引言

过程控制工业中，很多被控对象都具有纯滞后特性^[1]，纯滞后会导致控制作用的不及时，从而恶化系统的控制效果。Smith补偿是处理纯滞后问题的有效手段^[2]，在过程控制工业中得到广泛应用^[3]。Smith补偿利用对象的精确数学模型来预测对象的输出，再根据预测的输出及时调整系统的输入，因此该方法对模型的依赖性较强^[4]，当系统存在外部干扰或模型摄动时，控制效果会下降。

目前关于Smith补偿控制的研究主要集中在三方面：①改进Smith补偿控制的结构，这主要是为了处理一些特殊的被控对象如积分对象^[5]、不稳定对象^[6]等，或实现特殊的控制目标如抑制扰动^[7]、多目标优化^[8]等；②优化控制器的整定方法，以满足期望的性能指标要求^[9-10]；③将智能控制方法如神经网络控制^[11]、模糊控制^[12]等应用于Smith补偿控制结构下，以获得更广的应用范围和更优的控制性能。但是这些对Smith补偿控制的改进大都是基于传统的Smith结构框架，Smith控制结构对外部干扰和模型失配的敏感性问题仍需要进一步研究。

为了提升Smith补偿控制对于干扰的抑制能力，本文采用干扰观测器(disturbance observer-based, DOB)结构改进经典的Smith补偿控制结构，从而降低外部干扰和模型失配对系统的影响。最优的DOB滤波器通过优化干扰输出的2范数获得，同时为了提升系统鲁棒性，滤波器参数的选取要满足鲁棒性指标约束。而改进的Smith结构中用于设定值跟踪的控制器则采取内模PID(IMC-PID)设计方法，控制器参数在调节上通过限定参数摄动最坏情况下的峰值指标以降低系统超调量。

1 基于DOB结构的Smith补偿控制 1.1 经典的Smith补偿结构

被控对象的传递函数通常可用式(1)表示

$ P\left( s \right) = {P_0}\left( s \right){{\rm{e}}^{ - \tau s}} $

(1)

式中，P₀(s)表示对象的无纯滞后部分，τ表示纯滞后时间，s为Laplace算子。经典的Smith补偿控制结构如图 1所示。

图 1中，C(s)为控制器，G(s)为被控对象的标称模型，G₀(s)为标称模型的无纯滞后部分，P(s)为实际被控对象，r、y和d分别为设定值、输出和外部干扰。

Smith补偿控制结构大致可分为两部分(如图 1中虚线框所示)：左虚线框部分利用无纯滞后的模型进行预测输出以及时给定控制作用；右虚线框中部分在系统存在外部干扰或模型不确定性时对系统的输出偏差进行反馈校正。根据图 1，可以得到y-r的闭环传递函数(省略了Laplace算子s)

$ {G_{y - r}} = \frac{{CP}}{{1 + C\left( {{G_0} + P - G} \right)}} $

(2)

标称情况下(P=G), 式(2)转化为

$ {{G'}_{y - r}} = \frac{{CP}}{{1 + C{G_0}}} = \frac{{C{G_0}}}{{1 + C{G_0}}}{{\rm{e}}^{ - \tau s}} $

(3)

式(3)所描述的标称情况对应至图 1中，相当于外环反馈到设定端的信号为0，外环变为开环状态。当模型失配或存在外部干扰时，外环反馈实际输出与模型输出的偏差，控制器C(s)再根据偏差调整输入，从而使输出稳定到设定值。

但是经典的Smith结构在模型失配或存在外部干扰时，输出偏差信号需经过控制器C(s)后才产生相应的控制作用，影响了控制作用的及时性；另外C(s)一般是基于标称条件设计的，不满足标称条件时系统的控制性能会下降，这也是Smith结构对模型敏感的原因。针对以上弊端，本文采用DOB控制结构来改进经典的Smith控制结构。

1.2 改进的Smith补偿结构

DOB控制的思想类似于前馈控制，不同之处在于前馈控制是针对可测干扰提出的，而DOB可处理不可测干扰。由于干扰不可测，DOB控制先将干扰估计出来，再根据估计出的干扰对系统进行补偿。广义上讲，模型不确定性也是一种干扰，因此将DOB控制用于处理存在外部干扰和不确定性的系统^[13]。本文利用DOB结构改进经典的Smith结构，改进后的结构如图 2所示。

图 2中，将经典的Smith结构中用于处理模型失配或外部干扰的外环由DOB结构代替，图中Q(s)是DOB滤波器，用来补偿G₀^-1的相对阶和优化系统的干扰抑制性能。由图 2的结构可知，在标称情况下，y-r的闭环传递函数仍为式(3)；当存在外部干扰d时，如果模型匹配，y-d的闭环传递函数为

