引言

非线性Klein-Gordon-Maxwell方程如式(1)

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u + \left[ {V\left( x \right) - {{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}} \right]u = \lambda f\left( u \right), \;\;\;\;\;x \in {R^3}\\ - \Delta \phi + {u^2}\phi = - \omega {u^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3} \end{array} \right. $

(1)

其中ω>0为相位，λ∈R为参数。此类方程最先被文献[1-2]引入，用于描述在三维空间中非线性Klein-Gordon方程与静电场相互作用产生的孤立波问题。其中场函数u和电磁位势ϕ为未知变量，非线性项f(u)用来模拟多个粒子的作用或外部非线性项的干扰。

文献[1-2]最初研究的方程如式(2)

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u + \left[ {{m^2} - {{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}} \right]u = {\left| u \right|^{p - 2}}u, \;\;\;\;\;x \in {R^3}\\ - \Delta \phi + {u^2}\phi = - \omega {u^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3} \end{array} \right. $

(2)

并得出|m|>|ω|和4 < p < 6时，方程(2)有无穷多个解。D’Aprile等^[3]发现当p≤2或p≥6且m≥w>0时，方程(2)的解不存在。Cassani^[4]发现当4 < p < 6或p=4且λ充分大时，方程(3)至少有一个径向对称解。

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u + \left[ {{m^2} - {{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}} \right]u = \\ \;\;\;\;\;\lambda {\left| u \right|^{p - 2}}u + {\left| u \right|^{{2^ * } - 2}}u, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3}\\ - \Delta \phi + {u^2}\phi = - \omega {u^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3} \end{array} \right. $

(3)

近年来，带有位势函数的问题引起了人们的关注，形如式(4)

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u + \left[ {V\left( x \right) - {{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}} \right]u = f\left( u \right), \;\;\;\;\;x \in {R^3}\\ - \Delta \phi + {u^2}\phi = - \omega {u^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3} \end{array} \right. $

(4)

Carriao等^[5]证明了方程(4)在V(x)为周期位势且非线性项临界增长时，方程有基态解。Jing等^[6]证明了当V(x)为衰减位势时，方程有无穷多个非平凡解。

本文通过变分方法研究Klein-Gordon-Maxwell方程在径向对称位势下，且方程的非线性项f(u)只在零点附近有定义时方程的解的存在性，并得到解关于参数λ的依赖性。

1 定理的提出

首先对非线性项f(u)及势函数V(x)假设如下条件：

① 存在δ₀>0，使得f(u)∈C[-δ₀, δ₀]；

② $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f\left( u \right)}}{{{{\left| u \right|}^{p - 2}}u}} = 1 $，4≤p < 6；

③ 存在μ∈[4, 6)和δ₁>0，使得0 < |u| < δ₁时，有0 < μF(u)≤uf(u)，其中F(u)=∫₀^uf(t)dt；

④ V(x)∈C(R³, R)且V(x)是径向对称函数；

⑤ $\mathop {\inf }\limits_{x \in {R^3}} V\left( x \right) > {\omega ^2} > 0 $。

条件①~③只是f(u)在零点附近的条件，其中条件③为Ambrosetti-Rabinowitz条件^[7]在零点附近的局部形式，在无穷远处对f(u)不加任何条件的限制。

其次，为了对本文的结果作准确的说明，给出如下定义：令Hr1(R3)、Dr1, 2(R3)分别为H1(R3)和D1, 2(R3)={u∈L6(R3):|∇u|∈L2(R3)}的径向对称函数空间；H1(R3)的范数记为‖u‖H12=∫R3(|∇u|2+u2)dx，D1, 2(R3)的范数记为${\left\| u \right\|_D} = {\left( {{\smallint _{{R^3}}}{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{2}}} $；用Lp表示通常的Lp(R3)空间，其范数记为‖·‖p；弱收敛记为“⇀”，连续嵌入记为“↺”，紧嵌入记为“↺↺”。

