引言

随着我国工业技术的进步和节能环保要求的提高，在高耗能产业领域，电能逐渐替换传统的化石能源，导致电网中高耗能动态负荷越来越多。动态负荷与传统电力稳态负荷相比具有显著不同的特性，表现为负荷电流大幅度快速随机波动，这导致电网中用于计量收费的智能电能表出现较大的计量超差^[1]，严重影响电量收费的准确性和合理性。

关于动态负荷波动特性和电能表动态测量模型的研究，国内外学者已经取得了一定的研究成果。动态负荷特性的分析方面，Hu等^[2]分析了电压闪变、波动及偏差；Cano-Plata等^[3]分析了三相不平衡以及谐波等非线性动态负荷的特性，为电能质量的分析提供了有效的手段，但是缺乏对动态负荷快速大幅度波动特性及电能表电能计量影响的分析；文献[4-7]分别采用统计综合、系统辨识及神经网络等智能方法建立负荷模型，预测电力系统中短期和中长期负荷时变波动特性，为电力系统的运行、规划和设计提供依据。但是关于动态负荷电流和有功功率在循环周期内的暂态(毫秒级)快速变化特性及该特性对智能电能表动态误差的影响方面的研究较为缺乏。

电能表动态测量模型方面，文献[8-9]分析了动态负荷下电能表中测量可编程增益放大器(PGA)的量程切换机理及产生动态误差的原因，但是缺少PGA增益动态切换时的动态测量模型及动态误差分析；本课题组^[10-11]针对电能表稳态功率电能测量模型存在较大动态电能测量误差的问题，采用系统优化的方法构建了一种最小误差滤波器功率和压缩感知功率的电能测量模型，提高了动态功率电能测量算法的准确度。这些算法采用稳态功率的测量算法来减小动态电能测量误差，但缺少动态功率测量模型，且已有的电能表测量模型不能全面反映信号在电能表各个单元的输入、输出之间和各单元之间的动态传递关系以及由此导致的动态误差。

为了分析动态负荷的时变特性与游程特性，研究建立智能电能表的动态模型，评价动态负荷游程特性对智能电能表动态误差的影响，本文基于典型动态负荷的随机波动特性建立动态负荷信号的非平稳调制模型，分析给出典型动态负荷电流的游程长度波动特性，然后建立智能电能表计量部分的动态测量数学模型，采用仿真和实验的方法分析和验证动态负荷电流游程长度波动特性对电能表误差的影响。

1 动态负荷信号特性分析与模型分解 1.1 典型动态负荷信号随机波动时变特性的分析

本文主要选取工业领域的炼钢电弧炉(以下简称电弧炉)和交通领域的高铁电力机车(以下简称高铁机车)两类典型动态负荷作为分析对象，现场采集高压计量点CT、PT二次瞬时电流信号和电压信号，分别分析电流信号和电压信号的幅度、瞬时有功功率信号随时间变化的随机波动特性。

动态负荷的随机特性表现为电流信号和电压信号幅度的随机波动，在信号的第n个周期，动态负荷信号x(t)(电压或电流)的幅度可以采用信号的范数表示为

$ y\left( n \right) = \mathop {\left\| {x\left( t \right)} \right\|}\limits_{\left( {n - 1} \right)T \le t \le nT} = \mathop {\max }\limits_{\left( {n - 1} \right)T \le t \le nT} \left| {x\left( t \right)} \right| $

(1)

式中，y(n)表示第n个周期内信号x(t)的最大幅值，n∈$\mathbb{N}$，T为信号x(t)的周期。

动态负荷的随机特性表现为有功功率随时间波动的变化特性，根据有功功率的定义，第n个周期有功功率可表示为积分函数

$ p\left( n \right) = \frac{1}{T}\int_{\left( {n - 1} \right)T}^{nT} {i\left( t \right)u\left( t \right){\rm{d}}t} $

(2)

