性、参数未知和系统模型部分未知等问题。因此，许多学者对非线性系统进行研究，并提出了自适应控制、模糊控制和神经网络控制等控制方法^[1-7]。其中，自适应控制因其独特的参数更新方法受到学者们的重视。但是自适应控制需要获得被控对象的数学模型结构，因而难以处理建模困难且只能得到部分结构信息的非线性系统。近年来，随着神经网络技术的发展，神经网络的灵活性和对未知模型的逼近功能可以很好地弥补自适应控制的不足。因此，将神经网络与自适应控制相结合形成的自适应神经网络控制方法得到了广泛关注^[8-10]。

对于大多数自适应神经网络控制方法，其控制效果很大程度上依靠控制器设计和各个参数的选取。为了使系统能够满足预期的性能要求，获得较小的稳态误差和较高的收敛速度，有关学者提出各类性能约束控制方法，其中包括障碍Lyapunov函数、漏斗控制和指定性能控制^[11-18]。针对一类非严格反馈互联非线性系统，文献[11]提出了一种具有指定性能的自适应神经网络分散控制方法。针对多智能体系统，文献[17]通过设计指定性能函数，约束各个子系统的跟踪误差，从而得到期望的跟踪效果。基于四旋翼无人机动力学模型，文献[18]提出了一种自适应指定性能控制算法。另外，由于系统状态难以直接观测或观测成本高昂等问题，研究状态不可测系统具有非常重要的意义^[19-23]。例如，文献[19]研究了一类具有状态不可测的非线性量化系统有限时间跟踪问题。文献[20]提出一种新的状态观测器，解决了一类纯反馈非线性系统的输出反馈控制问题。虽然学者们在非线性系统的自适应神经网络指定性能输出反馈控制方面已经取得了许多研究成果，但对于实际中执行器故障和全状态约束同时出现的情况，仍缺乏相关的分析和研究。

在元器件损耗、温湿度变化、外部扰动等因素的共同影响下，实际系统发生执行器故障的概率越来越大。执行器故障不仅会降低控制性能，还会使系统稳定性难以得到保障。因此，针对具有执行器故障的系统，其控制方法的研究具有重要的实际意义。文献[24]针对一类带有未知控制方向的多输入单输出执行器故障系统，提出了一种自适应输出反馈控制方法。文献[25]针对一类具有执行器故障和状态未知的不确定非线性互联大系统，将自适应Backstepping设计原理与Nussbaum增益函数特性相结合，提出了一种新的自适应神经网络输出反馈容错控制方法。另外，为了保证系统安全运行，系统状态需要满足一定的约束条件。文献[26]针对一类具有全状态约束的非线性系统，基于障碍李雅普诺夫函数，提出了一种自适应神经网络控制算法，使得系统状态满足约束要求，提高了系统的稳定性。基于对以上文献的分析，在自适应神经网络指定性能控制设计中考虑执行器故障和全状态约束具有重要意义。因此，本文针对一类具有执行器故障和全状态约束的纯反馈非线性系统，提出一种新的自适应神经网络输出反馈指定性能控制方法。

本文主要工作总结如下：(1) 相比于文献[17-18]的指定性能控制设计，本文可以通过设计性能函数中的参数来控制收敛时间和收敛速度，因此具有更高的灵活性。(2) 相比文献[17，26]，本文采用非线性映射的方法，将约束系统转化为新的非约束系统，从而不需要对虚拟控制器进行有界的假设，降低系统保守性。(3) 本文考虑综合系统未知状态、指定性能、执行器故障和全状态约束的多约束条件下的一类非线性纯反馈系统，并解决其控制问题。此外，本文使用动态面技术避免了反步法中的“计算爆炸”问题，使控制设计的过程更加简单。

1 预备知识与问题描述 1.1 系统描述

本文考虑如下的 $ n $ 阶纯反馈非线性系统：

$\left\{ \begin{array}{l} {\dot{x}}_{m}={f}_{m}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{m}{+1}}\right) +{x}_{m+1}，1\leqslant m\leqslant n-1 \\ {\dot{x}}_{n}={f}_{n}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) +{u}_{{\rm{f}}}\\ y={x}_{1} \end{array} \right. $

(1)

式中： ${\overline{\boldsymbol{x}}}_{{m}\text{+1}}={\left[{x}_{1},\;{x}_{2},\;\cdots ,\;{x}_{m+1}\right]}^{\text{T}}\in {{{\bf{R}}}}^{\mathit{m}+1}$ 和 ${{\boldsymbol{x}}}=[{x}_{1},\;{x}_{2},\;\cdots ,\; {x}_{n}]^{\mathrm{T}}$ 为系统的状态向量， $y\in {{\bf{R}}}$ 和 ${u}_{{\rm{f}}}\in {{\bf{R}}}$ 分别为系统输出和系统输入。 ${f}_{m}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{m}{+}{1}}\right)$ 和 ${f}_{n}\left({{\boldsymbol{x}}}\right)$ 为未知光滑的非线性函数。所有系统状态 ${x}_{m}(m=1，\cdots ，n)$ 需要保证在一个开集 ${{\varOmega }}_{{x}_{m}}=\{{x}_{m}:-{\underline{k}}_{{\rm{cm}}} < {x}_{m} < {\overline{k}}_{{\rm{cm}}}\}$ 中，其中 ${\underline{k}}_{{\rm{cm}}}$ 和 ${\overline{k}}_{{\rm{cm}}}$ 为已知的系统状态边界。

结合执行器可能存在的偏置故障和增益故障，本文所考虑系统的执行器故障模型描述为

$ {u}_{{\rm{f}}}\left(t\right) =b(1-s) u\left(t\right) +\varpi \left(t\right) $

式中： $ {u}_{{\rm{f}}}\left(t\right) $ 为实际控制器的输出， $ u\left(t\right) $ 为控制器的输入， $ b $ 为未知控制方向。 $ \varpi \left(t\right) $ 为控制器的加性故障，并且为有界的未知非线性函数。s表示控制器的未知故障指数， $ 0 < s < 1 $ 。

1.2 径向基函数神经网络

在本文中，径向基函数神经网络(RBF NNs) 用于逼近系统中的非线性函数^[17]

$ f\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ={\widehat{\boldsymbol{W}}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{S}({{\boldsymbol{Z}}}) $

式中： $\boldsymbol{S}({{\boldsymbol{Z}}})={\left[{S}_{1}\right({{\boldsymbol{Z}}}) ，{S}_{2}({{\boldsymbol{Z}}}) ，\cdots ，{S}_{k}({{\boldsymbol{Z}}}\left) \right]}^{\mathrm{T}}$ 为基函数向量， $ k $ 为RBF NNs的节点数， $\widehat{\boldsymbol{W}}=[{\widehat{W}}_{1}，{\widehat{W}}_{2}，\cdots ，{\widehat{W}}_{k}]^{\text{T}}\in {\bf{R}}^{k}$ 为权重向量。存在一个恒定的理想权重向量 $\boldsymbol{W}=\arg \underset{\boldsymbol{W}\in {\bf{R}}^{k}}{\min}\{\underset{\mathcal{Z}\in {\varOmega }}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}} |f\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) -{\widehat{\boldsymbol{W}}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{Z}\right) |\}$ ，使以下方程成立：

