引言

中华人民共和国拍卖法第四章第四节规定：委托人、买受人可以和拍卖人约定佣金比例；对拍卖佣金比例未作约定而拍卖成交的，拍卖人可以向买受人、委托人各收取不超过成交价5%的佣金；收取佣金的比例按照同成交价成反比的原则确定。

大部分经典的拍卖文献分析的都是买卖双方的策略。文献[1-3]提出了最优拍卖的概念并建立了收入等价原理；汪海等^[4]研究了如何在独立私人估价假设不成立时实现最优拍卖，并揭示了拍卖理论在中国的经济改革和发展中所具有的重要应用价值；敬辉蓉等^[5]研究了第一、第二密封价格拍卖的最优投标人数及拍卖机制配置效率问题，发现了拍卖作为具有单方市场垄断力的稀缺资源配置方式，其最优配置效率的实现在于投标者的充分竞争。但在具体的拍卖实践中，拍卖的进行必须要有第三方——拍卖行的参与。有关佣金率的研究近期才引起人们的重视。王彦等^[6]把常数佣金率引入到拍卖模型中，研究了常数佣金率对拍卖结果的影响；毕志伟等^[7]考察了关联价值拍卖模型，讨论了佣金率对拍卖参与者各方收益的影响；本文作者假设佣金率与成交价是线性关系，研究了两种密封式拍卖模型的投标策略^[8]；并讨论了一类同时带有佣金率和保留价的拍卖模型，提出了最优佣金率的存在性^[9]。

文献[6-9]虽然考虑了佣金率的存在性，但是只涉及到了常数佣金率和线性佣金率的情况。所以本文在假设佣金率与成交价呈反比函数关系的前提下, 首次提出了带有反比佣金率和保留价的拍卖模型。先求出一般分布下的一级和二级价格密封式拍卖的均衡投标策略, 再求出所有拍卖参与者的预期收益, 最后通过一系列比较静态分析得出卖者的预期收益与k及保留价r均成正相关; 投标者的预期收益和k成正比，和r成反比；拍卖行的预期收益与k成反比。

1 假设和记号

假设有n个投标者参加拍卖，第i个投标者对拍品的估价为v_i，所有投标者的估价独立，并服从相同的分布函数F(v)，v∈[$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{v}, \bar{v}$ ]。

假设拍卖行设定一个与报价成反比的佣金率$c=\frac{1}{kb}$，其中k>0，b≥0，b表示报价。卖方设定保留价r, 参与或不参与拍卖无差异的最低估价v_*满足b(v_*)=r；又因为v_*满足π(v_*, b(v_*))=0(π(v, b)表示收益函数)，即v_*－b(v_*)$\left( 1+\frac{1}{kb\left( {{v}_{*}} \right)} \right)$ =0，所以得到v_*=$r+\frac{1}{k}$；而且估价低于v_*的投标者将不参与拍卖，规定他们的报价为零，即当v < v_*时，b(v)=0。

本文假设佣金由投标人支付。投标人、卖方和拍卖行都是风险中性的，目标都是预期收益最大化。

在本文的讨论中，b₁(v)、ER₁^S、ER₁^H分别表示在一级价格拍卖中投标者的均衡投标策略、卖方的预期收益以及拍卖行的预期收益；b₂(v)、ER₂^S、ER₂^H表示二级价格拍卖中相关的量。

2 投标者的投标策略 2.1 一级价格密封式拍卖

设投标者的投标函数为b₁(v)，如果某个投标者的私人估价为v而报价为A，则该投标者的预期收益为

$ \pi \left( {v,A} \right) = \left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{kA}}} \right)A} \right]{F^{n - 1}}\left( {b_1^{ - 1}\left( A \right)} \right) $

(1)

在对称的贝叶斯-纳什均衡中，当A=b₁(v)时投标者的预期收益最大，所以有

$ \frac{{\partial \pi \left( {v,A} \right)}}{{\partial A}}\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. = 0 $

(2)

由包络定理以及式(1)、(2)可以得到

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial \pi \left( {v,A} \right)}}{{\partial v}}\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. = \frac{{\partial \pi \left( {v,A} \right)}}{{\partial v}}\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. + \frac{{\partial \pi \left( {v,A} \right)}}{{\partial A}}\\ \frac{{\partial A}}{{\partial v}}\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. = \frac{{\partial \pi \left( {v,A} \right)}}{{\partial v}}\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. = {F^{n - 1}}\left( {b_1^{ - 1}\left( A \right)} \right)\left| {_{A = {b_1}\left( v \right)}} \right. = \\ {F^{n - 1}}\left( v \right) \end{array} $