式中，p(n)表示动态负荷有功功率随工频周期n的波动变化，i(t)和u(t)分别为动态负荷电流信号和电压信号。

针对某钢铁材料公司交流电弧炉，对A相瞬时电压和电流信号进行数据采样，采样频率50 kHz，采样信号时长2 230 s，其中包含设备工作的循环周期约1 800 s。采用式(1)分析给出电弧炉各周期瞬时电流和电压随时间变化的曲线，如图 1所示；采用式(2)分析给出各周期有功功率在循环周期内随时间变化的曲线，如图 2所示，图中虚线框内为循环周期内的信号幅度局部放大波形，同时给出瞬时电压与电流信号波形。

针对某地区牵引变电站，对A相瞬时电压和电流信号进行数据采样，采样频率50 kHz，采样信号时长1 200 s，具有循环周期变化特性。分析给出高铁机车瞬时电流、电压信号幅度及有功功率信号的时变特性分别如图 3和图 4所示，图中虚线框内为信号幅度局部放大波形和瞬时电压、电流信号波形。

由图 1~4分析可知，典型动态负荷信号的波动特性为：(1)各周期的负荷电压幅度具有随机波动性，但波动范围小，相对值为7.2%(电弧炉)和8.3%(牵引变电站)，具有近似稳态的特性；(2)各周期的电流幅度亦具有随机波动性，且波动范围大，相对值为99%(电弧炉)和97%(牵引变电站)，呈现出随机快速波动的特性；(3)电流幅度随时间缓慢循环递增和递减，具有缓慢的循环周期波动特性；(4)通过瞬时电压信号波形分析可得出，高压计量点负荷瞬时电压谐波成分较小，负荷功率主要由基波功率构成，随机噪声产生的功率可以忽略；(5)各个工频周期的有功功率信号的波动特性与电流幅度时变波动特性相似。另外，动态负荷随机信号具有循环周期性，如电弧炉循环工作周期通常为20~30 min^[7]，图 1和2表明电弧炉电流幅度和有功功率信号循环周期约为30 min；图 3和4中高铁机车电流幅度和有功功率信号在350~700 s、700~1 000 s等时间段内具有明显的循环周期变化特性，除此之外，牵引变电站日负荷周期约为16 h^[10]；电弧炉与高铁机车的负荷电流信号和有功功率信号是非平稳随机过程^{[2, 7]}。

1.2 动态负荷非平稳随机信号模型的建立与分解

对采集的动态负荷电压和电流信号在离散时间t_n上取值，采用随机变量族{$X\left({A, {t_n}} \right), n \in {\mathbb{N}} $, A∈R⁺}表示动态负荷电流、电压和有功功率的随机过程。设采集获得的随机信号样本X(A, t_n)是依赖于随机幅度参数A的非平稳随机信号，简记为X(t_n)。根据动态负荷信号本质特性，动态负荷电流信号是随机动态变化的，且具有循环波动特性；同时由图 1和图 3可知电压畸变率较小(< 9%)、噪声较小，此时负荷功率主要由基波功率构成，随机噪声产生的影响可以忽略。因此幅度随机变化的动态负荷(电流)信号可以表示为正弦信号的调制模型

$ X\left( {{t_n}} \right) = A\left( {{t_n}} \right)s\left( {{t_n}} \right) = \left[ {m\left( {{t_n}} \right) + {v_{\rm{d}}}\left( {{t_n}} \right)} \right]s\left( {{t_n}} \right) $

(3)

式中，X(t_n)为动态负荷电流非平稳随机信号；A(t_n)为随机幅度参量；s(t_n)为确定性正弦函数，表示动态负荷电流信号的基波成分；m(t_n)为信号A(t_n)的循环周期项；v_d(t_n)为信号A(t_n)的动态变化项。

根据调制模型式(3)以及本质特性式(1)，可进一步建立动态负荷电流和电压的非平稳随机信号模型为

$ {i_K}\left( {{t_n}} \right) = A\left( {{t_n}} \right)s\left( {{t_n}} \right) = \left[ {{I_{{\rm{OK}}}}\left( {{t_n}} \right) + {I_{\rm{K}}}\left( {{t_n}} \right)} \right]\sin \left( {\omega {t_n} + {\varphi _K}} \right) $

(4)

$ {u_K}\left( {{t_n}} \right) = {U_K}\left( {{t_n}} \right)\sin \omega {t_n} $

(5)