$ f\left(\boldsymbol{Z}\right) ={\boldsymbol{W}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{S}\text{(}{{\boldsymbol{Z}}}\text{) }+\delta \left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ，\forall {{\boldsymbol{Z}}}\in {\boldsymbol{\varOmega}} \subset {\bf{R}}^{q} $

式中： $\boldsymbol{W}={[{W}_{1}，{W}_{2}，\cdots ，{W}_{k}]}^{\mathrm{T}}\in {\bf{R}}^{k}$ 。逼近误差 $\delta \left({{\boldsymbol{Z}}}\right)$ 满足 $\left|\delta \right({{\boldsymbol{Z}}}\left) \right|\leqslant \varepsilon ，\varepsilon > 0$ 。本文使用的高斯基函数为

$ {S}_{i}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) =\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{{\left({{\boldsymbol{Z}}}-{{\boldsymbol{\iota}}}_{{i}}\right) }^{\mathrm{T}}\left({{\boldsymbol{Z}}}-{{\boldsymbol{\iota}}}_{{i}}\right) }{{\zeta }_{i}^{2}}\right] $

式中： ${{\boldsymbol{\iota}}}_{{i}}={\left[{{{\iota}}}_{i1}，{{{\iota}}}_{i2}，\cdots ，{{{\iota}}}_{iq}\right]}^{\text{T}}$ 和 $ {\zeta }_{i}(i=1，2，\cdots ，k) $ 分别为高斯函数的中心和宽度。

引理1^[17] 令 $\boldsymbol{S}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{q}\right) ={[{S}_{1}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{q}}\right) ,\;{S}_{2}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{q}}\right) ,\;\cdots ,\; {S}_{k}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{q}}\right) ]}^{\mathrm{T}}$ 为RBF NNs的基函数向量，其中 ${\overline{\boldsymbol{x}}}_{{q}}=[{x}_{1}，{x}_{2}\text{，}\cdots ，{x}_{q}]^{\text{T}}$ 。存在任意的正整数 $ p\leqslant q\text{，} $ 使得

$ {\|{{\boldsymbol{S}}}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{q}}\right) \|}^{2}\leqslant {\|{{\boldsymbol{S}}}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{p}}\right) \|}^{2} $

1.3 未知增益处理

本文引入Nussbaum函数来处理未知增益问题，相关定义和引理如下。

定义1^[27] 如果连续函数 $ N\left(\xi \right) :R\to R $ ，有以下特征：

$ \begin{array}{c}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim}\,{\rm{sup}}\dfrac{1}{s}{\displaystyle\int }_{0}^{s} N\left(\xi \right) {\rm{d}}\xi =+\infty \\ \underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim}\,{\rm{inf}}\dfrac{1}{s}{\displaystyle\int }_{0}^{s} N\left(\xi \right) {\rm{d}}\xi =-\infty \end{array} $

称为Nussbaum函数。

引理2^[27] 设 $ {V}(\cdot) $ 和 $ {\xi }(\cdot) $ 为定义在 $ \left[0，{t}_{{\rm{f}}}\right) $ 上的光滑函数，满足 $\forall t\in \left[0，{t}_{{\rm{f}}}\right) ，V\left(t\right) \geqslant 0$ 。已知 $ N\left(\mathrm{\xi }\right) $ 为一个光滑的Nussbaum型函数，若以下不等式成立，则 $ V\left(t\right) ，\xi \left(t\right) $ 和 ${\displaystyle\int }_{0}^{t} g\left(x\right(\tau \left) \right) N\left(\xi \right) \dot{\xi }\mathrm{d}\tau$ 在区间 $ \left[0，{t}_{{\rm{f}}}\right) $ 上必定有界即

$ 0 < V\left(t\right) \leqslant {c}_{0}+{{\rm{e}}}^{-{c}_{1}t}{\int }_{0}^{t} (g\left(x\left(\tau \right) \right) N\left(\xi \right) \\ + 1) \dot{\xi }{{\rm{e}}}^{{c}_{1}t}\mathrm{d}\tau $

式中： $ {c}_{1} $ 为正数， $ {c}_{0} $ 为一个适当的常数。 $ g\left(x\right(\tau \left) \right) $ 为有界时变函数，且在未知闭区间I:= $ \left[{l}^{-}，{l}^{+}\right]\not\supset 0 $ 内取值。

本文控制目标如下：(1) 保证输出 $ y\left(t\right) $ 能够跟踪上目标函数 $ {y}_{{\rm{d}}}\left(t\right) ，{|y}_{{\rm{d}}}\left(t\right) | $ 上界为Y₀，跟踪误差 $ \tilde{x}_{1}= y-{y}_{{\rm{d}}} $ 需要满足指定性能；(2) 保证系统状态始终在约束范围内；(3) 保证系统中所有信号都是半全局一致最终有界。

2 自适应容错控制算法设计

为了便于状态观测器的设计，对系统(1) 进行如下变换：定义 ${\boldsymbol{\chi}}=\dfrac{{x}}{\beta }={[{x}_{1}/\beta ，{x}_{2}/\beta ，\cdots ，{x}_{n}/\beta ]}^{\mathrm{T}}=[{\chi }_{1}，{\chi }_{2}，\cdots ，{\chi }_{n}]^{\mathrm{T}}，{\overline{\boldsymbol{\chi}}}_{{m}{+1}}={[{\chi }_{1}，{\chi }_{2}，\cdots ，{\chi }_{m+1}]}^{\mathrm{T}}$ ，式中， $ \;\beta =b(1-s) $ 。则系统(1) 等价以下系统：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\dot{\chi }}_{m}=\dfrac{{f}_{m}\left({\overline{\chi}}_{{m}{+1}}\right) }{\beta }+{\chi }_{m+1} \\ {\dot{\chi }}_{n}=\dfrac{{f}_{n}\left(\boldsymbol{\chi}\right) }{\beta }+u+\dfrac{\varpi }{\beta }\\ \dot{y}=\beta {\chi }_{2}+{f}_{1}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{\text{2}}\right) \end{array} \right. $

(1)

式中： $ m=1，\cdots ，n-1 $ 。经过以上转换， $ {x}_{m} $ 被转换为 $ {x}_{m}/\beta $ ，目的是分离原控制器中执行器故障部分。对于系统(2) ，使用变量变换后，实际控制输入 $ u $ 的系数变为1，从而可以进行之后的状态观测器设计。

2.1 状态观测器设计

针对系统(1) ，考虑状态不可测问题，建立如下的状态观测器进行状态估计：

$ \left\{\begin{array}{l}{\dot{\hat{\chi }}}_{m}={\hat{\chi }}_{m+1}+{l}_{m}{e}_{1}\text{，}1\leqslant m\leqslant n-1\\ {\dot{\hat{\chi }}}_{n}=u+{l}_{n}{e}_{1}\end{array}\right. $

