锥和偏序是非线性分析研究的重要课题之一.在实值映射中，分别针对上半连续和下半连续，Chen提出下方上半连续和上方下半连续，并得到一系列重要结果^[1-2].在向量值映射中，Khanh等在文献[1-2]的基础上提出锥上方下半连续，以及锥上半连续，集值映射的半连续等概念.本文参考文献[3-4]探究锥上方下半连续向量值映射是否具有文献[1]定理1.1和文献[2]定理1.2类似的结果.

极值的研究在向量优化的研究中非常重要.Cesari等^[5]研究了有界和弱闭集极大元的存在性.Corley^[6]研究了C-半紧集极大元的存在性，得出若B为C半紧，那么B中至少存在一个Pareto极大元的重要结论，但证明存在错误，本文将予以指出和改正.陈宝娟^[7]对文献[6]的结论进行平行推广.Corley^[8]研究了C半连续的向量值映射极大元的存在性.本文受此启发，参考了文献[9-11]对C半连续映射极小元的相关理论，探索C-上方下半连续映射极小元的存在性.

1 预备知识

为方便叙述, 本文首先引入一些基本概念和已知结果.

定义1^[12]  设E是实Banach空间，如果P是E中某非空凸闭集，并且满足下面两个条件：

(1) x∈P, λ≥0⇒λx∈P;

(2) x∈P, -x∈P⇒x=θ, θ表示E中的零元素，则称P是E中一个锥.

在E中给定一个锥P后，则可在E中的元素间引入偏序：x≤y(x, y∈E)，如果y-x∈P；若x≤y, x≠y，则记x＜y.

若无特殊说明，本文的X是指赋范线性空间，Y是实拓扑向量空间，P是Y中一个锥.

定义2  Y为实拓扑向量空间，P是Y中一个锥，那么可在Y中引入偏序，A是Y中的非空子集，

(1) 如果y₀∈A，不存在y∈A，s.t.y₀＞y，则称y₀为A的极小元^[6]；

(2) 如果y₀∈A，A∩(y₀-P)={y₀}，则称y₀为A的极小元^[13]；

(3) 如果y₀∈A，不存在y∈A，s.t.y₀＜y，则称y₀为A的极大元^[6]；

(4) 如果y₀∈A，A∩(y₀+P)={y₀}，则称y₀为A的极大元^[13].

(1) 和(2)，(3)和(4)等价.

证明  (1)⇒(2).因为θ∈P，所以y₀∈A且y₀∈y₀-P.若∃y≠y₀，y∈A∩(y₀-P)，则有y∈y₀-P，y₀-y∈P，所以y₀＞y，与(1)矛盾，所以A∩(y₀-P)={y₀}.

(2) ⇒(1).反证，若存在y∈A，s.t.y₀＞y，y≠y₀，所以y₀-y∈P，即y∈y₀-P，所以y∈A∩(y₀-P)与(2)矛盾.同理可证得(3)和(4)等价.

注：本文分别用MinA, MaxA表示集合A的极小、极大元组成的集合.

定义3^[13]  Y为实拓扑向量空间，P是Y中一个锥，那么可在Y中引入偏序，A是Y中的非空子集，

(1) 如果y₀∈A，且∀y∈A，有y₀≥y，则称y₀为A的最大元；

(2) 如果y₀∈A，A⊆y₀-P，则称y₀为A的最大元；

(3) 如果y₀∈A，且∀y∈A，有y₀≤y，则称y₀为A的最小元；

(4) 如果A⊆y+P，则称y∈A为A的最小元.

显然，(1)和(2)，(3)和(4)等价.

定义4^[3]  F:X→Y为一个向量值映射，

(1) 如果对∀{x_n}→x，且有f(x_n+1)≤f(x_n)，∀n，那么有f(x)≤f(x_n)，∀n，则称F在x处P-lower semi-continuous from above(P - lsca).

(2) 如果对∀{x_n}→x，且有f(x_n+1)≥f(x_n)，∀n，那么有f(x)≥f(x_n)，∀n，则称F在x处P-upper semi-continuous from blow(P - uscb).

(3) 如果对∀e∈Y, ∀{x_n}→x, 且F(x_n)+e≤0，那么有F(x)+e≤0，则称F在x处P-lower semi-continuous(P-lsc).

