proportion integration differentiation(PID)控制器[1-2]由于其结构简单易于调节等特点得到了广泛应用,但对于某些复杂的被控过程,简单的PID并不能取得很好的控制效果,所以衍生出很多的先进控制理论,如内模控制、模糊控制、预测控制等。在内模控制系统中,只需要将被控过程的可逆部分取倒数,然后再添加一个滤波器来增强系统的相对稳定性和鲁棒性。并且,内模系统中只有一个待整定的参数,所以关于内模控制原理的研究进展较快[3-4]。由于经典的内模控制器需要在被控过程输入端并联一个模型传递函数,影响了其在现实中的应用,所以越来越多的学者应用内模控制(internal model control,IMC)原理来整定PID参数[5-6],使得IMC-PID控制器能够应用于实际生产,在设计过程中,系统的稳定裕度经常作为控制器参数整定的标准[7-9]。
内模控制器转化为PID控制器过程中存在的问题为:在转化前的控制器分母中存在非线性函数,无法直接得到PID参数。有些学者应用泰勒公式将控制器分母中的时滞项展开,只取前两项进行计算[10-11],所得到的控制效果与经典内模比较会产生较大的偏差。为了得到更加精确的控制效果,本文选用欧拉公式将时滞项展开,使得最终的PID控制效果与经典内模相同。首先通过稳定裕度的定义求出控制器参数与稳定裕度之间一一对应的值,再应用曲线拟合技术得到它们之间的解析关系,并且在保证系统实现期望的稳定裕度条件下,将内模控制器转化为PID控制器。最后通过仿真实例证明了本文方法的有效性。
1 内模控制器与稳定裕度 1.1 内模控制器结构内模控制结构如图 1所示,其中Gp(s)为被控过程,Gm(s)为被控过程模型,Q(s)为内模控制器,r为设定值,y为输出,s为拉普拉斯算子。
将被控过程分解为式(1)
$ {G_{\rm{m}}}\left( s \right) = {G_{\rm{ + }}}\left( s \right){G_ - }\left( s \right) $ | (1) |
其中G+(s)包含Gp(s)中的所有时滞,G-(s)为模型中的最小相位部分。内模控制器设计过程中,只需要在过程的最小相位部分的逆上增加一个滤波器,以能够保证系统的稳定性和鲁棒性[12],则内模控制器为:
$ Q\left( s \right) = \frac{{G_ - ^{ - 1}\left( s \right)}}{{{{\left( {\lambda s + 1} \right)}^n}}} $ | (2) |
式中,n的取值应足够大以保证控制器Q(s)有理,若被控过程为一阶惯性加纯滞后系统,则n可以取值为1。
由于实际生产过程中内模控制系统不易应用,需要将图 1中的控制结构转化为图 2中单反馈控制结构。图中K(s)为控制器,d为输入扰动。
等效后的控制器可以表示为
$ K\left( s \right) = \frac{{{G_ - }\left( s \right)}}{{{{\left( {\lambda s + 1} \right)}^n} - {{\rm{e}}^{ - Ls}}}} $ | (3) |
本文基于一阶惯性环节设计控制器
$ {G_{\rm{p}}}\left( s \right) = \frac{K}{{Ts + 1}}{{\rm{e}}^{ - Ls}} $ | (4) |
那么图 2中的控制器为
$ K\left( s \right) = \frac{{Ts + 1/K}}{{\lambda s + 1 - {{\rm{e}}^{ - Ls}}}} $ | (5) |
分析过程中所考虑的模型和过程是完全匹配的,并且没有其他干扰输入,此时系统的开环传递函数为
$ K\left( s \right){G_{\rm{p}}}\left( s \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - Ls}}}}{{\lambda s + 1 - {{\rm{e}}^{ - Ls}}}} $ | (6) |
本文基于稳定裕度进行控制器的整定。系统的相位裕度定义式为
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{G_{\rm{p}}}\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{c}}}} \right)K\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{c}}}} \right)} \right| = 1}\\ {{{180}^ \circ } + \arg {G_{\rm{p}}}\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{c}}}} \right)K\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{c}}}} \right) = \gamma } \end{array}} \right. $ | (7) |
其中γ是角度制形式的相位裕度,wc为系统幅值穿越频率。相位裕度与幅值穿越频率及相位穿越频率(wg)的关系如图 3所示。
将式(6) 分母中的时滞项用欧拉公式替代
$ {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}x}} = \cos x - {\rm{j}}\sin x $ | (8) |
将式(6)、(8) 代入式(7) 中,则式(7) 可以表示为
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{{{\left[ {1 - \cos \left( {{w_{\rm{c}}}L} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{\lambda }{L}{w_{\rm{c}}}L + \sin {w_{\rm{c}}}L} \right]}^2}}} = 1\\ {w_{\rm{c}}}L + \arctan \frac{{\frac{\lambda }{L}{w_{\rm{c}}}L + \sin {w_{\rm{c}}}L}}{{1 - \cos {w_{\rm{c}}}L}} = \frac{{{{180}^ \circ } - \gamma }}{{{{180}^ \circ }}}{\rm{\pi }} \end{array} \right. $ | (9) |