(3)

式中： $ {l}_{m} $ 满足赫尔维茨多项式 $ p\left(s\right) ={s}^{n}+{l}_{1}{s}^{n-1}+\dots +{l}_{n} $ 。定义观测误差 $\boldsymbol{e}=\boldsymbol{\chi}-\hat{\boldsymbol{\chi}}，\hat{\boldsymbol{\chi}}={[{\hat{{{\chi}} }}_{1}，{\hat{\chi }}_{2}，\cdots ，{\hat{\chi }}_{n}\text{]}}^{\text{T}}，\boldsymbol{e}= [{e}_{1}，{e}_{2}，\cdots ，{e}_{n}]^{\mathrm{T}}$ ，并且根据式(2)和式(3) ，得到如下状态观测误差形式：

$ \dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{Ae}+\frac{\boldsymbol{F}{(}\boldsymbol{\chi}{) }}{\beta }+ {\boldsymbol{B}} \frac{\varpi }{\beta } $

(4)

式中： $\boldsymbol{A}{=}\left[\begin{array}{cc}-{\overline{{{\boldsymbol{l}}}}}_{{i}}& {\boldsymbol{I}}_{n-1}\\ -{l}_{n}& {0}_{1\times n-1}\end{array}\right]，{\overline{{{\boldsymbol{l}}}}}_{{i}}={\left[{l}_{1}，{l}_{2}，\cdots ，{l}_{n-1}\right]}^{\text{T}}$ 。此外，存在 $\boldsymbol{PA}+{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}=-\nu \boldsymbol{I}，\boldsymbol{P}={\boldsymbol{P}}^{\mathrm{T}} > 0，\nu > 0$ 为一个设计常数。 ${\boldsymbol{B}}=[\underbrace{0, \cdots, 0}_{n-1}, 1]^{\mathrm{T}}，\boldsymbol{F}(\boldsymbol{\chi}) =\left[{f}_{1}\left(\overline{\boldsymbol{\chi}}_{{2}}\right),\;\right. \left.{f}_{2}\left(\overline{\boldsymbol{\chi}}_{{3}}\right) ,\;\cdots ,\; {f}_{n}\left({\boldsymbol{\chi}}\right) \right]^{\text{T}}$ 。

由于 ${f}_{m}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{m}{+1}}\right)$ 是未知非线性函数，无法直接用于控制器设计，因此，利用RBF NNs逼近 ${f}_{m}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{m}{+1}}\right)$ ，可得

$ {f}_{m}={\boldsymbol{W}}_{{0}{m}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) +{\delta }_{0m}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ，{\delta }_{0m}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) \leqslant {\overline{\varepsilon }}_{0m}$

(5)

式中： ${{\boldsymbol{Z}}} = \boldsymbol{x},\;{\boldsymbol{W}}_{{0}{m}} \in {\boldsymbol{R}}^{n},\;{\boldsymbol{S}}_{{0}}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) = {\boldsymbol{S}}_{{0}} = [{S}_{01},\;{S}_{02},\;\cdots,\; {\left.{S}_{0n}\right]}^{\text{T}}$ ， ${\delta }_{0m}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right)$ 为逼近误差， ${\overline{\varepsilon }}_{0m}$ 为 $ {f}_{m} $ 的逼近误差上界。此外，存在一个紧集 $ {{\varOmega }}_{x} $ ，该紧集包含了所有状态 ${x} $ 的运行轨迹范围。根据式(5) ，存在

$ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{\chi}) ={\boldsymbol{W}}_{{0}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}({{\boldsymbol{Z}}}) +{\boldsymbol{\delta}}_{{0}}({{\boldsymbol{Z}}}) ，||{\boldsymbol{\delta}}_{{0}}({{\boldsymbol{Z}}}) ||\leqslant {\overline{\varepsilon }}_{0} $

式中： ${\overline{\varepsilon }}_{0}=\sqrt{\overline{\varepsilon }_{01}+{\overline{\varepsilon }}_{02}+\cdots +{\overline{\varepsilon }}_{0n}}，{\boldsymbol{W}}_{{0}}=\left[{\boldsymbol{W}}_{{01}}{，}{\boldsymbol{W}}_{{02}}{，}\cdots，{\boldsymbol{W}}_{{0}{n}}\right]$ ， ${\boldsymbol{\delta}}_{{0}}({{\boldsymbol{Z}}}) ={\boldsymbol{\delta}}_{{0}}={{[\delta }_{01}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ，{\delta }_{02}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ，\cdots ，{\delta }_{0n}\left({{\boldsymbol{Z}}}\right) ]}^{\text{T}}$ 。所以，结合式(4) ，可得

$ \dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{Ae}+\frac{1}{\beta }\left({\boldsymbol{W}}_{{0}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}+{\boldsymbol{\delta }}_{0}\right) +\boldsymbol{B}\frac{\varpi }{\beta } $

(6)

选取如下李雅普诺夫函数

$ {V}_{{\boldsymbol{e}}}={\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{Pe} $

(7)

结合式(6) ，可得

${\dot{V}}_{{\boldsymbol{e}}}=-\nu {\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{e}+\frac{2}{\beta }{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\left({\boldsymbol{W}}_{{0}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}+{\boldsymbol{\delta}}_{{0}}\right) +2{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\frac{\varpi }{\beta } $

(8)

定义自适应参数为

$ {\theta }^{\mathrm{*}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{n{||{\boldsymbol{W}}_{{0}}||}^{2}，{||{\boldsymbol{W}}_{{m}}||}^{2}，1\leqslant m\leqslant n-1\right\} $

式中： ${\boldsymbol{W}}_{{m}}$ 为 RNF NNs理想权重向量，定义 $\hat{\theta }$ 为 $ {\theta }^{\mathrm{*}} $ 的估计，且 $\tilde{\theta}={\theta }^{\mathrm{*}}-\hat{\theta }$ 。根据RBF NNS的高斯基函数定义可得 ${S}_{0i} = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-[({\left({{\boldsymbol{Z}}}-{\boldsymbol{\iota}}_{{0}{i}}\right) }^{\mathrm{T}}({{\boldsymbol{Z}}}-{\boldsymbol{\iota}}_{{0}{i}}) ) /{\zeta }_{0}^{2}]]$ ， $(i = 1，2，\cdots ，n)$ ，式中 ${\boldsymbol{\iota}}_{{0}{i}}={\left[{\iota }_{0i1}，{\iota }_{0i2}，\cdots ，{\iota }_{0iq}\right]}^{\mathrm{T}}$ 为高斯函数的中心， $ {\omega }_{0} $ 为高斯函数的宽度。因此，0< ${S}_{0i}\leqslant 1，{\boldsymbol{S}}_{{0}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}= {\displaystyle\sum }_{i=1}^{n} {S}_{0i}^{2}\leqslant n$ 。综合 $ {\theta }^{\mathrm{*}} $ 的定义，结合式(8) 可得

