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  北京化工大学学报(自然科学版)  2017, Vol. 44 Issue (6): 95-100  DOI: 10.13543/j.bhxbzr.2017.06.015
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引用本文  

林建邦, 赵罘, 邓琨. 基于SolidWorks的一阶椭圆齿轮参数化建模研究[J]. 北京化工大学学报(自然科学版), 2017, 44(6): 95-100. DOI: 10.13543/j.bhxbzr.2017.06.015.
LIN JianBang, ZHAO Fu, DENG Kun. First-order elliptic gear parametric modeling based on solidworks[J]. Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science), 2017, 44(6): 95-100. DOI: 10.13543/j.bhxbzr.2017.06.015.

基金项目

大连理工大学精密与特种加工教育部重点实验室研究基金(JMTZ201501);北京市教育委员会科技计划重点项目(KZ201210011012)

第一作者

林建邦, 男, 1991年生, 硕士生

通讯联系人

赵罘, E-mail:zhaof@btbu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2017-04-14
基于SolidWorks的一阶椭圆齿轮参数化建模研究
林建邦 , 赵罘 , 邓琨     
北京工商大学 材料与机械工程学院, 北京 100048
摘要:针对椭圆齿轮在设计方面存在的计算复杂、效率低等缺点进行椭圆齿轮的参数化设计及自动建模的研究。根据椭圆齿轮节曲线和齿廓的基本理论建立数学模型,在理论分析的基础上以一阶椭圆齿轮为例,利用MATLAB程序设计语言编程求解椭圆齿轮的节曲线、齿轮齿廓曲线和齿形图。借助SolidWorks的宏录制功能进行二次开发,实现椭圆齿轮的参数化设计及自动建模;随后使用SolidWorks的VBA界面设计功能设计出一个界面,用户只需要在此界面的输入框里输入齿轮的参数并运行,便可由SolidWorks自动创建一个椭圆齿轮。
关键词椭圆齿轮    MATLAB    参数化建模    SolidWorks    二次开发    
First-order elliptic gear parametric modeling based on SolidWorks
LIN JianBang , ZHAO Fu , DENG Kun     
School of Materials Science and Mechanical Engineering, Beijing Technology and Business University, Beijing 100048, China
Abstract: In view of the problems of complexity and low efficiency when designing elliptic gears, the parametric design and automatic modeling of elliptic gears have been studied. A mathematical model was established based on the basic theory of elliptic gear pitch curves and tooth profiles. On the basis of theoretical analysis, MATLAB programming language was used to solve the elliptic gear's pitch curve, tooth profile curve and tooth shape. Taking a first-order elliptic gear as an example, SolidWorks macros were used for parametric design, and a VBA interface was used to design an interface. Users thus only need to input parameters to the designed interface of the input box, and SolidWorks will then automatically generate an oval gear.
Key words: elliptic gear    MATLAB    parametric modeling    SolidWorks    secondary development    
引言

椭圆齿轮是一种典型的非圆齿轮,广泛应用于轻工自动机械、机床、仪器制造业等领域[1-3]。与其他非线性机构如凸轮结构和连杆结构相比,非圆齿轮在高速重载下传动的平稳性和准确性更好。学者们对椭圆类齿轮进行了长期的研究,并在齿轮设计及参数化建模方面取得了一定的成果[4]。这些研究成果解决了一些非圆齿轮的问题,但是现有的非圆齿轮设计系统在具体工程实践中需要设计人员根据不同的要求进行推导计算、检查验证,设计周期长,生产效率低[5-12]。本文在前人研究的基础上对非圆齿轮设计及计算验证程序化,并对其优化以缩短设计周期,借助MATLAB的计算完成对椭圆齿轮的初步计算及仿真,随后基于SolidWorks的多个API接口展开初步的二次开发研究,生成最终的动态链接库(DLL)文件供用户直接参数化建模。