(3)

对微分方程(3)两边同时积分得

$ \pi \left( {v,{b_1}\left( v \right)} \right) - \pi \left( {{v_ * },{b_1}\left( {{v_ * }} \right)} \right) = \int_{{v_ * }}^v {{F^{n - 1}}\left( x \right){\rm{d}}x} ,v \ge {v_ * } $

又因为

$ \pi \left( {{v_ * },{b_1}\left( {{v_ * }} \right)} \right) = 0,\pi \left( {v,{b_1}\left( v \right)} \right) = \left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{k{b_1}\left( v \right)}}} \right){b_1}\left( v \right)} \right]{F^{n - 1}}\left( v \right) $

令B(v)=$\left( 1+\frac{1}{k{{b}_{1}}\left( v \right)} \right){{b}_{1}}\left( v \right)$，则由上面两式可解出

$ B\left( v \right) = v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} $

(4)

其中B(v)和Riley等^[2]的均衡投标策略一致，即和不考虑佣金只考虑保留价时的均衡投标策略一致。进而有

$ \left( {1 + \frac{1}{{k{b_1}\left( v \right)}}} \right){b_1}\left( v \right) = B\left( v \right) = v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} = \frac{1}{{G\left( v \right)}}\int_{{v_ * }}^v {yg\left( y \right){\rm{d}}y} $

(5)

从而得

$ {b_1}\left( v \right) = B\left( v \right) - \frac{1}{k} = v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} - \frac{1}{k} $

(6)

结论1  同时带有保留价r和佣金率$c=\frac{1}{kb}$的一级价格密封式拍卖的均衡报价策略为

$ {b_1}\left( v \right) = B\left( v \right) - \frac{1}{k} = v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} - \frac{1}{k},v \ge {v_ * } $

其中

$ B\left( v \right) = v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} $

$ G\left( v \right) = {F^{n - 1}}\left( v \right) $

$ {v_ * } = r + \frac{1}{k} $

从式(5)还可以算出

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {b_1}\left( v \right)}}{{\partial r}} = \frac{{G\left( {{v_ * }} \right)}}{{G\left( v \right)}} > 0\\ \frac{{\partial {b_1}\left( v \right)}}{{\partial k}} = - \frac{1}{{{k^2}}}\frac{{G\left( {{v_ * }} \right)}}{{G\left( v \right)}} + \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}}\left[ {1 - \frac{{G\left( {{v_ * }} \right)}}{{G\left( v \right)}}} \right] > 0 \end{array} $

(7)

结论2  在本节的模型中，均衡报价策略与k成正比，即k越大报价越高；均衡报价与保留价r也成正比。

结论2与实际情况相符，即当k变大时佣金率c变小，因此投标人需要支付的佣金变少，投标人报价会更加积极。

2.2 二级价格密封式拍卖

设投标者的投标函数为b₂(v)，如果某投标者的私人估价为v而报价为b₂(t)，则他的预期收益是

$ \pi = \int_{\underline v }^v {\left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{k{b_2}\left( y \right)}}} \right){b_2}\left( y \right)} \right]{\rm{d}}{F^{n - 1}}\left( y \right)} $

(8)

根据包络定理和一阶条件有

$ \left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{k{b_2}\left( y \right)}}} \right){b_2}\left( y \right)} \right]{\left[ {{F^{n - 1}}\left( v \right)} \right]^\prime } = 0 $

(9)

从而得到$v-{{b}_{2}}\left( v \right)-\frac{1}{k}=0, {{b}_{2}}\left( v \right)=v-\frac{1}{k}$。

结论3  同时带有保留价r和佣金率$c=\frac{1}{kb}$的二级价格密封式拍卖的均衡报价策略为

$ {b_2}\left( v \right) = v - \frac{1}{k},v \ge {v_ * } $

(10)

从式(10)可以看出，二级价格密封式拍卖的报价策略与k成正比；与不带佣金率的传统拍卖模型相比，带有反比佣金率$c=\frac{1}{kb}$的拍卖模型的报价降低。

3 收益比较 3.1 卖者的收益比较

一级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益为

$ ER_1^{\rm{S}} = E\left[ {{b_1}\left( {{v_{\left[ {1,n} \right]}}} \right)} \right] = \int_{\underline v }^{\bar v} {{b_1}\left( v \right){f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} = \int_{\underline v }^{\bar v} {\left[ {B\left( v \right) - \frac{1}{k}} \right]n{F^{n - 1}}\left( v \right)f\left( v \right){\rm{d}}v} $

(11)

