目前，转子的碰摩模型多假设材料为弹性[1-2]，但在转子受到飞射物撞击或磁悬浮转子突然跌落等情况下，由于受到强动载荷的作用，转子可能发生塑性变形，此时，材料为弹塑性本构关系。然而从结构塑性动力学角度考虑，如果同时考虑材料的弹性和塑性，将使问题变得复杂难解。因此在研究结构受强动载荷作用时的塑性动力学响应方面，刚-塑性模型是一个简单实用的模型。Symonds等[3]提出，如果外载荷输入的能量远远大于结构本身的弹性变形能，可使用理想刚-塑性模型来近似分析结构的冲击问题。基于刚-塑性模型，文献[4-7]分析了自由梁、悬臂梁、固支梁等结构在强动载荷作用下的塑性响应。文献[8-12]应用刚-塑性模型解决了工程实践中的冲击和碰撞问题。
本文在前人研究成果的基础上，将单盘转子简化为中间带质量块的简支梁，探究了其在撞击作用下的刚-塑性动力学响应。基于小变形假定和理想化刚-塑性模型，首先对带质量块的简支梁在阶跃载荷作用下的响应模式进行了理论上的研究，得到了单盘转子跨度中点受撞击作用的动力学响应完全解，并结合龙格-库塔法给出了单盘转子受撞击时的瞬态变形；最后探究了转子的圆盘质量和冲击速度对转子塑性变形的影响，并针对典型算例将理论分析结果与模拟软件LS-DYNA的计算结果进行了比较。
1 响应模式 1.1 单盘转子系统模型受强动载荷作用的单盘转子模型如图 1所示。转轴跨长为2L，横截面半径为R，单位长度质量为m，截面塑性极限弯矩为MP，圆盘的质量为G。
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图 1 受强动载荷作用的单盘转子系统模型 Fig.1 The singledisk rotor system model subjected to a strong dynamic load |
将图 1所示的单盘转子模型简化为中间带质量块的简支梁，分析其受阶跃载荷作用时的动力学响应。
1.2 刚体运动模式若梁内的弯矩值小于极限弯矩MP，即阶跃载荷P＜P1=
当阶跃载荷P≥P1=
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图 2 单铰响应模式 Fig.2 Single-hinge mechanisms |
设此时BA段的角加速度为
| ${F_{\rm{N}}} + m{L^2}\ddot \theta /2 + G\ddot u/2 = P/2$ | (1) |
| $m{L^3}\ddot \theta /3 + G\ddot uL/2 = - {M_{\rm{P}}} + PL/2$ | (2) |
其中，
| $\ddot u = L\ddot \theta $ | (3) |
| $G = gmL$ | (4) |
上式中，FN为轴承的支反力，g为圆盘与转轴的质量比，则BA段内任一点的剪力为
| $Q\left( x \right) = P/2 - G\ddot u/2 - m({L^2}{x^2})\ddot \theta /2$ | (5) |
当Q(x)=0时，弯矩达到最大值，将会在x=
随着载荷的增大，当P>P2=
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图 3 三铰响应模式 Fig.3 Three-hinge mechanisms |
| $\frac{1}{3}m{(L - {x_1})^3}{{\ddot \theta }_2} = {M_{\rm{P}}}$ | (6) |
BH1段内任一点处的剪力为
| $Q\left( x \right) = \frac{3}{2}\frac{{{{(L - {x_1})}^2} - {x^2}}}{{{{(L - {x_1})}^3}}}{M_{\rm{P}}}$ | (7) |
当0＜x＜L-x1时，
同理，H1A段的运动方程为
| $m{x_1}((L - {x_1}){{\ddot \theta }_2} + \frac{1}{2}{x_1}{{\ddot \theta }_1}) + \frac{1}{2}{\rm{ }}G\ddot u = \frac{P}{2}$ | (8) |
H1A段内任一点处的剪力为
| $\begin{array}{l} Q\left( x \right) = mx(L - {x_1}){{\ddot \theta }_2} + \frac{1}{2}m{x^2}{{\ddot \theta }_1} = \frac{{P{x^2}}}{{2{x_1}(gL + {x_1})}}{\rm{ }} + \\ m{{\ddot \theta }_2}(L - {x_1}){\rm{ }}\left( {1 - \frac{{x(gL + 2{x_1})}}{{2{x_1}(gL + {x_1})}}} \right)x \end{array}$ | (9) |
当0＜x＜x1时，Q(x)>0。故在0＜x＜x1内弯矩也无极值点，H1A段内也不会再产生塑性铰。因此，随着载荷增大时，铰的数量不会超过3个。
综上所述，随着载荷的逐渐增大，梁的运动状态将发生变化。为了明确各响应模式的转化条件，表 1列出了阶跃载荷的范围与相应响应模式之间的关系。从表 1也可看出，当阶跃载荷P＜
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下载CSV 表 1 响应模式与阶跃载荷关系 Table 1 The relationship between the response mode and the subjected load |