1 椭圆齿轮参数化设计数学条件 1.1 椭圆齿轮节曲线设计

椭圆的节曲线是椭圆齿轮设计的首要问题,实际应用中,该问题可分为按照要求的传动比计算节曲线和按照要求再现的函数求解节曲线。

为使非圆齿轮可以连续回转,应保证节曲线是封闭的主动轮1的节曲线封闭,须满足的条件为:i12=f(φ1)在转角范围0~2π内是一个周期性变化的函数,而变化的周期数是整数n1,并且r1(0)=r1(2π),即主动轮节曲线封闭的条件为

$ {r_1}\left( 0 \right) = {r_1}\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right) = {r_1}\left( {2n{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right) $ (1)

同理,若从动轮2的节曲线满足封闭状态则必须满足条件:i12=f(φ1)在0~2π的范围内是周期性变化的函数,变化的周期为整数n2,并且r2(0)=r2(2π)。根据主、从动轮转角之间的关系,可以得出从动轮节曲线封闭的条件为

$ \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{n_2}}} = \int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{n_1}}}} {\frac{1}{{f\left( {{\varphi _1}} \right)}}{\rm{d}}{\varphi _1}} = \int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{n_1}}}} {\frac{{{r_1}\left( {{\varphi _1}} \right)}}{{a - {r_1}\left( {{\varphi _1}} \right)}}{\rm{d}}{\varphi _1}} $ (2)
1.2 压力角校验

假设非圆齿轮的主动轮的节曲线在点P的切线为τ,且把点P处的径向r1的正向与τ的正方向的夹角用μ1表示,则由节曲线方程r1=r1(φ1)可求得

$ \tan {\mu _1} = \frac{{{r_1}}}{{{\rm{d}}{r_1}/{\rm{d}}{\varphi _1}}} = \frac{{1 - k}}{{k\sin \varphi }} $ (3)

P点为接触点,α0是工具齿条的齿形角(一般取20°),α12P点的压力角。如果齿轮按顺时针方向回转,工作面是齿轮的右侧面,如图 1(a)所示,可以求出齿廓右侧的压力角α12

$ {\alpha _{12}} = {\mu _1} + {\alpha _0} - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} $ (4)
图 1 非圆齿轮传动压力角 Fig.1 Pressure angle of transmission with non-circular gears

其中μ1是节曲线上该点切线的正向与该点的极径的夹角。若齿轮的运动方向相反按逆时针方向回转,如图 1(b)所示,则工作面就换成了轮齿的左侧面,可求出左侧压力角为

$ {\alpha _{12}} = - {\mu _1} + {\alpha _0} - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} $ (5)

非圆齿轮节曲线上各点的μ1都是有差异的,随着位置的不同而发生变化。实验证明,随着压力角的不断增大,会不断降低齿轮传递动力的效率,当压力角增加到上限值附近时,就有可能产生自锁现象,导致齿轮无法转动。为了避免出现这种现象,一般要求μ1的取值范围在45°~135°之间,且相应的压力角最大值不能超过65°。

2 基于MATLAB的椭圆轮齿计算 2.1 计算节曲线

椭圆齿轮主动轮的节曲线如图 2所示,焦点O1为齿轮的回转中心。

图 2 椭圆齿轮的节曲线 Fig.2 Pitch curve of elliptic gear

椭圆节曲线方程式为

$ {r_1} = \frac{{A\left( {1 - k_1^2} \right)}}{{1 + {k_1}\cos {\varphi _1}}} $ (6)

椭圆周长公式为

$ L = 4A\int_0^{\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} {\sqrt {1 - k_1^2{{\sin }^2}\varphi } {\rm{d}}\varphi } $ (7)

式中A表示椭圆长半轴半径,k1表示椭圆的偏心率,φ表示极角, L表示椭圆周长。

根据设计参数mz,偏心率k1以及公式(7)、(8)求出A,再带入公式(6)求得该椭圆齿轮的节曲线方程。

$ L = pz = {\rm{ \mathsf{ π} }}mz $ (8)

