引言

电能的准确计量关系到供电、配电企业及用户等多方的经济利益，人们对电能计量准确度的要求越来越高^[1]，其中有功功率测量准确度直接关系到电能计量的准确度。随着电力技术和信息技术的发展，一方面，分布式发电备如风能、太阳能和非线性用电设备如汽车充电桩、电力机车等并入电网，导致电压电流信号产生畸变，电流大小呈现动态变化^[2-3]，使得输入的瞬时功率信号产生动态的波动；另一方面，受硬件条件的限制，非整周期采样不可避免的存在于电能表电压电流信号的采样中^[4]。信号源的畸变以及动态波动和非整周期采样的限制影响了电能表有功功率的测量甚至电能计量的准确性，因此，对于电能表有功功率测量算法的研究一直是国内外学者研究的重点。

目前的功率测量算法主要是通过构造滤波器来实现的^[5]。频域分析方面，文献[6-8]采用加窗，如矩形窗、Hamming窗、Blackman窗以及改进的窗函数进行快速傅立叶变换(FFT)分析，提高了频谱分析精度，所以更适用于频谱分析，但该方法会造成频谱泄露和衰减，同时针对畸变信号和动态信号，这些窗难以同时满足主瓣能量集中和旁瓣衰减快的要求，不适用于有功功率的测量。时域分析方面，准同步算法及其改进算法提高了测量的准确度，但缺点是硬件开销加大，不适用于电能表集成情况^[9-10]。时域分析上点集合算法计算量小，易龙强等^[11]对点集合算法进行了改进，提高了测量的准确度，但依然受到整周期采样的限制；俞集辉等^[12]通过分析非整周期采样下的谐波功功率时域和频域计算方法，仿真了非整周期采样造成的畸变波形有功功率测量误差。

以上文献主要通过FFT算法分析研究了畸变信号时频特性、整周期采样下的功率、固定参量的电能测量算法及非整周期采样下的谐波功率测量误差，但对如何在非整周期采样下提高有功功率滤波效果和电能累计准确度，研究较为缺乏。

本文基于窗函数和电能表有功功率测量结构化模型构造了一种新的有功功率滤波器，仿真分析了非整周期采样下该滤波器的滤波效果，针对稳态和动态测试信号仿真计算了不同有功功率测量算法下电能累计的误差，以期为电能表的改进提供参考。

1 多项Sa函数自卷积窗构建 1.1 多项Sa函数

多项Sa函数的一般形式是K个相继间隔为T的Sa函数之和，其时域表达式为

$w_{\mathrm{Sa}}(t)=\sum\limits_{k}^{K} \alpha_{k} \frac{\sin \frac{\pi}{T}(t-k T)}{\frac{\pi}{T}(t-k T)}$

(1)

频谱函数可表示为

${W_{{\rm{Sa}}}}(\omega ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T\sum\limits_k^K {{\alpha _k}} {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\omega kT}}}&{|\omega | \le \frac{\pi }{T}}\\ 0&{|\omega | > \frac{\pi }{T}} \end{array}} \right.$

(2)

式中，α_k为每项Sa函数的加权系数。从频谱函数可以看出，多项Sa函数的频率响应全部集中在[-π/T, π/T]区间内，当多项Sa函数的加权系数α₀=1、其他加权系数为零时，则为单项Sa函数。

1.2 离散多项Sa函数窗

将连续的多项Sa函数离散化，并用矩形窗截短，得到有限长的多项Sa函数(polynomial Sa，P-Sa)窗，形式如下

$w(n)=\sum\limits_{k}^{K} \alpha_{k} \frac{\sin \frac{\pi}{T}(n-k T)}{\frac{\pi}{T}(n-k T)}$

(3)

$\begin{array}{l} {w_{{\rm{P - Sa}}}}\left( n \right) = w\left( n \right){R_N}\left( n \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} w\left( n \right),\;\;\;\;n = 0,1,2, \cdots ,N - 1\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. \end{array}$

(4)

式中，w(n)为离散的多项Sa函数，w_P-Sa(n)为截短得到的窗函数，N是窗函数的长度，R_N(n)是长度为N的矩形窗。由频域复卷积公式可以得到P-Sa窗函数的频域表达式

$\begin{array}{l} {W_{{\rm{P - Sa}}}}(\omega ) = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - \pi }^\pi {{W_{{\rm{Sa}}}}} (\theta ){W_{\rm{R}}}(\omega - \theta ){\rm{d}}\theta = {W_{{\rm{Sa}}}}\\ (\omega )*{W_{\rm{R}}}(\omega ) \end{array}$

