引言

旋转机械作为工业生产设备的重要组成部分，往往面临着复杂的工作环境，所以有必要对其运行情况进行在线监测和故障诊断。传统信号采样方法要求采样频率不低于信号中最高频率的两倍，使信号处理过程面临采样率高、储存数据量大及大数据分析处理压力大等问题。压缩感知理论利用信号的稀疏性，通过较低的采样率实现信号的重构。目前利用压缩感知理论实现信号采集与处理主要面临两个难题，一是压缩感知算法中的正交字典往往无法获得较稀疏的解，二是为了获得对信号更加稀疏的解，需要用到冗余字典，而字典的冗余性往往导致信号的重构精度难以得到保障^[1-2]。

文献[3-5]将压缩感知算法用于信号重构并论证了压缩感知算法可以实现对稀疏信号的高精度重构，文献[6-12]将压缩感知算法应用于信号重构和信号检测，但是没有解决对于正交字典非稀疏性信号重构精度低的问题。

针对以上研究中存在的问题，本文以压缩采样匹配追踪算法(CoSaMP)为基础，通过对该算法进行改进，提出一种基于信号空间的压缩采样匹配追踪算法(SSCoSaMP)，即首先在冗余字典中求解信号的最优表示空间，然后在最优表示空间中直接计算出原始信号，提高了信号的重构精度，为增强机械振动信号的故障检测能力提供依据。

1 压缩感知(CS)理论

压缩感知理论指出，如果能够充分利用信号的稀疏性，有可能同时实现信号压缩和采集，这样不仅能够降低对传感器采集信号的要求，而且也能减小信号后处理的压力。

对于N维实际信号x，如果x中只有少量非零系数，则称x为稀疏信号。当x本身不是稀疏信号时，可以将其表示为一组正交向量的线性组合

$ \mathit{\boldsymbol{x}} = \sum\limits_{k = 1}^N {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k}{\psi _k}} $

(1)

如果α_k中只有少数非零系数，则称信号x在正交基上具有稀疏性。如果x满足一定稀疏性，就可以通过m < n维观测信号高精度地重构原始信号x。观测信号y可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{Ax}} = \mathit{\boldsymbol{AD\alpha }} $

(2)

其中A为m×n阶测量矩阵，α为稀疏系数，D为正交字典。为了保证通过y高精度地重构出原始信号，测量矩阵A需要满足有限等于性质(RIP)，即对于常数δ_k∈(0, 1)，需满足

$ \sqrt{1-{{\delta }_{k}}}\le \frac{{{\left\| \mathit{\boldsymbol{Ax}} \right\|}_{2}}}{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{2}} \right\|}\le \sqrt{1+{{\delta }_{k}}} $

(3)

如果x本身不是稀疏信号，但是在字典D上具有稀疏性，则需要AD满足RIP准则，即对于常数δ_k∈(0, 1)，需满足

$ \sqrt {1 - {\delta _k}} \le \frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{AD\alpha }}} \right\|}_2}}}{{{{\left\| \mathit{\boldsymbol{\alpha }} \right\|}_2}}} \le \sqrt {1 + {\delta _k}} $

(4)

A可选择高斯随机矩阵，因为高斯随机矩阵不仅构造简单，而且能较高概率地满足RIP准则。

2 基于信号空间的重构算法

由于大多数实际信号x很难在正交字典上满足稀疏性要求，而在冗余字典上表现出较好的稀疏性，因此选择冗余字典有利于信号的高精度重构。然而信号重构过程往往是通过观测信号y首先重构稀疏系数$ \mathit{\boldsymbol{\hat \alpha }} $，然后再通过$ \mathit{\boldsymbol{\hat \alpha }} $计算出重构信号$ \mathit{\boldsymbol{\hat x = D\hat \alpha }} $。这种间接计算原始信号x的方法导致应用冗余字典重构信号时精度难以得到保障。原因如下：(1) 应用冗余字典D时，信号x在D上的稀疏表示不是唯一的，这意味着x在D上同样存在许多其他的稀疏表示结果；(2) 当测量矩阵A满足RIP准则时，很难保证A与D的乘积满足RIP准则，也就无法保证信号的重构精度；(3) 重构信号$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}} $是通过字典与稀疏系数的乘积$ \mathit{\boldsymbol{D}} \times \mathit{\boldsymbol{\hat \alpha }} $得到的，采用冗余字典时，α的重构精度$ \left\| {\mathit{\boldsymbol{\alpha }} - \mathit{\boldsymbol{\hat \alpha }}} \right\| $与x的重构精度$ \left\| {\mathit{\boldsymbol{x}} - \mathit{\boldsymbol{\hat x}}} \right\| $并不一致，这表明即使可以保证α的精度，也无法确保原始信号x的重构精度。