定理1   若条件①~⑤成立，则存在参数Λ>0，使得λ>Λ时，方程(1)至少存在一个非平凡的解(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)，且当λ→∞时，‖u‖_Hr¹→0，‖ϕ_u‖_D→0。

由于f(u)只在零点附近有定义，其条件较弱，不能直接应用变分法。为了克服此困难，参考Costad等^[8]的方法修正并扩张f(u)为新的$ \tilde f\left( u \right)$，然后通过山路定理，结合解的L^∞估计来证明方程的解的存在性。

2 变分框架及预备引理

观察条件②的隐含条件易知，存在δ₂>0及C₁、C₂>0，使得|u| < δ₂时有

$ \left\{ \begin{array}{l} F\left( u \right) \ge {C_1}{\left| u \right|^p}\\ F\left( u \right) \le {C_2}{\left| u \right|^p} \end{array} \right. $

(5)

令ρ(t)∈C¹(R, [0, 1])是一个满足tρ'(t)≤0的截断函数，且

$ \rho \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \;\;\;\;\;\left| t \right| < \delta \\ 0, \;\;\;\;\;\left| t \right| > 2\delta \end{array} \right. $

式中$0 < \delta < \frac{{{\delta _3}}}{2}, {\delta _3} = \min \{ {\delta _0}, {\delta _1}, {\delta _2}\} $。则当|u| < 2δ时，式(5)和条件③成立。为了使非线性项在无穷远处有意义，定义式(6)

$ \tilde F\left( u \right) = \rho \left( u \right)F\left( u \right) + \left( {1 - \rho \left( u \right)} \right){C_2}{\left| u \right|^p} $

(6)

引理1^[8]  由$ \tilde F\left( u \right)$的定义得$u\tilde f\left( u \right) \ge \theta \tilde F\left( u \right) > 0 $，其中$ u \ne 0, \theta = \min \left\{ {\mu , p} \right\}, \tilde f\left( u \right) = \frac{{{\rm{d}}\tilde F\left( u \right)}}{{{\rm{d}}u}}$。

由式(6)可将式(1)修正为式(7)

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u + \left[ {V\left( x \right) - {{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}} \right]u = \lambda \tilde f\left( u \right), \;\;\;\;\;x \in {R^3}\\ - \Delta \phi + {u^2}\phi = - \omega {u^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3} \end{array} \right. $

(7)

式(7)所对应的泛函为

$ \begin{array}{l} G\left( {u, \phi } \right) = \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right){\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {} \\ {\left| {\nabla \phi } \right|^2}{\rm{d}}x - \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {{{\left( {\omega + \phi } \right)}^2}{u^2}{\rm{d}}x} - \lambda \int_{{R^3}} {\tilde F\left( u \right){\rm{d}}x} \end{array} $

(8)

引理2^[2]  对每个u∈H_r¹(R³)，都存在唯一的ϕ_u∈D_r^{1, 2}(R³)，且满足-Δϕ+u²ϕ=-ωu²。

由引理2知，ϕ_u为方程-Δϕ+u²ϕ=-ωu²的弱解。在-Δϕ+u²ϕ=-ωu²两边同乘ϕ_u，再进行积分得

$ \int_{{R^3}} {{{\left| {\nabla {\phi _u}} \right|}^2}{\rm{d}}x} + \int_{{R^3}} {{{\left| u \right|}^2}\phi _u^2{\rm{d}}x} = - \omega \int_{{R^3}} {{u^2}{\phi _u}{\rm{d}}x} $

(9)

将式(9)带入式(8)，得到新的泛函G(u, ϕ_u)，记为$\tilde I\left( u \right) $

$ \begin{array}{l} \tilde I\left( u \right) = \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right){\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{\omega ^2} + } \right.} \\ \left. {\omega {\phi _u}} \right){u^2}{\rm{d}}x - \lambda \int_{{R^3}} {\tilde F\left( u \right){\rm{d}}x} \end{array} $

(10)