(5)

式中，W_Sa(ω)为多项Sa函数的频域特性；W_R(ω)为矩形窗的频域特性，且满足${W_{\rm{R}}}(\omega) = \sin \left({\frac{{\omega N}}{2}} \right)/\frac{\omega }{2}$。

1.3 P-Sa自卷积窗

根据卷积运算理论，由离散化的长度为N′的两项P-Sa窗卷积可以得到新窗的长度为2N′-1。在自卷积窗末尾补零可以得到长度为2N′的P-Sa自卷积窗为

$w_{{\rm{P - Sa}}}^2(n) = {w_{{\rm{P - Sa}}}}(n) * {w_{{\rm{P - Sa}}}}(n)$

(6)

由卷积定理可得，w_P-Sa²(n)窗的频域表达式为

$\begin{array}{l} W_{{\rm{P - Sa}}}^2\left( \omega \right) = \left[ {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{ - {\rm{ \mathsf{ π} }}}^{\rm{ \mathsf{ π} }} {{W_{{\rm{Sa}}}}\left( \theta \right){W_{\rm{R}}}\left( {\omega - \theta } \right){\rm{d}}\theta } } \right]\left[ {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \right.\\ \left. {\int_{ - {\rm{ \mathsf{ π} }}}^{\rm{ \mathsf{ π} }} {{W_{{\rm{Sa}}}}\left( \theta \right){W_{\rm{R}}}\left( {\omega - \theta } \right){\rm{d}}\theta } } \right] = {\left[ {{W_{{\rm{Sa}}}}\left( \omega \right) * {W_{\rm{R}}}\left( \omega \right)} \right]^2} \end{array}$

(7)

式(7)表明自卷积窗的窗函数在主瓣越窄的情况下，旁瓣衰减越快，卷积后的旁瓣衰减更优。

2 P-Sa自卷积窗频域特性分析

经验表明，3项Sa函数窗在加权系数比为1:2:1时具有较好的旁瓣衰减特性，w_P-Sa(n)的表达式为

$\begin{array}{l} {w_{{\rm{P - Sa}}}}\left( n \right) = \sum\limits_{k = - 1}^1 {{\alpha _k}\frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}{{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}} ,\;\;\;n = 0,1,2,\\ \cdots ,N' - 1,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _{ - 1}}}&{{\alpha _0}}&{{\alpha _1}} \end{array}} \right] = \left[ {0.25\;0.5\;0.25} \right] \end{array}$

(8)

式中，[α_-1 α₀ α₁]为三项Sa函数窗的加权系数，N′为窗长度，且满足N′=2ⁱ；i为正整数；Sa函数的相继间隔时长T=N′/4。由N′=64的三项Sa函数窗构造P-Sa自卷积窗，构造后的窗长度N=128。对比P-Sa自卷积窗与矩形窗、Hamming以及Blackman窗的时域波形和频域响应如图 1所示。

从图 1(b)中可以看出，矩形窗旁瓣衰减幅度最小，Hamming窗旁瓣衰减速度较慢，Blackman窗旁瓣衰减幅度较大，P-Sa自卷积窗的旁瓣衰减幅度和速度均为最大。

3 P-Sa滤波器有功功率测量算法 3.1 电能表有功功率测量结构化模型

智能电能表的有功功率测量结构化模型如图 2所示。有功功率测量过程为：利用电压分压器和电流互感器(分流器)采集负载电压信号u(t)和电流信号i(t)，将模/数(ADC)转化后采集到的离散电压通道和电流通道信号经数字乘法器相乘得到瞬时功率信号，再由低通滤波器(LPF)对瞬时功率信号滤波得到有功功率信号。有功功率信号作为电能表有功功率测量部分的输出，同时也是电能累计单元的输入，电能累计单元将有功功率信号进行数频转换后得到电能脉冲，再通过累计输出电能脉冲实现电能计量。

采集到的负载电压u(t)和负载电流i(t)信号的数学表达式为

$u\left( t \right) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{U_m}\sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}m{f_0}t + {\varphi _m}} \right)}$

(9)

$i\left( t \right) = v\left( t \right)\sum\limits_{{m^\prime } = 1}^\infty {{I_{{m^\prime }}}} \sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{m^\prime }{f_0}t + {f_{{m^\prime }}}} \right)$

(10)