通过给定相位裕度的值,就可以得到对应的控制器参数λ与过程中时滞L的比值(λ/L),结果如表 1所示。
将表 1中λ/L值作为y轴,γ作为x轴,得到控制器参数与相位裕度之间的关系如图 4所示。
应用曲线拟合技术得到λ/L与γ之间的解析关系
$ \frac{\lambda }{L} = 0.0005939{\gamma ^3} - 0.1162{\gamma ^2} + 7.683\gamma - 170.9 $ | (10) |
根据图 3中幅值裕度的定义,可以得到
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arg \left( {{G_{\rm{p}}}\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{g}}}} \right)K\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{g}}}} \right)} \right) = {{180}^ \circ }}\\ {\frac{1}{{\left| {{G_{\rm{p}}}\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{g}}}} \right)K\left( {{\rm{j}}{w_{\rm{g}}}} \right)} \right|}} = {K_{\rm{g}}}} \end{array}} \right. $ | (11) |
将式(6)、(8) 代入式(11),得到
$ \left\{ \begin{array}{l} - {w_{\rm{g}}}L - \arctan \frac{{\lambda {w_{\rm{g}}} + \sin \left( {{w_{\rm{g}}}L} \right)}}{{1 - \cos \left( {{w_{\rm{g}}}L} \right)}} = {\rm{\pi }}\\ \frac{1}{{\sqrt {{{\left[ {\lambda {w_{\rm{g}}} + \sin \left( {{w_{\rm{g}}}L} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {1 - \cos \left( {{w_{\rm{g}}}L} \right)} \right]}^2}} }} = {K_{\rm{g}}} \end{array} \right. $ | (12) |
用求解相位裕度的方法求解式(12),可以得到幅值裕度与控制器参数之间的解析关系如表 2和图 5所示。
应用曲线拟合技术得到λ/L与Kg之间的解析关系
$ \frac{\lambda }{L} = 0.6667{K_{\rm{g}}} - 1.186 $ | (13) |
由图 4和图 5可以看出,λ/L越大系统的稳定裕度越高,即系统稳定性和鲁棒性越好。但在单变量系统中,鲁棒性和响应速度是矛盾的,鲁棒性好意味着系统的单位阶跃响应速度相对较慢,所以在单变量控制器参数整定时,要在两者之间找到一种平衡。由文献[13]可知,系统的相位裕度和二阶系统中的阻尼比ζ之间的关系可以表示为γ≈100ζ,ζ=0.7是比较好的选择,所以本文取ζ=0.7,γ=65°,从而得到相对应的幅值裕度与控制器参数分别为Kg=2.701,λ/L=0.6257。
2 PID控制器想要得到图 2中的PID控制器,只需要找到一个函数来替代式(5) 中的内模控制器。本文针对一阶模型设计控制器,所以选用PI结构;另外PID控制器中需要有4个待定参数Kc、KI、T1、T2,所以选用的控制器形式为
$ K\left( s \right) = {K_{\rm{c}}}\left( {1 + \frac{1}{{{K_{\rm{I}}}s}}} \right)\frac{{{T_2}s + 1}}{{{T_1}s + 1}} $ | (14) |
为了保证系统达到期望的相位裕度和幅值裕度,原有内模系统中的wc和wg两点也要在转化后系统的开环传递函数的奈奎斯特曲线上;所以首先要求出这两个频率点的值,即当λ/L=0.6257时,wc=β1/L=0.6288/L,wg=β2/L=2.1992/L;然后,由于转化过程是在频域内实现,所以先将s=jw和x=wL代入式(14) 中,有
$ {K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}x} \right) = {K_{\rm{c}}}\left( {1 + \frac{1}{{{\rm{j}}{{K'}_{\rm{I}}}s}}} \right)\frac{{{\rm{j}}{{T'}_2}x + 1}}{{{\rm{j}}{{T'}_1}x + 1}} $ | (15) |
将式(15) 分母有理化,分别得到实部和虚部为
$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}x} \right)} \right) = {{K'}_{\rm{c}}}\frac{{1 + {x^2}{{T'}_1}{{T'}_2}}}{{1 + {x^2}T_1^{'2}}} + \frac{{{{K'}_{\rm{c}}}}}{{x{{K'}_{\rm{1}}}}}\frac{{x{{K'}_{\rm{2}}} - {{T'}_{\rm{1}}}x}}{{1 + {x^2}T_1^{'2}}}\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}x} \right)} \right) = {{K'}_{\rm{c}}}\frac{{x{{T'}_2} - {{T'}_1}x}}{{1 + {x^2}T_1^{'2}}} - \frac{{{{K'}_{\rm{c}}}}}{{x{{K'}_{\rm{1}}}}}\frac{{1 + {x^2}{{T'}_1}{{T'}_2}}}{{1 + {x^2}T_1^{'2}}} \end{array} \right. $ | (16) |
用同样的方法将s=jw和x=wL代入式(5),在wc处有