式中，I_OK(t_n)为电流幅度的循环周期项；I_K(t_n)为电流幅度的动态变化项；U_K(t_n)为电压幅度，波动较小；t_n为离散时间点，n∈$\mathbb{N} $；ω=2πf，f为工频频率；φ_K为电流的初始相位，K取a、b、c，表示三相电流或电压。

将电流i_K(t_n)和电压u_K(t_n)相乘求和取平均，可以建立动态负荷有功功率随机信号的模型为

$ \begin{array}{l} {p_K}\left( {{t_n}} \right) = \frac{1}{{{N_{\rm{T}}}}}\sum\limits_{{t_n} = 0}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {{i_K}\left( {{t_n}} \right){u_K}\left( {{t_n}} \right)} = \frac{1}{{{N_{\rm{T}}}}}\sum\limits_{{t_n} = 0}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {\left\{ {\left[ {{I_{{\rm{OK}}}}} \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\left( {{t_n}} \right){U_K}\left( {{t_n}} \right) + {I_K}\left( {{t_n}} \right){U_K}\left( {{t_n}} \right)} \right]\sin \left( {\omega {t_n} + {\varphi _K}} \right)\sin \omega {t_n}} \right\} = \\ \frac{1}{{{N_{\rm{T}}}}}\sum\limits_{{t_n} = 0}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {\left\{ {\frac{1}{2}\left[ {{I_{{\rm{OK}}}}\left( {{t_n}} \right){U_K}\left( {{t_n}} \right) + {I_K}\left( {{t_n}} \right){U_K}\left( {{t_n}} \right)} \right]\left[ {\cos {\varphi _K} - } \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\cos \left( {2\omega {t_n} + {\varphi _K}} \right)} \right]} \right\} \end{array} $

(6)

式中，I_OK(t_n)U_K(t_n)为有功功率信号幅度的循环周期项，I_K(t_n)U_K(t_n)为有功功率信号幅度的动态变化项，N_T为一个工频周期内采样的点数。

循环周期项只能反映动态负荷信号缓慢变化的趋势特性，对电能表动态误差影响可以忽略不计，据此，本文通过构造一阶差分算子去除电流信号i_K(t_n)的循环周期项I_OK(t_n)s(t_n)，得到电流的动态变化项I_K(t_n)s(t_n)，进而分析动态负荷电流信号的快速波动特性对电能表动态误差的影响。

设电流信号总的采集时间长度为T_total，以T_m=10 s为间隔，每个间隔内的离散点数N_m=T_mf_s，f_s为电流信号的采样频率，则电流信号幅度A(t_n)在第k个时间间隔内的最大值和最小值分别为

$ A_{\mathrm{m}}^{\max }(k)=\max \left\{A\left(t_{q}\right) | k N_{\mathrm{m}}<q \leqslant(k+1) N_{\mathrm{m}}\right\} $

(7)

$ A_{\mathrm{m}}^{\min }(k)=\min \left\{A\left(t_{q}\right) | k N_{\mathrm{m}}<q \leqslant(k+1) N_{\mathrm{m}}\right\} $

(8)

式中，{A(t_q)|kN_m < q≤(k+1)N_m}表示在第k个时间间隔T_m内的所有电流信号幅度A(t_n)的集合，k=0, 1, …, T_total/T_m；q∈$\mathbb{N} $。

根据式(7)和式(8)，由一阶差分算子求出电流信号动态变化项的算法为

$ \begin{array}{l} {I_K}\left( {{t_n}} \right)s\left( {{t_n}} \right) = \nabla {i_K}\left( {{t_n}} \right) = \left( {A\left( {{t_n}} \right) - {I_{{\rm{OK}}}}\left( {{t_n}} \right)} \right)\\ s\left( {{t_n}} \right) = \left\{ {A\left( {{t_n}} \right) - 1/2\left[ {A_{\rm{m}}^{\max }\left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right) + A_{\rm{m}}^{\min }} \right.} \right.\\ \left. {\left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right)} \right\}s\left( {{t_n}} \right) \end{array} $

(9)