转子系统在高转速下可能发生叶片丢失，这种情况下，转子将受到阶跃的不平衡力，引起叶片与机匣碰磨。根据表 1中的结论，若不平衡力足够大，将可能引起转子的结构失效。假设丢失叶片的质量为m，叶片等效集中质量与转子间距离为r，转速为ω，则转子所受不平衡力P=mrω2。当不平衡力P>
基于中间带质量块的简支梁受阶跃载荷的响应模式分析，可知当梁受到撞击时，其响应过程将由三铰模式到单铰模式，最终停止运动。从撞击开始时起至第一相结束，第一相的变形机构如图 4所示。
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图 4 第一相的变形机构 Fig.4 Deformation mechanisms of the beam in phase 1 |
图 4中
| $\ddot u = (L - {x_1}){{\ddot \theta }_2} - {{\dot x}_1}{{\dot \theta }_2} + {x_1}{{\ddot \theta }_1} + {{\dot x}_1}{{\dot \theta }_1}$ | (10) |
BH1段的运动方程同方程(6)。
H1A段的运动方程为
| $3mx_1^2\ddot u - 2mx_1^3{{\ddot \theta }_1} = 12{M_{\rm{P}}}$ | (11) |
质量块的运动方程为
| $(2m{x_1} + G)\ddot u - m{{\ddot \theta }_1}x_1^2 = 0$ | (12) |
引入下列量纲化一的量：
| $\begin{array}{l} \xi = \frac{{{x_1}}}{L},\tilde u = \frac{u}{L},\bar y = \frac{y}{L},\bar x = \frac{x}{L},g = \frac{G}{{mL}},\tau = t\\ \sqrt {\frac{{{M_{\rm{P}}}}}{{m{L^3}}}} ,{e_0} = \frac{{Gv_0^2}}{{2{M_{\rm{P}}}}}{\rm{。}} \end{array}$ |
式中τ表示量纲一化时间。将方程组(6)、(10)~(12) 无量纲化并化简得
| $\overset{{}^\circ {}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{1}}}}\,=-\frac{12\left( 2\xi +g \right)}{{{\xi }^{3}}\left( \xi +2g \right)}$ | (13) |
| $\overset{{}^\circ {}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\,=\frac{3}{{{\left( 1-\xi \right)}^{3}}~}$ | (14) |
| $\overset{{}^\circ {}^\circ }{\mathop{{\tilde{u}}}}\,=-\frac{12}{\xi \left( \xi +2g \right)}$ | (15) |
| $\overset{{}^\circ }{\mathop{\xi }}\,\left( \overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{1}}}}\,-\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\, \right)=\frac{6}{\xi \left( \xi +2g \right)}+\frac{6}{{{\xi }^{2}}}-\frac{3}{{{\left( 1-\xi \right)}^{2}}~}$ | (16) |
式(13)~(16) 中“
| $\begin{align} &\tau ={{\tau }_{0}}=\frac{{{\xi }^{2}}g\sqrt{2{{e}_{0}}/g}}{12\left( \xi +g \right)},\tilde{u}=0,\text{ }\overset{{}^\circ }{\mathop{{\tilde{u}}}}\,=\frac{g\sqrt{2{{e}_{0}}/g}}{\xi +g},{{\theta }_{1}}= \\ &0,\text{ }\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{1}}}}\,=\frac{g\sqrt{2{{e}_{0}}/g}}{\xi \left( \xi +g \right)},{{\theta }_{2}}=0,\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\,=0\text{。} \\ \end{align}$ |
该相内AB段的无量纲化速度场分布为
| $\overset{\underline{{}^\circ }}{\mathop{y}}\,=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \bar{x}\text{ }\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{2}}}}\,&0\le x\le 1-\xi \\ \overset{{}^\circ }{\mathop{{\tilde{u}}}}\,-\left( 1-\bar{x} \right)\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\theta }_{1}}}}\,&1-\xi \le x\le 1 \\ \end{array} \right.$ | (17) |