$ \left\{ \begin{array}{l} K\left( {{\rm{j}}{x_1}} \right) = \left( {0.1912 - {\rm{j0}}{\rm{.9815}}} \right)\frac{{1 + {\rm{j}}{x_1}T/L}}{K}\\ {x_1} = 0.6288 \end{array} \right. $ | (17) |
在wg处有
$ \left\{ \begin{array}{l} K\left( {{\rm{j}}{x_2}} \right) = \left( {0.2176 - {\rm{j0}}{\rm{.2995}}} \right)\frac{{1 + {\rm{j}}{x_2}T/L}}{K}\\ {x_2} = 2.1992 \end{array} \right. $ | (18) |
若要保证转化前后的系统能够达到相同的裕度,则需要满足式(19)
$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}{x_1}} \right)} \right) = 0.1912\frac{1}{K} + 0.9815\frac{{{x_1}T/L}}{K}\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}{x_1}} \right)} \right) = 0.1912\frac{{{x_1}T/L}}{K} - 0.9815\frac{1}{K}\\ {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}{x_2}} \right)} \right) = 0.2176\frac{1}{K} + 0.2995\frac{{{x_2}T/L}}{K}\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{K_{{\rm{PID}}}}\left( {{\rm{j}}{x_2}} \right)} \right) = 0.2176\frac{{{x_2}T/L}}{K} - 0.2995\frac{1}{K} \end{array} \right. $ | (19) |
已知被控过程后,将式(19) 中求得的K、T、L代入式(16) 中,最终得到PID控制器中4个参数为
$ \left\{ \begin{array}{l} {K_{\rm{c}}} = {{K'}_{\rm{c}}}\\ {K_{\rm{I}}} = {{K'}_{\rm{I}}}L\\ {T_{\rm{1}}} = {{T'}_{\rm{2}}}L\\ {T_{\rm{2}}} = {{T'}_{\rm{2}}}L \end{array} \right. $ | (20) |
本文选用一阶、二阶和高阶过程3个实例来验证PID控制器的性能。仿真所用的3个实例分别为
$ \left\{ \begin{array}{l} 0.0733\left( {1 + \frac{1}{{0.9264s}}} \right)\frac{{2.7022s + 1}}{{0.1246s + 1}}\\ 0.271\left( {1 + \frac{1}{{0.8808s}}} \right)\frac{{0.8808s + 1}}{{0.0854s + 1}}\\ 0.2064\left( {1 + \frac{1}{{7.9455s}}} \right)\frac{{8.1014s + 1}}{{4.379s + 1}} \end{array} \right. $ | (21) |
本文的PID控制器设计方法(后文简称为本文方法)基于一阶惯性环节,所以仿真之前先用两点建模法[14]将高阶过程降阶为一阶惯性环节,然后在同一鲁棒性基础上将本文方法与经典内模方法、一阶泰勒近似(Kaya)方法得到的控制器相比较[10-11]。
采用最大灵敏度函数(Ms)表征系统的鲁棒性规格
$ Ms = {\left\| {\frac{1}{{{G_{\rm{p}}}\left( {{\rm{j}}w} \right)K\left( {{\rm{j}}w} \right)}}} \right\|_\infty } $ | (22) |
其中Gp(jw)K(jw)为系统开环传递函数。为了更加明确地比较3种控制方法的性能,本文将Ms均设定为1.62。
控制器效果可以用误差的平方积分(ISE, 公式中用EISE表示)来衡量
$ {E_{{\rm{ISE}}}} = \int_0^\infty {{{\left| {r - y\left( t \right)} \right|}^2}{\rm{d}}t} $ | (23) |
作为反映系统响应快速性的指标,EISE值越小则系统响应越快,控制效果越好。
3.2 存在参数摄动时的阶跃响应首先比较参数摄动后的控制效果。设定过程时滞存在-20%、0、+20%3种扰动,得到3种方法下的阶跃响应曲线如图 6~8所示。
从图 6、7、8可以看出,Kaya方法虽然在时滞变小时响应时间较短,但在时滞不变或增大时系统会产生较大超调,原因在于Kaya虽然简化了计算过程,但近似过程产生的误差导致控制器无法达到精确的控制效果。而本文方法无论在标称情况(图(b))还是存在参数摄动的情况(图(a)、(c))下都能得到与IMC控制方法相同的响应曲线,说明本文方法实现了无误差的转化;另外还可以看出本文方法响应速度更快,且能实现无超调跟踪响应。
3.3 控制效果将本文方法、经典内模方法和一阶泰勒近似方法分别应用于图 2控制器的设计中,在保证每个系统Ms的值相同(1.62) 条件下整定控制器参数,得到的控制效果如表 3所示。
由表 3可以看出,本文方法得到的ISE指标比其他两种方法都要小,表明本文方法得到的控制器响应速度更快,性能更优越。另外还可以看出γ和Kg均在设定值附近,表明达到了设计目的。
4 结束语本文提出了一种新型的IMC-PID在频域内的转化方法,转化过程中没有使用泰勒近似方法来处理控制器分母中的时滞项,而是应用欧拉公式来替代,从而使转化后的PID与经典内模控制效果几乎相同。最后的仿真结果表明,PID控制器不仅达到了期望的相位裕度和幅值裕度,而且在同一鲁棒性条件下,响应速度也比近似方法得到的控制器要快。
[1] |