进一步可得式(11)

$ \begin{array}{l} \left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right), {u_n}} \right\rangle = \int_{{R^3}} {\left\{ {{{\left| {\nabla {u_n}} \right|}^2} + \left[ {V\left( x \right) - \left( {{\omega ^2} + } \right.} \right.} \right.} \\ \left. {\left. {\left. {\omega {\phi _u}} \right)} \right]u_n^2} \right\}{\rm{d}}x - \lambda \int_{{R^3}} {\tilde f\left( {{u_n}} \right){u_n}{\rm{d}}x} \end{array} $

(11)

引理3^[9]  ϕ_u有以下性质：

1) ϕ_u≤0；

2) ϕ_u≥-ω在集合{x|u(x)≠0}上成立；

3) 存在常数C0>0, 使得‖ϕu‖D≤C0‖u‖H12成立。

证明  由式(7)中的-Δϕ+u²ϕ=-ωu²两端同乘ϕ⁺=max{ϕ_u, 0}≥0，得0≤∫_R³|∇ϕ⁺|²+u²ϕ⁺dx=-ω∫_R³u²ϕ⁺dx≤0，故ϕ⁺≡0，即ϕ_u≤0。

固定u∈H_r¹(R³)，在-Δϕ+u²ϕ=-ωu²两端同乘(ω+ϕ_u)^-≡-min {ω+ϕ_u, 0}，当ω>0时，有-∫_{ϕu < -ω}(Dϕ_u)²dx=∫_{ϕu < -ω}(ω+ϕ_u)²u²dx，故(ω+ϕ_u)^-≡0。

即ω+ϕ_u≥0，进一步有ϕ_u≥-ω。

性质3)显而易见是成立的。引理3得证。

引理4^[2]  泛函G(u, ϕ)∈C¹(H_r(R³)×D_r^{1, 2}(R³), R)，且它的临界点为方程(7)的解。

引理5^[9]  命题①、②等价：

①(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)是G(u, ϕ)的临界点；

② u是$ \tilde I\left( u \right)$的临界点，且ϕ=ϕ_u。

由引理4及引理5可知，若已求得$\tilde I\left( u \right) $的临界点u，那么(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)即为方程(7)的解。下面求解泛函$\tilde I\left( u \right) $的临界点u。

3 定理1的证明

定义1(P-S条件^[7])  设I∈C¹(E, R)，如果{I(u_k)}在R上有界，且当k→∞时，I'(u_k)→0在E^*中的每一个序列{u_k}(u_k∈E, k=1, 2, …)于E中都是列紧集，则称泛函I满足P-S条件。

引理6(山路定理^[7])  设E是Banach空间，I∈C¹(E, R)且满足：①I(0)=0时，存在ρ₀>0，使得I_∂Bρ0(0)≥α>0；②存在外部结点e∈E\B_ρ0(0)，使得I(e)≤0。令Γ是E中联结0与e的道路集合，即Γ={g∈C([0, 1], E)|g(0)=0, g(1)=e}，再记$ \tilde c = \mathop {\inf }\limits_{g \in \mathit{\Gamma }} \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0, 1} \right]} I\left( {g\left( t \right)} \right)$，那么有$ \tilde c \ge \alpha $且I关于$ \tilde c$有临界序列；如果I进一步再满足P-S条件，则$ \tilde c$是I的临界值。为证明山路定理，引入Sobolev嵌入定理及Sobolev紧嵌入定理。

引理7(Sobolev嵌入定理^[7])  设Ω是R^N中的有界区域，则有H₀¹(Ω)↺↺L^p(Ω)，其中$ 1 \le p < {2^*} = \frac{{2N}}{{N - 2}}$。