式中，I_K(t_n)s(t_n)表示电流信号的动态变化项，$A_{\rm{m}}^{\max }\left({\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right)$和$A_{\rm{m}}^{\min }\left({\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right)$分别表示信号A(t_n)在第${\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor }$个时间间隔T_m内的最大值和最小值，$1/2\left[{A_{\rm{m}}^{\max }\left({\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right) + A_{\rm{m}}^{\min }\left({\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor } \right)} \right]$表示信号A(t_n)在第${\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{m}}}}}} \right\rfloor }$个时间间隔内的均值，$\left\lfloor \cdot \right\rfloor $表示向下取整，n∈$\mathbb{N} $。

2 动态负荷电流游程长度特性分析

动态负荷电流信号快速波动称为动态负荷信号游程^[12]，按照波动的快慢分为暂态(1~5个工频周期)游程长度、短时(5~64个工频周期)游程长度和长时(64~512个工频周期)游程长度，一个游程长度内的波形波动模式称为游程波形模态。

对于电弧炉和高铁机车电流信号i_K(t_n)，采用式(7)、(8)和(9)，分别分析给出其动态变化特性如图 5、6所示。

由图 5、6看出，电弧炉和高铁机车电流信号都具有多种游程长度特性，其中以短时和长时游程长度为主要分布特点，一个游程长度内的波形具有阶跃式上升或下降、指数式下降等模态。

根据电能表PGA单元量程切换机理^[8]，动态负荷快速大幅度地波动会造成PGA增益频繁误切换，最终导致电能表的动态误差。因此，为了研究分析动态负荷电流游程长度特性对电能表动态误差的影响，本文将选取这两种负荷典型电流短时和长时游程长度波形，经周期延拓后作为仿真测试电流信号。

3 智能电能表各单元动态模型的建立 3.1 智能电能表结构

智能电能表测量部分由信号预处理单元、信号转换单元、有功功率测量单元和电能测量单元构成(图 7)，根据其工作机理分别建立各单元的数学模型，具体分析信号在电能表各单元输入与输出之间和各单元之间的动态传递关系。

3.2 信号预处理单元数学模型

预处理单元包括电流分流器和电压分压器，分别通过分流器和分压器将电流i(t)信号和电压u(t)信号幅值转化在A/D转换器模拟输入的限值范围内，再建立电能表分流器和分压器输入输出的数学模型为

$ {u_i}(t) = \frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{{K_{{{\max }^i}}}}}i(t) $

(10)

$ {u_u}(t) = \frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{K_{\max }^u}}u(t) $

(11)

式中，K_maxⁱ=max|i(t)|为输入电流的最大值，K_max^u=max|u(t)|为输入电压的最大值，K_m=0.8V_m。需保证在1.2K_maxⁱ和1.2K_max^u测量范围内，输出信号u_i(t)和u_u(t)不大于A/D转换器模拟输入限值V_m=700 mV。

3.3 信号转换单元数学模型

图 7中，信号转换单元包括电流和电压的PGA增益控制单元、PGA、A/D转换器3个部分。信号转换单元对信号预处理单元输出的电流信号和电压信号进行信号调理与采样后，输出离散电流信号u_i(n)和电压信号u_u(n)。

3.3.1 增益控制单元

(1) 电流通道

电流增益控制单元包括离散电流有效值算法和增益判别切换算法。电流通道中的增益控制单元将A/D转换器输出的信号u_i(n)通过有效值算法计算得到电流的有效值V_Irms(n)，然后通过对V_Irms(n)进行判别，进而反馈控制电流通道PGA的增益切换。

根据离散电流信号有效值计算机理，采用多采样率信号抽取方法建立电流有效值测量算法的N_T抽取数学模型为

$ V_{{\rm{Irms}}}^2\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {{h_{\rm{I}}}\left( k \right)u_i^2\left( {{N_{\rm{T}}}n - k} \right)} $

(12)