$ \frac{2}{\beta }{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}({\boldsymbol{W}}_{{0}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{0}}+{\boldsymbol{\delta}}_{{0}}) \leqslant 2\eta {\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{e}+{\eta }^{-1}\parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\theta }^{\mathrm{*}} +{\eta }^{-1}{\overline{\varepsilon }}_{0}^{2} $

(9)

$ \frac{2}{\beta }{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\varpi \leqslant \frac{1}{\varrho }{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{e}+\varrho \parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\overline{\varpi }}^{2}$

(10)

式中： $\eta ，\overline{\varpi }$ 和 $ \varrho $ 为大于0的常数，并且 $\left|\varpi \right(t\left) \right| < \overline{\varpi }$ 。

将式(9) 和式(10) 代入到式(8) 中，可得

$ {\dot{V}}_{{\boldsymbol{e}}}\leqslant -\left(\nu -2\eta -\frac{1}{\varrho }\right) {\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{e}+{\eta }^{-1}\parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\theta }^{*}+ \varrho \parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\overline{\varpi }}^{2}+{\eta }^{-1}{\overline{\varepsilon }}_{0}^{2} $

(11)

2.2 自适应控制器设计

本节将采用非线性映射进行全状态约束，并通过指定性能设计使跟踪误差满足期望的性能要求，进而设计具有全状态约束和指定性能的非线性系统的控制器和自适应律。

参考文献[28]，针对系统(1) 的全状态约束问题，对状态观测器(3) 进行如下坐标转换：

$ \left\{ \begin{array}{l} {s}_{2}=\ln \dfrac{{\underline{K}}_{2}+{\hat{\chi }}_{2}}{{\overline{K}}_{2}-{\hat{\chi }}_{2}}\\ \qquad\quad \vdots \\ {s}_{n}={\ln}\dfrac{{\underline{K}}_{n}+{\hat{\chi }}_{n}}{{\overline{K}}_{n}-{\hat{\chi }}_{n}} \end{array} \right. $

(12)

式中： ${\underline{K}}_{m}$ 为 ${\hat{\chi }}_{m}$ 的约束下界， ${\overline{K}}_{m}$ 为 ${\hat{\chi }}_{m}$ 的约束上界， $m= 1，2，\cdots ，n$ 。

注 1 　该方法通过坐标转换将约束系统转化为无约束系统，再在新系统上进行控制器设计。相比于文献[17，26]中用障碍李雅普诺夫函数的全状态约束，不仅不需要对虚拟控制器进行有界的假设，降低保守性，并且其过程相对简单，降低了对系统进行状态约束控制设计的难度。

指定性能描述如下：

$ -\mu \left(t\right) < {\stackrel{~}{x}}_{1}\left(t\right) < \mu \left(t\right) ，\forall t > 0 $

式中：性能函数 $ \;\mu \left(t\right) $ 为有界且单调递减的平滑正函数。本文选取如下函数作为性能函数。

$ \mu \left(t\right) =\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathrm{l}\mathrm{n}({C}_{0}{\left({t}_{f}-t\right) }^{\overline{n}}+1) +{\mu }_{\mathrm{\infty }}，& 0 < t < {t}_{{\rm{f}}}\\ {\mu }_{\mathrm{\infty }}，& t\geqslant {t}_{{\rm{f}}}\end{array}} \right. $

式中： ${C}_{0}=\dfrac{{{\rm{e}}}^{\varsigma }-1}{{\left({t}_{f}-{t}_{0}\right) }^{\overline{n}}}$ 。 $\varsigma $ ， $\overline{n} $ 和 ${\mu }_{\mathrm{\infty }} $ 都为正的设计参数。

注 2 　相比于文献[15-16]，本文所采用的性能函数可以通过设置参数 $ {t}_{{\rm{f}}} $ ，使得约束误差在 ${t}_{{\rm{f}}}$ 时刻内就能够收敛在 $ (-{\mu }_{\mathrm{\infty }}，{\mu }_{\mathrm{\infty }}) $ 范围。同时，还可以通过设置参数 $ \overline {n} $ 改变误差的收敛速度。

参考文献[29]，本文选取如下误差转换函数：

$ {\xi }_{1}\left(t\right) =\frac{{\tilde{x}}_{1}}{\sqrt{{\mu }^{2}-{{\tilde{x}}_{1}}^{2}}} $

(13)

注 3 　相比于多数指定性能设计使得 $|{\tilde{x}}_{1}| < {F}_{\mu }，{F}_{\mu }$ 为其性能函数。该误差转换函数能够使得 $\left|{\tilde{x}}_{1}\right|\leqslant \sqrt{\dfrac{{\phi }^{2}}{1+{\phi }^{2}}}{F}_{\mu } < {F}_{\mu }$ 。说明在相同 $ {F}_{\mu } $ 的条件下，该方法可以提高对误差的约束能力。其中， $\phi$ 的大小与控制参数的设计相关，下文进行证明。

对 $ {\xi }_{1}\left(t\right) $ 进行求导，可得

$ {\dot{\xi }}_{1}\left(t\right) ={{\varGamma }}_{1}\left({\dot{x}}_{1}-\frac{{\tilde{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) ={{\varGamma }}_{1}\left(\beta \left({s}_{2}+{e}_{2}\right) +{F}_{1}-{\dot{y}}_{d}-\frac{{\tilde{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) $

(14)

式中： ${{\varGamma }}_{1}=\dfrac{{\mu }^{2}}{\sqrt{{\left({\mu }^{2}-{\tilde{x}}_{1}^{2}\right) }^{3}}}，{F}_{1}=\beta \left({\overline{K}}_{2}-\dfrac{{\underline{K}}_{2}+{\overline{K}}_{2}}{{e}^{{s}_{2}+1}}-{s}_{2}\right) + {f}_{1}\left({\overline{\boldsymbol{x}}}_{{2}}\right)$ 。

定义如下坐标变换：

$\begin{split} & {z}_{m}={s}_{m}-{\omega }_{m}\\& {\lambda }_{m}={\omega }_{m}-{\alpha }_{m-1}，2\leqslant m\leqslant n \end{split} $

(15)

式中： $ {z}_{m} $ 为虚拟误差面， $ {\omega }_{m} $ 为滤波器输出， $ {\alpha }_{m-1} $ 为虚拟控制信号。基于动态面技术，定义一阶滤波器 ${\tau }_{m}{\dot{\omega }}_{m}+{\omega }_{m}={\alpha }_{m-1}，{\omega }_{{m}}\left(0\right) ={\alpha }_{m-1}\left(0\right)$ ，其中 $ {\tau }_{m} $ 为正设计参数， $ {\lambda }_{m} $ 为滤波误差。由 $ {\lambda }_{m}={\omega }_{m}-{\alpha }_{m-1} $ 可得 ${\dot{\omega }}_{m}=-\dfrac{{\lambda }_{m}}{{\tau }_{m}} $ ，则 $ {\dot{\lambda }}_{m}=-\dfrac{{\lambda }_{m}}{{\tau }_{m}}+{M}_{m}(\cdot ) ，$ $ {M}_{m}(\cdot ) =-{\dot{\alpha }}_{m-1} $ 为连续函数。