式(9)、(10)中的电压、电流信号均包含基波和多次谐波；m、m′=1时表示基波信号参数，m、m′≠1时表示各次谐波信号参数；U_m为基波电压和各次谐波电压的幅值；I_m′为基波电流和各次谐波电流的幅值；f₀为基波频率，取值50 Hz；φ_m为电压基波信号和各次谐波信号的初相位；v(t)为包络信号，v(t)=1时i(t)为稳态电流信号，v(t)为正弦包络、梯形包络^[13-14]及OOK包络信号^[3]时，i(t)为动态电流信号。其中正弦包络信号v₁(t)表达式为

${v_1}(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{m_{\rm{A}}}\sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_1}t} \right)$

(11)

式中，f₁为正弦调幅信号的频率；m_A为调幅系数，由于v(t)≥0，故|m_A|≤1。

符号函数sgn(t)可通过阶跃信号表示为

${\mathop{\rm sgn}} \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{t > 0}\\ { - 1,}&{t \le 0} \end{array}} \right.$

(12)

梯形包络信号v₂(t)的表达式为

$\begin{array}{l} {v_2}(t) = \sum\limits_{i = 0}^7 {\left[ {{\alpha _i} + {\beta _i}\left( {t - {t_i}} \right)} \right]} \left[ {\frac{{1 + {\mathop{\rm sgn}} \left( {t - {t_i}} \right)}}{2}} \right]\\ \left[ {\frac{{1 - {\mathop{\rm sgn}} \left( {t - {t_{i + 1}}} \right)}}{2}} \right] \end{array}$

(13)

式(13)中，sgn(t)为符号函数；α_i, β_i为不同时间段内线性函数的参数，满足0≤α_i≤1；t_i为包络幅度阶梯变化时间点。通过符号函数来截取不同时段内的线性函数α_i+β_i(t-t_i)，分段的线性函数组成了梯形包络函数v₂(t)。文中后续仿真的梯形包络参数取值如表 1所示。

OOK包络信号v₃(t)的表达式为

${v_3}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;\;0 \le t < {T_{{\rm{on}}}}\left( {电流信号通} \right)\\ 0,\;\;\;{T_{{\rm{on}}}} \le t < {T_{{\rm{on}}}} + {T_{{\rm{off}}}}\left( {电流信号断} \right) \end{array} \right.$

(14)

式中T_on为电流通的时长，T_off为电流断的时长。

负载信号经过AD转化采样后得到离散的电压和电流信号，表达式为

$u(n)=\sum\limits_{m=1}^{M} U_{m} \sin \left(2 \pi m f_{0} n / f_{\mathrm{s}}+\varphi_{m}\right)$

(15)

$\begin{array}{l} i(n) = v(n)\sum\limits_{{m^\prime } = 1}^M {{I_{{m^\prime }}}} (n)\sin \left( {2\pi {m^\prime }{f_0}n/{f_{\rm{s}}} + {\phi _{{m^\prime }}}} \right) = \\ v(n){i^\prime }(n) \end{array}$

(16)

式中，f_s为采样频率，n为离散采样点数，M为采样得到的最高次谐波，ϕ_m′为电流基波信号和各次谐波信号的初相位。

3.2 瞬时功率测试信号建模

瞬时功率测试信号p_i(n)的表达式为

${p_{\rm{i}}}\left( n \right) = u\left( n \right)i'\left( n \right)v\left( n \right)$

(17)

式中，v(n)为包络信号，v(n)=1时p_i(n)为稳态功率测试信号，v(n)为正弦包络、梯形包络及OOK包络信号时，p_i(n)为动态功率测试信号；u(n)、i′(n)分别为稳态电压、稳态电流信号。本文仿真的稳态测试信号波形为IEC62052标准中规定的5种畸变波形和50 Hz工频正弦波形，5种畸变波形分别为平顶波、尖顶波、脉冲波、多个电流过零点波和多个电压过零点波。