$ {G_{y - d}} = P\left( {1 - Q{{\rm{e}}^{ - \tau s}}} \right) $

(4)

由式(4)可知，通过设计滤波器Q(s)可以提升系统抑制干扰能力。由于Q(s)并不影响设定值响应，因此可对C(s)不依赖Q(s)进行独立设计。根据式(4)及终值定理，Q(s)应满足的必要条件为

$ \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} Q\left( s \right) = 1 $

(5)

当模型失配时，y-r和y-d的传递函数分别为

$ {G_{y - r}} = \frac{{CP}}{{\left( {1 + C{G_0}} \right)\left( {1 - Q{{\rm{e}}^{ - \tau s}} + QG_0^{ - 1}P} \right)}} $

(6)

$ {G_{y - d}} = \frac{{1 - Q{{\rm{e}}^{ - \tau s}}}}{{\left( {1 - Q{{\rm{e}}^{ - \tau s}} + QG_0^{ - 1}P} \right)}} $

(7)

由终值定理可以看出，满足式(5)的滤波器在模型失配的情况下，仍可以提供有效的控制。

2 滤波器和控制器的设计 2.1 滤波器 2.1.1 形式设计

因滤波器Q(s)的两个主要作用中，补偿G₀^-1的相对阶只需通过调节Q(s)的相对阶即可实现，因此，Q(s)设计的重点是从优化干扰抑制性能的角度出发，在模型匹配的条件下设计并通过调节滤波器参数来提升系统鲁棒性。

一般来说, 过程工业中的被控对象大多可用稳定的一阶加纯滞后(first order plus dead time, FOPDT)或二阶加纯滞后模型(second order plus dead time, SOPDT)表示, 因此被控对象模型如式(8)

$ P\left( s \right) = \frac{{K{{\rm{e}}^{ - \tau s}}}}{{{T_1}{s^2} + {T_2}s + 1}} $

(8)

式中，K为对象静态增益，T₁和T₂为时间常数。当T₁=0时，式(8)为FOPDT模型。考虑到Q(s)必须满足式(5)，因此Q(s)可表示为

$ Q\left( s \right) = 1 + s{Q^ * }\left( s \right) $

(9)

通过式(9)设计Q^*(s)来获得Q(s)。为了获得良好的干扰抑制效果，Q^*(s)的设计目标为优化如式(10)所示的干扰输出的2范数

$ \begin{array}{l} \min {\left\| {{y_d}\left( t \right)} \right\|_2} = \\ \min {\left\| {P\left( s \right)\left( {1 - Q\left( s \right){{\rm{e}}^{ - \tau s}}} \right)d\left( s \right)} \right\|_2} \end{array} $

(10)

因本文考虑的干扰类型为负载干扰，即干扰信号d(s)=1/s，为了便于求解式(10)，利用1阶Pade近似代替纯滞后，即e^-τs≈(1-0.5τs)/ (1+0.5τs)。因此式(10)的求解过程如下

$ \begin{array}{l} \left\| {P\left( s \right)\left( {1 - Q\left( s \right){{\rm{e}}^{ - \tau s}}} \right)d\left( s \right)} \right\|_2^2 = \\ \left\| {\frac{{{P_0}\left( s \right)}}{s}\left( {\frac{{\tau s}}{{1 + 0.5\tau s}} - \frac{{1 - 0.5\tau s}}{{1 + 0.5\tau s}}s{Q^ * }\left( s \right)} \right)} \right\|_2^2 = \\ \left\| {\left( {\frac{{\tau {P_0}\left( s \right)}}{{1 + 0.5\tau s}} - \frac{{1 - 0.5\tau s}}{{1 + 0.5\tau s}}{P_0}\left( s \right){Q^ * }\left( s \right)} \right)} \right\|_2^2 = \\ \left\| {\left( {\frac{{\tau {P_0}\left( s \right)}}{{1 - 0.5\tau s}} - {P_0}\left( s \right){Q^ * }\left( s \right)} \right)} \right\|_2^2 = \\ \left\| {\left( {\frac{{\tau {P_0}\left( s \right)}}{{1 - 0.5\tau s}} - {P_0}\left( s \right){Q^ * }\left( s \right)} \right)} \right\|_2^2 = \left\| {\frac{c}{{1 - 0.5\tau s}}} \right\|_2^2 + \\ \left\| {{P_0}\left( s \right)\left( {\frac{{as + b}}{K} - {Q^ * }\left( s \right)} \right)} \right\|_2^2 \end{array} $

(11)

式中

$ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{K{T_1}{\tau ^2}}}{{2{T_1} + \tau {T_2} + 0.5{\tau ^2}}}\\ b = \frac{{K\tau \left( {2{T_1} + \tau T} \right)}}{{2{T_1} + \tau {T_2} + 0.5{\tau ^2}}}\\ c = \frac{{0.5K{\tau ^3}}}{{2{T_1} + \tau {T_2} + 0.5{\tau ^2}}} \end{array} \right. $