其中v_{[1, n]}表示v₁, v₂, …v_n中的最高统计量，f_{1, n}(v)表示v_{[1, n]}的密度函数。

二级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益为

$ ER_2^{\rm{S}} = E\left[ {{b_2}\left( {{v_{\left[ {2,n} \right]}}} \right)} \right] = \int_{\underline v }^{\bar v} {{b_2}\left( v \right){f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} = \int_{\underline v }^{\bar v} {\left[ {v - \frac{1}{k}} \right]{f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} $

(12)

其中v_{[2, n]}表示v₁, v₂, …v_n中的次高统计量，f_{2, n}(v)表示v_{[2, n]}的密度函数。此时收益等价原理不再成立。

再对二者的大小比较如下。

由于$B\left( v \right)=v-\frac{\int_{{{v}_{*}}}^{v}{G\left( y \right)\rm{d}y}}{G\left( v \right)} < v$，所以有b₁(v) < b₂(v)；同时因为

$ \begin{array}{l} {f_{2,n}}\left( v \right) = n\left( {n - 1} \right){F^{n - 2}}\left( v \right)\left( {1 - F\left( v \right)} \right)f\left( v \right) = \\ {n^2}{F^{n - 2}}\left( v \right)f\left( v \right) - {n^2}{F^{n - 1}}\left( v \right)f\left( v \right) - n{F^{n - 2}}\left( v \right)f\left( v \right) + \\ n{F^{n - 1}}\left( v \right)f\left( v \right) = n{F^{n - 2}}\left( v \right)f\left( v \right)\left[ {n\left( {1 - F\left( v \right)} \right) - 1} \right] + \\ n{F^{n - 1}}\left( v \right)f\left( v \right) \end{array} $

(13)

当n比较大时，有n(1－F(v))>1，从而得出f_{2, n}(v)>nF^n－1(v)f(v)=f_{1, n}(v)，进一步得出ER₁^S < ER₂^S。

结论4   当同时带有保留价r和佣金率$c=\frac{1}{kb}$时，收益等价定理不成立；如果投标人数较多，卖者采取第二价格拍卖比较有利。

下面考察佣金率的系数k以及保留价r分别对卖者预期收益的影响。由结论2和结论3已知$\frac{\partial {{b}_{1}}\left( v \right)}{\partial k}>0, \frac{\partial {{b}_{2}}\left( v \right)}{\partial k}>0, \frac{\partial {{b}_{1}}\left( v \right)}{\partial r}>0$，从而得出

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial ER_1^{\rm{S}}}}{{\partial k}} = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{{\partial {b_1}\left( v \right)}}{{\partial k}}{f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} > 0\\ \frac{{\partial ER_2^{\rm{S}}}}{{\partial k}} = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{{\partial {b_2}\left( v \right)}}{{\partial k}}{f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} > 0\\ \frac{{\partial ER_1^{\rm{S}}}}{{\partial r}} = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{{\partial {b_1}\left( v \right)}}{{\partial k}}{f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} > 0 \end{array} \right. $

(14)

结论5  在一级和二级价格密封式拍卖中，卖者的预期收益均与k正相关，和保留价r也正相关。

结论5很好地解释了实际情况，即当k变大时佣金率c变小，这时投标人报价会提高，卖者的收益也得到了相应的提高。

3.2 拍卖行的收益比较

一级价格密封式拍卖中，拍卖行的预期收益为

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;ER_1^{\rm{H}} = E\left[ {\frac{1}{{k{b_1}\left( v \right)}}{b_1}\left( {{v_{\left[ {1,n} \right]}}} \right)} \right] = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{1}{{k{b_1}\left( v \right)}}{b_1}\left( v \right)} \\ {f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{1}{k}{f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} = \frac{1}{k} \end{array} $

(15)

二级价格密封式拍卖中，拍卖行的预期收益为

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;ER_2^{\rm{H}} = E\left[ {\frac{1}{{k{b_2}\left( v \right)}}{b_2}\left( {{v_{\left[ {2,n} \right]}}} \right)} \right] = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{1}{{k{b_2}\left( v \right)}}{b_2}\left( v \right)} \\ {f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v = \int_{\underline v }^{\bar v} {\frac{1}{k}{f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} = \frac{1}{k} \end{array} $

(16)

结合3.1节中卖者的收益可知

$ ER_1^{\rm{S}} + ER_1^{\rm{H}} = \int_{\underline v }^{\bar v} {B\left( v \right){f_{1,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} $

(17)

等式(17)的右边恰好是一级价格拍卖中不带佣金时卖者的预期收益^[2]。

同理有

$ ER_2^{\rm{S}} + ER_2^{\rm{H}} = \int_{\underline v }^{\bar v} {v{f_{2,n}}\left( v \right){\rm{d}}v} $

