引言

Markowitz于1952年首次提出均值-方差模型，为现代投资组合理论打下坚实的基础^[1]。但传统模型的方差风险测度具有假设条件苛刻、高估风险和协方差矩阵复杂等缺陷，因此研究者们相继提出了新的风险度量模型，如LPM模型^[2]、绝对偏差模型^[3]、最大绝对偏差模型^[4]等。余湄等^[5]认为不同的风险测度产生的模型效果大不相同，因此选取合适的风险测度模型尤为重要；Shannon^[6]首次将信息熵作为一种风险度量指标来构建投资组合模型。此后，熵理论得到了进一步发展，各类熵概念如随机熵^[7]、增值熵^[8]、模糊熵^[9]、叉熵^[10]、混合熵^[11]和广义熵^[12-13]等被应用于金融风险度量和证券投资组合研究。但是以上研究只考虑了投资风险，而忽视了风险资产的流动性^[14]。因此，本文在可信性理论的基础上，为了增加正收益率的概率而引入了三阶距偏度约束，又兼顾了以证券收益率的宽度和深度来衡量的流动性因素^[15]，利用正弦熵^[16]作为主要的风险测度指标，分别构建了均值-方差-偏度-正弦熵的投资组合模型(M-V-S-SE)和带有模糊流动性约束的均值-方差-偏度-正弦熵的投资组合优化模型(M-V-S-L-SE)，并进行了实证对比分析。

1 可信性及正弦熵理论 1.1 可信性理论及性质

定义1  设ξ是可信性空间(Θ, P, Cr)上的模糊变量，并存在有限期望，则其期望E、方差V和偏度S可分别定义为^[17]

$ \left\{ \begin{array}{l} E\left[ \xi \right] = \int_0^{ + \infty } {Cr\left\{ {\xi \ge r} \right\}{\rm{d}}r} - \int_{ - \infty }^0 {Cr\left\{ {\xi \le r} \right\}{\rm{d}}r} \\ V\left[ \xi \right] = E\left[ {{{\left( {\xi - E\left[ \xi \right]} \right)}^2}} \right]\\ S\left[ \xi \right] = E\left[ {{{\left( {\xi - E\left[ \xi \right]} \right)}^3}} \right] \end{array} \right. $

(1)

式(1)中$\int_0^{ + \infty } {Cr\left\{ {\xi \ge r} \right\}{\rm{d}}r} $和$\int_{-\infty }^0 {Cr\left\{ {\xi \le r} \right\}} {\rm{d}}r $两个积分式中至少有一个是有限的，并且满足

$ \left\{ \begin{array}{l} E\left[ {m\xi + n\eta } \right] = mE\left[ \xi \right] + nE\left[ \eta \right]\\ V\left[ {m\xi + n\eta } \right] = {m^2}V\left[ \xi \right] + {n^2}V\left[ \eta \right]\\ S\left[ {m\xi + n\eta } \right] = {m^3}S\left[ \xi \right] + {n^3}S\left[ \eta \right] \end{array} \right. $

(2)

其中，ξ和η相互独立。

设三角模糊变量ξ=(a, b, c)是可信性空间(Θ, P, Cr)上的一个模糊变量，则易求得ξ的期望、方差及偏度分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} E\left[ \xi \right] = \left( {a + 2b + c} \right)/4\\ V\left[ \xi \right] = \frac{{33{\alpha ^3} + 21{\alpha ^2}\beta + 11\alpha {\beta ^2} - {\beta ^3}}}{{384\alpha }}\\ S\left[ \xi \right] = \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}\left( {c + 2b + a} \right)}}{{32}} \end{array} \right. $

(3)

其中，α=max{b-a, c-d}；β=min{b-a, c-d}；a，b，c，d为实数。

1.2 正弦熵及其性质

定义2^[16]  设ξ是可信性空间(Θ, P, Cr)上的模糊变量，其不确定分布Φ(x)=Cr{ξ≤x}，则ξ的正弦熵S_E[ξ]定义为

$ {S_{\rm{E}}}\left[ \xi \right] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\sin \left( {{\rm{ \mathsf{\pi} }}\mathit{\Phi }\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} $

(4)

设ξ是定义在可信性空间(Θ, P, Cr)上的模糊变量，其有不确定分布为Φ(x)，且

$ \mathit{\Phi }\left( x \right) = Cr\left\{ {\xi \le x} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \le a\\ \frac{{x - a}}{{2\left( {b - a} \right)}},\;\;\;\;a < x \le b\\ \frac{{x + c - 2b}}{{2\left( {c - b} \right)}},\;\;\;b < x \le c\\ 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c < x \end{array} \right. $

(5)