(12)

由此可以得出Q^*(s)的表达式为

$ {Q^ * }\left( s \right) = \frac{{\tau \left( {\tau {T_1}s + 2{T_1} + {T_2}\tau } \right)}}{{2{T_1} + {T_2}\tau + 0.5{\tau ^2}}} $

(13)

再由式(9)得到Q(s)的表达式为

$ Q\left( s \right) = \frac{{\frac{{\tau s\left( {\tau {T_1}s + 2{T_1} + {T_2}\tau } \right)}}{{2{T_1} + {T_2}\tau + 0.5{\tau ^2}}} + 1}}{{{{\left( {\lambda s + 1} \right)}^k}}} $

(14)

式中，1/(λs+1)^k是低通滤波项，用以补偿逆模型的相对阶。对于FOPDT对象，阶次k = 2；对于SOPDT对象，k = 4。

2.1.2 参数的确定

由于添加了1/(λs+1)^k，滤波器Q(s)中存在一个待调参数λ，其值越小，滤波器性能越优。但考虑到系统存在不确定性，在确定λ时还应考虑鲁棒性指标。

常用的鲁棒性指标为系统的最大灵敏度函数Ms，本系统中的Ms如式(15)

$ Ms = \mathop {\max }\limits_\omega \left| {1 - Q\left( {{\rm{j}}\omega } \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\tau \omega }}} \right| $

(15)

将式(14)代入式(15)，并定义参数

$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha = {T_1}/{\tau ^2}\\ \beta = \tau \omega \\ \gamma = {T_2}/\tau \\ \delta = \lambda /\tau \end{array} \right. $

则式(15)可重写为式(16)

$ Ms = \mathop {\max }\limits_\beta \left| {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\beta }} - \frac{{\frac{{ - \alpha {\beta ^2} + \left( {2\alpha + \gamma } \right)\beta {\rm{j}}}}{{2\alpha + \gamma + 0.5}} + 1}}{{{{\left( {1 + \beta \delta {\rm{j}}} \right)}^k}}}} \right| $

(16)

Ms的值越小，表示系统的鲁棒性越好，通常Ms的取值范围为1.2~2.0^[14]。图 3、4分别针对FOPDT和SOPDT对象给出了不同α、γ下λ与Ms的关系。

图 3中，由于FOPDT对象对应的参数T₁=0，所以α=0；而图 4则是在给定不同的α和γ下，系统Ms随λ的变化情况。由图 3、4看出，两种情况下Ms均随着λ的增大而减小，因而可通过增大λ来提升系统的鲁棒性。

本文中，为了使系统具有较好的鲁棒性，首先限定Ms≤1.4，再结合图 3和图 4分别得出FOPDT对象和SOPDT对象的滤波器参数选择标准。

对于FOPDT对象，有

$ \frac{\lambda }{\tau } = \frac{{1.177\gamma + 0.8279}}{{\gamma + 0.9577}} $

(17)

对于SOPDT对象，有

$ \frac{\lambda }{\tau } = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2.178\gamma - 1.005}}{{\gamma - 0.4557}},\;\;\;\;\;\;\;\alpha < 1\\ \frac{{2.171\gamma + 0.7011}}{{\gamma + 0.7767}},\;\;\;\;\;\;1 \le \alpha < 5\\ \frac{{2.306\gamma + 4.041}}{{\gamma + 6.854}},\;\;\;\;\;\;\;\;5 \le \alpha \end{array} \right. $

(18)

2.2 控制器

控制器C(s)用于跟踪参考信号，在模型匹配的条件下，可以参照模型无时滞部分进行设计。考虑到PID控制器在工业现场中的主导地位，本文采取如下形式的PID控制器

$ C\left( s \right) = {K_{\rm{P}}}\left( {1 + \frac{1}{{{T_{\rm{I}}}s}} + {T_{\rm{d}}}s} \right)\frac{1}{{{T_{\rm{f}}}s + 1}} $

(19)

式中，K_P是待整定的比例增益，T_I是积分时间，T_d是微分时间，T_f是串联滤波器的时间常数。

为了便于整定PID控制器参数，采用IMC-PID设计方法得到参数的选取规则如表 1所示。表中μ为内模控制器参数，是唯一的可调参数，因此只需要确定μ就可以对应得到控制器C(s)的参数。

理论上，μ越小，系统响应越快，但是μ太小会导致在系统模型失配时产生较大的超调，所以本文采用文献[15]中的方法，在最坏的参数摄动情况下，通过限定最大峰值M_p < 1.3来确定μ。

