引言

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有功率密度大、可靠性强、调速范围宽等优点^[1]，在机器人、汽车、精密制造设备等领域应用非常广泛。但是PMSM是一个强耦合、多变量的复合系统，要保证电机的有效运转，需采取相应的控制方法对PMSM的核心电磁转矩进行精确控制^[2-3]。

当前最常用的控制方法为矢量控制和直接转矩控制(direct torque control，DTC)^[4-5]。矢量控制需要通过坐标变换实现转矩与磁链的解耦，计算量大且对电机参数依赖性较强。直接转矩控制则采用滞环比较器实现对转矩和磁链的直接控制，不需要进行矢量解耦，具有控制结构简单、转矩动态响应良好等优点，但是传统的直接转矩控制存在转矩和磁链脉动较大以及低速时磁链估算误差大等问题，严重影响了其应用^[6]。肖萌等^[7]提出将滞环控制器与离散扩展开关表相结合的方法，可以较为有效地抑制磁链与转矩的脉动，但需要依据不同的系统设置转矩和磁链的增减程度，控制结构比较复杂。张红伟等^[8]提出一种模糊DTC系统，依据估算的最优转矩和磁链来控制电机，但运行工况的变化会导致转矩与磁链产生误差，降低模糊DTC的性能。李福等^[9]通过改进电流环引入主动电阻，补偿定子电阻由于温度等因素所引起的变化，但该方法会在一定程度上引起系统的振荡和不稳定。Baratieri等^[10]提出一种变增益的二阶滑模算法，将其用于速度及反电势的估算，并通过实验验证了该算法能够减弱滑模观测中的抖动，但在低速下的控制效果不太明显。

以上方法在抑制磁链与转矩脉动上都存在较大的局限性，为了解决永磁同步电机低速运行时磁链和转矩脉动大，以及定子电阻变化导致磁链估算产生较大误差等问题，本文提出了一种基于改进二阶滑模算法和定子电阻补偿的方法对永磁同步电机直接转矩控制进行优化。该方法通过构建滑模控制器以代替传统的速度和磁链控制器，同时在磁链估算中建立基于模糊比例积分(PI)控制的定子电阻补偿器来抑制定子电阻变化对系统的影响，仿真结果表明转矩及磁链的脉动得到明显的抑制。

1 永磁同步电机数学模型

忽略电机铁心不饱和及磁滞、涡流耗损等因素，在dq坐标系下，永磁同步电机的电压方程为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{u}}_d}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_q}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{s}}} + p{L_d}}&{ - {L_q}{\mathit{\omega }_{\rm{r}}}}\\ { - {L_q}\mathit{\omega }}&{{\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{s}}} + p{L_q}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{i}}_d}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{i}}_q}} \end{array}} \right] + {\mathit{\omega }_{\rm{r}}}{\psi _{\rm{f}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ 1 \end{array}} \right] $

(1)

则定子磁链在dq坐标系下的方程为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _d}}\\ {{\psi _q}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_d}}&0\\ 0&{{L_q}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{i}}_d}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{i}}_q}} \end{array}} \right] + {\psi _{\rm{f}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ 1 \end{array}} \right] $

(2)

转矩方程为

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}{P_0}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_d}{\mathit{\boldsymbol{i}}_d} - {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_q}{\mathit{\boldsymbol{i}}_d}} \right) $

(3)

对于隐极式永磁同步电机有L_d= L_q，故而有

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}{P_0}{\psi _{\rm{f}}}{\mathit{\boldsymbol{i}}_q} $

(4)

运动方程为

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}} - {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{L}}} - B{\omega _{\rm{r}}} = J\frac{{{\rm{d}}{\omega _{\rm{r}}}}}{{{\rm{d}}t}} $

(5)

式中，T_e为电磁转矩；T_L为电机负载转矩；B为黏滞系数；J为转动惯量；P₀为极对数；L_d、L_q分别为d轴、q轴的电感；ω_r为转子机械角速度；R_s为定子电阻；i_d、i_q分别为d轴、q轴的电流。

2 基于二阶滑模的转矩及磁链控制器

传统的永磁同步电机直接转矩控制在运行时磁链和转矩脉动较大，为了抑制这种现象以实现电机的平稳控制，选用二阶滑模控制中的Super-Twisting算法^[11-12]。该算法结合了滑模控制器和PI控制的优点，主要通过控制误差及误差的积分来构造控制器，与其他控制方法相比具有更好的鲁棒性和动态特性^[13]。Super-Twisting滑模控制包括两个方面，一个是不连续的滑动变量函数，另一方面是连续的导函数，因此有

