2. 北京化工大学 经济管理学院, 北京 100029;
3. 北京工业大学 经济与管理学院 北京现代制造业发展研究基地, 北京 100124
2. College of Economics and Management, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029;
3. Research Base of Beijing Modern Manufacturing Development, College of Economics and Management, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
危险废物(hazardous waste)是指具有腐烛性、毒性、易燃性、反应性和感染性等特性，或者不排除具有危险特性并可能对环境或人体造成有害影响的固体或液体物质[1]。目前，我国危险废物产生量呈逐年增长态势，2015年中国的危险废物产生量达4 220万吨，并预计以12.0%的复合年增长率增长，危险废物量将由2016年的4 850万吨增长至2020年的7 620万吨[2]。2019年部分城市开始了城市垃圾分类，将有毒有害垃圾分离出来，这更增加了危险废物量。危险废物从产生地经运输到达废物处理中心进行处理，期间的各个环节都可能发生事故，对人员、环境造成巨大危害，因此从降低风险的角度研究危险废物的回收运输问题是非常必要的。
目前，最常用的度量危险品运输风险的指标是事故概率和事故后果[3-5]。Dantzig等[6]首先提出车辆路径问题(VRP)，经改进后的带时间窗的车辆路径问题[7-9]以及时变道路网络中车辆路径问题[10-12]等已成为近年来的研究热点。关于危险品运输的车辆路径问题(HVRP)，赵晓煌等[13]提出了带有模糊参数的电子废弃物回收网络优化模型；魏航等[14-15]在时变网络条件下给出了有害物品运输过程中的路径选择模型；Hu等[16]考虑了时变条件下两级供应链系统的危险品车辆路径问题；Pradhananga等[17-18]考虑了路径与调度问题中人口暴露和载荷对风险的影响；袁文燕等[19]考虑了HVRP中车辆载荷的变化对风险的影响。
拥堵是国内城市交通的现状，也是与物流企业主营业务紧密相关的关键因素。城市交通拥堵指数是评价路网整体运行效率和拥堵状况的无量纲指标，拥堵指数在国内外已经有很多研究，大致可分为以道路状态里程比为基本参数的计算模型和以行程时间或行程速度为基本参数的计算模型两大类[20]，对于同一条道路，城市交通拥堵指数综合反映道路上的车流量、车速、人口密集度等状况。危险废物回收是危险品运输中的一类，因此本文引入路径交通拥堵指数来度量时变道路系统中废物回收问题的风险和行驶成本，建立新的危险废物回收风险-成本双目标优化模型，同时在对蚁群算法进行改进的基础上，通过对某环保公司实际问题的案例分析证明了算法的有效性。
1 模型建立本文研究的是时变道路系统中危险废物回收的运输路径问题。道路拥挤程度会影响风险和运营成本，道路拥挤程度不同，事故影响的人群数量和范围就不同，从而危害后果不同，风险的大小也不同。车辆燃料消耗与交通拥堵、载重量等因素有关，因此不同时段内车辆的运营成本是不一样的。
1.1 问题描述危险废物回收车辆路径问题是一个组合优化问题。回收危险废物车辆从处理中心出发，服务各个废物产生地(客户)后，将装载收集的危险废物运输到处理中心。危险废物处理运营商希望既能极小化运营成本又可使事故风险降到最低。本文提出的模型建立在如下假设基础之上：
① 处理中心与客户的位置是已知的；
② 客户的废物产出是已知的；
③ 司机非工作时间(20:00—6:00)的每小时工资高于工作时间(6:00—20:00)；
④ 在同一时段内，城市交通拥堵指数αu和车辆速度vu是恒定的。
1.2 符号与决策变量在本文建立的危险废物回收车辆运输路径模型中，涉及的符号与决策变量见表 1。
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下载CSV 表 1 符号与决策变量说明 Table 1 Description of symbols and decision variables |
在城市交通网络中，道路系统的拥堵程度和车辆的行驶速度会随着时间发生变化。城市交通拥堵指数是综合反映道路网拥堵程度的数值性指标，它与车辆的速度及道路等级有关[21]，不同城市拥堵指数的变化规律不同。以北京市为例，北京交通发展研究院官网(http://www.bjtrc.org.cn/)实时更新的当天城市交通拥堵指数与速度信息显示，拥堵指数具有明显的周期性，如图 1所示(基于2018年12月3日数据)。
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图 1 北京市交通拥堵指数与速度信息 Fig.1 Traffic congestion index and speed information for Beijing |
由于城市交通拥堵指数及汽车行驶的平均速度具有周期性，根据其变化规律将一天划分为K个时段T1, T2, …, TK，其中第u个时段为[tu-1*, tu*]。
车辆行驶在路径(i, j)过程中可能跨越不同时段，而每个时段的道路拥挤程度不同，因此根据车辆的行驶时间，将车辆所跨越的每个时段中城市拥堵指数的加权平均值作为该车辆通过路径(i, j)时的交通拥堵指数。
图 2为路径交通拥堵指数计算方法示意图。假设车辆在第1时段的ti∈[t0*, t1*]时刻离开客户i，行驶(t1*－ti)时间后跨入第2时段，继续行驶(tij+ti－t1*)后到达客户j，则此车辆从客户i到客户j路段上的交通拥堵指数为
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图 2 拥堵指数计算示例 Fig.2 Example of a congestion index calculation |