3 仿真验证

将本文方法的控制效果与经典的Smith结构以及另外两种控制器调节方法Ziegler-Nichols(Z-N)法和Tyreus-Luyben(T-L)法进行比较，经典Smith结构控制器也采用IMC-PID设计方法，并保证两种系统的Ms值相同，即Ms=1.4。用绝对误差积分(integral absolute error, IAE)指标来评价系统的控制性能，IAE值越小，表明控制性能越好。IAE由式(20)计算

$ {x_{{\rm{IAE}}}} = \int_0^\infty {\left| {r\left( t \right) - y\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t} $

(20)

3.1 一阶加纯滞后对象

选取如式(21)所示的FOPDT对象

$ {P_1}\left( s \right) = \frac{{4{{\rm{e}}^{ - 2s}}}}{{3s + 1}} $

(21)

由式(14)和式(19)可以得到控制器和滤波器分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} {C_1}\left( s \right) = 0.3827 + 0.1276/s\\ {Q_1}\left( s \right) = \left( {1.5s + 1} \right)/{\left( {2.01s + 1} \right)^2} \end{array} \right. $

(22)

利用设计的控制器得到系统的参考信号设定值输出响应和负载干扰输出响应如图 5所示，系统的IAE值见表 2。

系统的输出响应曲线表明，本文的方法可以快速地跟踪设定值和抑制干扰，且超调量较小；经典Simth结构的响应速度稍慢；Z-N法的响应速度虽快，但过渡过程存在振荡和超调；T-L法虽可实现无超调跟踪，但响应速度过慢。由表 2看出，本文提出的改进Smith结构的IAE值最小，同样反映了本文方法的优势。

3.2 二阶加纯滞后对象

选取如式(23)的SOPDT对象

$ {P_2}\left( s \right) = \frac{{3{{\rm{e}}^{ - 2s}}}}{{42{s^2} + 13s + 1}} $

(23)

由式(14)和式(19)可以获得控制器以及滤波器分别为

$ \begin{array}{l} {C_2}\left( s \right) = \left( {0.962\;9 + 0.074\;1/s + 3.111s} \right)/\\ \left( {1.125s + 1} \right) \end{array} $

$ {Q_2}\left( s \right) = \left( {1.5{s^2} + 1.964\;3s + 1} \right)/{\left( {2.85s + 1} \right)^4} $

利用设计的控制器得到系统的参考信号输出响应和负载干扰输出响应如图 6，IAE值见表 2。

从图 6的输出响应曲线可以看出本文方法仍可以快速跟踪设定值和抑制干扰，且超调量较小。

3.3 高阶加纯滞后对象

本文的设计方法主要考虑FOPDT对象和SOPDT对象，对于高阶加纯滞后对象(high order plus dead time, HOPDT)，采用文献[16]中的half rule近似准则，将HOPDT对象近似为FOPDT对象或SOPDT对象后再进行控制器设计。

首先考虑如下高阶对象

$ {P_3}\left( s \right) = \frac{{4\left( {7.6s + 1} \right){{\rm{e}}^{ - s}}}}{{\left( {10s + 1} \right)\left( {8s + 1} \right)\left( {3s + 1} \right)\left( {s + 1} \right)}} $

(24)

再采用half rule近似准则将式(24)近似后得到SOPDT对象

$ {P_3}\left( s \right) = \frac{{3.8{{\rm{e}}^{ - 1.5s}}}}{{\left( {10s + 1} \right)\left( {3.5s + 1} \right)}} $

(25)

基于式(25)，利用本文方法可以求得控制器以及滤波器分别为

$ {C_3}\left( s \right) = \left( {1.146 + 0.084\;9/s + 2.971s} \right)/\left( {0.775s + 1} \right) $

$ {Q_3}\left( s \right) = \left( {0.862{s^2} + 1.48s + 1} \right)/{\left( {1.564s + 1} \right)^4} $

利用设计的控制器得到系统的参考信号输出响应和负载干扰输出响应如图 7，IAE值见表 2。

图 7表明，在HOPDT对象的输出响应中本文方法表现出同样的优势，原因是本文方法对高阶过程设计控制器时也采用近似模型(即模型失配情况)，避免了过分依赖精确模型。

4 结论

本文提出了一种改进的Smith控制结构以提升Smith控制对外部干扰和模型失配的控制效果。主要思想是采用DOB结构取代外环反馈以实现对模型失配或外部干扰问题的处理。在控制器设计上，分别通过在满足鲁棒性指标约束的条件下优化干扰输出的2范数获得DOB滤波器以及通过IMC-PID设计方法得到设定值跟踪控制器。通过对FOPDT、SOPDT以及HOPDT对象的仿真验证可以看出，改进后的Smith控制结构可以更加快速地跟踪设定值，并且具有较好的抗负载干扰效果。