$ \mathit{\boldsymbol{u}} = - {K_{\rm{p}}}|\mathit{\boldsymbol{y}}{|^r}{\mathop{\rm sgn}} (\mathit{\boldsymbol{y}}) + {\mathit{\boldsymbol{u}}_1} $

(6)

$ \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_1}}}{{{\rm{d}}t}} = - {K_{\rm{I}}}{\mathop{\rm sgn}} (\mathit{\boldsymbol{y}}) $

(7)

式中，u_l为输入量，K_p，K_I>0，为待设计参数，sgn(y)为开关函数。

但滑模控制中存在抖振现象，影响系统控制的稳定性。为削弱抖振的影响，在滑模控制中引入边界层法，利用饱和函数sat(s, δ)代替sign(s)。饱和函数公式为

$ {\mathop{\rm sat}\nolimits} (s, \delta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{s}{\delta }, }&{|s| < \delta }\\ {{\mathop{\rm sign}\nolimits} (s), }&{|s| \ge \delta , k > 0, \delta > 0} \end{array}} \right. $

(8)

式中，k为趋近率，δ为边界层厚度。

为获得磁链控制器表达式，将磁链的滑模面控制函数定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_\psi } = \mathit{\boldsymbol{\psi }}_{\rm{s}}^* - {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{\rm{s}}} $

(9)

滑模控制器按照式(6)、(7)得

$ \mathit{\boldsymbol{u}}_d^* = - {K_{\rm{p}}}{\left| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_\psi }} \right|^r}{\mathop{\rm sat}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_\psi }} \right) + {\mathit{\boldsymbol{u}}_d} $

(10)

$ \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_d}}}{{{\rm{d}}t}} = - {K_{\rm{I}}}{\mathop{\rm sat}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_\psi }} \right) $

(11)

假设定子磁链幅值ψ_s是常数，则电磁转矩的微分方程为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}{p_0}{\psi _{\rm{s}}}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\mathit{\boldsymbol{i}}_q} $

(12)

为获得转矩控制器表达式，将转矩滑模面控制函数定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}^* - {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{e}}} $

(13)

$ \mathit{\boldsymbol{u}}_q^* = - {K_{\rm{p}}}{\left| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_{\rm{T}}}} \right|^r}{\mathop{\rm sat}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_{\rm{T}}}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{u}}_q} $

(14)

$ \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_q}}}{{{\rm{d}}t}} = - {K_{\rm{I}}}{\mathop{\rm sat}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_{\rm{T}}}} \right) $

(15)

转矩滑模控制器和磁链滑模控制器构成框图如图 1所示。

3 基于模糊PI的定子电阻补偿 3.1 定子电阻补偿器设计

电机在运行时会由于自身温度变化导致定子电阻发生改变，而在低速时由于电流较大，对于磁链观测的影响尤为明显，会导致转矩脉动变大。因此，为了更好地实现对永磁同步电机的控制，本文在改进二阶滑模控制的磁链观测中加入定子电阻补偿器，进一步减小估算磁链的误差。在PMSM两相定子坐标中可以得到定子磁链为

$ {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{\rm{s}}} = \int {\left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_{\rm{s}}} - {\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{s}}}{\mathit{\boldsymbol{i}}_{\rm{s}}}} \right)} $

(16)

式中，ψ_s为定子磁链矢量，V_s为电压矢量，R_s为定子电阻矢量，i_s为定子电流矢量。

从式(16)可以看出定子电阻的变化会导致磁链估算产生误差，同时由式(3)可知磁链的变化将会使转矩也发生变化，尤其在低速时电流较大，电阻压降将会占据很大的比例。定子电阻的任何变动都会对磁链的估算带来比较大的误差，进而使得转矩发生较大的波动，降低控制性能，因此本文提出了如图 2所示的定子电阻补偿方法来抑制定子电阻的变化。

定子的电阻变化将会导致估算磁链ψ_s改变，则ψ_s与参考磁链ψ_s^*之间产生误差e。误差e通过一个低截止频率的低通滤波器削弱高频噪声，随后再把获取的信号输入到模糊PI控制器，该控制器输出的则为定子电阻的变化量ΔR_s，ΔR_s的表达式为

$ \Delta {R_{\rm{s}}} = \left( {{k_{\rm{p}}} + {k_{\rm{I}}}\frac{1}{s}} \right)\Delta {\psi _{\rm{s}}} $

(17)