结合式(3)、式(12)、式(14) 和式(15) ，可得

$ \begin{split} & {\dot{\xi }}_{1}={{\varGamma }}_{1}\left(\beta \left({s}_{2}+{e}_{2}\right) +{F}_{1}-{\dot{y}}_{d}-\frac{{\tilde {x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) \\& {\dot{z}}_{m}={Q}_{m}\left({G}_{m}+{s}_{m+1}+{l}_{m}{e}_{1}\right) -{\dot{\omega }}_{m} \\&{\dot{z}}_{n}={Q}_{n}\left(u+{l}_{n}{e}_{1}\right) -{\dot{\omega }}_{n} \end{split}$

(16)

式中： ${Q}_{m}=\dfrac{{e}^{{s}_{m}}+{e}^{-{s}_{m}}+2}{{\underline{K}}_{m}+{\overline{K}}_{m}}$ ， ${G}_{m}={\overline{K}}_{m+1}- \dfrac{{\underline{K}}_{m+1}+{\overline{K}}_{m+1}}{{e}^{{s}_{m}+1}+1}- {s}_{m+1}$ ， $m=2，\cdots ，n-1 $ 。 ${Q}_{n}= \dfrac{{e}^{{s}_{n}}+{e}^{-{s}_{n}}+2}{{\underline{K}}_{n}+{\overline{K}}_{n}}$ 。

自适应容错控制算法的设计步骤如下：

Step1：选取第一步的Lyapunov函数

$ {V}_{1}=\frac{1}{2}{\xi }_{1}^{2}+\frac{1}{2{r}_{0}}{\tilde \theta ^2} $

(17)

式中： $ {r}_{0} $ 为正设计参数，由式(16)~(17) 可得

$ \begin{split} {\dot{V}}_{1}=&{\xi }_{1}{\dot{\xi }}_{1}-\frac{1}{{r}_{0}}\tilde \theta \dot{\hat{\theta }} ={\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}\Bigg(\beta \left({z}_{2}+{\lambda }_{2}+{\alpha }_{1}+{e}_{2}\right) + \\& {F}_{1}-{\dot{y}}_{d}-\frac{{\tilde{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\Bigg) -\frac{1}{{r}_{0}}\tilde \theta \dot{\hat{\theta }} \end{split}$

(18)

利用RBF NNs逼近 ${F}_{1}，{F}_{1}={\boldsymbol{W}}_{{1}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({{{\boldsymbol{Z}}}}_{{1}}\right) +\delta \left({{{\boldsymbol{Z}}}}_{{1}}\right)$ ，式中： ${{{\boldsymbol{Z}}}}_{{1}} = {\left[{x}_{1}，{x}_{2}，{s}_{2}\right]}^{\mathrm{T}}，\delta \left({{{\boldsymbol{Z}}}}_{{1}}\right)$ 为逼近误差且 $\left|\delta \left({{{\boldsymbol{Z}}}}_{\text{1}}\right) \right|\leqslant {\overline{\varepsilon }}_{1}，{\overline{\varepsilon }}_{1}$ 为 $ {F}_{1} $ 的逼近误差上界。使用Young’s不等式和引理1，可得

$ \begin{split} {\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}{F}_{1}=&{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}\left({\boldsymbol{W}}_{{1}}^{\text{T}}{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({{\boldsymbol Z}}_{{1}}\right) +\delta \left({{\boldsymbol Z}}_{\text{1}}\right) \right) \leqslant \\& \frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\theta }^{*}{\boldsymbol{S}}_{{1}}^{\text{T}}\left({{\boldsymbol Z}}_{{1}}\right) {\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({{\boldsymbol Z}}_{{1}}\right) }{2{a}_{1}^{2}}+\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\overline{\varepsilon }}_{1}^{2}}{2}\leqslant \\& \frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\theta }^{*}{\boldsymbol{S}}_{{1}}^{\text{T}}\left({x}_{1}\right) {\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) }{2{a}_{1}^{2}}+\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\overline{\varepsilon }}_{1}^{2}}{2} \end{split} $

(19)

${\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}\beta \left({z}_{2}+{\lambda }_{2}\right) \leqslant {\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\overline{\beta }}^{2}+\frac{{\lambda }_{2}^{2}}{2}+\frac{{z}_{2}^{2}}{2}\;\;\; $

(20)

${\xi _1}{\varGamma _1}\beta {e}_{2}\leqslant \frac{{\xi }_{1}^{2}\varGamma _1^{2}{\overline \beta }^{2}}{2}+\frac{1}{2}\parallel {{\boldsymbol{e}}}{\parallel }^{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $

(21)

式中： $ {a}_{1} $ 为正设计参数， $\; \overline{\beta }$ 为 $\;\beta$ 上界。由于 $\;\beta =b(1- s) \leqslant 1，\text{因此}\overline{\beta }\leqslant 1$ 。

将式(19)~(21) 代入式(18) ，可得

$ \begin{split} & {\dot{V}}_{1}\leqslant \frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\theta }^{*}{||{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) ||}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}+\frac{1}{2}{a}_{1}^{2}+\frac{{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}}{2}+ \frac{1}{2}{\overline{\varepsilon }}_{1}^{2}+\frac{3{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\overline{\beta }}^{2}}{2}+\\&\qquad \frac{{\lambda }_{2}^{2}}{2}+ \frac{{z}_{2}^{2}}{2}+\frac{1}{2}\parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2}+{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}\beta {\alpha }_{1}- {\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}\left({\dot{y}}_{{\rm{d}}}+\frac{{\tilde{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) -\frac{1}{{r}_{0}}\tilde{\theta }\dot{\hat{\theta }} \end{split}$

(22)

本文所选Nussbaum函数为 $ N\left(\psi \right) ={\psi }^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\psi $ 。设计如下虚拟控制信号 $ {\alpha }_{1} $ 。

$ \begin{split} & {\alpha }_{1}=N\left(\psi \right) \Bigg({c}_{1}{\xi }_{1}+\frac{{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}\hat{\theta }{||{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) ||}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}+\Bigg.\\&\qquad \Bigg.\frac{3{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\overline{\beta^{2} }}}{2}-{{\varGamma }}_{1}\left({\dot{y}}_{{\rm{d}}}+\frac{{\stackrel{~}{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) \Bigg) \\& \dot{\psi }={\xi }_{1}\Bigg({c}_{1}{\xi }_{1}+\frac{{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}\hat{\theta }{||{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) ||}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}+\Bigg.\\&\qquad \Bigg.\frac{3{\xi }_{1}{{\varGamma }}_{1}^{2}{\overline{\beta^{2} }}}{2}-{{\varGamma }}_{1}\left({\dot{y}}_{{\rm{d}}}+\frac{{\stackrel{~}{x}}_{1}\dot{\mu }}{\mu }\right) \Bigg) \end{split} $