定义5^[13]  X和Y是实线性空间，P是Y中一个锥，S是X中的凸子集，F:S→Y, 若对∀x, y∈S, ∀λ∈[0, 1]，F有λF(x)+(1-λ)F(y)-F(λx+(1-λ)y)∈P，那么称F为P - 凸映射.

定义6^[6]  P是Y中一个锥，B⊂Y，如果对B的每个形式为{(P+y_α)^c:y_α∈B, α∈Λ}的开覆盖，B有有限子覆盖，那么称B为P - 半紧.

注：除了后面例(1)和定理3外，本文锥的定义均指定义1，区别在于文献[6]中的锥仅仅满足定义1中(1)，不要求满足闭凸集和定义1中的(2).为明确区分本文与文献[6]关于锥的差别，将文献[6]中锥的定义叙述如下.

定义7^[6]  Y是实拓扑向量空间，P⊂Y，若P满足对∀y∈P, λ≥0, 有λy∈P，则P称为锥. P叫做凸锥, 若对∀y₁, y₂∈P, ∀λ₁, λ₂≥0，有λ₁y₁+λ₂y₂∈P.如果锥P还满足P∩-P={θ}，则锥P是尖的.如果P是尖的，则称P是锐的.

引理1^[14]  设A⊂Y为一个非空的紧子集，则MinA≠φ，且A⊆MinA+P.

命题1^[15]  设X是向量空间，A⊂X，那么A的凸包是A中任意凸组合的全体，即co(A)={ $ \sum\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\left. {{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}}{{\mathit{x}}_{\mathit{i}}} \right|\sum\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{{\mathit{\lambda }}_{\mathit{i}}}=1}}$, λ_i≥0, x_i∈A, i=1, 2, …, n, ∀n∈N}.

定理1^[1]  X是紧的拓扑向量空间，F:X→R是实值映射，如果F是上方下半连续(下方上半连续)，那么∃x₀∈X, s.t.F(x₀)=min_x∈XF(x)(resp., F(x₀)=max_x∈XF(x)).

定理2^[2]  X是实自反的Banach空间，F: D(F)→Y为上方下半连续的真凸泛函，如果$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\mkern 1mu} F\left( x \right)$=+∞，那么存在x₀∈D(F), s.t.F(x₀)=$ \underset{\mathit{x}\in \mathit{D}\left( \mathit{F} \right)}{\mathop{\text{inf}}}\, \mathit{F}\left( \mathit{x} \right)$.

2 主要结果

本节首先指出文献[6]证明过程中用到P - 半紧是闭集的错误，并给出一个新的证明.然后讨论了锥上方下半连续映射存在极小元的问题，得到了两个存在性结果.

文献[6]指出P - 半紧集是闭集，但是这一结论显然不成立，证明如例1.

例1  Y=R², P={(x, x), x≥0}, B={(x, 0), x∈(0, 1)}

若B⊂$ \bigcup\limits_{\mathit{\alpha }\in \mathit{\Lambda }}$(P+y_α)^c, y_α∈B.那么y_α1≠y_α2, α₁, α₂∈Λ, s.t.B⊂(P+y_α1)^c∪(P+y_α2)^c, 所以B为P - 半紧，但是B为开集.

而文献[6]定理2.1的证明中用到B锥半紧是闭集.原文为因为B和P+y_α，对∀α∈Λ，都是闭集，{[B∩(P+y_α)]^c:α∈Λ}形成了B的开覆盖.例1已证明B不一定是闭集.本文对定理的后半部分重新证明，证明方法不用讨论B∩(P+y_α)是否为闭集而更加简洁.

定理3^[6]  如果P是Y中一个锐凸锥，B⊂Y非空，若B为P - 半紧，那么Max(B; P)≠φ.

证明  若尖凸锥P₁, P₂满足P₁⊂P₂，则Max(B, P₂)⊂Max(B, P₁)，因为P为锐凸锥，则P为尖凸锥，那么Max(B, P)⊂Max(B, P)，所以不妨设P是尖闭凸锥.