(18)

等式(18)的右边恰好是二级价格拍卖中不带佣金时卖者的预期收益。

结论6   当同时带有保留价r和佣金率$c=\frac{1}{kb}$时，一级和二级密封式拍卖中卖者的预期收益均减少，减少的部分正好是拍卖行获得的收益。

结论7  在本文的两种拍卖方式中，拍卖行的预期收益相等，且与k成反比。

结论7和实际情况是一致的，即当k变大时，佣金率c变小，拍卖行的收益因此而变少。

3.3 投标者的收益比较

一级价格密封式拍卖中，投标人的预期收益为

$ \begin{array}{l} {\pi _1} = \left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{k{b_1}\left( v \right)}}} \right){b_1}\left( v \right)} \right]{F^{n - 1}}\left( v \right) = \\ \left[ {v - {b_1}\left( v \right) - \frac{1}{k}} \right]{F^{n - 1}}\left( v \right) = \left[ {v - \left( {v - \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}} - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {\frac{1}{k}} \right) - \frac{1}{k}} \right]{F^{n - 1}}\left( v \right) = \frac{{\int_{{v_ * }}^v {G\left( y \right){\rm{d}}y} }}{{G\left( v \right)}}{F^{n - 1}}\left( v \right) = \int_{{v_ * }}^v {{F^{n - 1}}\left( y \right){\rm{d}}y} \end{array} $

(19)

二级价格密封式拍卖中，投标人的预期收益为

$ \begin{array}{l} {\pi _2} = \int_{{v_ * }}^v {\left[ {v - \left( {1 + \frac{1}{{k{b_2}\left( v \right)}}} \right){b_2}\left( v \right)} \right]{\rm{d}}{F^{n - 1}}\left( y \right)} = \\ \int_{{v_ * }}^v {\left[ {v - {b_2}\left( v \right) - \frac{1}{k}} \right]{\rm{d}}{F^{n - 1}}\left( y \right) = } \int_{{v_ * }}^v {\left[ {v - \left( {y - \frac{1}{k}} \right) - } \right.} \\ \left. {\frac{1}{k}} \right]{\rm{d}}{F^{n - 1}}\left( y \right) = \int_{{v_ * }}^v {\left( {v - y} \right){\rm{d}}{F^{n - 1}}\left( y \right)} = \int_{{v_ * }}^v {{F^{n - 1}}\left( y \right)} \\ {\rm{d}}y + {F^{n - 1}}\left( {{v_ * }} \right)\left( {{v_ * } - v} \right) \le {\pi _1} \end{array} $

(20)

可以看出，π₁与v_*成反比，而由于v_*= $r+\frac{1}{k}$，v_*与k成反比，与r成正比，所以π₁与k成正比，与r成反比。

同理，由于

$ \frac{{\partial {\pi _2}}}{{\partial {v_ * }}} = \left( {n - 1} \right){F^{n - 2}}\left( {{v_ * }} \right)f\left( {{v_ * }} \right)\left( {{v_ * } - v} \right) \le 0 $

所以π₂与v_*成反比，从而与k成正比，与r成反比。

结论8  在本文的模型中，投标人在一级价格拍卖中获得的预期收益大于二级价格拍卖，因此，投标者更愿意选择一级价格拍卖，两者均和k成正比，和r成反比。

结论8也与实际情况符合。从投标者的角度看，无论是佣金的收取还是保留价的设定都是不利信息，因此，投标者的预期收益会相应降低。

对结论1~8的正确性作如下实例验证。假设只有两个投标者(n=2)，私人估价v服从区间[0, 1]上的同一均匀分布，分布函数和密度函数分别为F(v)=v，f(v)=1，v∈[0, 1]。计算结果如表 1所示。

由表 1可以看出，结论1~8都是正确的。

4 结论

(1) 假设佣金率与成交价是反比关系, 本文通过研究一个同时带有保留价和反比佣金率的拍卖模型，给出了一般分布下的一级价格密封式拍卖和二级价格密封式拍卖的均衡投标策略，并且发现二者均与k成正比，与保留价r也成正比。

(2) 通过计算卖方、拍卖行、投标者三方的预期收益，发现在本文的模型中，收益等价定理不再成立；但是当投标人数较多时，卖者采取第二价格拍卖比较有利；卖者的预期收益与k及保留价r均成正相关。

(3) 投标者在一级价格密封式拍卖中获得的预期收益大于二级价格密封式拍卖，二者均和k成正比，和r成反比。