式中,L为椭圆周长,p为齿距,z为齿数,m为模数。

利用MATLAB编程,画出主、从动轮节曲线的示意图及传动比函数的变化曲线图,如图 34所示。

图 3 主从动轮节曲线图 Fig.3 Pitch curves of driving gear and driven gear
图 4 传动比函数的变化曲线 Fig.4 Transmission ratio function curve

齿顶曲线是由节曲线往外法向移动ha(齿顶高)个单位长度生成,而齿根曲线是将节曲线向内法向移动hf(齿根高)个单位长度生成。

2.2 轮齿位置的确定

要确定齿轮轮齿在节曲线上的位置,就要对所求出的椭圆齿轮的节曲线进行等分。如图 5所示,首先确定起始点的位置,为了方便,把长轴端轮齿与节曲线的交点作为画图的起始位置点。假定相交在A点,因为轮齿在节曲线上呈均匀分布状态,所以弧长为$AB=\frac{p}{4}=\frac{L}{4z}$

图 5 椭圆齿轮轮齿在节曲线的位置 Fig.5 Position of the elliptic gear tooth in the pitch curve

根据椭圆的弧长计算公式,利用MATLAB编程求出左右齿廓与节曲线上的交点,程序设计过程如图 6所示。同理,右齿廓与节曲线交点的求解只需把初始参数p/4改为3p/4再进行循环求解即可。

图 6 MATLAB程序设计过程 Fig.6 MATLAB programming process
2.3 齿顶和齿根设计

对于节曲线封闭的非圆齿轮,轮齿在节曲线上的位置要做到均匀分布需满足式(8)。在非圆齿轮设计时,为了使节曲线的弧长被整数个齿形等分,可以釆用调整两个齿轮的中心距、调整模数和齿数或变位凑等分齿等方法。

图 7为非圆齿轮的齿顶和齿根曲线分析图。假设齿轮的节曲线方程为r=r(φ),从节曲线上的a点开始,沿着节曲线的法线方向向外侧延伸ha个单位长度,则求得齿顶曲线上一点A,沿着节曲线的法线方向向外侧延伸hf个单位长度可求得齿根曲线上的一点B,从而进一步推算齿顶曲线和齿根曲线方程。图 7中,ha为齿顶高,hf为齿根高。

图 7 非圆齿轮的齿顶和齿根曲线图 Fig.7 Curves of addendum and tooth root of the noncircular gear
2.4 解析法求解椭圆齿轮齿廓

图 8所示,c为右齿廓与齿顶曲线的交点,b为右齿廓与节曲线的交点,a为右齿廓与齿根曲线的交点,def分别为左齿廓与齿顶曲线、节曲线、齿根曲线的交点。假定节曲线方程为r=f(θ),r为极径,θ为极角,用解析法求交点。

图 8 单齿齿形图 Fig.8 Single tooth profile

右齿廓与齿顶曲线交点c直角坐标方程见式(9),各角度如图 9所示。

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_R} = r\cos \theta - S\cos {\alpha _n}\cos \left( {\theta + \tau + {\alpha _n}} \right)\\ {y_R} = r\sin \theta - S\cos {\alpha _n}\sin \left( {\theta + \tau + {\alpha _n}} \right) \end{array} \right. $ (9)
图 9 齿廓计算图 Fig.9 Tooth profile calculation chart

其中

$ S = \int_0^\theta {\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{{\rm{d}}r}}{{{\rm{d}}\theta }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\theta } $ (10)

齿廓曲线极坐标形式

$ \left\{ \begin{array}{l} {r_R} = \sqrt {x_R^2 + y_R^2} \\ {\theta _R} = \arctan \frac{{{y_R}}}{{{x_R}}} \end{array} \right. $ (11)

齿顶曲线方程

$ \left\{ \begin{array}{l} {R_{\rm{a}}} = \sqrt {{r^2} + h_{\rm{a}}^2 + 2r{h_{\rm{a}}}\sin \tau } \\ {\theta _{\rm{a}}} = \theta - \arcsin \left( {\frac{{{h_{\rm{a}}}\cos \tau }}{{{R_{\rm{a}}}}}} \right)\\ \tau = \arctan \left( {r{\rm{d}}\theta /{\rm{d}}r} \right) \end{array} \right. $ (12)