则ξ的正弦熵的表达式为

$ \begin{array}{l} {S_{\rm{E}}}\left[ \xi \right] = \int_a^b {\sin \left( {\frac{{{\rm{ \mathsf{\pi} }}\left( {x - a} \right)}}{{2\left( {b - a} \right)}}} \right){\rm{d}}x} + \int_b^c {\sin } \\ \left( {\frac{{{\rm{ \mathsf{\pi} }}\left( {x + c - 2b} \right)}}{{2\left( {c - b} \right)}}} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{{\rm{ \mathsf{\pi} }}}\left( {b - a} \right) + \frac{2}{{\rm{ \mathsf{\pi} }}}\left( {c - b} \right) = \frac{2}{{\rm{ \mathsf{\pi} }}}\\ \left( {c - a} \right) \end{array} $

(6)

综合式(1)至式(6)，设ξ_i = (a_i, b_i, c_i)(i=1, 2, …, n)是相互独立的三角模糊数，可得组合的期望、方差、偏度、正弦熵的表达式分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} E\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}{x_i}} } \right] = \frac{1}{4}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i} + 2{b_i} + {c_i}} \right){x_i}} \\ V\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}{x_i}} } \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2\left[ {\frac{{33\alpha _i^3 + 21{\alpha _i}{\beta _i} + 11{\alpha _i}{\beta _i} - {\beta _i}}}{{384{\alpha _i}}}} \right]} \\ S\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}{x_i}} } \right] = \frac{1}{{32}}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^3\left[ {{{\left( {{c_i} - {a_i}} \right)}^2}\left( {{c_i} - 2{b_i} + {a_i}} \right)} \right]} \\ {S_{\rm{E}}}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}{x_i}} } \right] = \frac{2}{{\rm{ \mathsf{\pi} }}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|\left( {{c_i} - {a_i}} \right)} \end{array} \right. $

(7)

其中，α_i=max{b_i-a_i, c_i-d_i}，β_i=min{b_i-a_i, c_i-d_i}。

2 带有模糊流动性约束特征的投资组合优化模型 2.1 基于马尔科夫链的模糊收益率的预测方法

本文用三角模糊变量来刻画收益率，用马尔科夫方法^[11]预测证券日收益率的中心值及左右边界值。日交易数据主要包括开盘价P_t1、收盘价P_t2、当日最高价P_t3、最低价P_t4。

将每只股票的日收益率设为一个三角模糊数

$ r' = \left( {{{r'}_{t{\rm{l}}}},{{r'}_{t{\rm{e}}}},{{r'}_{t{\rm{h}}}}} \right) $

其中r′_tl=(P_t4－P_t1)/P_t1代表当日收益率下限，r′_te=(P_t2－P_t1)/P_t1代表当日平均收益率，r′_th=(P_t3－P_t1)/P_t1代表当日收益率上限。

以此3类收益率的极大极小值为区间，将3个大区间各自均分为10个小区间，并分别以各收益率的中点d_lm，d_em和d_hm(m=1, 2…, 10)为初始聚类点进行K均值聚类。在此基础上建立一步转移矩阵P，通过求解x=Px得到马尔科夫链的稳定解x，可得证券的模糊收益率${r_{\rm{e}}} = \sum\limits_{m = 1}^{10} {{x_m}{d_{m{\rm{e}}}}} $。

2.2 模型建立 2.2.1 M-V-S-SE模型

假设某投资者考虑一个n种风险证券投资组合，其投资比例为x_i(i=1, 2, …, n)。用收益率的期望来刻画收益，用收益率的方差和正弦熵度量风险，用偏度衡量各个可能的收益率对期望值的偏离大小，偏度越大越好。设投资者预期收益水平为γ₀，预期风险水平为ν₀，偏度大于0，γ₀和ν₀依据投资对风险的厌恶程度决定。结合式(7)建立M-V-S-SE如式(8)

$ \begin{array}{l} \min {S_{\rm{E}}}\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right]\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\left\{ \begin{array}{l} E\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \ge {\gamma _0}\\ V\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \le {v_0}\\ S\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \ge 0\\ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1\\ {x_i} \ge 0,i = 1,2, \cdots ,n \end{array} \right. \end{array} $

(8)

2.2.2 M-V-S-L-SE模型

设定第i只证券的不确定性收益率的三角模糊变量为

$ {\xi _i} = \left( {{a_i},{b_i},{c_i}} \right) $

流动性指标梯形模糊数变量为

$ {{\xi '}_i} = \left( {{d_i},{e_i},{f_i},{g_i}} \right) $

其中容许区间为[d_i, e_i]，f_i为左宽度，g_i为右宽度。设L是度量投资组合流动性的指标(其值不低于投资者预期值即可)，则由梯度模糊数的计算规则得到L的表达式为