引理8(Sobolev紧嵌入定理^[10])  当N≥2时，有H_r¹(R^N)↺↺L^r(R^N) (r∈(2, 2^*))。

引理9(Ni's不等式^[11])  设N≥2，x≠0，则存在$\hat C = \hat C\left( N \right) > 0 $，使得$\left| {u\left( x \right)} \right| \le \hat C{\left| x \right|^{ - \frac{{\left( {N - 2} \right)}}{2}}}{\left\| {\nabla u} \right\|_2}(\forall u \in D_r^{1, 2}({R^N})) $。

引理10  设{u_n}⊂H_r¹(R³)是泛函$ \tilde I\left( u \right)$的一个P-S序列，则{u_n}在H_r¹(R³)中有界。

证明  由{u_n}⊂H_r¹(R³)是泛函$ \tilde I\left( u \right)$的一个P-S序列可知存在M>0, 使得$|\tilde I({u_n})| \le M, \tilde I'({u_n}) \to 0 $。

由式(10)、(11)得

$ \begin{array}{l} p\tilde I\left( {{u_n}} \right) - \left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right), {u_n}} \right\rangle = \left( {\frac{p}{2} - 1} \right)\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla {u_n}} \right|}^2} + } \right.} \\ \left. {\left( {V\left( x \right) - {\omega ^2}} \right)u_n^2} \right){\rm{d}}x - \omega \left( {\frac{p}{2} - 1} \right)\int_{{R^3}} {u_n^2{\phi _u}{\rm{d}}x} - \\ \lambda \int_{{R^3}} {\left( {p\tilde F\left( {{u_n}} \right) - \tilde f\left( {{u_n}} \right){u_n}} \right){\rm{d}}x} \end{array} $

再由条件③、⑤、p∈[4, 6)及引理3，有

$ \begin{array}{l} p\tilde I\left( {{u_n}} \right) - \left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right), {u_n}} \right\rangle \ge \left( {\frac{p}{2} - 1} \right)\int_{{R^3}} {\left\{ {{{\left| {\nabla {u_n}} \right|}^2} + } \right.} \\ \left. {\left[ {V\left( x \right) - {\omega ^2}} \right]u_n^2} \right\}{\rm{d}}x \ge {{\hat C}_1}\left\| {{u_n}} \right\|_{H_r^1}^2 \end{array} $

(12)

又由假设得

$ \begin{array}{l} p\tilde I\left( {{u_n}} \right) - \left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right), {u_n}} \right\rangle \le p\left| {\tilde I\left( {{u_n}} \right)} \right| + \left| {\left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right), } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{u_n}} \right\rangle } \right| \le pM + \varepsilon {\left\| {{u_n}} \right\|_{H_r^1}} \end{array} $

(13)

式中ε为任意小的数。最后由式(12)、(13)得${{\hat C}_1}\left\| {{u_n}} \right\|_{H_r^1}^2 \le pM + \varepsilon {\left\| {{u_n}} \right\|_{H_r^1}} $。

故知{u_n}在H_r¹(R³)中有界。引理10得证。

引理11  $\tilde I\left( u \right) $满足P-S条件。

证明  因为$ \tilde I\left( u \right)$∈C¹(H_r¹(R³), R)，所以设{u_n}⊂H_r¹(R³)是泛函$\tilde I\left( u \right) $的一个P-S序列，如果{u_n}在H_r¹(R³)中存在一个收敛的子序列，则能证出$\tilde I\left( u \right) $满足P-S条件。

由引理10知，{u_n}在H_r¹(R³)中有界，则通过对{u_n}进行选子列可知，存在u∈H_r¹(R³)使得在H_r¹(R³)中有u_n⇀u；继而由引理8得，在L^r(R³)中有u_n→u(2 < r < 6)，即式(14)成立