(23)

将式(23)代入式(22) ，可得

$ \begin{split}& {\dot{V}}_{1}\leqslant -{c}_{1}{\xi }_{1}^{2}+\left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }+ \frac{1}{{r}_{0}}\tilde{\theta }\left(\frac{{r}_{0}{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{∥{\boldsymbol{S}}_{\text{1}}\left({x}_{1}\right) ∥}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}-\dot{\hat{\theta }}\right) +\\&\qquad \frac{{\overline{\varepsilon }}_{1}^{2}}{2}+\frac{{\lambda }_{2}^{2}}{2}+\frac{{z}_{2}^{2}}{2}+\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{\parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2}}{2} \end{split}$

(24)

Step m $ (2\leqslant m\leqslant n-1) $ ：选取第m步的Lyapunov函数

$ {V}_{m}={V}_{m-1}+\dfrac{{z}_{m}^{2}}{2} $

(25)

结合式(16)，对 $ {V}_{m} $ 求导得

$ \begin{split} {\dot{V}}_{m}=&{\dot{V}}_{m-1}+{z}_{m}{Q}_{m}\left({G}_{m}+{z}_{m+1}+{\lambda }_{m+1}+\right.\\& \left.{\alpha }_{m}+{l}_{m}{e}_{1}\right) -{z}_{m}{\dot{\omega }}_{m} \leqslant {\dot{V}}_{m-1}+{z}_{m}{Q}_{m}{G}_{m}+\\& \frac{3}{2}{z}_{m}^{2}{Q}_{m}^{2}+\frac{{z}_{m+1}^{2}}{2}+ \frac{{\lambda }_{m+1}^{2}}{2}+\frac{{l}_{m}^{2}}{2}\parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2}-\\& {z}_{m}{\dot{\omega }}_{m}+{z}_{m}{Q}_{m}{\alpha }_{m} \end{split} $

(26)

由Young’s不等式和引理1，可得

$ {z}_{m}{Q}_{m}{G}_{m}\leqslant \frac{{z}_{m}^{2}{Q}_{m}^{2}{\theta }^{*}{||{\boldsymbol{S}}_{{m}}\left({\overline{\boldsymbol{s}}}_{{m}}\right) ||}^{2}}{2{a}_{m}^{2}}+\frac{1}{2}{a}_{m}^{2}+ \frac{{z}_{m}^{2}{Q}_{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}{\overline{\varepsilon }}_{m}^{2} $

(27)

式中： ${\overline{\boldsymbol{s}}}_{{m}}={\left[{s}_{2}，\cdots ，{s}_{m}\right]}^{\mathrm{T}}$ 。设计虚拟控制信号 $ {\alpha }_{m} $

$ {\alpha }_{m}=\frac{1}{{Q}_{m}}\left(-{c}_{m}{z}_{m}-\frac{{z}_{m}{Q}_{m}^{2}\hat{\theta }{||{\boldsymbol{S}}_{{m}}\left({\overline{\boldsymbol{s}}}_{{m}}\right) ||}^{2}}{2{a}_{m}^{2}}-\right.\\ \left.2{z}_{m}{Q}_{m}^{2}-\frac{{z}_{m}}{2}+{\dot{\omega }}_{m}\right) $

(28)

将式(24)、式(27)和式(28)代入式(26) ，可得

$ \begin{split} & {\dot{V}}_{m}\leqslant \left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }-{\sum }_{i=1}^{m} {c}_{i}{z}_{i}^{2}-{c}_{1}{\xi }_{1}^{2}+ \\&\qquad \frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{m} \left({a}_{i}^{2}+{\lambda }_{i+1}^{2}+{\overline{\varepsilon }}_{i}^{2}\right) + \frac{1}{{r}_{0}}\tilde{\theta }\Bigg(\frac{{r}_{0}{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{||{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) ||}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}+\Bigg.\\&\qquad \Bigg.{\sum }_{i=2}^{m} \frac{{r}_{0}{z}_{i}^{2}{Q}_{i}^{2}{||{\boldsymbol{S}}_{{i}}\left({\overline{\boldsymbol{s}}}_{{i}}\right) ||}^{2}}{2{a}_{i}^{2}}-\dot{\hat{\theta }}\Bigg) + \Bigg(\frac{1}{2} + {\sum }_{i=2}^{m} \frac{{l}_{i}^{2}}{2}\Bigg) \parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2} + \frac{{z}_{m+1}^{2}}{2} \end{split} $

(29)

Step n：设计第n步的Lyapunov函数

$ {V}_{n}={V}_{n-1}+\frac{{z}_{n}^{2}}{2} $

(30)

$ {V}_{n} $ 的导数为

$ \begin{split} {\dot{V}}_{n}=&{\dot{V}}_{n-1}+{z}_{n}{Q}_{n}\left(u+{l}_{n}{e}_{1}\right) -{z}_{n}{\dot{\omega }}_{n}\leqslant \\& {\dot{V}}_{n-1}+\frac{{z}_{n}^{2}{Q}_{n}^{2}}{2}+\frac{{l}_{n}^{2}}{2}\parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2}- {z}_{n}{\dot{\omega }}_{n}+{z}_{n}{Q}_{n}u \end{split} $

(31)

控制器 $ u $ 和自适应律 $\dot{\hat{\theta }}$ 设计为如下形式

$ u=\frac{1}{{Q}_{n}}\left(-{c}_{n}{z}_{n}-\frac{{z}_{n}{Q}_{n}^{2}}{2}-\frac{{z}_{n}}{2}+{\dot{\omega }}_{n}\right) $

(32)

$ \dot{\hat{\theta }}={\sum }_{i=2}^{n-1} \frac{{r}_{0}{z}_{i}^{2}{Q}_{i}^{2}{||{\boldsymbol{S}}_{{i}}\left({\overline{\boldsymbol{s}}}_{{i}}\right) ||}^{2}}{2{a}_{i}^{2}}-\sigma \hat{\theta }+ \frac{{r}_{0}{\xi }_{1}^{2}{{\varGamma }}_{1}^{2}{||{\boldsymbol{S}}_{{1}}\left({x}_{1}\right) ||}^{2}}{2{a}_{1}^{2}}$

(33)

将式(29)、式(32)和式(33) 代入式(31) ，可得

$\begin{split} & {\dot{V}}_{n}\leqslant \left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }-{c}_{1}{\xi }_{1}^{2}-{\sum }_{i=2}^{n}{c}_{i}{z}_{i}^{2}+\\ &\qquad \frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n}({a}_{i}^{2}+{\overline{\varepsilon }}_{i}^{2}) +\frac{1}{2}{\sum }_{i=2}^{n} {\lambda }_{i}^{2}+\\ &\qquad \Bigg(\frac{1}{2}+{\sum }_{i=2}^{n} \frac{{l}_{i}^{2}}{2}\Bigg) \parallel \boldsymbol{e}{\parallel }^{2}+\frac{\sigma }{{r}_{0}}\tilde{\theta }\hat{\theta } \end{split} $