反证，若Max(B, P)=φ，那么利用Zorn’s定理，B中存在一个全序集T={y_α:α∈Λ}没有上界，即可表示为

$ \bigcap\limits_{\alpha \in \mathit{\Lambda }}{\left[ B\cap \left( P{\rm{+}}{{y}_{\alpha }} \right) \right]\rm{=}\varphi }\rm{, } $

所以B^c∪($ \bigcup\limits_{\mathit{\alpha }\in \mathit{\Lambda }}$(P+y_α)^c)⇔B，即$ \bigcup\limits_{\mathit{\alpha }\in \mathit{\Lambda }}$(P+y_α)^c⇔B，又B为P - 半紧，则

$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{{\left( \mathit{P}\text{+}{{\mathit{y}}_{\mathit{i}}} \right)}^{\mathit{c}}}}\Leftrightarrow \mathit{B}\text{, } $

又因为T全序，∃y_i, s.t.B⊂(P+y_i)^c，这与y_i∈B矛盾.

引理2  设F:X→Y为一个向量值映射，如果F是连续的，可以推出F是P-lsc；如果F是P-lsc，可以推出F是P-lsca，反之不一定成立.

证明  容易证得如果F是连续的，那么F是P-lsc.

下面证明若F是P-lsc，那么F是P-lsca.

因为{x_n}→x，所以∀n∈{1, 2, 3, …}，有x_m→x, m=n, n+1, n+2, …，

又因为F(x_m)-F(x_n)≤0，取e=-F(x_n)，因为F是P-lsc，所以F(x)-F(x_n)≤0，即F(x)≤F(x_n)，所以F是P-lsca.

例2  X=Y=R，P为非负实数，

$ \mathit{F}\left( \mathit{x} \right)\text{=}\left\{ \begin{align} &\mathit{x}\text{+1, }\ \mathit{x}\ge \text{0, } \\ &\ \ \mathit{x}\text{, }\ \mathit{x<}\text{0}\text{.} \\ \end{align} \right.\text{ }\!\!~\!\!\text{ } $

那么F在R上为P-lsca，但是F在x=0处不是P-lsc.

定理4  设F:X₀→Y为一个向量值映射，其中X₀⊂X，P为Y中一个锥，如果X₀是紧的，F是P-lsca，并且是紧值的，则对∀y∈F(X₀), ∃y₀∈MinF(X₀), s.t.y₀≤y.

证明  参照文献[16]定理1的证明方法，设Σ是F(X₀)所有全序集的集合，对每个a∈F(X₀)，Σ_a={D∈Σ|y≤a, y∈D}，由Zorn’s引理Σ_a有极大元，记为D₀，即在D₀中找到最小元.因为F为紧值映射，X₀紧，所以D₀为全序准紧集.由引理1，可知$ \overline{{{\mathit{D}}_{\text{0}}}}$有极小元，记为y₀.那么∃y_n∈D₀, s.t.y_n→y₀，又因为D₀全序，所以∃y₁≥y₂≥y₃≥…≥y_n…, s.t.y_n→y₀, 否则∃m, 当n＞m时，y_n＞y_m, y_n∈y_m+P, 对∀n＞m成立，又y_m+P为闭集，所以y₀∈y_m+P，与y₀为极小元矛盾.

∃{x_n}, s.t.y_n=F(x_n), n=1, 2, …，因为X₀紧，不妨设x_n→x₀.

又F为P-lsca，F(x₀)≤y_n，所以F(x₀)≤y₀对每一个y∈D₀，有两种情况：

当y≤y_n，对∀n成立，那么有y=y₀，所以F(x₀)≤y；

当∃n, s.t.y_n≤y，那么也有F(x₀)≤y.

综上，∀y∈D₀，F(x₀)≤y，因为D₀为极大元，所以F(x₀)∈D₀，F(x₀)=y₀≤a，证毕.

推论1  对满足上述条件的F有(1)MinF(X₀)≠φ; (2)F(X₀)⊆MinF(X₀)+P.

推论2  设F:X₀→Y，其中X₀⊂X，P为Y中一个锥，如果X₀是紧的和F是P - uscb并且是紧值的，则对∀y∈F(X₀), ∃y₀∈MaxF(X₀), s.t.y₀≥y.

定理5  设X是一个实自反的赋范线性空间，F:D(F)→Y是P - lsca和P-凸映射，并且是紧值的，若∃a∈D(F)，有$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\mkern 1mu} F\left( x \right)$＞F(a)，且值域为全续集，那么∃x₀∈D(F), s.t.F(x₀)为F(D)的最小元.