$ \begin{array}{l} \left\langle {\tilde I'\left( {{u_n}} \right) - \tilde I'\left( u \right), {u_n} - u} \right\rangle = \int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla \left( {{u_n} - u} \right)} \right|}^2} + } \right.} \\ \left. {\left( {V\left( x \right) - {\omega ^2}} \right){{\left( {{u_n} - u} \right)}^2}} \right){\rm{d}}x - \omega \int_{{R^3}} {\left( {{\phi _{{u_n}}}{u_n} - {\phi _u}u} \right)\left( {{u_n} - } \right.} \\ \left. u \right){\rm{d}}x - \lambda \int_{{R^3}} {\left( {\tilde f\left( {{u_n}} \right) - \tilde f\left( u \right)} \right)\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} = \\ {{\bar C}_2}\left\| {{u_n} - u} \right\|_{H_r^1}^2 - \omega \int_{{R^3}} {\left( {{\phi _{{u_n}}}{u_n} - {\phi _u}u} \right)\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} - \\ \lambda \int_{{R^3}} {\left( {\tilde f\left( {{u_n}} \right) - \tilde f\left( u \right)} \right)\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} \end{array} $

(14)

再由Hölder不等式及引理8得式(15)、(16)

$ \begin{array}{l} \int_{{R^3}} {\left( {{\phi _{{u_n}}}{u_n} - {\phi _u}u} \right)\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} = \int_{{R^3}} {{\phi _{{u_n}}}} \\ {\left( {{u_n} - u} \right)^2}{\rm{d}}x + \int_{{R^3}} {\left( {{\phi _{{u_n}}} - {\phi _u}} \right)u\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} \le {\left\| {{\phi _{{u_n}}}} \right\|_6}\\ \left\| {{u_n} - u} \right\|_{\frac{{12}}{5}}^2 + {\left\| {{\phi _{{u_n}}} - {\phi _u}} \right\|_6}{\left\| u \right\|_{\frac{{12}}{5}}}{\left\| {{u_n} - u} \right\|_{\frac{{12}}{5}}} \to 0 \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{l} \int_{{R^3}} {\left( {\tilde f\left( {{u_n}} \right) - \tilde f\left( u \right)} \right)\left( {{u_n} - u} \right){\rm{d}}x} \le \int_{{R^3}} {\left( {\left| {\tilde f\left( {{u_n}} \right)} \right| + } \right.} \\ \left. {\left( {\left| {\tilde f\left( u \right)} \right|} \right)} \right)\left| {{u_n} - u} \right|{\rm{d}}x \le \int_{{R^3}} {{C_{13}}\left( {{{\left| {{u_n}} \right|}^{p - 1}} + {{\left| u \right|}^{p - 1}}} \right)} \\ \left| {{u_n} - u} \right|{\rm{d}}x \le {{\bar C}_{13}}\left( {\left\| {{u_n}} \right\|_p^{p - 1}{{\left\| {{u_n} - u} \right\|}_p} + \left\| u \right\|_p^{p - 1}} \right.\\ \left. {{{\left\| {{u_n} - u} \right\|}_p}} \right) \to 0 \end{array} $

(16)

式中4≤p < 6。

最后将式(15)、(16)带入式(14)得

$ o\left( 1 \right) = \left\| {{u_n} - u} \right\|_{H_r^1}^2 + o\left( 1 \right) $

故在H_r¹(R³)中，有u_n→u成立。引理11得证。

引理12  泛函$\tilde I\left( u \right) $满足山路定理。

证明  首先，由式(10)得$\tilde I\left( 0 \right)=0 $=0, 由引理3得

$ \begin{array}{l} \tilde I\left( u \right) \ge {C_3}\left\| u \right\|_{H_r^1}^2 - \lambda \int_{{R^3}} {\tilde F\left( u \right){\rm{d}}x} \ge {C_3}\left\| u \right\|_{H_r^1}^2 - \\ \lambda {C_1}\left\| u \right\|_p^p \end{array} $

(17)

由引理8得

$ {\left\| u \right\|_p} \le {{\tilde C}_1}{\left\| u \right\|_{H_r^1}} $

(18)

将式(18)带入式(17)得

$ \tilde I\left( u \right) \ge {C_4}\left\| u \right\|_{H_r^1}^2 - \lambda {{\tilde C}_2}\left\| u \right\|_{H_r^1}^p $