Jin Q B, Liu Q. IMC-PID design based on model matching approach and closed-loop shaping[J]. ISA Transactions, 2014, 53(2): 462-473. DOI:10.1016/j.isatra.2013.11.005 |
[2] |
Wang Q, Lu C H, Pan W. IMC PID controller tuning for stable and unstable processes with time delay[J]. Chemical Engineering Research & Design, 2016, 105: 120-129. |
[3] |
王全良, 甄新平, 潘立登, 等. 多变量系统解耦内模控制及其PID转化应用方法的研究[J]. 北京化工大学学报:自然科学版, 2005, 32(6): 87-89. Wang Q L, Zhen X P, Pan L D, et al. Decoupling IMC for multivariable systems based on NLJ random search[J]. Journal of Beijing University of Chemical Technology:Natural Science, 2005, 32(6): 87-89. (in Chinese) |
[4] |
Jin Q B, Liu Q, Wang Q. PID controller design based on the time domain information of robust IMC controller using maximum sensitivity[J]. Chinese Journal of Chemical Engineering, 2013, 21(5): 529-536. DOI:10.1016/S1004-9541(13)60522-4 |
[5] |
Kumar D B, Padma S R. Tuning of IMC based PID controllers for integrating systems with time delay[J]. ISA Transactions, 2016, 63: 242-255. DOI:10.1016/j.isatra.2016.03.020 |
[6] |
Begum K G, Rao A S, Radhakrishnan T K. Maximum sensitivity based analytical tuning rules for PID controllers for unstable dead time processes[J]. Chemical Engineering Research & Design, 2016, 109: 593-606. |
[7] |
Mikhalevich S S, Baydali S A, Manenti F. Development of a tunable method for PID controllers to achieve the desired phase margin[J]. Journal of Process Control, 2015, 25(25): 28-34. |
[8] |
Srivastava S, Pandit V S. A PI/PID controller for time delay systems with desired closed loop time response and guaranteed gain and phase margins[J]. Journal of Process Control, 2016, 37: 70-77. DOI:10.1016/j.jprocont.2015.11.001 |
[9] |
Jin Q B, Liu Q, Huang B. New results on the robust stability of PID controllers with gain and phase margins for UFOPTD processes[J]. ISA Transactions, 2016, 61: 240-250. DOI:10.1016/j.isatra.2015.11.028 |
[10] |
Kaya I. Tuning PI controllers for stable processes with specifications on gain and phase margins[J]. ISA Transactions, 2004, 43(2): 297-304. DOI:10.1016/S0019-0578(07)60038-X |
[11] |
Zhao Z C, Liu Z Y, Zhang J G. IMC-PID tuning method based on sensitivity specification for process with time-delay[J]. Journal of Central South University, 2011, 18(4): 1153-1160. DOI:10.1007/s11771-011-0817-0 |
[12] |
赵志诚, 文新宇. 内模控制及其应用[M]. 北京: 电子工业出版社, 2012. Zhao Z C, Wen X Y. Internal model control and its application[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2012. (in Chinese) |
[13] |
Wang Q G, Hang C C, Yang X P. Single-loop controller design via IMC principles[J]. Automatica, 2001, 37(12): 2041-2048. DOI:10.1016/S0005-1098(01)00170-4 |
[14] |
Wang Q G, Bi Q, Zhang Y. Re-design of Smith predictor systems for performance enhancement[J]. ISA Transactions, 2000, 39(1): 79-92. DOI:10.1016/S0019-0578(99)00049-X |