| $ \alpha _{ij}^1 = \frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + {\alpha _2}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_1^*} \right)}}{{{t_{ij}}}} $ | (1) |
在时变交通网络中，车辆从客户i到客户j的行驶时间tij取决于离开客户i的时刻ti和车辆此时处于的时间段。根据文献[16]可知，行驶时间tij计算如下
| $ {t_{ij}} = \sum\limits_{u = 1}^K {t_{ij}^u} f\left[ {\left( {t_u^* - {t_i}} \right)\left( {{t_i} - t_{u - 1}^*} \right)} \right] $ | (2) |
式中，tiju表示车辆在ti∈[tu－1*, tu*]出发后从客户i到客户j的行驶时间，f(x)为符号函数，则有
| $ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{x \ge 0}\\ {0,}&{x < 0} \end{array}} \right. $ | (3) |
根据车辆在路径(i, j)上的行驶时间，可以计算该路径上的交通拥堵指数αij
| $ {\alpha _{ij}} = \sum\limits_{u = 1}^K {\alpha _{ij}^u} f\left[ {\left( {t_u^* - {t_i}} \right)\left( {{t_i} - t_{u - 1}^*} \right)} \right] $ | (4) |
当车辆离开客户i的时刻ti∈[t0*, t1*](第1时段)时，由于其到达客户j的时刻(tij+ti)可以处于不同时段[tu－1*, tu*], 故路径交通拥堵指数αij1可按式(5)计算
| $ \alpha _{ij}^1 = \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{d_{ij}} \le \Delta {d_{ij}}\\ \frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + {\alpha _2}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_1^*} \right)}}{{{t_{ij}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta {d_{ij}} \le {d_{ij}} \le {d^*}\left( 2 \right) + \Delta {d_{ij}}\\ \; \vdots \\ \frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + \sum\limits_{u = 2}^{K - 2} {{\alpha _u}\left( {t_u^* - t_{u - 1}^*} \right) + {\alpha _{K - 1}}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_{K - 2}^*} \right)} }}{{{t_{ij}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{u = 2}^{K - 2} {{d^*}(u) + \Delta {d_{ij}}} \le {d_{ij}} \le \sum\limits_{u = 2}^{K - 1} {{d^*}(u) + \Delta {d_{ij}}} \\ \frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + \sum\limits_{u = 2}^{K - 1} {{\alpha _u}\left( {t_u^* - t_{u - 1}^*} \right) + {\alpha _K}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_{K - 1}^*} \right)} }}{{{t_{ij}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{u = 2}^{K - 1} {{d^*}(u) + \Delta {d_{ij}}} \le {d_{ij}} \le \sum\limits_{u = 2}^K {{d^*}(u) + \Delta {d_{ij}}} \end{array} \right. $ | (5) |
整理式(5)得
| $ \begin{array}{l} \alpha _{ij}^1 = {\alpha _1}f\left( {\Delta {d_{ij}} - {d_{ij}}} \right) + \left( {\frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + {\alpha _2}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_1^*} \right)}}{{{t_{ij}}}}} \right)f\left[ {\left( {{d^*}(2) + \Delta {d_{ij}} - {d_{ij}}} \right)\left( {{d_{ij}} - \Delta {d_{ij}}} \right)} \right] + \\ \;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = 3}^K {\left( {\frac{{{\alpha _1}\left( {t_1^* - {t_i}} \right) + \sum\limits_{u = 2}^{w - 1} {{\alpha _u}} \left( {t_u^* - t_{u - 1}^*} \right) + {\alpha _w}\left( {{t_{ij}} + {t_i} - t_{w - 1}^*} \right)}}{{{t_{ij}}}}} \right)f\left[ {\left( {\sum\limits_{u = 2}^w {{d^*}} (u) + \Delta {d_{ij}} - {d_{ij}}} \right)} \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {\left( {{d_{ij}} - \sum\limits_{u = 2}^{w - 1} {{d^*}} (u) - \Delta {d_{ij}}} \right)} \right] \end{array} $ | (6) |
类似地，可以计算在u时段车辆从客户i出发前往客户j的路径交通拥堵指数αiju(u=1, 2, …, K)，最终，根据公式(4)得出在路径(i, j)上的交通拥堵指数αij。
车辆离开客户j的时间tj和载重wj分别为
| $ {t_j} = {t_{ij}} + {t_i} + {q_j}{s_j} $ | (7) |
| $ {w_j} = {w_i} + {q_j} $ | (8) |
车辆的运营成本包括固定成本(租车费用)、燃料成本和司机的工资成本等。单位距离的燃料消耗量与车辆的实时负载成线性相关[22]，即装载的货物越多，消耗的燃料量就越大；同时燃料消耗量还与空载和满载的燃料消耗率及车辆的出行耗时有关[23]。车辆在路径(i, j)上的燃料消耗量为
| $ {F_{ij}} = g\left( {{\alpha _{ij}}} \right)\left( {{r_0} + \left( {{r_*} - {r_0}} \right)\frac{{{w_i}}}{W}} \right){d_{ij}} $ | (9) |
由交通拥堵指数与出行耗时的关系[21]引入分段函数g(x)
| $ g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{0 < x \le 2}\\ {1.2 + \frac{{0.3(x - 2)}}{3},}&{2 < x < 10} \end{array}} \right. $ | (10) |
综上，车辆从客户i到客户j的燃料成本为Fijcf。
司机的工资取决于其在正常和非正常时段工作时间的长短，所以车辆从客户i到客户j的工资成本为
| $ {C_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} 2{c_{\rm{h}}}{t_{ij}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{t_i} + {t_{ij}} < 6\\ {c_{\rm{h}}}\left( {2\left( {6 - {t_i}} \right) + {t_i} + {t_{ij}} - 6} \right)f\left( {6 - {t_i}} \right) + {c_{\rm{h}}}{t_{ij}}f\left( {{t_i} - 6} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6 \le {t_i} + {t_{ij}} \le 20\\ {c_{\rm{h}}}\left( {20 - {t_i} + 2\left( {{t_i} + {t_{ij}} - 20} \right)} \right)f\left( {20 - {t_i}} \right) + 2{c_{\rm{h}}}{t_{ij}}\left( {{t_i} - 20} \right),\;\;\;\;\;20 \le {t_i} + {t_{ij}} \end{array} \right. $ | (11) |
风险度量是危险品运输问题中非常重要的内容，风险度量的方式直接影响运输调度的选择。Erkut等[24]用后果度量风险的方式得到普遍采用，即路径(i, j)上的风险为pijcij，其中pij为路径(i, j)上的事故发生概率，cij为事故造成的后果成本。事故风险与车辆所在道路上发生事故的概率、路径长度、周围人口数量以及车辆的载重量等有关[25]。由于时段不同，上述与风险相关的因素都会发生变化，故用g(αij)表示这些因素带来的综合影响。车辆在路径(i, j)上的风险为
| $ {R_{ij}} = g\left( {{\alpha _{ij}}} \right){p_{ij}}{d_{ij}}{\rho _{ij}}\frac{{{w_i}}}{W} $ | (12) |
基于路径交通拥堵指数的危险废物回收双目标车辆路径模型表示如下
| $ \min {Z_1} = {c_{\rm{k}}}m + \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{c_{\rm{f}}}{F_{ij}}{x_{ij}}} } + \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{C_{ij}}} } {x_{ij}} $ | (13) |
| $ \min {Z_2} = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{c_{\rm{r}}}} } {R_{ij}}{x_{ij}} $ | (14) |
| $ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{0j}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_{i0}}} = 1 $ | (15) |