式中,xRyR为直角坐标系下坐标,rRθR为极坐标系下坐标,r为极径,θ为极角,τ为过c点法线与节圆交点的切线与法线间夹角,S为弧长, ha为齿顶高。

b点的极坐标求出后,先从齿廓曲线与节曲线的交点b(θbrb)开始计算,把式(9)中的rθb点的坐标替换,然后将求出的xRyR的值带入式(11),可以求解出rRθR。同时把式(12)中的rθb点的坐标替换,可以求解出Raθa,然后比较RarR是否相等或者两者的差距是否在可接受的范围内,若不满足就增加极角θ的取值,循环重复上面的运算,直到两者相等或者误差小于所需要的精度。求出c点后用同样的方法可以得到点adf的坐标值。

求解出点acdf后,依据齿轮在节曲线上均匀分布、极角与点坐标关系,依次求出p/4+pp/4+2p…位置的齿廓点,用MATLAB解出所有齿轮齿廓曲线的边界。在边界范围内取点,利用MATLAB绘图命令将各点按顺序连接起来,得到的图形如图 10所示。

图 10 椭圆齿轮齿廓曲线齿形图 Fig.10 Tooth profile curve and tooth shape of the elliptic gear
3 椭圆齿轮参数化设计及自动建模 3.1 参数化设计

本文将初始参数设定为m=3,z1=17,k1=0.6,之后将这3个初始值参数化,设计流程如图 11所示,代码略。

图 11 参数化设计流程 Fig.11 Parametric design process
3.2 在SolidWorks中自动建模

SolidWorks的宏录制功能为用户提供了一种开发途径,本文在完成椭圆齿轮的设计之后,基于宏录制功能实现椭圆齿轮的自动参数化建模。

3.2.1 宏录制修改

利用宏录制功能完成新建零件的操作,基于MATLAB在SolidWorks VBA编写绘制椭圆齿轮轮廓线的代码,编程过程中要注意单位转换。完成后,选择好基准面,运行程序可绘制出椭圆齿轮的轮廓线。拉伸完成后保存宏文件,然后对偏心孔生成进行录制,并保存宏文件,对宏文件内部代码修改整理,运行后得到如图 12所示的椭圆齿轮三维模型。

图 12 椭圆齿轮三维模型 Fig.12 Three dimensional model of the elliptic gear
3.2.2 窗体设计

运用VB语言编制应用程序界面,读取界面并录入初始参数,计算出相关参数并输入到齿轮实体生成时形成的宏文件中,编译程序生成可执行程序供SolidWorks程序调用,代码略。

将建模程序的代码对应写入窗体内部,便可以建立本次面向对象参数化设计的软件。

3.2.3 应用程序嵌入SolidWorks

SolidWorks API中的每一个对象都有自己的属性、方法和事件,它们已经包括了SolidWorks所有的数据模型,用户可以根据自己的需求对对象属性进行设置以及对对象方法进行调用,使得开发的系统满足自己所需的特定功能。直接在SolidWorks工具栏中选择运行程序,根据界面里提示输入参数,实现自动建模。新建的DLL文件不能保存为中文名。

3.3 自动建模实例

单击工具栏中的【运行】,在设计的界面里输入参数,再单击【SolidWorks里三维建模】按钮,就会在SolidWorks里自动创建一个椭圆齿轮,如图 13所示。输入不同的设计参数就会生成不同的椭圆齿轮。

图 13 椭圆齿轮 Fig.13 Illustration of the elliptic gear
4 结束语

利用MATLAB可求解椭圆齿轮的节曲线、齿廓曲线和齿形图,避免了手工计算费时复杂的缺点。利用SolidWorks VBA功能设计了一个人机交互界面,通过输入齿轮参数实现了椭圆齿轮的自动建模。

本文根据非圆齿轮的基本理论,实现了椭圆齿轮三维造型的参数化设计,为其他机械零部件的三维参数化设计提供了一种可行性参考。

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