(19)

那么，由式(19)可知，存在参数α、ρ₀，使得$\tilde I\left( u \right) $≥α；且对u∈H_r¹(R³)，有‖u‖_Hr¹=ρ₀。

其次，取定u₀∈H_r¹(R³)，且u₀≠0，则有

$ \begin{array}{l} \tilde I\left( {t{u_0}} \right) \le {C_5}{t^2}\left\| {{u_0}} \right\|_{H_r^1}^2 - \lambda {C_6}{t^p}\left\| {{u_0}} \right\|_p^p \to - \infty \\ \left( {t \to + \infty } \right) \end{array} $

故可取充分大的t>0，使得e=tu₀满足‖e‖_Hr¹>ρ₀且I(e)≤0。引理12得证。

综上，由引理11知$\tilde I\left( u \right) $满足P-S条件，则得$ \tilde c$为$\tilde I\left( u \right) $的临界值，u为$\tilde I\left( u \right) $的临界点；由引理4、5可知，(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)为方程(7)的解；由引理1、4、5可知，如果证出‖u‖_∞ < δ成立，就可得(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)也为方程(1)的解，即定理1得证。故以下只需证出‖u‖_∞ < δ即可证出定理1。

4 解的L^∞估计

引理13  假设u∈H_r¹(R³)为$\tilde I\left( u \right) $的临界点，那么有‖u‖²_Hr¹≤$ \tilde C\tilde I\left( u \right)$，其中$\tilde C $为常数。

证明  由式(11)易知

$ \left\langle {\tilde I'\left( u \right), u} \right\rangle = 0 $

(20)

所以由式(10)、(20)及引理1可得

$ \begin{array}{l} \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{\theta }} \right)\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2} + \left( {V\left( x \right) - {\omega ^2}} \right){u^2}} \right){\rm{d}}x} - \\ \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{\theta }} \right)\int_{{R^3}} {\omega {\phi _u}{u^2}{\rm{d}}x} - \lambda \int_{{R^3}} {\left( {\tilde F\left( u \right) - \frac{1}{\theta }\tilde f\left( u \right)u} \right)} \\ {\rm{d}}x = \tilde I\left( u \right) \end{array} $

(21)

由式(21)可得$ {C_7}\left| {\left| u \right|} \right|_{H_r^1}^2 \le \tilde I\left( u \right)$，故$\left| {\left| u \right|} \right|_{H_r^1}^2 \le \tilde C\tilde I\left( u \right) $(C₇, ${\tilde C} $为常数)。引理13得证。

引理14  定义$c = \mathop {\inf }\limits_{u > 0} \mathop {\sup }\limits_{0 \le t < \infty } \tilde I\left( {tu} \right) $，则存在C_*>0，使得$ c < {C_*}{\lambda ^{ - \frac{2}{{p - 2}}}}$。

证明  由引理1得

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \tilde F\left( u \right) \ge F\left( u \right) \ge {C_1}{\left| u \right|^p}, \\ \tilde F\left( u \right) = {C_2}{\left| u \right|^p}, \end{array}&\begin{array}{l} \left| u \right| \le \delta \\ \left| u \right| > 2\delta \end{array} \end{array}} \right. $

定义新的泛函

$ \begin{array}{l} J\left( u \right) = \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right){\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{\omega ^2} + } \right.} \\ \left. {\omega {\phi _u}} \right){u^2}{\rm{d}}x - \lambda \int_{{R^3}} {{{\bar C}_1}{{\left| u \right|}^p}{\rm{d}}x} \end{array} $

(22)

式中C₁=min {C₁, C₂}。由式(5)、(10)、(22)得

$ \tilde I\left( u \right) \le J\left( u \right) $

(23)