| $ \sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}}} = 1,i = 1,2, \cdots ,n $ | (16) |
| $ \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{q_j}} } {x_{ij}} \le W $ | (17) |
| $ \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{x_{ij}}} } \le n - 1 $ | (18) |
| $ {x_{ij}} = 1\;或\;0 $ | (19) |
式中，Z1代表成本，Z2代表风险，ckm是固定成本，
通过一个简单的案例说明引入交通拥堵指数的必要性和重要性，如图 3所示。假设车辆从处理中心A出发，将客户B、C和D的废物运回处理中心。用向量θ=(d*, ρ*, α*)描述路径间的距离、人口暴露数和交通拥堵指数，B、C和D的危险废物产量分别为20、40和20。表 2和表 3给出了不同度量方式下不同路径的成本和风险。不考虑交通拥堵指数时，最小成本和风险的路径为ABCDA(路线一)或ADCBA(路线二)，考虑交通拥堵指数后，最小成本和风险路径为ADCBA，路径ABCDA不再是最优路径。由此可见，基于交通拥堵指数的风险和成本度量方式可更加合理地反映实际情况，帮助决策者有效识别最优路径。
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图 3 简单案例 Fig.3 A simple case |
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下载CSV 表 2 燃料消耗成本比较 Table 2 Comparison of fuel consumption costs |
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下载CSV 表 3 风险比较 Table 3 Comparison of risk |
蚁群算法是20世界90年代提出的一种新的智能优化算法[26]，目前已应用在物流等众多领域中。本文对蚁群算法进行了改进，使其适用于求解本文建立的新模型。
2.1 转移概率本文提出的废物回收车辆路径问题是双目标优化模型，路径的选择不仅与路径长度有关，还与路径上的风险有关。由于路径上人口密度越大，事故后果就越大，因此路径上的启发式因子ηij与路径长度dij和人口密度ρij成反比。转移概率公式更新如下
| $ {\eta _{ij}} = \frac{1}{{{d_{ij}}}}\frac{1}{{{\rho _{ij}}}} $ | (20) |
| $ {p_{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{{\left[ {{\tau _{ij}}} \right]}^\alpha }{{\left[ {{\eta _{ij}}} \right]}^\beta }}}{{\sum\limits_{s \in J} {{{\left[ {{\tau _{is}}} \right]}^\alpha }} {{\left[ {{\eta _{is}}} \right]}^\beta }}},}&{{\rm{if}}\;j \in J}\\ {0,}&{{\rm{else}}} \end{array}} \right. $ | (21) |
式中，τij表示路径(i, j)上的信息素强度，s为可访问的客户，J为可访问客户集合，信息素强度越高、启发式因子越大(客户i到j的距离近且人口暴露数小)，转移的概率就会越高；α，β分别代表它们的重要程度。
2.2 信息素考虑到模型的特点，路径的选择不仅与费用有关，还与风险有关，信息素公式更新如下
| $ {\tau _{ij}}(t + 1) = \left( {1 - {\rho _k}} \right){\tau _{ij}}(t) + \Delta {\tau _{ij}}(t) $ | (22) |
| $ \Delta {\tau _{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{Q}{{{R^\lambda }{C^\mu }}},\;\;\;\;\;\;\;{\rm{if}}\;蚂蚁通过\;\left( {i,j} \right)\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{else}} \end{array} \right. $ | (23) |
| $ \lambda + \mu = 1 $ | (24) |
式中，τij(t)表示当前迭代信息素强度；ρk表示信息素挥发系数；Δτij表示迭代中信息素的增量；R和C分别是风险和成本的目标函数值；λ和μ表示每个目标函数的偏好程度，用于调节风险对信息素的影响，当μ接近0时，成本对信息素的影响很小，当μ接近1时，成本的影响起主导作用。
2.3 算法流程本文对转移概率和信息素更新公式进行了改进，改进之后的蚁群算法流程图见图 4。
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图 4 改进的蚁群算法流程图 Fig.4 Improved ant colony algorithm flow |
本文以汽车4S店危险废物回收问题为案例进行了实证分析。在对某环保技术有限责任公司调研中发现，随着民用汽车保有量的不断增加，汽车维修保养过程中产生的危险废物也不断增多，其危害性正在逐步凸显。同时汽车4S店在市区分布较密集，单个店产生的废物量不多，所以其废物回收运输路径问题是HVRP。