3.3 P-Sa滤波器设计

有功功率滤波器结构化模型如图 3所示，瞬时功率信号p_i(n)经过低通滤波器输出p_o(n)，p_o(n)即为有功功率。

若滤波器输入信号p_i(n)的长度为n′，则经过低通滤波器后输出的有功功率信号p_o(n)为

$\begin{array}{l} {p_{\rm{o}}}\left( n \right) = {p_{\rm{i}}}\left( n \right)h\left( {N - 1} \right) + {p_{\rm{i}}}\left( {n - 1} \right)h\left( {N - 2} \right) + \cdots + \\ \;\;\;\;\;\;{p_{\rm{i}}}\left( {n - N + 1} \right)h\left( 0 \right) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{p_{\rm{i}}}\left( {n - k} \right)h\left( {N - 1 - k} \right)} \\ {p_{\rm{o}}}\left( {n' + 1} \right) = {p_{\rm{i}}}\left( {n'} \right)h\left( {N - 2} \right) + {p_{\rm{i}}}\left( {n' - 1} \right)h\left( {N - 3} \right) + \\ \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( {n' - N + 2} \right)h\left( 0 \right)\\ {p_{\rm{o}}}\left( {n' + 2} \right) = {p_{\rm{i}}}\left( {n'} \right)h\left( {N - 3} \right) + {p_{\rm{i}}}\left( {n' - 1} \right)h\left( {N - 4} \right) + \\ \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( {n' - N + 3} \right)h\left( 0 \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ {p_{\rm{o}}}\left( {n' + N - 1} \right) = {p_{\rm{i}}}\left( {n'} \right)h\left( 0 \right) \end{array}$

(18)

当输入信号p_i(n)长度为n′时，输入信号的理论有功电能为

${e_{\rm{i}}} = \int_0^{T'} {p\left( t \right){\rm{d}}t} \approx \sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right){T_{\rm{s}}}}$

(19)

式中，T_s为采样间隔时长，T′为输入瞬时功率信号的时长。经有功功率滤波器滤波之后，累加有功功率信号p_o(n)得到有功电能

${e_{\rm{o}}} = \sum\limits_{n = 1}^{n' + N - 1} {{p_{\rm{o}}}\left( n \right){T_{\rm{s}}}} = \left[ {\sum\limits_{n = 1}^{n'} {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{p_{\rm{i}}}\left( {n - k} \right)h\left( {N - 1 - k} \right)} } \right)} +\\ \sum\limits_{n = n' + 1}^{n' + N - 1} {{p_{\rm{o}}}\left( n \right)} } \right]{T_{\rm{s}}} = \left[ {{p_{\rm{i}}}\left( 1 \right)h\left( {N - 1} \right) + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;{p_{\rm{i}}}\left( 2 \right)h\left( {N - 1} \right) + {p_{\rm{i}}}\left( 1 \right)h\left( {N - 2} \right) + \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( N \right)h\left( {N - 1} \right) +\\ {p_{\rm{i}}}\left( {N - 1} \right)h\left( {N - 2} \right) + \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( 1 \right)h\left( 0 \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = N + 1}^{n'} {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{p_{\rm{i}}}\left( {n - k} \right)h\left( {N - 1 - k} \right)} } \right)} + {p_{\rm{i}}}\left( {n'} \right)h\left( {N - 2} \right) +\\ {p_{\rm{i}}}\left( {n' - 1} \right)h\left( {N - 3} \right) + \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( {n' - N} \right)h\left( 0 \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\left. { \cdots + {p_{\rm{i}}}\left( {n'} \right)h\left( 0 \right)} \right]{T_{\rm{s}}}$

(20)

由于滤波后对有功功率累计得到的电能与输入瞬时功率信号的理论有功电能相等，即e_i=e_o，故可得

$\begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right){T_{\rm{s}}}} = \sum\limits_{n = 1}^{n'} {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{p_{\rm{i}}}\left( {n - k} \right)h\left( {N - 1 - } \right.} } \right.} \\ \left. {\left. k \right)} \right){T_{\rm{s}}} + \sum\limits_{n = n' + 1}^{n' + N - 1} {{p_{\rm{o}}}\left( n \right){T_{\rm{s}}}} = \left[ {h\left( {N - 1} \right)\sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right)} + h} \right.\\ \left. {\left( {N - 2} \right)\sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right)} + \cdots + h\left( 0 \right)\sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right)} } \right]{T_{\rm{s}}} = \\ \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {h\left( k \right)\left[ {\sum\limits_{n = 1}^{n'} {{p_{\rm{i}}}\left( n \right){T_{\rm{s}}}} } \right]} \end{array}$

(21)

由式(21)可知，滤波器系数需要满足$\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} h (k) = 1$。基于此结论，通过P-Sa自卷积窗构造滤波器，得到P-Sa滤波器的表达式为

$\begin{array}{l} {h_{{\rm{P - Sa}}}}\left( n \right) = \frac{1}{{\sum\limits_{n'' = 0}^{N - 1} {w_{{\rm{P - Sa}}}^2\left( {n''} \right)} }}\sum\limits_k^K {{\alpha _k}\frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}{{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}} * \\ \sum\limits_k^K {{\alpha _k}\frac{{\sin \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}{{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{T}\left( {n - kT} \right)}}} \end{array}$