证明  令Σ={x∈D(F):F(x)≤F(a)}，Σ有界，F紧，所以F(Σ)准紧，由引理1知$ \overline{\mathit{F}\left( \mathit{\Sigma } \right)}$有极小元，记为y₀，又F(D)全序∃{y_n}⊂F(Σ), y_n→y₀, 且y₁≥y₂≥…≥y_n≥…，∃{x_n}⊂Σ，有F(x_n)=y_n.根据文献[2]中定理1.6的证明方法，∃{x′_n}满足下列条件，

$ \begin{align} &\mathit{F}\left( {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{1}}} \right)\le \mathit{F}\text{(}{{\mathit{x}}_{\text{1}}}\text{), } \\ &\mathit{F}\left( {{{\mathit{{x}'}}}_{2}} \right)\le \text{Min }\!\!\{\!\!\text{ }\mathit{F}\left( {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{1}}} \right)\text{, }\mathit{F}\text{(}{{\mathit{x}}_{\text{2}}}\text{) }\!\!\}\!\!\text{ , } \\ &\mathit{F}\left( {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{3}}} \right)\le \text{Min }\!\!\{\!\!\text{ }\underset{\mathit{x}\in \mathit{co}\left\{ {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{1}}}\text{, }{{{\mathit{{x}'}}}_{\text{2}}} \right\}}{\mathop{\text{Min}\mathit{F}\left( \mathit{x} \right)}}\, \text{, }\mathit{F}\text{(}{{\mathit{x}}_{\text{3}}}\text{) }\!\!\}\!\!\text{ , } \\ &\cdots \text{, } \\ &\mathit{F}\left( {{{\mathit{{x}'}}}_{\mathit{n}\text{+1}}} \right)\le \text{Min }\!\!\{\!\!\text{ }\underset{\mathit{x}\in \mathit{co}\left\{ {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{1}}}\text{, }{{{\mathit{{x}'}}}_{\text{2}}}\text{, }\cdots \text{, }{{{\mathit{{x}'}}}_{\mathit{n}}} \right\}}{\mathop{\text{Min}\mathit{F}\left( \mathit{x} \right)}}\, \text{ , }\mathit{F}\text{(}{{\mathit{x}}_{\mathit{n}\text{+1}}}\text{) }\!\!\}\!\!\text{ , } \\ &\cdots \\ \end{align} $

因为co{x′₁, x′₂, …，x′_n}为紧集，由定理2知，上述$ \underset{\mathit{x}\in {\rm co}\left\{ {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{1}}}\text{, }{{{\mathit{{x}'}}}_{\text{2}}}\text{, }\cdots \text{, }{{{\mathit{{x}'}}}_{\mathit{n}}} \right\}}{\mathop{\text{Min}\mathit{F}\left( \mathit{x} \right)}}\, $存在.

因为F(x′_n)≤F(a)，所以{x′_n}⊂Σ为有界列，又X为自反的赋范线性空间，不妨设$ {{{\mathit{{x}'}}}_{\mathit{n}}}\xrightarrow{\mathit{w}}{{\mathit{x}}_{\text{0}}}$，由Mazur^[16]定理，$ {{{\mathit{{x}'}}}_{\text{0}}}\in \overline{\text{co}\left\{ {{{\mathit{{x}'}}}_{\mathit{k}}}\text{, }\mathit{k}\ge \mathit{n} \right\}}$, n=1, 2, …，那么存在n_k, n₁＜n₂＜…，x″_nk∈co{x′_nik, …，x′_nk}, n_k-1＜n_ik≤n_k, k≥2，且x″_nk→x′₀.由x′_nk的构造及F为P-凸映射，≤F(x′_nk+1)≤F(x″_nk)≤ F(x′_nk)≤F(x″_nk-1)≤…，又F为P-lsca，F(x′₀)≤ F(x″_nk)≤F(x′_nk)≤F(x_nk)，即有F(x_nk)∈F(x′₀)+ P，又F(x_nk)→y₀，所以y₀∈F(x′₀)+P，有F(x′₀)=y₀，F(x′₀)为F(D)上的最小值.