(34)

基于 $ {V}_{{\boldsymbol{e}}} $ 和 $ {V}_{n} $ ，Lyapunov函数定义为

$ V={V}_{{\boldsymbol{e}}}+{V}_{n}+\frac{1}{2}{\sum }_{i=2}^{n} {\lambda }_{i}^{2} $

(35)

对 $ V $ 求导，可得

$ \dot{V}={\dot{V}}_{e}+{\dot{V}}_{n}+{\sum }_{i=2}^{n} {\lambda }_{i}\left(-\frac{{\lambda }_{i}}{{\tau }_{i}}+{M}_{i}(\cdot ) \right) $

(36)

根据式(34)和式(36) ，使用Young’s不等式，可得

$\frac{\sigma }{{r}_{0}}\tilde{\theta }\hat{\theta }\leqslant \frac{\sigma }{2{r}_{0}}\left({\theta }^{*2}-{\tilde{\theta }}^{2}\right) $

(37)

$ {\sum}_{i=2}^{n} {\lambda }_{i}{M}_{i}(\cdot ) \leqslant \sum _{i=2}^{n} \left(\frac{{\lambda }_{i}^{2}{M}_{i}^{2}\left(\cdot \right) }{2}+\frac{1}{2}\right) $

(38)

将式(11) 、式(34) 、式(37) 和式(38) 代入式(36) ，整理后得

$\begin{split} & \dot{V}\leqslant -\Bigg(\nu -2\eta -\frac{1}{\varrho }-\frac{1}{2}-{\sum }_{i=2}^{n} \frac{{l}_{i}^{2}}{2}\Bigg) {\boldsymbol{e}}^{\text{T}}\boldsymbol{e}+\\&\qquad {\eta }^{-1}\parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\theta }^{*}+\varrho \parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\overline{\varpi }}^{2}+{\eta }^{-1}{\overline{\varepsilon }}_{0}^{2}+\\&\qquad \left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }+\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n}({a}_{i}^{2}+{\overline{\varepsilon }}_{i}^{2}) -\\&\qquad {c}_{1}{\xi }_{1}^{2}+{\sum }_{i=2}^{n} \left(-\frac{1}{{\tau }_{i}}+\frac{1}{2}+\frac{{M}_{i}^{2}(\cdot ) }{2}\right) {\lambda }_{i}^{2}-\\&\qquad {\sum }_{i=2}^{n} {c}_{i}{z}_{i}^{2}-\frac{\sigma }{2{r}_{0}}{\tilde{\theta }}^{2}+\frac{\sigma }{2{r}_{0}}{\theta }^{*2}+\frac{n-1}{2} \end{split} $

(39)

定义以下参数

$ \begin{split} & q=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{2{c}_{i}，\sigma ，\frac{2}{{\tau }_{i}}-1-{M}_{i}^{2}\left(\cdot \right) \right\} \\& \tilde{b}={\eta }^{-1}\parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\theta }^{*}+\varrho \parallel \boldsymbol{P}{\parallel }^{2}{\overline{\varpi }}^{2}+\\&\qquad \frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n}({a}_{i}^{2}+{\overline{\varepsilon }}_{i}^{2}) +\frac{\sigma }{2{r}_{0}}{\theta }^{*2}+ \frac{n-1}{2}+{\eta }^{-1}{\overline{\varepsilon }}_{0}^{2} \end{split} $

存在参数 $ \nu $ 满足以下不等式

$ \nu > 2\eta +\frac{1}{\varrho }+\frac{1}{2}+{\sum }_{i=2}^{n} \frac{{l}_{i}^{2}}{2}+q{\lambda }_{\text{max}}\left(\boldsymbol{P}\right) $

式中： $ {\lambda }_{\text{max}}\left(\boldsymbol{P}\right) $ 为 $ \boldsymbol{P} $ 矩阵的最大特征值，则式(39) 可写为

$ \dot{V}\left(t\right) \leqslant -qV\left(t\right) +\left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }+\overline{b} $

(40)

由引理2可知 $ \left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi } $ 是有界的。因此，令 $\left({{\varGamma }}_{1}\beta N\left(\psi \right) +1\right) \dot{\psi }+\tilde{b}\leqslant D$ ， $ D $ 为一个正数。将 $ D $ 代入式(40) ，可得

$ V\left(t\right) \leqslant \frac{D}{q}+\left[V\left(0\right) -\frac{D}{q}\right]{{\rm{e}}}^{-qt} $

(41)

上式说明所有信号都是半全局一致最终有界。定义 ${\lambda }_{\text{min}}\left(\boldsymbol{P}\right)$ 为 $\boldsymbol{P}$ 矩阵的最小特征值，根据式(41) 得

$ \left|{\xi }_{1}\right|\leqslant \sqrt{\frac{2D}{q}+2\left[V\left(0\right) -\frac{D}{q}\right]{{\rm{e}}}^{-qt}} $

(42)

$ \left| {e_i} \right| \leqslant \parallel {\boldsymbol{e}}\parallel \leqslant \sqrt {\frac{{\dfrac{D}{q} + \Bigg( {V\left( 0 \right) - \dfrac{D}{q}} \Bigg){{\rm{e}}^{ - qt}}}}{{{\lambda _{{\rm{min}}}}\left( {{\boldsymbol{P}}} \right) }}}$

(43)

定义 $\varDelta =\sqrt{\dfrac{\dfrac{D}{q}+\Bigg(V\left(0\right) -\dfrac{D}{q}\Bigg){{\rm{e}}}^{-qt}}{{\lambda }_{\text{min}}\left(\boldsymbol{P}\right) }}$ 。由于 ${x}_{1}={\tilde{x}}_{1}+{y}_{{\rm{d}}}，{y}_{{\rm{d}}}\leqslant {Y}_{0}，\left|{x}_{1}\right|\leqslant \left|{\tilde{x}}_{1}\right|+\left|{y}_{{\rm{d}}}\right|$ 。因此， $-\mu \left(t\right) -{Y}_{0} < {x}_{1} < \mu \left(t\right) + {Y}_{0}$ 。令 ${\underline{k}}_{{\rm{c}}1}={\overline{k}}_{{\rm{c}}1}=\mu \left(0\right) +{Y}_{0}，$ 从而 $-{\underline{k}}_{{\rm{c}}1} < {x}_{1} < {\overline{k}}_{{\rm{c}}1}$ 。因 ${x}_{m} = {e}_{m} + \beta {\hat{\chi }}_{m}，\left|{x}_{m}\right|\leqslant \left|{e}_{m}\right| + \left|\beta {\hat{\chi }}_{m}\right|，$ 令 ${\underline{k}}_{{\rm{c}}m}=\varDelta +\overline{\beta }{\underline{K}}_{m}，{\overline{k}}_{{{{\rm{c}}m}}}= \varDelta +\overline{\beta }{\overline{K}}_{m}$ ，则 $\;-{\underline{k}}_{{{{\rm{c}}m}}} < {x}_{m} < {\underline{k}}_{{{{\rm{c}}m}}}(m=2，\cdots ，n)$ 。