式中，h_I(k)=1/N_T(0≤k≤N_T-1)为电流有效值测量滤波器，n∈$\mathbb{N} $。

根据电能表电流量程控制的机理，建立PGA增益判别切换机理的增益滞后的约束数学模型

$ {A_i}\left( n \right) = \left\{ \begin{array}{l} {K_1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;max\left\{ {{V_{{\rm{Irms}}}}\left( n \right)\left| {{n_1} - M + 1 \le n \le {n_1}} \right.} \right\} < {V_{{\rm{th}}}}\\ {K_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\min \left\{ {{V_{{\rm{Irms}}}}\left( n \right)\left| {{n_2} - M + 1 \le n \le {n_2}} \right.} \right\} > {V_{{\rm{th}}}}\\ {A_i}\left( {n - 1} \right),\;\;\;\;{\rm{others}} \end{array} \right. $

(13)

式中，A_i(n)表示电流信号第n个工频周期的动态增益，增益值K₁>K₂，M为PGA增益滞后的工频周期数，V_th为增益切换阈值，n, n₁, n₂∈$\mathbb{N} $。

当原始信号由小信号突变为大信号时，PGA增益由K₁切换成K₂；反之，增益由K₂切换成K₁。因此动态负荷电流快速且大幅度波动时，会造成PGA增益频繁误切换，最终导致电能计量的动态误差。

(2) 电压通道

实际电网中，动态负荷工况下的电力负荷计量点交流电压幅度变化范围小，因此电能表中电压通道的PGA一般采用单量程工作方式，即PGA增益为固定值K_u。据此给出电压通道PGA增益模型为

$ {A_u}\left( n \right) = {K_u} $

(14)

式中，A_u(n)表示电压信号的第n个工频周期的动态增益，n∈$\mathbb{N} $。

3.3.2 电流通道和电压通道输入输出

根据信号转换单元的工作机理，分别建立电流通道和电压通道输入输出动态增益数学模型为

$ \begin{array}{l} {u_i}\left( n \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_i}\left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{T}}}}}} \right\rfloor } \right){u_i}\left( t \right)\delta \left( {t - n} \right)} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_i}} \\ \left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{T}}}}}} \right\rfloor } \right)\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{K_{\max }^i}}i\left( t \right)\delta \left( {t - n} \right) \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{l} {u_u}\left( n \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_u}\left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{T}}}}}} \right\rfloor } \right){u_u}\left( t \right)\delta \left( {t - n} \right)} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_u}} \\ \left( {\left\lfloor {\frac{n}{{{N_{\rm{T}}}}}} \right\rfloor } \right)\frac{{{K_{\rm{m}}}}}{{K_{\max }^u}}u\left( t \right)\delta \left( {t - n} \right) \end{array} $

(16)

式中，δ(t-n)为单位抽样函数，n∈$\mathbb{N} $。

3.4 有功功率测量单元数学模型

有功功率测量单元对离散电流信号u_i(n)和离散电压信号u_u(n)相乘得到瞬时功率信号p_i(n)，p_i(n)通过低通滤波器运算输出瞬时有功功率信号p_o(n)。设{h_P(k)=1/L:0≤k≤L-1}为有功功率低通滤波器的抽样响应，根据离散数字系统的输入与输出关系，可以建立有功功率测量单元的卷积运算数学模型为

$ \begin{array}{l} {p_{\rm{o}}}\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {\left( {{u_u}\left( n \right){u_i}\left( n \right)} \right)} * {h_{\rm{P}}}\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {{p_{\rm{i}}}} \\ \left( n \right) * {h_{\rm{P}}}\left( n \right) \end{array} $

(17)

式中，n∈$\mathbb{N} $，L∈$\mathbb{N} $为滤波器长度。

可将离散时间序列p_i(n)和p_o(n)映射为n维欧式空间Rⁿ的一个向量。设有功功率测量单元低通滤波器的输入为N_p维向量Pⁱ，N_p∈$\mathbb{N} $，则输出为(N_p+L-1)维向量P^o，据此，式(17)可表示为如下矩阵运算的形式