当
当两移行铰停止运动后，仅在撞击点处留有一个驻定铰，两半梁分别绕左右两个简支点转动。此相变形机构如图 5所示。
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图 5 第二相的变形机构 Fig.5 Deformation mechanisms of the beam in phase 2 |
由能量守恒知，当梁两段绕简支点转过Δθ，剩余动能全部被消耗时，转动停止，第二相结束。
| $\frac{1}{2}G{{\dot u}^2}_1 + \frac{1}{3}mL{{\dot u}^2}_1 = 2{M_{\rm{P}}}(\Delta \theta )$ | (18) |
无量纲化，得：
| $\Delta \theta =\frac{\overset{{}^\circ }{\mathop{{{\left( {\tilde{u}} \right)}^{2}}}}\,\left( 3g+2 \right)}{12}$ | (19) |
其中
第二相结束后，梁内任一点的位移
| $\bar y = {{\bar y}_1} + \bar x\Delta \theta {\rm{ }}\;\;\;\left( {0 \le \bar x \le 1} \right)$ | (20) |
当梁的转动停止后，梁中点的驻定铰消失，但在中点将保留一个永久的折角。
3 数值计算结果及讨论 3.1 位移计算为了计算梁上各节点位移，将一半梁划分为N等份。将每一点的量纲-速度表达式纳入微分方程组中，由龙格-库塔法求解(13)~(17) 的微分方程组，分别输出第一相结束时的变形和第二相结束时的变形(即最终变形)。图 6为质量比g=1.0、能量比e0=0.1时，各相结束时的位移曲线。
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图 6 梁各相结束时的位移曲线 Fig.6 Instantaneous profiles of the beam at the end of each phase |
为了验证理论分析结果的正确性，选择双线性各向同性模型，用LS-DYNA软件对1.1节单盘转子系统模型算例进行计算。模型材料为低碳钢，弹性模量E=2×1011 Pa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比μ=0.3，屈服极限σ=4.48×108 N/m2，剪切模量Et=4.82×108 N/m2。模型尺寸参数为：矩形截面梁长L=2 m，半径R=0.016 m，质量块的质量G=12.56 kg，初速度v0= 8.83 m/s。软件模拟和数值计算的结果如图 7所示。
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图 7 第一、二相结束时，数值计算和有限元模拟结果 Fig.7 Comparison of deformation profiles of the beam calculated by numerical computation and FEA |
由图 7可得出，理论计算与ANSYS模拟的各节点变形位移基本吻合。表 2给出了冲击点处两种计算方法的相对误差。可以看出误差较小，从而验证了本文理论分析的正确性。
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下载CSV 表 2 冲击点处理论计算与ANSYS模拟结果 Table 2 Comparison of deformation results at the impacted location |
为了探讨质量比和初始冲击速度对梁最终变形的影响，分别取不同的质量比和能量比进行计算。结果如图 8、9所示。比较发现，质量比和初始冲击速度对塑性变形的影响很大。初始冲击速度一定时，质量比越大，梁的塑性变形也越大；质量比一定时，冲击速度越大，梁的塑性变形也会越大。
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图 8 e0=0.1，不同质量比时梁的最终变形位移曲线 Fig.8 Final deformation profiles of the beam for different mass ratios when e0=0.1 |
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图 9 g=1.0，不同能量比时梁的最终变形位移曲线 Fig.9 Final deformation profiles of the beam for different input energies when g=1.0 |
(1) 基于理想刚-塑性模型，当阶跃载荷P＜
(2) 在冲击速度一定时，圆盘的质量与转轴的质量比g越大，转子的塑性变形越大；当圆盘的质量与转轴的质量比g一定时，冲击速度越大，转子的塑性变形也越大。
(3) 通过理想刚塑性模型理论分析可以较准确得到系统在冲击载荷作用下的残余塑性变形，将其与转子和静子之间的间隙比较，可判断发生碰摩的可能。
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