定义 $\phi =\sqrt{\dfrac{2D}{q}+2\left(V\left(0\right) -\dfrac{D}{q}\right){{\rm{e}}}^{-qt}}$ ，根据式(13)和式(42) ，可得

$\begin{split} & \frac{{\tilde{x}}_{1}^{2}}{{\mu }^{2}-{\tilde{x}}_{1}^{2}}={\xi }_{1}^{2}\leqslant \frac{2D}{q}+2\Bigg(V\left(0\right) -\frac{D}{q}\Bigg){{\rm{e}}}^{-qt}\\& {\tilde{x}}_{1}^{2}\leqslant \frac{{\phi }^{2}{\mu }^{2}}{1+{\phi }^{2}}\\& \left|{\tilde{x}}_{1}\right|\leqslant \sqrt{\frac{{\phi }^{2}}{1+{\phi }^{2}}}\left|\mu \right| < \left|\mu \right| \end{split} $

(44)

上式说明，通过指定性能控制设计，不仅能使系统跟踪误差始终被约束在指定性能函数的范围内，并且正确的参数选择能使系统跟踪误差变得足够小。

注4 　从式(41) 可知，在基于反步法的框架下，根据构造的Lyapunov函数，所得控制律 $ u $ 能够使得系统所有误差信号 $ {z}_{m}(m=2，\cdots ，n) $ 有界，并且保证跟踪误差 $ {\stackrel{~}{x}}_{1} $ 满足预先设定的性能要求。

综上所述，对原系统(1)，利用设计的虚拟控制律(23)、(28) 和控制律(32)，可以使原系统所有状态有界，系统跟踪误差满足设定的性能要求，并且能够在系统发生执行器故障的情况下，仍然保持良好的暂态性能和稳态性能。

3 仿真分析

考虑如下纯反馈非线性系统

$ \left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1}={x}_{2}+0.5{x}_{2}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}{x}_{1}\\ {\dot{x}}_{2}={u}_{{\rm{f}}}-0.5{x}_{1}{x}_{2}^{3}\\ y={x}_{1}\end{array}\right. $

系统跟踪轨迹为 $ {y}_{{\rm{d}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(0.4t\right) \text{。} $ 指定性能函数为 $\mu ={\ln}(0.229\;4(2-t{) }^{1.5}+1) +0.05\text{。}$ 系统状态约束边界为 ${\underline{k}}_{{\rm{c}}1}={\overline{k}}_{{\rm{c}}1}=1.55，{\underline{k}}_{{\rm{c}}2}={\overline{k}}_{{\rm{c}}2}=1.6\text{。}$ 参数分别设计为 ${c}_{1}= {c}_{2} = 5，{\sigma }_{1} = 0.02，{a}_{1} = 10\text{，}{\tau }_{1}=0.2，{\omega }_{2}\left(0\right)=0.2$ ， ${\overline{K}}_{2}= {\underline{K}}_{2}= 1.1，\overline{\beta }=1，\varsigma =0.5，\overline{n}=1.5，{\mu }_{\mathrm{\infty }}=0.05，{t}_{0}=0$ ， ${t}_{{\rm{f}}}= 2，{l}_{1}= {l}_{2}=10{，C}_{0}=0.229 \;4$ 。

考虑系统执行器故障

$ {u}_{{\rm{f}}}=b(1-s) u+\varpi $

式中：参数设计为 $ b=1，s=0.05 $ ，执行器偏差故障的非线性函数为 $ \varpi =0.1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(-{t}^{2}\right) $ 。系统各自适应参数初始值设计为 ${x}_{1}\left(0\right) =0.8，{x}_{2}\left(0\right) =0.6，{\hat{\theta }}_{10}=0，{r}_{0}=80，{\hat{\chi }}_{10}={\hat{\chi }}_{20}=1，\psi \left(0\right) =3$ 。

本文仿真结果如图1~图7所示。图1说明在该控制方法下，系统输出对于目标函数有着良好的跟踪效果，并且系统状态 $ {x}_{1}=y\text{和}{x}_{2} $ 始终都在约束范围内。与图1相比，图2说明当不对系统执行器故障进行补偿时(令 $ N\left(\psi \right) =1 $ ，其他设计参数不变) ，仿真运行0.27 s后，在系统跟踪误差 $ {\tilde{x}}_{1} $ 靠近性能函数边界时，系统输入发生剧烈抖动，系统失去稳定，无法继续运行。说明本文控制方法能够有效补偿系统中出现的执行器故障，并且能够让系统保持运行稳定。从图3可以看出，当没有对系统状态进行约束时，在仿真初期，系统状态 $ {x}_{2} $ 将明显超过约束条件。说明本文控制方法能够让系统状态保持在约束范围内，满足了系统的状态约束要求。图4和图5分别展示了当性能函数取不同 ${t}_{{\rm{f}}}$ 和 $ \overline{n} $ 时，系统跟踪误差的收敛情况。可以看到，在本文所采用的性能函数下，能够保证系统跟踪误差在 ${t}_{{\rm{f}}}$ 时刻内进行收敛，并且可以通过设置 $\overline{ n }$ 改变误差收敛的速度， $\overline{n}$ 越大，误差收敛速度越快。但是，随着参数 ${t}_{{\rm{f}}}$ 的减小或者 $\overline{n}$ 的增大，系统状态振荡的频次也会随之增加。图6所展示的是性能函数为 $\;{\mu }^{*}= \left({\mu }_{0}-{\mu }_{\mathrm{\infty }}\right) {{\rm{e}}}^{-\overline{m}t}+{\mu }_{\mathrm{\infty }}\left({\mu }_{0}=0.55，{\mu }_{\mathrm{\infty }}=0.05\right.，\overline{m}=1)$ 时系统的跟踪情况，其中 $ \;{\mu }^{*} $ 为参考文献[17-18]中所用的性能函数形式。该算法的控制效果和系统稳定时间依靠 $ \;{\mu }_{0}、{\mu }_{\mathrm{\infty }} $ 和 $ \overline{m} $ 的参数设置，所以不能灵活设置系统跟踪误差的收敛速度和收敛时间。因此，综合图4、图5和图6，相比文献[15-16]中所用的性能函数 $ \;{\mu }^{*} $ ，本文所用的性能函数更具灵活性。最后，本文控制输入如图7所示。

4 结论

本文针对一类具有执行器故障的状态不可测纯反馈系统，考虑全状态约束和指定性能的约束条件，提出了一种自适应神经网络输出反馈容错控制方法。首先，建立状态观测器处理了系统状态不可测的问题。通过引入非线性映射，将状态约束系统转化为一个没有约束的新系统，从而解决了系统的全状态约束问题。其次，利用径向基神经网络逼近了系统中的未知非线性函数。此外，本文采用新的性能函数，有效地控制跟踪误差的收敛速度，并保证误差在所设置的时间内收敛。最后，仿真结果验证了本文控制算法的有效性。