那么，由式(23)可得

$ \begin{array}{l} c = \mathop {\inf }\limits_{u > 0} \mathop {\sup }\limits_{0 \le t < \infty } \tilde I\left( {tu} \right) \le \mathop {\inf }\limits_{0 < u \le 2\delta } \mathop {\sup }\limits_{0 \le t < \infty } \tilde I\left( {tu} \right) \le \mathop {\inf }\limits_{0 < u \le 2\delta } \\ \mathop {\sup }\limits_{0 \le t < \infty } J\left( {tu} \right) \end{array} $

(24)

又因$J\left( {tu} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}{\smallint _{{R^3}}}({\left| {\nabla u} \right|^2} + V\left( x \right){u^2}){\rm{d}}x - \frac{{{t^2}}}{2} $$ {\smallint _{{R^3}}}({\omega ^2} + \omega {\phi _u}){u^2}{\rm{d}}x - \lambda {t^p}{\smallint _{{R^3}}}{{\bar C}_1}{\left| u \right|^p}{\rm{d}}x$，所以由引理3可得

$ \begin{array}{l} J\left( {tu} \right) \le \frac{{{t^2}}}{2}\int_{{R^3}} {\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2} + \left( {V\left( x \right) - {\omega ^2}} \right){u^2}} \right){\rm{d}}x} - \\ \lambda {t^p}\int_{{R^3}} {{{\bar C}_1}{{\left| u \right|}^p}{\rm{d}}x} = \frac{{{t^2}}}{2}\left\| u \right\|_{H_r^1}^2 - \lambda {t^p}{{\bar C}_1}\left\| u \right\|_p^p = {C_8}\frac{{{t^2}}}{2} - \\ {C_9}\lambda {t^p} \le {C_ * }{\lambda ^{ - \frac{2}{{p - 2}}}} \end{array} $

(25)

式(25)中C₈、C₉、C_*为常数。故由式(24)、(25)得$c < {C_*}{\lambda ^{ - \frac{2}{{p - 2}}}} $。引理14得证。

引理15  设u∈H_r¹(R³)为泛函$\tilde I\left( u \right) $的临界点，那么存在参数Λ>0，使得λ>Λ时，有‖u‖_∞ < δ。

证明  由引理13、14、$ \tilde I\left( u \right)$=c及$ {\tilde c}$≤c得$ {\left\| u \right\|_{H_r^1}} \le {(\tilde C{C_*})^{\frac{1}{2}}}{\lambda ^{ - \frac{1}{{p - 2}}}} \to 0\left( {\lambda \to \infty } \right)$，由引理9知，对于u∈D_r^{1, 2}(R³)，有

$ \begin{array}{l} {\left\| u \right\|_D} \le \hat C{\left| x \right|^{ - \frac{1}{2}}}{\left\| {\nabla u} \right\|_2} \le \hat C{\left| x \right|^{ - \frac{1}{2}}}{\left\| u \right\|_{H_r^1}} \le \hat C\\ {\left| x \right|^{ - \frac{1}{2}}}{\left( {\tilde C{C_ * }} \right)^{\frac{1}{2}}}{\lambda ^{ - \frac{1}{{p - 2}}}} = {C_{10}}{\left| x \right|^{ - \frac{1}{2}}}{\lambda ^{ - \frac{1}{{p - 2}}}} \end{array} $

(26)

式(26)中，x≠0，$ {C_{10}} = \hat C{(\tilde C{C_*})^{\frac{1}{2}}}$。所以当|x|→+∞时，对于所有的λ>0有u→0，由此可知存在R>0，对于所有的λ>1，有‖u‖_L^∞(B_R^c(0))≤δ；又由椭圆估计得，当λ→∞时，‖u‖_L^∞(BR(0))→0；最终，找到参数Λ>0，使得对于λ>Λ，有‖u‖_∞ < δ。引理15得证。

综上，证得‖u‖_∞ < δ，即(u, ϕ_u)∈H_r¹(R³)×D_r^{1, 2}(R³)为方程(1)的解；再由引理3及引理13、14、15得，当λ→∞时，‖u‖_Hr¹→0，‖ϕ_u‖_D→0。

定理1得证。证毕。