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_{\rm{o}}}\left( 0 \right)}\\ {{p_{\rm{o}}}\left( 1 \right)}\\ \vdots \\ {{p_{\rm{o}}}\left( {L - 1} \right)}\\ {{p_{\rm{o}}}\left( L \right)}\\ \vdots \\ {{p_{\rm{o}}}\left( {{N_{\rm{p}}} - 1} \right)}\\ {{p_{\rm{o}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right)}\\ \vdots \\ {{p_{\rm{o}}}\left( {{N_{\rm{p}}} + L - 2} \right)} \end{array}} \right] =\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {h\left( 0 \right)}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {h\left( 1 \right)}&{h\left( 0 \right)}&{}&{}&{}&{}&{}\\ \vdots & \vdots & \ddots &{}&{}&{}&{}\\ {h\left( {L - 1} \right)}&{h\left( {L - 2} \right)}& \cdots &{h\left( 0 \right)}&{}&{}&{}\\ {}&{h\left( {L - 1} \right)}& \cdots &{h\left( 1 \right)}&{}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots & \vdots & \vdots & \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{h\left( {L - 1} \right)}&{h\left( {L - 2} \right)}& \cdots &{h\left( 0 \right)}\\ {}&{}&{}&{}&{h\left( {L - 1} \right)}& \cdots &{h\left( 1 \right)}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots & \vdots \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{h\left( {L - 1} \right)} \end{array}} \right]\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_{\rm{i}}}\left( 0 \right)}\\ {{p_{\rm{i}}}\left( 1 \right)}\\ \vdots \\ {{p_{\rm{i}}}\left( {{N_{\rm{p}}} - 1} \right)} \end{array}} \right] $

(18)

设P_(Np+L-1)×1^o=[p_o(0), p_o(1), …, p_o(N_p+L-2)]^T为测量时间内滤波器输出的瞬时有功功率信号向量，P_Np×1ⁱ=[p_i(0), p_i(1), …, p_i(N_p-1)]^T为测量时间内滤波器的输入瞬时功率信号向量，H_(Np+L-1)×Np为滤波器矩阵，则式(18)可表示为矩阵运算的形式

$ \mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {{N_{\rm{p}}} + L - 1} \right) \times 1}^{\rm{o}} = {\mathit{\boldsymbol{H}}_{\left( {{N_{\rm{p}}} + L - 1} \right) \times {N_{\rm{p}}}}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{{N_{\rm{p}}} \times 1}^{\rm{i}} $

(19)

式(19)为有功功率测量单元的矩阵数学模型，根据该模型，可方便建立电能测量单元数学模型。

3.5 电能测量单元数学模型

根据智能电能表有功电能测量原理^[13]，定义单位向量累计求和映射算子为T=T_s[1, 1, …, 1]_(Np+L-1)×1，对有功功率测量单元输出向量P_(Np+L-1)×1^o求内积得到电能表测量的有功电能E_o(N_p)

$ {E_{\rm{o}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right) = {\left( {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {{N_{\rm{p}}} + L - 1} \right) \times 1}^{\rm{o}}} \right)^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{\left( {{N_{\rm{p}}} + L - 1} \right) \times 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{p}}} + L - 2} {{p_{\rm{o}}}\left( k \right){T_{\rm{s}}}} $

(20)

4 典型电流游程长度特性对电能表动态误差影响的仿真分析

采用第3节建立的智能电能表仿真模型，针对电弧炉和高铁机车负荷电流信号典型的短时游程和长时游程长度波形以及对应时间的电压波形，分别对其进行周期延拓作为电能表仿真模型的输入测试信号，仿真分析典型电流游程长度特性对电能表动态误差的影响。

4.1 高铁机车电流短时游程长度 4.1.1 信号预处理单元

采用式(10)、(11)将高铁机车典型电流短时游程长度波形及对应时间的电压波形作为电能表仿真模型的输入信号，仿真分析得到分流器和分压器输出波形如图 8所示。

将图 8中分流器和分压器输出的电流u_i(t)和电压u_u(t)信号作为信号转换单元的输入信号，进行后续的仿真分析。

4.1.2 信号转换单元

电能表在实际应用中PGA单元普遍采用的增益K₁=4, K₂=1，滞后工频周期M=6，采用式(15)、(16)，仿真分析得到在转换单元电流通道输出的信号波形如图 9所示。

分析图 9可知，由于PGA的滞后响应，在信号幅度发生突变后，电能表对后续M个工频周期信号进行了不恰当的调理，即大信号被误放大，幅值超过A/D转换器的限值而被削顶，小信号没有被放大，由此导致电能表电能计量的动态误差。