3.1 参数设定本模型中的参数[27-28]设定如下：每辆车的租用成本200元/(辆·天)，单位排放成本80元/t，司机工资25元/h，事故概率为10-6dij，空载和满载的燃料消耗率分别为r0=0.296和r*=0.39，单位风险成本cr=6 906。
改进蚁群算法的参数设定为：最大迭代次数500，种群大小100，α=1，β=2，ρk=0.1，Q=1，μ=λ=0.5。
本文所有实验结果均在Windows 7系统、4 GB内存、3.4 GHz频率的计算机上运行Python得到。
3.2 计算结果及分析以北京市某环保技术有限责任公司(处理中心)和其服务的20家汽车维修店(4S店)为背景，讨论并比较了不同车辆使用模式下的决策方案。公司位置(20)及4S店位置(0-19)见图 5，相互距离数据来自百度地图，城市交通拥堵指数、速度与人口密度的数据收集于北京市交通研究院官网，废物量随机生成。
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图 5 处理中心与4S店的位置 Fig.5 Location of the processing center and 4S shop |
考虑2种车辆使用模式。模式一：公司租用多辆车，车辆同时从处理中心出发，一天发车1次。模式二：公司租用1辆或多辆车，一天内发车多次。
模式一中0:00出发的情况下，算法改进前后的运行结果如图 6所示。显然，无论是目标函数值还是算法的效率，改进后的算法都优于原算法。
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图 6 成本与风险随迭代次数的变化 Fig.6 Variation in cost and risk with number of iterations |
在模式一下分别计算0:00、8:00和10：00出发的帕累托最优曲线，结果如图 7所示。可以看出同等风险下10：00出发的调度方案成本小于0:00、8:00，因为该时间段内工资水平和道路拥堵程度都较低，但风险最小的方案出现于0:00出发的模式中；8:00出发的调度方案中既不存在风险最低也不存在成本最小的方案，原因在于汽车运行期间正好跨越了早高峰时段，导致成本增加。
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图 7 模式一下不同时刻出发的帕累托最优曲线 Fig.7 Pareto optimal curves starting at different times in mode Ⅰ |
在模式二中，由于0:00和5：00出发的时间早，完成全部回收只需1辆车，而其他时间点出发则需要2辆车。因此在模式二下分两种情况讨论：①1辆车运完；②2辆车运完。模式二的帕累托最优曲线如图 8所示。可以看出，情况①中，相同风险条件下5：00出发的行车方案成本低于0:00出发，其原因是司机在不同时段的工资不同。情况②中风险相同时，成本从10：00、8：00、7：00逐渐提高，因为8：00有2个拥堵高峰，成本高于10：00，7：00拥堵高峰时间长，成本高于8：00。
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图 8 模式二下不同情况的帕累托最优曲线 Fig.8 Pareto optimal curves for different situations in mode Ⅱ |
在图 8(b)中，选择7:00和10:00出发的最小路径所对应的行车方案，对其燃料消耗成本进行比较，结果表明7:00出发的行车路径长度为508.26 km，燃料消耗成本为1 847.48元；而10:00出发的行车路径长度为513.76 km，燃料消耗成本为1 720.90元，说明最短路径下不一定能耗最小，原因是出发时间及路途中的重量变化对能耗也有影响。
最后，比较相同出发时间下模式一与模式二的帕累托最优解(图 9)，可以发现，模式一比模式二在0：00、10：00存在多个风险更小的回收路径。
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图 9 不同时间点模式一、二的帕累托最优曲线比较 Fig.9 Comparison of Pareto optimal curves for modes Ⅰ and Ⅱ at different time points |
综合以上分析可以得出，所有废物回收路径中，最小成本(模式二，10：00)和最小风险(模式一，0：00)的路线如表 4、5所示。
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下载CSV 表 4 最小成本调度方案(模式二，10：00) Table 4 Minimum cost scheduling plan (mode Ⅱ, 10:00) |
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下载CSV 表 5 最小风险调度方案(模式一，0：00) Table 5 Minimum risk scheduling plan (mode Ⅰ, 0:00) |
(1) 在时变道路系统中，引入路径交通拥堵指数对风险和成本进行度量，并考虑司机工资等成本随时间变化等因素，建立了更贴合实际的双目标危险废物回收模型，同时对传统蚁群算法中启发式因子和信息素的更新公式进行了改进。数值实验表明改进算法可以更快地得到问题的帕累托最优曲线。
(2) 案例分析结果表明，出发时间和车辆使用模式对帕累托最优曲线有显著影响，最短路径不一定是耗能最少的路线，同一出发时间和同等风险下模式二比模式一成本小。
在今后的研究中，将从下面两个方面完善模型：①考虑更大规模的废物回收路径问题，租用载重量不同的运输车辆等；②考虑绿色废物回收路径问题。
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