$ L\left[ {{{\xi '}_1}{x_1} + {{\xi '}_2}{x_2} + \cdots + {{\xi '}_n}{x_n}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\left( {\frac{{{d_i} + {e_i}}}{2} + \frac{{{f_i} + {g_i}}}{6}} \right)} $

(9)

本文首先由K-Means聚类方法获得模糊流动性指标数据，将得到的两个聚类中点分别作为容许区间的两个端点d_i和e_i，将证券流动性数据的最大值和最小值分别作为宽度的左端点值和右端点值，然后计算求得左宽度f_i和右宽度g_i，添加模糊流动性指标l₀(l₀由投资者的预期值来确定)后建立M-V-S-L-SE如式(10)

$ \begin{array}{l} \min {S_{\rm{E}}}\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right]\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\left\{ \begin{array}{l} E\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \ge {\gamma _0}\\ V\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \le {v_0}\\ S\left[ {{\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + \cdots + {\xi _n}{x_n}} \right] \ge 0\\ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\left( {\frac{{{d_i} + {e_i}}}{2} + \frac{{{f_i} + {g_i}}}{6}} \right)} \ge {l_0}\\ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1\\ {x_i} \ge 0,i = 1,2, \cdots ,n \end{array} \right. \end{array} $

(10)

3 实证分析 3.1 三角模糊收益率和投资比例求解

本文从上海证券交易所选取15支来自不同行业、不同板块的股票，将2014年1月4日至2015年11月26日之间的日交易数据作为样本数据，并以2014年1月至2015年1月一年期日交易数据为样本数据进行建模，用2015年1月5日至9月14日的日交易数据进行预测，来验证模型的有效性和适用性。运用2.1节中模糊收益率的马尔科夫预测方法和公式(9)预测得到三角模糊收益率及梯度模糊流动性见表 1，然后将表 1数据代入公式(7)分别求得三角模糊变量的均值、方差、偏度、正弦熵及流动性指标的值见表 2。

表 2的结果表明第15只股票比第14只股票流动性相对更强。计算求得M-V-S-SE及M-V-S-L-SE的正弦熵值分别为0.030693和0.029915，两模型的正弦熵值接近；M-V-S-L-SE的正弦熵值小于M-V-S-SE的正弦熵值，说明前者考虑了流动性指标后降低了模型应用投资的风险，改进后的模型更可靠。

根据投资者可接受的预期收益、预期风险及预期流动性水平，设定γ₀=0.01，ν₀=0.007，l₀=10.00，将表 2数据代入M-V-S-SE和M-V-S-L-SE，得到15只股票对应两个模型的资金配置比例分别为x′_i和x″_i(i=1, 2, …, 15)，并与均匀投资策略(MEAN)作比较，结果如图 1。

由图 1可看出，MEAN是均匀投资在15只股票当中，没有考虑各只股票的风险问题；M-V-S-SE和M-V-S-L-SE只微量投资第一只股票，其余资金几乎都分布在后14只股票中，体现了分散投资的理念；并且图 1中M-V-S-L-SE增加了对第15只股票的投资比例而减少对第14只股票的投资比例，说明第15只股票比第14只股票流动性相对更强，与表 2的结果相符。

3.2 投资组合的收益率预测

考虑股票市场的连续效应，本文选取2015年1月5日至9月14日连续172个交易日数据进行预测，得到3种模型下股票的日收益率和累计收益率变化情况如图 2、图 3所示。

由图 2看出，3种模型求得的日收益率变化趋势基本相似，但M-V-S-L-SE的日收益率振幅区间为[-6.41%, 6.40%]，而MEAN和M-V-S-SE的日收益率区间分别为[-7.80%, 7.47%]和[-7.06%, 7.05%]，可见后两者的波动要大于前者，说明M-V-S-L-SE的稳定性更高，这也验证了M-V-S-L-SE的正弦熵值略小的结果。

分析图 3可知，3种模型的累积收益率变化趋势为先持续上升，然后迅速下降，接着又波动上升。比较来看，M-V-S-L-SE的累积收益率曲线处于其他两种模型曲线之上，说明其稳定性较好，累积收益率基本都高于其他两种模型。若按照M-V-S-L-SE计算出来的投资比例进行组合投资，可获得高达66.88%的收益，比改进前多出3.65个百分点。

4 结束语

本文通过引入可信性理论及偏度的概念，基于正弦熵风险测度构建了M-V-S-SE，并考虑了证券投资中的流动性因素，建立了带有模糊流动性约束的M-V-S-L-SE。实证研究表明，M-V-S-SE和M-V-S-L-SE效果均优于MEAN，而M-V-S-L-SE因考虑了流动性因素更加稳定，累积收益率比M-V-S-SE又有一定提升。

未来进一步的研究将考虑实际情形下的多期动态的投资组合实证研究。