将信号转换单元输出的离散电流u_i(n)和电压u_u(n)信号作为有功功率测量单元的输入信号，进行后续仿真分析。由于电压幅度随机波动范围很小，不再给出具体电压通道信号的波形。

4.1.3 有功功率测量单元

采用式(17)、(18)仿真分析给出有功功率测量单元中低通滤波器输入输出的波形如图 10所示。

将图 10中有功功率测量单元输出的有功功率信号p_o(n)作为电能测量单元中的输入信号，进行后续仿真分析。

4.1.4 电能测量单元

对图 10中有功功率信号p_o(n)，在测量时间[0，N_p-1]内采用式(20)计算给出电能表测量的有功电能值E_o(N_p)。根据电能量的定义，测量时间[0，N_p-1]内的参考电能值E_s(N_p)为

$ {E_{\rm{s}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right) = \sum\limits_{n = 0}^{{N_{\rm{p}}} - 1} {i\left( n \right)u\left( n \right){T_{\rm{s}}}} $

(21)

式中，$i(n) = \sum\limits_{n = 0}^\infty i (t)\delta (t - n)$为离散电流信号，$u(n) = \sum\limits_{n = 0}^\infty u (t)\delta (t - n)$为离散电压信号。

电能表动态误差采用相对误差δ，可表示为

$ \delta = \frac{{{E_{\rm{o}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right) - {E_{\rm{s}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right)}}{{{E_{\rm{s}}}\left( {{N_{\rm{p}}}} \right)}} \times 100\% $

(22)

最后根据4.1.1~4.1.4节的仿真分析结果，求得高铁机车典型电流短时游程长度特性产生的电能表动态误差为-12.34%。

4.2 高铁机车电流长时游程长度

仿真分析过程同4.1.1~4.1.3节，得到高铁机车电流长时游程长度作为输入测试信号时，各单元输出的仿真输出波形如图 11~13所示。

采用4.1.4节的分析方法，得到高铁机车典型电流长时游程长度特性产生的电能表动态误差为-4.21%。

同时将电弧炉典型电流的短时、长时游程长度波形以及对应时间的电压波形，采用4.1和4.2节的仿真分析方法求出动态误差分别为-12.73%和-4.93%。由于篇幅所限，相应的波形分析略去。

将典型电流游程长度波形进行周期延拓后作为电能表仿真模型的输入电流测试信号，通过仿真分析高铁机车和电弧炉负荷电流的快速波动特性，得到短时游程和长时游程长度波动特性对电能表动态误差的影响，结果见表 1。

5 实验验证与结果分析

对第4节的仿真分析结果，采用文献[14]中电能表动态误差测试装置HE5020进行实验测试验证，采用可反映实际电流典型游程长度特性的二进制通断键控(on-off-key, OOK)动态测试信号作为实验电流测试信号。在OOK两种通断比的条件下，分别测试两种型号电能表的动态误差。实验测试条件如表 2所示。实验测试和仿真分析的动态误差对比如表 3所示。

分析表 3误差结果可知，动态负荷电流游程长度不同导致电能表动态误差不同，其中短时游程长度对电能表动态误差影响更大；实验与仿真分析得到的误差结果较接近，表明建立的电能表动态模型和仿真分析方法是可行的，仿真分析结果较准确；同时可以看出实验测试与仿真分析结果之间有一定的偏差(约1/7)，这是因为实际典型电流游程长度具有不同的波形模态，且其小信号不为零，而由于实验条件的限制，OOK测试信号的波形模态是固定的，同时其断信号为零，所以实验偏差较小。

6 结束语

本文建立了智能电能表动态测量数学模型，仿真分析了典型动态负荷的游程长度波动特性对智能电能表动态误差的影响，并进行了实验验证，结果表明PGA单元增益反馈切换导致动态电流信号削顶，是产生电能表动态误差的主要原因。本文分析给出的动态负荷电流信号游程长度特性以及建立的智能电能表动态模型，有效地解决了动态负荷电流信号快速波动特性对电能表动态误差影响的评价问题。