以上的所有问题都是由信号重构过程中重构稀疏系数引起的，本文提出的SSCoSaMP算法无需重构稀疏系数，而是直接重构原始信号。该算法采用冗余字典重构原始信号，矩阵A需要满足一个D-RIP准则，即对于常数δ_k∈(0, 1)，需满足

$ \sqrt {1 - {\delta _k}} \le \frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{AD\alpha }}} \right\|}_2}}}{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{D\alpha }}} \right\|}_2}}} \le \sqrt {1 + {\delta _k}} $

(5)

式(5) 与式(3) 虽然形式相似，但是有本质的区别。式(3) 中RIP准则要求x中包含少量的非零系数，而式(5) 中D-RIP准则要求x在字典D中包含少量稀疏系数，条件更加容易满足。

满足D-RIP准则的情况下，需首先由式(6) 计算出D中信号x的最优表示空间

$ { \wedge _{{\rm{opt}}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}, k} \right) = \arg \;{\rm{mi}}{{\rm{n}}_{\left| \wedge \right| = k}}\left\| {\mathit{\boldsymbol{x}} - {P_ \wedge }\mathit{\boldsymbol{x}}} \right\| $

(6)

其中，∧∈{1, 2…, d}表示索引集，R (D_∧)表示D_∧中的列向量组成的列空间，P_∧x表示信号x在空间R (D_∧)中正交投影，∧_opt(x, k)为最优表示空间，即为可以最优表示信号x的k个向量所组成的空间。计算出∧_opt(x, k)后，就可以在∧_opt(x, k)中运用迭代算法直接重构信号x。SSCoSaMP运算具体过程如下：

输入：测量矩阵A∈R^m×n，冗余字典D∈R^n×d，观测向量y∈R^m，稀疏度k

输出：重构信号X^l∈Rⁿ

(1) 初始化各参数  令残差r₀=y带求信号空间T=∅，迭代次数l=1;

(2) 求取v=A^* r₀；

(3) 求取v的最优表示空间Ω=∧_opt(v, k)；

(4) 合并索引集T=Ω∪T；

(5) 利用迭代运算求取重构信号X^l

x=arg min_z‖y-Az‖s.t.z∈R (D_T)

T=∧_opt(x, k)

X^l=P_Tx

r₀=y-AX^l

l=l+1

(6) 判定残差r₀是否满足迭代停止条件，如果满足，输出重构信号X^l；如果不满足，返回步骤(2)。

3 实例验证及结果分析

本文以滚动轴承内圈故障信号为实验对象进行故障检测效果验证。实验方案为：首先绘制原始轴承故障振动信号的包络频谱图，提取故障特征频率；然后分别以压缩采样率25%和50%对原始信号进行压缩采样，利用压缩感知重构算法重构出原始信号，绘制重构信号的包络频谱图；最后，通过对比重构信号的包络频谱图进而比较重构算法的性能。实验采用转速1300 r/min的轴承内圈故障信号，采样频率2000 Hz，故障特征频率145.84 Hz，故障尺寸0.7 mm×0.05 mm。

3.1 原始信号

得到原始信号点及其包络频谱图如图 1所示。

由图 1看出，包络频谱图得到了内圈故障特征频率的1倍频、2倍频、3倍频。

3.2 压缩采样率25%

对原始信号进行压缩采样得到压缩信号y，压缩率为25%，得到压缩采样信号如图 2(a)所示。

压缩率25%下，首先应用CoSaMP算法重构原始信号，分别采用正交字典和冗余字典进行实验以比较二者的信号重构精度，再应用本文提出的SSCoSaMP算法重构原始信号。3种方法得出的重构信号包络频谱图如图 2(b)、(c)、(d)所示。

由图 2看出，采用正交字典和冗余字典的CoSaMP算法得到的重构信号只提取出了1倍故障特征频率，而采用本文算法得到的重构信号提取出了1倍、2倍故障特征频率，证明本文方法提高了信号的重构精度。

3.3 压缩采样率50%

对内圈故障信号的压缩率为25%时，重构信号的包络频谱图效果不理想，所以将采样率提高至50%再进行实验，方法与压缩率25%时相同。得到压缩采样信号及3种方法的重构信号包络频谱图如图 3所示。

由图 3看出，采用正交字典的CoSaMP算法得到的重构信号提取出了1倍故障特征频率，采用冗余字典的CoSaMP算法得到的重构信号提取出了1倍、2倍故障特征频率；而采用本文算法得到的重构信号提取出了1倍、2倍、3倍故障特征频率，同样证明本文方法的信号重构精度更高。

4 结论

本文提出的基于信号空间的压缩感知算法改变了以往重构稀疏系数的思路，通过直接重构信号提高了信号的重构精度，能更准确地提取出轴承故障振动信号的故障特征频率。通过轴承内圈故障信号实验，证明了本文方法得到的包络频谱图更接近原始信号的包络频谱图，信号的重构精度更高。