(22)

式(22)中，$\sum\limits_{{n^{\prime \prime }} = 0}^{N - 1} {w_{{\rm{P - Sa}}}^2}$(n″)表示对长度为N的P-Sa自卷积窗求和。

4 仿真分析 4.1 测试信号仿真参数

3.2节中的稳态基波和5种畸变波形瞬时功率信号的归一化波形如图 4所示。仿真参数如表 2所示。

以平顶波为例，通过仿真得到动态瞬时功率测试信号归一化波形如图 5所示。

图 4中的瞬时功率波形为稳态测试信号，图 5中的动态测试信号由正弦包络、梯形包络和OOK包络对稳态测试信号调制得到，稳态和动态测试信号作为后续误差仿真的输入信号。

4.2 有功功率滤波效果

工频正弦波形及5种畸变波形的有功功率理论值表达式为

$P = \sum\limits_{m = 1}^M {{U_m}{I_m}\cos {\theta _m}}$

(23)

式中，θ_m=φ_m-ϕ_m，非整周期采样时，瞬时功率经有功功率滤波器滤波后会产生纹波波动。P-Sa滤波器由长度为64的三项Sa函数窗自卷积后再乘以加权系数构造，构造的P-Sa滤波器长度N=128，响应时长为N/f_s。对于时长大于2N/f_s的瞬时功率信号，其有功功率P_o(n)在N~2N点内的纹波波动ε_P大小可表示为

$\begin{array}{l} {\varepsilon _{\rm{P}}} = \left\{ {\max \left[ {{P_{\rm{o}}}\left( N \right),{P_{\rm{o}}}\left( {N + 1} \right), \cdots ,{P_{\rm{o}}}\left( {N + N - } \right.} \right.} \right.\\ \left. {\left. 1 \right)} \right] - \min \left[ {{P_{\rm{o}}}\left( N \right),{P_{\rm{o}}}\left( {N + 1} \right), \cdots ,{P_{\rm{o}}}\left( {N + N - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {\left. 1 \right)} \right]} \right\}/P \times 100\% \end{array}$

(24)

以平顶波为例，设不同滤波器仿真采样频率均为3 300 Hz，滤波器长度均为128，通过仿真得到其瞬时功率和经不同滤波器滤波后的有功功率波形如图 6所示。从图中可以发现，在非整周期采样下，矩形窗算法有功功率测量纹波波动最大，达到5.07%；Hamming窗和Blackman窗滤波后的纹波波动分别为0.42%和0.09%；而P-Sa自卷积滤波器滤波后波动最小，为0.02%，比矩形窗滤波效果提升252倍，比Hamming窗提升21倍，比Blackman窗提升4.5倍。

4.3 测试信号有功功率累计电能误差

电能表通过累计有功功率来计量电能，电能累计误差表达式为

${\varepsilon _{\rm{e}}} = \frac{{{e_{\rm{o}}} - {e_{\rm{i}}}}}{{{e_{\rm{i}}}}} \times 100\%$

(25)

式中，e_i为滤波前输入信号的理论有功电能，e_o为采用不同的测试信号通过不同的有功功率算法滤波后的电能。累计误差如表 3~6所示。表 3为稳态测试信号，稳态仿真时长10.00 s；表 4为正弦包络动态测试信号，仿真时长2.10 s；表 5为梯形包络动态测试信号，仿真时长5.04 s；表 6为通断比20:20时的OOK动态测试信号，仿真时长2.00 s。

从表 3~6可以发现，基于矩形窗、Hamming窗和Blackman窗3种算法测量的累计电能都小于实际电能，最大仿真误差达到-1.64×10^-2，而本文算法的最大仿真误差不超过1.76×10^-7，显著提高了有功电能计量的准确性。

4.2节和4.3节的仿真结果表明，P-Sa自卷积窗具有较好旁瓣衰减效果，有效抑制了非整周期采样下有功功率的纹波波动；同时该算法能有效测量稳态测试信号和动态测试信号的有功功率，电能测量更加准确。

5 结论

提出一种P-Sa自卷积窗函数，并根据该窗构造了P-Sa滤波器，仿真结果表明：P-Sa自卷积窗具有很好的旁瓣衰减特性；P-Sa滤波器能有效抑制非整周期采样下有功功率的纹波波动；利用P-Sa滤波器测量有功功率能显著提高有功电能计量的准确性。本文研究结果为电能表非整周期采样下有功功率的测量以及电能的准确计量提供了改进的方向。