式中，k_p和k_I分别为比例增益和积分增益。

最后再将变化量ΔR_s与之前的定子电阻R_s进行求和得到最终的电阻值R_s^*。

3.2 模糊控制规则设计

模糊控制对被控对象的依赖程度较低，与其他控制方法相比对参数变化有着较强的自适应性，因此控制的精度也相对较高^[14]。为了减少磁链对控制系统的影响，将估算磁链ψ_s与参考磁链ψs^*之间产生的误差e以及误差变化率e^*作为输入变量，考虑到控制精度以及模糊运算量，将模糊集合元素设定为7个，其模糊语言为{NB(负大)，NM(负中)，NS(负小)，ZE(零)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}，误差e论域以及误差变化率e^*论域为[-6 6]，取偏差变化范围为[-3, 3]，偏差的变化率为[-0.6，0.6]，则量化因子K_e=2，K_ec=10。构建的模糊控制规则为：当e较小时，使ΔK_p和ΔK_I输出量变大；当e处于中间范围时，ΔK_p和ΔK_I输出量取适中值；当e较大时，将ΔK_p取值变大，ΔK_I取值变小。具体控制规则如表 1所示，隶属度函数如图 3所示。

模糊控制器输出量为ΔK_p和ΔK_I，其论域为[-3 3]，都选用三角形隶属函数，采用Mamdani模糊推理算法和重心法进行判定，ΔK_p和ΔK_I的隶属度函数如图 4所示。

4 仿真结果分析

利用Matlab/Simulink建立永磁同步电机控制模型，分别采用传统直接转矩方法和加入滑模控制的直接转矩方法与本文所提方法进行比较。仿真中永磁同步电机参数如表 2所示。

在仿真过程中给定转速ω_r为100 r/min，给定定子磁链ψ_s^*为0.22 Wb，初始负载转矩加载为1 N ·m，之后在0.2 s时将负载转矩突加至1.5 N ·m。

图 5所示为补偿后的电阻与实际电阻曲线图。从图中可以看出在电机稳定运行时，补偿后的电阻R_s^*能够比较好地跟随实际定子电阻，同时由图 6(b)、图 7(b)及图 8(b)对比可知，传统直接转矩磁链波动处于0.214 Wb~0.224 Wb，磁链脉动为0.01 Wb；基于二阶滑模控制的磁链波动处于0.217 Wb~0.222 Wb，磁链脉动为0.005 Wb；而本文所提方法磁链波动为0.219 4~0.221 5 Wb，磁链脉动为0.002 1 Wb。可以得出本文方法的磁链脉动比传统方法减少了79%，比基于二阶滑模控制的磁链脉动减少了58%。由此可见，基于定子电阻补偿的方法可以有效降低电机低速时定子电阻变化对磁链估算的影响。

从图 6(a)可以看出在低速下传统的直接转矩控制方法速度一直在波动，稳定性较弱，同时在0.2 s突加载荷后波动很大。从图 7(a)可以看出基于二阶滑模控制的转速较为平稳，响应也比较快，在0.03 s达到稳定值，但存在较大的超调现象，同时在0.2 s突加载荷后波动较大。从图 8(a)可以看出本文所提方法转速能够精确快速地达到给定速度，在0.02 s就可以趋于稳定，抗干扰能力强，渐近收敛且超调量比较小。

从图 6(c)转矩波形图可知，在电机稳定运行后，传统的永磁同步电机直接转矩波动范围在0.5~2.5 N ·m，转矩脉动为2 N ·m；由图 7(c)转矩波形图可以看出基于二阶滑模控制转矩波动范围在1.3~1.7 N ·m，转矩脉动为0.4 N ·m；由图 8(c)转矩波形图可以看出本文所提的方法转矩波动范围为1.4~1.6 N ·m，转矩脉动为0.2 N ·m，比传统的直接转矩控制方法的转矩脉动减少了90%，比基于二阶滑模控制方法的转矩脉动减少了50%，说明转矩脉动得到了有效的抑制。

5 结论

(1) 提出一种基于改进二阶滑模算法和定子电阻补偿的永磁同步电机直接转矩控制方法，与传统的直接转矩控制方法和基于二阶滑模的永磁同步电机直接转矩控制方法的仿真结果比较表明，所提方法的磁链脉动比传统方法的磁链脉动减少了79%，比基于二阶滑模控制磁链脉动减少了58%，降低了低速时定子电阻变化对磁链估算的影响。

(2) 在传统滑模控制的基础上，以饱和函数sat取代sign函数，能够有效削弱滑模控制中的抖振，增强系统控制的平稳性。

(3) 本文所提方法在转速上能够更快达到给定速度，超调量比较小，抗干扰能力强，同时转矩脉动比传统的直接转矩控制方法脉动减少了90%，比基于二阶滑模控制方法的转矩脉动减少了50%，有效抑制了转矩脉动，提升了系统的控制性能。